高考数学一轮复习 6.7数学归纳法 理
【创新方案】2021届高考数学一轮复习 6.7数学归纳法讲解与练习 理 新人教A版
第七节数学归纳法[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解数学归纳法的原理．2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1.与数列等知识相结合，以解答题的形式考查等式、不等式的证明，如2012年安徽T21等．2.以解答题的形式考查“观察—归纳—猜想—证明”的问题，如2012年湖北T22等.[归纳·知识整合]1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．[探究] 1.数学归纳法证题的基本原理是什么？提示：数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．2．用数学归纳法证明问题应该注意什么？提示：(1)第一步验证n＝n0时命题成立，这里的n0并不一定是1，它是使命题成立的最小正整数．(2)第二步证明的关键是合理运用归纳假设，特别要弄清由k到k＋1时命题的变化情况．(3)由假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1命题也成立时，要充分利用归纳假设，即要恰当地“凑”出目标．2．数学归纳法的框图表示[自测·牛刀小试]1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为n n －32条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选C ∵n ≥3，∴第一步应检验n ＝3. 2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析：选D ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时， 左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2， ∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.3．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：选B 当n ＝k (k ∈N *)时， 左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．4．(教材习题改编)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ，且n >1)，第一步要证的不等式是________．解析：当n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋13，右边＝2，故填1＋12＋13<2.答案：1＋12＋13<25．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形． 答案：π用数学归纳法证明等式[例1] n ∈N *，求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .[自主解答] (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立． ——————————————————— 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n 0的值．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．1．求证：12＋22＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1·1＋12＋16＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，等式成立， 即12＋22＋…＋k 2＝k k ＋12k ＋16，则当n ＝k ＋1时，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k k ＋12k ＋16＋(k ＋1)2＝k ＋1[k ＋1＋1][2k ＋1＋1]6，所以当n ＝k ＋1时，等式仍然成立． 由(1)、(2)可知，对于∀n ∈N *等式恒成立．用数学归纳法证明不等式[例2] 已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n . 求证：当n ∈N *时，a n <a n ＋1.[自主解答] (1)当n ＝1时，因为a 2是方程a 22＋a 2－1＝0的正根，所以a 1<a 2. (2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，0≤a k <a k ＋1， 则由a 2k ＋1－a 2k＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2k ＋1＋a k ＋1－1) ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)>0， 得a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，a n <a n ＋1也成立．根据(1)和(2)，可知a n <a n ＋1对任何n ∈N *都成立．把题设条件中的“a n ≥0”改为“当n ≥2时，a n <－1”，其余条件不变，求证：当n ∈N *时，a n ＋1<a n .证明：(1)当n ＝1时， ∵a 2是a 22＋a 2－1＝0的负根， ∴a 1>a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，a k ＋1<a k ，∵a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1<a k ≤0，∴a 2k ＋1－a 2k >0，又∵a k ＋2＋a k ＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴a k ＋2－a k ＋1<0，∴a k ＋2<a k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1<a n .——————————————————— 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 解：(1)由题意，S n ＝b n＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝bn －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)．由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， 故a 2a 1＝b ，即b b －1b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明：由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1>k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2， 由均值不等式2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以，当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立.“归纳—猜想—证明”问题[例3] 已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n3，g (n )＝32－12n2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．[自主解答] (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2.那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1k ＋13<32－12k 2＋1k ＋13.因为12k ＋12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1k ＋13＝k ＋32k ＋13－12k 2＝－3k －12k ＋13k2<0， 所以f (k ＋1)<32－12k ＋12＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都 有f (n )≤g (n )成立． ——————————————————— 归纳—猜想—证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．3．设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3， 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4， 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3， 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2.1种方法——寻找递推关系的方法(1)在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．(2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n 处在哪个位置． (3)在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．4个注意点——应用数学归纳法应注意的问题(1)数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法，特别是数列中等式、不等式的证明，在高考试题中经常出现．(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了哪些项或减少了哪些项．(3)数学归纳法证题时，第一个值n 0不一定为1，如证明多边形内角和定理(n －2)π时，初始值n 0＝3.(4)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.易误警示——应用数学归纳法解决证明问题的易误点[典例] (2013·九江模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明． (2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2n ＋2.[解] (1)分别令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝a 21＋1，2a 1＋a 2＝a 22＋2，2a 1＋a 2＋a 3＝a 23＋3.∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3. 猜想：a n ＝n . 由2S n ＝a 2n ＋n ，①可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)．② ①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1.(ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1， ∵a 2>0，∴a 2＝2.(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝2a k ＋1＋a 2k －1＝2a k ＋1＋k 2－1⇒[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0， ∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0， ∴a k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时也成立．∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也成立，故对于一切n ∈N *，均有a n ＝n . (2)要证nx ＋1＋ny ＋1≤2n ＋2，只要证nx ＋1＋2nx ＋1ny ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)．即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋nx ＋y ＋1≤2(n ＋2)，将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2， 即只要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2， 即4xy ≤1.∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴xy ≤x ＋y 2＝12， 即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立．[易误辨析]1．在解答本题时有以下易误点(1)在代入n ＝1,2,3时，不能准确求得a 1，a 2，a 3，从而猜想不出a n .(2)证明不等式时，不会应用x ＋y ＝1这一条件代换，导致无法证明不等式成立． 2．解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”及不等式证明问题时，还有以下几点容易造成失分(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．(2)证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了利用假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．(3)不等式证明的过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．[变式训练] 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a24，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.(1)当n ＝1时，已证得不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. 则当n ＝k ＋1时， 有1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋1＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1.因为13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1＝6k ＋13k ＋23k ＋4－23k ＋1＝18k ＋12－29k 2＋18k ＋83k ＋23k ＋43k ＋3＝23k ＋23k ＋43k ＋3>0，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立． 由(1)(2)知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， 所以a 的最大值等于25.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如果命题P (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立，若P (n )对n ＝2也成立，则下列结论正确的是( )A ．P (n )对所有正整数n 都成立B ．P (n )对所有正偶数n 都成立C ．P (n )对所有正奇数n 都成立D ．P (n )对所有自然数n 都成立解析：选B 由题意n ＝k 时成立，则n ＝k ＋2时也成立，又n ＝2时成立，则P (n )对所有正偶数都成立．2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：选C ∵等式的左端为1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1，∴当n ＝1时，左端＝1＋a ＋a 2.3．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项解析：选D 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k项．4．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(其中k ∈N *) B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(其中k ∈N *) C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(其中k ∈N *) D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(其中k ∈N *) 解析：选B ∵n 为正奇数，∴n ＝2k －1(k ∈N *)．5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A.1n －1n ＋1B.12n2n ＋1C.12n －12n ＋1D.12n ＋12n ＋2解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝12n －12n ＋1.6．设函数f (n )＝(2n ＋9)·3n ＋1＋9，当n ∈N *时，f (n )能被m (m ∈N *)整除，猜想m 的最大值为( )A ．9B ．18C ．27D ．36解析：选D f (n ＋1)－f (n )＝(2n ＋11)·3n ＋2－(2n ＋9)·3n ＋1＝4(n ＋6)·3n ＋1，当n ＝1时，f (2)－f (1)＝4×7×9为最小值，据此可猜想D 正确． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．解析：当n ＝1时，21＝2,12＋1＝2；当n ＝2时，22＝4，22＋1＝5；当n ＝3时，23＝8,32＋1＝10；当n ＝4时，24＝16,42＋1＝17；当n ＝5时，25＝32,52＋1＝26，满足2n >n 2＋1.故n 0应取5. 答案：58．对大于或等于2的自然数 m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19, m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．解析：∵依题意得 n 2＝10×1＋192＝100, ∴n ＝10. 易知 m 3＝21m ＋m m －12×2,整理得(m －5)(m ＋4)＝0,又 m ∈N *,所以 m ＝5, 所以m ＋n ＝15. 答案：159．若数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋12，记c n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝________.解析：c 1＝2(1－a 1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－14×⎝⎛⎭⎪⎫1－19×⎝⎛⎭⎪⎫1－116＝54，故由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1. 答案：n ＋2n ＋1三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝ 13n (4n 2－1)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k2－1)＋4k 2＋4k ＋1＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k ) ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]． 即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立．11．设0<a <1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝1a n ＋a ，求证：对任意n ∈N *，有1<a n <11－a .证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＋a >1，又a 1＝1＋a <11－a ，显然命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1<a k <11－a. 即当n ＝k ＋1时，由递推公式，知a k ＋1＝1a k＋a ，由假设可得(1－a )＋a <1a k ＋a <1＋a <11－a .于是当n ＝k ＋1时，命题也成立，即1<a k ＋1<11－a. 由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，有1<a n <11－a .12．已知数列{a n }，其中a 2＝6且a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n .(1)求a 1，a 3，a 4；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)设数列{b n }为等差数列，其中b n ＝a nn ＋c且c 为不等于零的常数，若S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.解：(1)∵a 2＝6，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，解得a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28.(2)由上面的a 1，a 2，a 3，a 4的值可以猜想a n ＝n (2n －1)． 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，a 1＝1×(2－1)＝1，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论正确，即a k ＝k (2k －1)， 则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＋a k －1a k ＋1－a k ＋1＝k ，∴(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＝(k ＋1)·k (2k －1)－(k ＋1)＝(k ＋1)(2k 2－k －1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)(k －1)(k －1≠0)． ∴a k ＋1＝(k ＋1)[2(k ＋1)－1]． 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，{a n }的通项公式a n ＝n (2n －1)． (3)∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即2a 22＋c ＝a 11＋c ＋a 33＋c. ∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15且c ≠0， 由上式解得c ＝－12，∴b n ＝a nn －12＝n 2n －1122n －1＝2n . 故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋1)． ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.1．已知△ABC 的三边长都是有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数．证明：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数．①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A ·sin A ＝1－cos 2A 也是有理数． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，cos kA 和sin A ·sin kA 都是有理数． 当n ＝k ＋1时，由cos(k ＋1)A ＝cos A ·cos kA －sin A ·sin kA ，sin A ·sin(k ＋1)A ＝sin A ·(sin A ·cos kA ＋cos A ·sin kA ) ＝(sin A ·sin A )·cos kA ＋(sin A ·sin kA )·cos A ，由①和归纳假设，知cos(k ＋1)A 和sin A ·sin(k ＋1)A 都是有理数． 即当n ＝k ＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n ，cos nA 是有理数．2．用数学归纳法证明11×3＋13×5＋…＋12n －12n ＋1＝n 2n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边．所以n ＝1时等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＝k 2k ＋1.则当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＋12k ＋12k ＋3 ＝k 2k ＋1＋12k ＋12k ＋3＝2k 2＋3k ＋12k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋12k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋1＋1. 这就是说，n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对一切n ∈N *都成立．3．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． 解：(1)∵当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1或a 1＝－3－1(舍去)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0.∴a 2＝5－3或a 2＝－5－3(舍去)． 同理可得a 3＝7－ 5.由a 1，a 2，a 3，猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)的计算过程知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1. 那么由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1， 或a k ＋1＝－2k ＋3－2k ＋1(舍去)． 即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立． 由①和②，可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．4．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N *，n ≥2)．证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12<2－1k＋1k ＋12<2－1k ＋1kk ＋1＝2－1k ＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立． 由(1)，(2)知原不等式在n ∈N *，n ≥2时均成立．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高三数学一轮复习知识点讲解7-6数学归纳法
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题7.6 数学归纳法【考纲解读与核心素养】1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.3.高考预测：利用数学归纳法证明数列问题.4.备考重点:（1）数学归纳法原理；（2）数学归纳法的简单应用.【知识清单】知识点1．数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示【典例剖析】高频考点一利用数学归纳法证明等式【典例1】已知a，b，c，使等式N+都成立，（1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1):假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．(2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【变式探究】（2018·江苏高考模拟（理））在正整数集上定义函数，满足，且．（1）求证：；（2）是否存在实数a，b，使，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为，整理得，由，代入得，，所以．（2）由，，可得．以下用数学归纳法证明存在实数，，使成立．① 当时，显然成立．② 当时，假设存在，使得成立，那么，当时，，即当时，存在，使得成立．由①，②可知，存在实数，，使对任意正整数n 恒成立．【易错提醒】 数学归纳法的注意事项由n=k 到n=k+1时,除等式两边变化的项外还要利用n=k 时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.高频考点二 利用数学归纳法证明不等式【典例2】（2019·浙江嘉兴一中高一期中）已知数列{}n a 满足12a =,()*12(1)n n n a a n N ++=-∈．（Ⅰ）求证：数列{}(1)nn a --是等比数列；（Ⅱ）比较n a 与312n +的大小，并用数学归纳法证明；（Ⅲ）设12nn n n b a a +-=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若n T m <对任意*n N ∈成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）312n n a +≥（Ⅲ）13m ≥ 【解析】 （Ⅰ）()()()()()()()11112112212111n nn nn n n nnnn n n a a a a a a +++---+----+-===-------且1130a +=≠,(){}1nn a ∴--是以3为首项，2-为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1132nn n a ---=⨯-()()()()11132+11321n n n n n a ---∴=⨯--=-⨯-1321n n a -∴=⨯-312n n a +≥,下面用数学归纳法证明 （1）当1n =时,3122n n a +=≥（2）假设当*,n k k N =∈时,312k k a +≥, 当1n k =+时,()()1311313212112113222kk k k k a a k ++++⎛⎫=⨯-=+-≥+-=+> ⎪⎝⎭,即当1n k =+时,结论成立， 由（1）（2）得312n n a +≥, （Ⅲ）因为()()()()1112213211321n nn n n n n n n b a a --+--==-⨯--⨯- ()()1122113321321321321n n nn n --⎛⎫==- ⎪⨯-⨯-⨯-⨯-⎝⎭011212112112112111332132133213213321321323213n n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-+=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13m ∴≥【典例3】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列{}n a 满足()*11()11,1n n a an N n a +==∈+.(1)求23,aa ，并猜想{}n a 的通项公式(不需证明)； (2)求证()*)1n N <∈.【答案】(1) 2311,23a a ==;猜想1n a n=;(2)证明见解析 【解析】(1)2311,23aa == 猜想1n a n====<=<1⋅⋅⋅+)1=-(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当1n=时，左边1==，右边)1==左边<右边，不等式成立；(2)假设*()n k k N=∈)1⋅⋅⋅+<，那么当1n k=+)1成立，))11+<只要证明()()12212231k kk+++++即证141k++，即证43k<+只要证明221624816249k k k k++<++，显然成立，所以1n k=+时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的*n N∈不等式均成立.【例4】（2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列{}n a的首项11a=，数列{}2n a的前n项和为nS，且12S+，22S+，32S+成等比数列．（1）求通项公式n a；（2）求证：11nnan a⎫+<⎪⎪⎭*n N∈）；【答案】（1）n a n=；（2）见解析【解析】（1）记d为{}n a的公差，则对任意n*∈N，112222nn nnaa a da++-==，即{}2na 为等比数列，公比20dq =>.由12S +，22S +，32S +成等比数列，得2213(2)(2)(2)S S S +=++，即22[2(1)2](22)[2(1)2]q q q ++=++++，解得2q，即1d =.所以1(1)n a a n d n =+-=，即()n a n n N *=∈；（2）由（1）1)n N n*+<+∈.下面用数学归纳法证明上述不等式.①当1n =时，不等式显然成立；②假设当()n k k N *=∈1k+<，则当1n k =+1k+++<+因0+=<，<.1k+++<+，即当1nk =+时，不等式仍成立.1)n N n*+<+∈.所以1)1)n n a n N n a *+<∈ 【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【变式探究】1.（2018·浙江高一期末）已知数列满足，且．Ⅰ使用数学归纳法证明：；Ⅱ证明：；Ⅲ设数列的前n项和为，证明：．【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.【解析】Ⅰ当时，，故当时命题成立；假设时命题成立，即，当时，注意在单调递增，所以，故，故当时命题成立．因此对任意的，有；Ⅱ由，由Ⅰ知，故．Ⅲ因为，所以因为，所以，故有，．综上所述，．2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是15,a a 的等差中项，数列{}n b 的通项公式111nn n n b a a +=-+-，*n N ∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：11221n n b b b ++++<-，*n N ∈.【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=， 解得38a =， 由1534a a +=，得228834q q+=， 解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q.所以，2nn a =.（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得12121nn n n b +=-+-，*n N ∈.122121nn nn b +==-+-1112(2121)(2121)(2121)n n n nn n n +++----+----112(2121)2121n n n n n ++---==--+112(2121)21212n n n n n n++---=----， ∴2112(2121)n b b b +++=---+321(2121)2121n n +---++---1121121n n ++=--<-.法2：由（Ⅰ）可得122121nn n n b +=-+-，*n N ∈.我们用数学归纳法证明. （1）当1n =时，1231313b ==-<+，不等式成立；（2）假设n k =（*k N ∈）时不等式成立，即11221k k b b b ++++<-.那么，当1n k =+时，121k k b b b b +++++11122212121k k k k ++++<-+-+-121k +=-+11212122(2121)(2121)(2121)k k k k k k k +++++++----+----112112(2121)212k k k k k +++++---=-+-221k +=-， 即当1n k =+时不等式也成立. 根据（1）和（2），不等式11221n n b b b ++++<-，对任意*n N ∈成立.3.（2018·浙江余姚中学高考模拟）设,对于，有.（1）证明：（2）令,证明：（I）当时，（II）当时，【答案】（1）见解析;（2）（I）见解析;（II）见解析.【解析】（1）若，则只需证只需证成立只需要证成立，而该不等式在时恒成立…故只需要验证时成立即可，而当时，均满足该不等式.综上所得不等式成立.（2）、（I）当时，用数学归纳法很明显可证当时，有;下证：,只需要证,只需证只需证,只需证,只需证.由（1）可知，我们只需要证,只需证,只需证.当时该不等式恒成立 当时，，故该不等式恒成立综上所得，上述不等式成立（II ）、当时，用数学归纳法很明显可证当时，有下证：只需证:,只需证：只需证：,只需证：只需证：,……同理由（2）及数学归纳法，可得该不等式成立. 综上所述，不等式成立高频考点三 归纳、猜想、证明【典例5】（2019·浙江高二期中）已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足()()2*41n n S a n N =+∈，（Ⅰ）求234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】（Ⅰ）2343,5,7a a a === ；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）当2n =时，()22241S a =+，()()222411a a +=+ 解得23a = 当3n =时，()()()2233233341,415S a S a a a =++=+∴=，当4n =时，()24441S a =+，47a = . （Ⅱ）猜想得21n a n =- 下面用数学归纳法证明：①1,2n =时121,3a a ==，满足21n a n =-.②假设n k =时，结论成立，即21k a k =-，则1n k =+时()21141k k S a ++=+()()()221114141k k k k k S a a a a +++∴+=++=+，将21k a k =-代入化简得()22114k a k +-= ，()121211k a k k +∴=+=+-故1n k =+时 结论成立 . 综合①②可知，21n a n =-．【典例6】（2019·吉林高考模拟（理））已知数列{}n a 满足：11a =，点()()*1,n n a a n +∈N 在直线21y x =+上.（1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.【答案】（Ⅰ）2343,7,15a a a ===;21n n a =-.（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）因为点()()*1,n n a a n N+∈在直线21y x =+上所以121n n a a +=+， 因为11a =，故22113a =⨯+=，32317a =⨯+=， 427115a =⨯+=，由上述结果，猜想：21nn a =-.（Ⅱ）1︒，当1n =时，1211a =-=成立，2︒，假设当()1,n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，那么，当1n k =+时，()1121221121kk k k a a ++=+=-+=-成立，由1︒，2︒可得21n n a =-.【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤 ①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)． ③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法． 【变式探究】1.（2019·浙江高二期末）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12N n n na S n S =+-∈．(Ⅰ)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；(Ⅱ)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】（Ⅰ）112S =，223S =，334S =，445S =；（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）当1n =时，∵111112a S S S ==+-，∴112S =， 又2212212a S S S S =-=+-，∴223S =， 同理334S =，445S =； （Ⅱ）猜想()*N 1n nS n n =∈+ 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.②假设()*,1n k k N k =∈≥时结论成立，即1k kS k =+， 当1n k =+时，111112k k k k k a S S S S ++++=-=+-， ∴112k k S S +=-，∴11112221k k k S k S k k ++===-+-+ 即当1n k =+时结论成立. 由①②知1n nS n =+对任意的正整数n 都成立. 2.给出下列不等式：，，，，，……（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：，……猜想不等式左边最后一个数分母，对应各式右端为，所以，不等式的一般结论为：. （2）证明：①当时显然成立；②假设时结论成立，即：成立当时，即当时结论也成立.由①②可知对任意，结论都成立.。
高考数学大一轮复习 第六章 第七节 数学归纳法课件
[类题通法] 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于 弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0的值． (2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充 分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的 步骤，从而使问题得以证明．
[类题通法] 用数学归纳法证明不等式的注意问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法 不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n ＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综 合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．
[演练冲关] 1．用数学归纳法证明：
2．设f(n)＝1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋
1 n
(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋
f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝21＋12－1＝1， 左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)fk＋1－k＋1 1－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
1．求证：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n∈N*)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12， 右边＝1＋1 1＝12.左边＝右边． (2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，
高考数学一轮复习 第六章 第七节 数学归纳法课件 理 新人教版
数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
[基础自测自评] 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n∈N，n≥3)，第一步应验证 ( A．n＝1 B．n＝2 )
C．n＝3
C
D．n＝4
1 1 2． (教材习题改编)已知 n 为正偶数， 用数学归纳法证明 1－ ＋ － 2 3 1 1 1 1 1 ＋…－ ＝2 ＋ ＋…＋ 时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 4 n n＋2 n＋4 2n 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ( )
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
[规律方法] 用数学归纳法证明等式的规则
(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 B [因为n为偶数，故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2时等式 成立．]
1 1 1 1 3．已知 f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ 2，则 n n＋1 n＋2 n ( 1 1 A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3 1 1 1 B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ ＋ 2 3 4 1 1 C．f(n)中共有 n －n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3
左边＝右边，等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k
【全套解析】高三数学一轮复习 6-7 数学归纳法课件 (理) 新人教A版
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热点之二
用数学归纳法证明有关问题
用数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性 问题和几何问题等，应用数学归纳法要注意其基本步骤.
1 1 解析：f(n)表示n项的和，则f(n＋1)＝ ＋ n＋1＋1 n＋1＋2 1 1 ＋…＋ ＋ . n＋1＋n n＋1＋n＋1 ∴f(n＋1)－f(n) 1 1 1 ＝ ＋ － 2n＋1 2n＋2 n＋1 1 1 ＝ － . 2n＋1 2n＋2
答案：D
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第七节
数学归纳法
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1.了解数学归纳法的原因，掌握用数学归纳法证 明问题的基本步骤． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
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1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法叫归纳法．根
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＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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即时训练用数学归纳法证明： n 1 1 1 1 1＋ ≤1＋ ＋ ＋…＋ n≤ ＋n(n∈N*)． 2 2 3 2 2 1 1 证明：(1)当n＝1时，左式＝1＋ ，右式＝ ＋1， 2 2
1 1 1 4．用数学归纳法证明：“1＋ ＋ ＋…＋ n <n(n∈N*， 2 3 2 －1 n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增 加的项数是________．
高考数学一轮复习 数学归纳法(理)课件
(nN*).
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*).
按数学归纳法的步骤进行证明即可.
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2[1＋ －1]＝1， 左边＝右边，等式成立. (2)假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时，
利用假设后，要注意不等式的放大和缩小.
【证明】 (1)当n＝1时，左式＝1＋ ，右式 ＝ ＋1，
即命题成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1k 2≤ 11 21 3...2 1 k≤ 1 2k, 则当n＝k＋1时，
又1+
1 2k2k.21k 1 2(k1), 即n＝k＋1时，命题成立. 由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立.
22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2 ＝ k(k＋1)(2k＋1)＋4(k＋1)2 ＝ (k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)] ＝ (k＋1)(2k2＋7k＋6)＝ (k＋1) (k＋2)(2k＋3)＝
(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]， 即n＝k＋1时，等式成立. 由(1)、(2)可知，等式对所有的n∈N*都成立.
3.设Sn是数列{ }的前n项的和. 是否存在关于正整数n的函数f(n)，使S1＋S2＋…＋Sn－1＝ f(n)(Sn－1)对于大于1的正整数n都成立？并证明你的结论；
解：假设存在f(n)，使等式成立.
当n＝2时，S1＝f(2)(S2－1)， 即1＝f(2)(1＋ －1)，解得f(2)＝2.
当n＝3时，S1＋S2＝f(3)(S3－1)，
【解】 (1)由已知得 又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2.∴a2＝3，a5＝9.
高考数学一轮总复习第6章6.7数学归纳法课件理171.ppt
[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”) 1．用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n＝1 时结论成立．( × ) 2．所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法 证明．( × )
3．用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不 用．( × )
2.解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现 数学归纳法证题的形式.
板块三 启智培优·破译高考
规范答题系列 5——怎样解决数学归纳法中的“归纳— 猜想—证明”问题
[2014·广东高考]设数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 Sn ＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且 S3＝15.
4．不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项．( × )
二、小题快练
1．[课本改编]在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角
线为12n(n－3)条时，第一步检验 n 等于(
)
A．1 B．2 C．3 D．0
解析 凸 n 边形的边最少有三条，故第一个值 n0 取 3.
核心规律
数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正 整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤 缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用， 当 n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二 步的关键是“一凑假设，二凑结论”．
满分策略
1.在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从 k 到 k ＋1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．
②假设 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 2× 1 4＋4× 1 6＋6× 1 8＋…＋2k21k＋2＝4k＋ k 1，
高考数学一轮复习 6.7数学归纳法练习 理
第七节 数学归纳法基础回顾数学归纳法：对于某些与正整数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n ＝k(k∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1，n 0＝2等)时结论正确；(2)(归纳递推)假设当n ＝k(k ∈N *，且k≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确．用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测1．用数学归纳法证明“2n>n 2＋1对于n≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取(C )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：当n ≤4时，2n >n 2＋1不成立，n ≥5时，2n >n 2＋1成立，所以取n 0＝5.2．下列代数式中(其中k∈N *)，能被9整除的是(C )A ．6＋6×7kB ．2＋7k －1C ．3(2＋7k )D ．2(2＋7k ＋1)解析：(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n(n∈N *)命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36，这就说明，当k ＝n ＋1时命题也成立．故选C.3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n∈N *)． 解析：3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.4．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n(2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）(n∈N *)．解析：a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，猜想a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）.高考方向1.高考对数学归纳法较少单独考查，一般和合情推理、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇点处命题.2.题型以解答题为主，难度中等偏上.品味高考 1．已知f(x)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x .(1)若x≥1时，证明：f(x)≥ln x ；(2)证明：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)＋n2（n ＋1）(n ≥1)．证明：(1)设g(x)＝f(x)－ln x ＝x 2－12x －ln x (x≥1)，则g ′(x)＝12x 2－1x ＋12＝x 2－2x ＋12x 2＝（x －1）22x 2≥0(x≥1)，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，即当x≥1时，g (x)≥g(1)＝0，即f(x)≥ln x.(2)方法一 由(1)有f(x)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x≥1)，且当x ＞1时，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＞ln x.令x ＝k ＋1k ，有ln k ＋1k ＜12[k ＋1k －k k ＋1]＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋1]，即ln(k ＋1)－ln k ＜12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1，k ＝1，2，3，…，n.将上述n 个不等式依次相加，得ln(n ＋1)＜12＋(12＋13＋…＋1n )＋12（n ＋1）.整理得1＋12＋13＋…＋1n ＞ln(n ＋1)＋n2（n ＋1）.方法二 用数学归纳法证明．①当n ＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋14＜1，不等式成立．②假设n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k ＞ln(k ＋1)＋k 2（k ＋1）. 那么n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋1)＋k 2（k ＋1）＋1k ＋1＝ln(k ＋1)＋k ＋22（k ＋1）.由(1)有f(x)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ≥ln x (x≥1)．令x ＝k ＋2k ＋1，得12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2k ＋1－k ＋1k ＋2≥ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)－ln(k ＋1)． ∴ln(k ＋1)＋k ＋22（k ＋1）≥ln(k ＋2)＋k ＋12（k ＋2）.∴1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋2)＋k ＋12（k ＋2）.这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据①，②，可知不等式对任何n∈N *都成立．2．函数f(x)＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P(4，5)，Q n (x n ，f(x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x x ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．(1)证明：因为f(4)＝42－8－3＝5，故点P(4，5)在函数f(x)的图象上，故由所给出的两点P(4，5)，Q n (x n ，f(x n ))可知，直线PQ n 斜率一定存在. 故有直线PQ n 的直线方程为y －5＝f （x n ）－5x n －4·(x －4)．令y ＝0，可求得－5＝x 2n －2x n －8x n －4·(x －4)⇔－5x n ＋2＝x －4⇔x ＝4x n ＋3x n ＋2.所以x n ＋1＝4x n ＋3x n ＋2.下面用数学归纳法证明2≤x n <3. ①当n ＝1时，x 1＝2，满足2≤x 1<3.②假设n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，2≤x k <3成立，则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝4x k ＋3x k ＋2＝4－5x k ＋2，由2≤x k <3⇒4≤x k ＋2<5⇒1<5x k ＋2≤54⇒2<114≤4－5x k ＋2<3，即2≤x k ＋1<3也成立． 综上可知，2≤x n <3对任意正整数恒成立．下面证明x n <x n ＋1：由x n ＋1－x n ＝4x n ＋3x n ＋2－x n ＝4x n ＋3－x 2n －2x n x n ＋2＝－（x n －1）2＋4x n ＋2，由2≤x n <3⇒0<－(x n －1)2＋4≤3，故有x n ＋1－x n >0，即x n <x n ＋1.综合①②可知，2≤x n <x n ＋1<3恒成立． (2)解析：由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n.设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1(n∈N *)． 高考测验 1．观察下表：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10… 设第n 行的各数之和为S n ，则S n ＝(2n －1)2．解析：第一行，1＝12，第二行，2＋3＋4＝9＝32，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，归纳：第n 行的各数之和S n ＝(2n －1)2. 2．已知函数f(x)＝ax 1＋x a (x>0，a 为常数)，数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝f(a n )，n ∈N *. (1)当a ＝1时，求数列{a n }的通项公式；(2)在(1)的条件下，证明对∀n ∈N *有：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝n （n ＋5）12（n ＋2）（n ＋3）.(1)解析：当a ＝1时，a n ＋1＝f(a n )＝a n 1＋a n ，两边取倒数，得1a n ＋1－1a n ＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝2为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝n ＋1，a n ＝1n ＋1，n∈N *. (2)证明：方法一 由(1)知a n ＝1n ＋1，故对k ＝1，2，3，…，a k a k ＋1a k ＋2＝1（k ＋1）（k ＋2）（k ＋3）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（k ＋1）（k ＋2）－1（k ＋2）（k ＋3） 所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2 ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×4－14×5＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1（n ＋1）（n ＋2）－1（n ＋2）（n ＋3）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3－1（n ＋2）（n ＋3）＝n （n ＋5）12（n ＋2）（n ＋3）. 方法二 ①当n ＝1时，等式左边＝12×3×4＝124，等式右边＝1×（1＋5）12×（1＋2）（1＋3）＝124，左边＝右边，等式成立；②假设当n ＝k(k≥1)时等式成立，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k a k ＋1a k ＋2＝k （k ＋5）12（k ＋2）（k ＋3），则当n ＝k ＋1时，a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k a k ＋1a k ＋2＋a k ＋1a k ＋2a k ＋3 ＝k （k ＋5）12（k ＋2）（k ＋3）＋1（k ＋2）（k ＋3）（k ＋4）＝k （k ＋5）（k ＋4）＋1212（k ＋2）（k ＋3）（k ＋4）＝k 3＋9k 2＋20k ＋1212（k ＋2）（k ＋3）（k ＋4） ＝k 2（k ＋1）＋4（k ＋1）（2k ＋3）12（k ＋2）（k ＋3）（k ＋4）＝（k ＋1）（k ＋2）（k ＋6）12（k ＋2）（k ＋3）（k ＋4）＝（k ＋1）[（k ＋1）＋5]12[（k ＋1）＋2][（k ＋1）＋3].这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立，综①②知对于∀n ∈N *有：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝n （n ＋5）12（n ＋2）（n ＋3）.课时作业1．(2013·福建三明模拟)某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k(n∈N *，k ≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，则(C )A ．n ＝4时该命题成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝6时该命题不成立解析：因为“当n ＝k(k∈N *，k ≥1)时，该命题成立，则一定能推出当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故可得n ＝5时该命题不成立，则一定有n ＝4时，该命题也不成立．故选C.2．若f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋16n －1(n∈N *)，则f(1)为(C )A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n －1的自然数，故f(1)＝1＋12＋13＋14＋15.故选C.3．(2013·杭州质检)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314(n≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边(C )A ．增加了一项12（k ＋1）B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1D ．以上各种情况均不对解析：当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴增加了12k ＋1＋12k ＋2，减少了1k ＋1，故选C.4．已知f(n)＝(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N ，都能使m 整除f(n)，则最大的m 的值为(C )A ．30B ．26C ．36D ．6解析：∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36， ∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明：n ＝1，2时，由上得证，设n ＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f(k ＋1)－f(k)＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k ＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k≥2)．∴f(k ＋1)能被36整除．∵f(1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36.故选C.5．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的关于k 的表达式为(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2．解析：n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.比较上述两个式子，n ＝k ＋1时，等式的左边是在假设n ＝k 时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝nn ＋1． 解析：由(S 1－1)2＝S 21，得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得：S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得：S 3＝34.猜想：S n ＝n n ＋1. 7．平面内有n(n≥2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，利用数学归纳法证明线段的条数为f(n)，则由n ＝k 到n ＝k ＋1增加的线段数是2k －1．解析：增加一条直线，该直线被原来的k 条直线分出k －1段线段，而原来的k 条线段中的每一条，都多出1条线段，因此增加了k －1＋k ＝2k －1条．8．数列{a n }中，a n ＞0，a n ≠1，且a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n∈N *)．(1)证明：a n ≠a n ＋1；(2)若a 1＝34，计算a 2，a 3，a 4的值，并求出数列的通项公式．(1)证明：若a n ＝a n ＋1，即3a n2a n ＋1＝a n ，得a n ＝0或a n ＝1与题设矛盾， ∴a n ≠a n ＋1.(2)解析：a 2＝910，a 3＝2728，a 4＝8182，猜想a n ＝3n3n ＋1(n∈N *)，用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝3k3k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a k 2a k ＋1＝3·3k3k ＋12·3k 3k ＋1＋1＝3k ＋12·3k ＋3k＋1＝3k ＋13k ＋1＋1， ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝3n 3n ＋1对一切正整数都成立．9．设曲线y ＝ax 33＋12bx 2＋cx 在点A(x ，y)处的切线斜率为k(x)，且k(－1)＝0.对一切实数x ，不等式x≤k(x)≤12(x 2＋1)恒成立(a≠0)．(1)求k(1)的值；(2)求函数k(x)的表达式；(3)求证：1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （n ）＞2nn ＋2.(1)解析：由x≤k(x)≤12(x 2＋1)得1≤k(1)≤1，所以k(1)＝1.(2)解析：k(x)＝y′＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 由k(1)＝1，k(－1)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0 ⇒a ＋c ＝12，b ＝12.又x≤k(x)≤12(x 2＋1)对x∈R 恒成立，则由x≤k(x)恒成立，得ax 2－12x ＋c≥0(a≠0)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝14－4ac≤0，a ＋c ＝12⇒a ＝c ＝14. 同理，由k(x)≤12(x 2＋1)恒成立，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a x 2－12x ＋12－c ≥0恒成立，也可得a ＝c ＝14.综上所述，a ＝c ＝14，b ＝12，所以k(x)＝14x 2＋12x ＋14.(3)证明：证法一 k(n)＝n 2＋2n ＋14＝（n ＋1）24⇒1k （n ）＝4（n ＋1）2，要证原不等式成立，即证122＋132＋…＋1（n ＋1）2>n2n ＋4， 因为1（n ＋1）2>1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， 所以122＋132＋…＋1（n ＋1）2>12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4， 所以1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （n ）>2n n ＋2.证法二 由k(n)＝n 2＋2n ＋14＝（n ＋1）24⇒1k （n ）＝4（n ＋1）2，①当n ＝1时，左边＝1，右边＝23，左边>右边，所以n ＝1时，不等式成立；②假设当n ＝m 时，不等式成立，即1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （m ）>2mm ＋2.当n ＝m ＋1时，左边＝1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （m ）＋1k （m ＋1）>2m m ＋2＋4（m ＋2）2＝2m 2＋4m ＋4（m ＋2）2，由于2m 2＋4m ＋4（m ＋2）2－2（m ＋1）m ＋3＝4（m ＋2）2（m ＋3）>0， 所以1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （m ）＋1k （m ＋1）>2（m ＋1）（m ＋1）＋2，即当n ＝m ＋1时，不等式也成立． 综合①②可知，1k （1）＋1k （2）＋…＋1k （n ）>2nn ＋2.。
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考点探究
＝tanπ4 ＋(k－1)·π4 ＋x ＝tan(k＋1－1)·π4 ＋x，猜想也正确．
由①，②知对任何 n∈N*，an＝tanπ4 （n－1）＋x都正确．
考点探究
考点2 用数学归纳法证明恒等式
【 例 2 】 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 12 ＋ 22 ＋ … ＋ n2 ＝ n（n＋1）6（2n＋1）(n∈N*)．
(1)写出 a1，a2，a3； (2)求出点 An(an，0)(n∈N*)的横坐标 an 关于 n 的表达 式并证明． 自主解答：
考点探究
解析：(1)由题意解得 a1＝2，a2＝6，a3＝12.
(2)依题意，得 xn＝an－12＋an，yn＝ 3·an－2an－1，
由此及 yn2＝3·xn 得
考点探究
a4＝tan3·π4 ＋x.
(2)猜想：an＝tan(n－1)·π4 ＋x.
下面用数学归纳法证明：
①当 n＝1 时，显然成立； ②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想正确，
即 ak＝tan(k－1)·π4 ＋x.
则当 n＝k＋1 时，
ak＋1＝11－＋aakk＝11＋ －ttaann((kk－－11))··π π44 ＋ ＋xx
考点探究
(1＋1)1＋12…1＋21k1＋2k1＋1≤61－21k·1＋2k1＋1 ＝61＋2k1＋1－21k－221k＋1＝61－2k1＋1－221k＋1 ＜61－2k1＋1. 当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知，对任意 n∈N*，都有(1＋1)1＋12…1＋21k≤61－21k. 点评：用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 时成立得到 n＝k＋1 时成立，主要 方法有放缩法、基本不等式法，作差比较法等．
高考总复习数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
第七节 数学归纳法
考纲要求
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单 的数学命题．
考点探究
考点1 探索、归纳、猜想与证明
【例 1】 如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn， yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn)是曲线 C：y2＝3x(y≥0)上的 n 个点， 点 Ai(ai，0)(i＝1，2，3，…，n)在 x 轴的正半轴上，且△Ai1AiPi 是正三角形(A0 是坐标原点)．
考点探究
变式探究 1．在数列{an}中，a1＝tan x，an＋1＝11－＋aann. (1)写出 a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通项公式，并加以证明． 解析：(1)a2＝11＋ －ttaann xx＝tanπ4 ＋x， a3＝11＋ －ttaannππ44 ＋ ＋xx＝tan2·π4 ＋x，
②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立， 即 12＋22＋…＋k2＝k（k＋1）6（2k＋1）. 当 n＝k＋1 时，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k（k＋1）6（2k＋1） ＋(k＋1)2＝（k＋1）[（k＋1）6＋1][2（k＋1）＋1]. 所以，当 n＝k＋1 时，等式仍然成立．
考点探究
由①，②可知，对于一切 n∈N*等式恒成立． 点评：用数学归纳法证明恒等式时应注意：明确初始值 n0 的取 值并验证 n＝n0 时命题的真假(必不可少)．“假设 n＝k 时命题正确” 并写出命题形式．分析“n＝k＋1”时命题是什么，并找出与“n＝ k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目 标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配 方等．可明确为：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设 要用到，结论写明莫忘掉．
考点探究
则当 n＝k＋1 时，1×1 3＋3×1 5＋…＋（2k－1）1（2k＋1）＋ 1
（2k＋1）（2k＋3） ＝2kk＋1＋（2k＋1）1（2k＋3）＝（2kk（＋21k）＋（3）2k＋＋13） ＝（2k＋2k12＋）3（k＋2k1＋3）＝2kk＋＋13＝2（kk＋＋11）＋1， 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由①②可知，对一切 n∈N*等式都成立．
考点探究
变式探究
2．用数学归纳法证明：对任意的
n∈N*，1×1 3＋
1 3×5
＋…
＋
（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1.
证明：①当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝31，ห้องสมุดไป่ตู้
右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k∈N*且 k≥1)时等式成立，
即有1×1 3＋3×1 5＋…＋（2k－1）1（2k＋1）＝2kk＋1，
3·an－2an－12＝32(an＋an－1)，
即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．
由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．
下面用数学归纳法予以证明：
①当 n＝1 时，命题显然成立．
考点探究
②假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即有 ak＝k(k＋1)， 则当 n＝k＋1 时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)， 得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即 a2k＋1－2(k2＋k＋1)ak＋1＋ [k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，解得 ak＋1＝(k＋1)(k＋2)(ak＋1＝k(k－1)＜ ak 不合题意，舍去)，即当 n＝k＋1 时，命题也成立．由①②可知，命题 成立． 点评：解“归纳——猜想——证明”题的一般步骤：(1)准确计算出 前若干具体项，这是归纳、猜想的基础；(2)通过观察、分析、比较、联 想，猜出一般结论；(3)用数学归纳法证明猜想的正确性．
思路点拨：明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时命题的真假(必 不可少)，“假设 n＝k 时命题正确”并写出命题形式．分析“n＝k＋ 1”时命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别，并弄清左 端应增加的项．
自主解答：
考点探究
证明：①当 n＝1 时，左端＝1，右端＝1×（1＋1） 6 （2＋1）＝1， 左端＝右端，等式成立．
考点探究
考点3 用数学归纳法证明不等式
【例 3】 已知 n∈N*，证明：(1＋1)1＋12…1＋21n≤61－21n. 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝(1＋1)1＋12＝3，右边＝3，不等式 成立． (2)假设当 n＝k 时不等式成立，即 (1＋1)1＋12…1＋21k≤61－21k， 那么当 n＝k＋1 时，