《材料力学》i截面的几何性质习题解

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。

（a ）

解：)(24000)1020()2040(3

mm y A S c x =+??=?=

（b ）

解：)(422502

65

)6520(3mm y A S c x =??=?= （c ）

解：)(280000)10150()20100(3

mm y A S c x =-??=?=

（d ）

解：)(520000)20150()40100(3

mm y A S c x =-??=?=

[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2

半圆对x 轴的静矩为：

3

2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300

2

r r x d dx x S r r

x =--?=-?=?=??

πθθθπ

π

因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π

34r

y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a ）

解：

习题I-3(a): 求门形截面的形心位置

矩形 L

i B

i

Ai

Y ci AiYci

Yc

离顶边

上 400 2

8000 160 1280000

左 150 2

3000

7

5 225000

右

150

2

0 3000

7

5 225000

14000

1730000

Ai=Li*Bi

Yc=∑AiYci/∑Ai

(b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置

矩形 L i B i

Ai Y ci AiYc i Y c

X ci AiX ci X c

下

1

60

10 160

5

8000

8

128

000

左

9

10 900

5

5

49500 5

4500

250

5750

2

3

132

500

5

3

Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai

(c)

解：

习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置

型钢号 Ai (cm2)

Yc i(cm)

AiYci (cm3) Y c(cm)

Xc i(cm)

AiXci (cm3) X c(cm)

槽钢20 10 等边角钢80*10

Yc=∑AiYci/∑Ai

Xc=∑AiXci/∑Ai

[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ?=??=?==232222sin sin )(

四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ??

?

-?==

2/0042

/0

2

3

2

2cos 1]4[sin ππθθ

θθd x d dx x I r r

x

)]2(2cos 21[2142/02

/0

4θθθππd d r ??-?=

}]2

[sin 2

12{82

/04πθπ-=r 16

4

r ?=

π

由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：

16

4

r I I x y ?=

=π

微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：

xydA dI xy =

8

)42(21]42[21)(2144404222

20

2

2r r r x x r dx x r x ydx xdx I r r

x r r

xy =-=-=-==??

?

- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为

mm 20=δ

的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。

解：圆的方程为：

222r y x =+

如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：

dy y r dA 222-=

切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：

dy y r y I r r x 22sin sin 22-=?

-α

α

α

αsin sin 42

222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -??????+--=

)4sin 4

1

(24αα-=r

)4sin 4(84αα-=r 222

1100)20100(=-+x

360021=x )(601mm x =

34

6020100tan =-=

α )(927.013.533

4arctan 0

rad ===α

)(10963.3)52.212sin 927.04(8

1004704

mm I x ?=-?=

[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。

dy y dz dy y dz dA y I a a z a z a z a

z a A

z ?

?

?

?

?+

--

+

---+==2

20

2

22

2222222

2

2

2

][22

20

2

20

22

20

2

2

2dy y dz dy y dz a a z a z a ?

?

?

?

+

-+

-+?=

[]

[]

][322

20

2

20

3

222

20

3

?

?+

--+

+?=a a z a

a z dz y dz y

])22

()22()22()22([3222

0302

23??+-+--++?=-a a a z d a z a z d a z

a

a

a

z

a

z

2

2

4

2

2

4

4

)

2

2

(

3

2

4

)

2

2

(

3

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

-

-

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

?

=

-

=??

?

?

?

?

+

16

16

3

24

4a

a

12

4

a

=

故正方形对其的对角线的惯性矩为：

12

4

a

I

z

=。

[习题I-7]试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x的惯性矩。

(a)

解：)

(

21177368

]

)

175

150

(

1[

175

14

.3

64

1

)

1(

64

1

4

4

4

2

4mm

D

I

x

=

-

?

?

=

-

=α

π

(b)

)

(

90449999

150

90

12

1

210

150

12

1

4

3

3mm

I

x

=

?

?

-

?

?

=

[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对

形心轴的惯性矩

所以

再次应用平行轴定理，得

[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。

解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形

心轴的惯性矩

再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩

[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是

上面一个圆的圆心到 轴的距离是d 6

32。

利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：

[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是 。

利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 )(657600002)101201151012012

1

(

104.34237

mm I z =???+??+?= （b ）等边角钢 的截面积是

，其形心距外边缘的距离是 mm ，

求得组合截面对轴 的惯性矩如下：

习题I-11（b ）图

图形 b h Ixc a A Ix

中间矩形

1

6

00

0 0 6

000

上矩形

2

50

1

20833 3

05

2

500

3

下矩形

2

50

1

20833 3

05

2

500

3

左上L形

179510

1

926

5

右上L形

179510

1

926

5

左下L形

179510

1

926

5

右下L形

179510

1

926

5

A

a

I

I

xc

x

2

+

=45

[习题I-12]试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利

用该题的结果。

解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。惯性矩计算如下：

[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。

习题I-13(a)

图形

b

i

h

i

Ai Y

ci

AiYci Y

c

a

i

Ixc Ix(mm4

)

上矩形

1

000

1

00

10

0000

6

50

2

25

33

下矩形

3

00

6

00

18

0000

3

00

1

25

00 00

全图

28

0000

0 4

25

习题I-13(c)

图形

b

i

h

i

r Ai

Y

ci

AiYci

Y

c

Ixc(mm

4)

a

i

Ix(mm4)

矩形

2

140

1

150

2461

000

5

75

00 8333

1

59

8275

半圆

7

90

-980

333

3

35

-7 791

3

99

习题I-13( b)

图形

b

i

h

i

A

i

Y

ci

AiY

ci

Y

c

a

i

Ixc Ix(mm4

)

上图(3)

2

5

1

50

3

750

2

75

103

1250

1

48

7031

250

中图(2)

2

00

1

50

3

0000

1

25

375

0000

2

下图(1)

1

00

5

5

000

2

5

125

000

1

02

1041

667

全图

3

8750

490

6250

1

27

全图

1480667

33

734

半圆：

π3/4r y c =

半圆：π

π9/88/44r r I xc

-=

习题I-13(d)

图形

b i

h i

A i

Y ci

AiY ci

Y c

a

i

Ixci

Ix(mm 4)

从下往上

220

1

6

3520

8

28160

3

74

75093

3

180

14 2520

23

57960

3

59 41160

16

674

10784

367

3957728

9

9

220

14

3080

711

2189880

3

29 50307

7

445

9

4005

2893613

3

41

27034

5

2

3909

9127341

382

14

[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42?的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。

解：先求形心主轴 的位置

截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：

（y 轴向下为正）

（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）

（组合图形对形心轴x 的惯性矩）

习题I-14

b (a) h (a) r (a) Ai (a2) Y

c i(a) A iYci Y c(a)

I xc

a i

Ix (a4)

矩形

4 2 1 -8 圆 4 0 0

-8

[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100=的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。

解：

习题I-15

图形

b i

h

i

r A

i

Y ci

AiYc

i

Y

c

Ixci a i

Ix 正方形

200

200

40000 100 4000000

3 2

1 半圆

5

-

3927 79 -309365 685977 24 286034

6

全图

36073

3690635

102

5 π

34100r y c -= π

π9884

4r r I xc -?=

A a I I xc x 2+=

形心位置：X （0，102）。对水平形心轴的惯性矩：4

130686455mm I x =。对竖直形

心轴的惯性矩：

)(1308789668

5014159.31220081244

444mm r a I y =?-=?-=π

习题I-15

图形 a r Iy （mm 4

） 正方形

2

00

半圆

5

0 2454367

全图

6 8

124

4r a I y ?-=π

[习题I-16] 图示由两个a 20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩

x I 和y I 相等，则两槽钢的间距a 应为多少

解：20a 号槽钢截面对其自身的形心轴

、 的惯性矩是

，

；横截面积为

；槽钢背到其形心轴

的距离是

。

根据惯性矩定义

和平行轴定理，组合截面对 ， 轴的惯性矩分别是

；

若

即

等式两边同除以2，然后代入数据，得

于是

所以，两槽钢相距

[习题I-17] 试求图示截面的惯性积xy I

解：设矩形的宽为b 高为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则 由平行移轴公式得：

224

1

)2()2(0h b bh b h abA I I C C y x xy =??+=+=

故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： 2

24

1h b I xy =

习题I-17

图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000 下矩形: 100 10 250000 重复加的矩形

10

10

2500 全图

上图+下图-重复

497500

[习题I-18] 图示截面由两个mm mm mm 10125125??的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩m ax I 和最小惯性矩

m ax I 。

解：从图中可知，该截面的形心C 位于两缀板共同的形心上。过C 点作水平线，向右为c x 轴正向；过C 点，垂直于c x 轴的直线为c y 轴向上为正。把c c cy x 坐标绕C 点逆时针转0

45

后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴00,y x 。主惯性矩max 0I I x =，min 0I I y =

查型钢表得：号等边角钢的参数如下：

2373.24cm A = ，4'46.14900cm I I x y ==，4'89.5730

0cm I I y x ==，cm z 45.30= 角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：

cm z a 295.3)5.045.3(212

2

20=+=?+

= )(1820]373.24)295.3(46.149[242max 0cm I I x =?+?==

)(114889.57324min 0cm I I y =?==

（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）

[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积11y x I 和惯性矩1x I ，1y I 并作出比较。

图=

解：124

a I x =

12

4

a I y =

0=xy I （y x ,为形心主惯性轴）

1200212122sin 2cos 2244

41a a a I I I I I I xy y x y x x =-++=--++=αα

1200212122sin 2cos 2244

41

a a a I I I I I I xy y x y x y =--+=+--+=αα

0002cos 2sin 2

11=-=+-=

ααxy y

x y x I I I I

结论：

1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；

2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。

[习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

（a ）

解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

)

(5.575146666)402400(201212]40200)2402400(40200121[4323mm I x =?-??+???-+??=)

(6.183146666203201212]40200)2202200(20040121[4323mm I y =??+???-+??=)(2592000002]40200)220

2200()2402400([4mm I xy -=???-?--=

3164.16

.1813466665.575146666)

259200000()2(22tan 0=--?-=

--=

y

x xy I I I α

'47523164.1arctan 200==α

'242600=α

Ix Iy Ixy

-0

I

x0=

7

-0

I

y0=

2

24)(2

12

0xy

y x y

x y x I I I I I I I +-±

+=

(b)

解：以20号槽钢（图I ）的下边缘为x 轴，左边缘为y 轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II 习题I-20(b) 长度单位:cm

图

A X Y Ai Ai X Y

形

i

ci

ci

Xci

Yci

c

c

I

10 64 I I

1

6 -15 全图

习题I-20（b ）

图形

A

i

i a

bi

I xci'

I yci'

I

xci

I yci Ixc iyci'

Ix ciyci

ta n2a0

a 0

Ix 0

I y0

I

1

981 1

65

I I

全

图

2

296

2

49

[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的x I ，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径mm r 100=。

解：圆的方程为：

222100=+y x

把y 轴的半径10等分，即mm 10=δ。过等分点，作x 轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y 坐标与x 坐标如下表所示。

习题I-21

i y

i x

i a

δ

i i x a δ2

5 5 10 24969 15 15 10 222454 25 25 10 605154 35 35 10 1147518 45 45 10 1808383 55 55 10 2526373 65 65 10 3210722 75 75 10 3720588 85 85 10 3806005 95

95

10

2818055 近似解i

i i

x x a I δ∑==

10

1

2

精确解16

10014159.3164

4

?=

?=r I x π 误差(%)

[习题I-22] 试证明：直角边长度为a 的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为72

4a I xy

=（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）

解: b

y b h z )

(-=

24

)(22

220220

0h b ydy y b b h ydy zdz dA yz I b b z A

yz =-=??????==??

??

72

23324)3)(3(2

222h b bh h b h b A h b I I yz

z y C C -=??-=-= 令a h b ==得:72

||4

a I C

C z y =.