平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系应用举例
例3-2 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索 绕过滑轮，一端连接在绞车上，另一端悬 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。
A
B
30 0
C
30 0
D
W
A
B
30 0
30 0
D
y
C
x
FCA 30 0
F 30 0 CB
C
F
' T
W
FT
Fx 0
总结：平面汇交力系合成与平衡的几何法
几何法解题步骤：1. 取研究对象；2. 画受力图； 3. 作力多边形；4. 选比例尺； 5. 解出未知数。
几何法解题不足： 1. 精度不够，误差大； 2. 作图要求精度高； 3. 不能表达各个量之间的函数关系。
平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。
平面汇交力系平衡的充分与必要条件，也 可解析地表达为：力系中各力在两个坐标 轴上投影的代数和分别为零。
§3-1-3平面汇交力系的平衡条件及应用
平面汇交力系平衡的充分和必要条件是： 该力系的合力等于零，即力系中各力的矢 量和为零：
n
FR Fi 0 i1
• 平面汇交力系平衡的几何条件：该力系
的力多边形是自身封闭的力多边形。
例 3–1 水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，
方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求
n 2 n 2
FR Fix Fiy 0 i1 i1
n
Fxi 0
i 1
n
Fyi 0
i 1
解析法求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：
① 选分离体，画受力图，分离体选取应 最好含题设的已知条件；
② 在力系平面内选坐标系； ③ 将各力向二坐标轴投影，并应运平衡方
B的反力。梁的自重不计
。
A C
a
a
解： (a)
B
30º
A
NA
D P 60º C
(b)
B
30º NB H
E
60º NB
P
K
30º NA
(c)
(1) 取梁AB作为研究对 象。
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出P、NA和NB的闭合力三角形。 (4) 解出：NA=Pcos30 =17.3kN， NB=Psin30 =10kN
F C B F Cc A3 o0 0 s F T 'c3 o0 0 s0
Fy 0
F CsA3 in 0 0 F T 's3 in 0 0 F T 0
FCA300kN FCB34.46kN
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束 感谢各位批评指导！
让我们共同进步
第二章--平面汇交力系
B
C
a
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向
有误，则应把受力图中力的指向改正过来
[力三角形见图] P
B
C
A
D
RA
RD
2．画力三角形。因为力系平衡所以力三角形 自行封闭,力的箭头首尾相接。如果不能满足 首尾相接的条件，说明原来假设的力的方向 有误，则应把受力图中力的指向改正过来 [力三角形见图]
力的多边形 自行封闭．
必要充分条件
设刚体上作用一平面汇交力系(图)。现按 力的多边形法则合成:
F4
F3
F1 F2
若第一个力的起点与最后一个力的终点恰好 互相连接而构成一个自行封闭的力多边形， 即表示力系的合力 R 等于零，则此力系为 平衡力系.
例 刚体上作用一平面汇交力系,五个力大小
相等,彼此夹72°角
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
RY = ∑FY = - 2750N
R 5000N
由于RX和RX都是负值， 所以合力只应在第三象限 α = 33.5 °
2.2平面汇交力系的平衡条件 及应用
1 平衡的几何条件:
要使平面汇交力 系成为平衡力系，
②求分力在坐标轴上的代数和:
RX = ∑FX RY = ∑FY
③合力的大小和方向用 R, 角度 α, β 表示 Y
RY β R
α
RX
X
Y
RY β R
平面汇交力系的平衡条件及例题
• 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，也 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，
可解析地表达为： 可解析地表达为：力系中各力在两个坐标 轴上投影的代数和分别为零。 轴上投影的代数和分别为零。
FR = ∑பைடு நூலகம்Fix + ∑ Fiy = 0 i =1 i =1
A
B
30 0
C
300
D
W
A
y
B
300
C
30 0
D
x
FCA FCB F
' T
300 300
C
W
FT
∑F
x
=0
0 ' T 0
FCB + FCA cos 30 + F cos 30 = 0
∑F
y
=0
0 ' T 0
FCA sin 30 − F sin 30 − FT = 0
FCA = 300kN
FCB = 346.4kN
n n 2 2
∑F
i =1
n
xi
=0
∑F
i =1
n
yi
=0
平面汇交力系应用举例
• 例3-2 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索
绕过滑轮，一端连接在绞车上，另一端悬 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。
§3-1-3平面汇交力系的平衡条件及应用
• 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是： 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：
平面汇交力系简析.
即：
Rx X1X2 X4 X
Ry Y1Y2 Y3Y4 Y
Rx X R y Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小： 方向：
R Rx2 Ry2 X2 Y2
tg Ry
Rx
∴
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
由 X , Y 正负号确定所在象限
作用点： 为该力系的汇交点
三、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
Rx X 0 Ry Y 0
R 0 Rx2 Ry2 0 为平衡的充要条件，也叫平衡方程
例：已知： F1=200N, F2=300N, F3=100N, F4=250N, 求
FA sin FC sin 45 F 0
FA 22.4 kN FC 28.3 kN
例题 已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力
A
解：
D
B
取节点 B 为研究对象，画受力图
600
AB 、BC 都是二力杆
300
C P
FBA
y
B
F2
60 0
30
x
0
FBC
F1
由平衡方程：
A
D
B
Fx 0
600
- FRA F1 cos 60 F2 cos30 0
300
Fy 0
C
P
FBA
y
B
F2
60 0
30
x
0
FBC
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件可以根据力的合力和力矩的平衡来描述。
下面是平面汇交力系的平衡条件：
1.力的合力平衡条件：平面上的力系处于平衡状态时，所有力在x轴和y轴方向的合力均为零。
即：
ΣFx=0（所有力在x轴方向的合力为零）
ΣFy=0（所有力在y轴方向的合力为零）
2.力矩平衡条件：平面上的力系处于平衡状态时，所有力对于任意选定的旋转中心（或称为力矩中心）的力矩合为零。
即：ΣM=0（所有力对于力矩中心的力矩合为零）
在力矩平衡条件中，可以选择合适的力矩中心。
常见的选择是使得其中一些力的力臂为零，从而简化计算。
力臂是力在力矩中心到力的作用线的垂直距离。
通过同时应用力的合力平衡条件和力矩平衡条件，可以解决平面汇交力系的平衡问题。
需要注意的是，平衡条件只适用于静态平衡，即系统中力和物体的位置不发生变化。
1/ 1。
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
第三章.平面力系的合成与平衡
各力首尾相接
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡
例4
已知：
系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。
用解析法，建图示坐标系。
F
x
0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fy F cos F Fx Fy
Fx cos F
Fx
x
O
Fx
F Fx2 Fy2
cos
Fy F
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 3）合力投影定理 平面汇交力系，由三个力组成的力多边形 合力投影定理建立了合力投影与各分力投影的关系
FRx Fix
当 x轴与 y 轴不是正交轴时 ：
F Fx Fy
力在坐标轴上的投影不等于力在这个轴上的分量。
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 2）力沿坐标轴的分解 当
Fx Fx
x y
y
Fy Fy
B
Fy
Fx F cos
Fy
A
β α
矢量和
θ
P
FNA 11.4kN FNB 10kN
F
FNB
F
θ P FNA
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 1）力在坐标轴上的投影 F力在 x 轴上的投影：
Fx F cosθ
Fy
Fx
F力在 y 轴上的投影：
Fy F cosβ
3 FR 2 FR1 F3 Fi i 1
平面汇交力系的平衡条件
F1
A
FR
B
F2
C
D F3
合力 FR 在x 轴上投影：
x a bdc
FRx ad ab bc dc
(b)
FRx F1x F2x F3x
推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面共点力系，可
得：
FRx =F1x+F2x+…+Fnx=∑Fx
平面汇交力系
3．用解析法求平面汇交力系的合力
17.32kN
ΣFx=0 F N - FTcos 600=0
FNA
O W
FN= FT cos600 =(17.32×0.5)kN=8.66kN
平面汇交力系
思考题
1 同一个力在两个互相平行的轴上的投影有何关系？如 果两个力在同一轴上的投影相等，问这两个力的大小是否一 定相等？
2 平面汇交力系在任意两根轴上的投影的代数和分别等 于零，则力系必平衡，对吗？为什么？
物体的受力分析
例2-6 一圆球重15kN，用绳索将球挂于光滑墙上，绳与 墙之间的夹角α=300,如图2-13a所示，求墙对球的约束反力
及绳索对圆球的拉力F T。
A
解 取圆球为研究对象，设直角坐
标系如图，列平衡方程。
B
o
W
FTA
ΣFy=0 F Tsin 600600
kN 0.866
（3）量得代表合力矢的长度，则FR的实 际值为
FR ＝2700N FR 的方向可由力的多边形图直接量出， FR 与F1的夹角为71º31＇。
平面汇交力系
二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系的平衡的必要与充分的几何
条件是：力的多边形自行封闭，或各力矢的矢 量和等于零。
平面汇交力系
第二章 平面汇交力系一、内容提要本章讲述了研究平面汇交力系的合成和平衡条件的两种方法：几何法和解析法。
1.求平面汇交力系的合力 (1) 几何法求合力。
根据力多边形法则求合力，即力多边形缺口的封闭边代表合力的大小和方向。
F R =ΣF合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
(2) 解析法求合力。
根据合力投影定理，利用力系中各分力在两个正交轴上的投影的代数和，来确定合力的大小和方向为()()2Y 2X 2RY 2X R F F F F F R ∑+∑=+=XY XRY tan F F F F R ∑∑==αα为合力F R 与x 轴所夹的锐角。
合力F R 的指向由ΣF Y 和ΣF X 的正负号来确定，合力的作用线通过原力系各力的汇交点。
2.平面汇交力系的平衡条件(1) 平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零，即F R =ΣF =0(2) 平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。
(3) 平衡的解析条件：平面汇交力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
即ΣF X =0 ΣF Y =0通过这两个独立的平衡方程，可求解出两个未知量。
3.力在坐标轴上的投影为F X =±F cosαF Y =±F sinα式中α为力F 与坐标轴x 所夹的锐角。
二、典型例题解析例 简易起重机如图2-1a 所示。
B 、C 为铰支座，钢丝绳的一端缠绕在卷扬机的点D 上。
杆件AB 、AC 及滑轮的自重不计，滑轮的半径也不计。
试求杆件AB 、AC 所受的力。
（空13行） 图2-1知识点：平面汇交力系的平衡条件及应用。
解 （1）取铰A 为研究对象。
杆AB 、AC 均为二力杆，可设为拉力。
由于A 处为定滑轮，故钢丝绳两端的拉力相等，都等于物体的重量W = 20kN 。
不计滑轮半径，则铰A 的受力图如图2-1b 所示。
（2）几何法求解作闭合的力多边形。
在选定比例尺后，先画已知力F T D 和W ，考虑到实际情况，F N C 应该为压力，所以应向上，且与水平成60°角。
第3章力系的平衡条件与平衡方程
第3章 力系的平衡条件与平衡方程3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。
力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即 110()0i n R i n O O ii F F M M F ==⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑平衡条件的解析式：11100()0nix i niy i n O i i F F M F ===⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面汇交力系：平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足()0O M F ≡∑物体在平面汇交力系作用下平衡方程：00x yF F ⎫=⎪⎬=⎪⎭∑∑例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。
其中AB 为吊车大梁，BC为钢索，A 处为固定铰支座，B 处为铰链约束。
已知起重电动机E 与重物的总重量为PF （因为两滑轮之间的距离很小，PF 可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为QF 已知角度30θ=。
求：1、电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力；2、分析电动机处于什么位置时。
钢索受力最大，并确定其数值。
解：1、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。
建立平衡方程 取A 为矩心。
根据()0A M F =∑sin 02Q P TB lF F x F l θ-⨯-⨯+⨯=222sin 2sin30P Q P Q P TB QlF x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+由xF =∑cos 0Ax TB F F θ-=2()cos303()2Q P P Ax Q F F x F x F F l l =+=+由yF =∑sin 0Ay Q P TB F F F F θ---+=122[()]2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l xF l =--+=--++-=-+由 2P TB QF x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P QF lF F F F l =+=+在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。
建筑力学大纲 知识点第三章 平面力系得平衡条件
第3章 平面力系的平衡条件3.1平面汇交力系的合成与平衡条件力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。
3.1.1 平面汇交力系合成的解析法设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。
按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影∑∑====ni yiRy ni xiRx F F F F 11y图3-2R F = cos RxRF F α=(3-1) cos Ry RF F β=式中α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。
3.1.2 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。
10nRx xi i F F ===∑10nRy yii F F===∑ (3-2)于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。
3.2平面力偶系的合成与平衡条件3.2.1 平面力偶系的合成应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。
∑==ni i M M 1(3-3)3.2.2 平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 10nii M M===∑ (3-4)3.3平面任意力系的合成与平衡条件3.3.1工程中的平面任意力系问题力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。
3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩如图3-7（a ）所示。
在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。
i ′图3-7由力12,,,n F F F '''L 所组成的平面汇交力系，可简化为作用于简化中心O 的一个力RF '，该力矢量∑==ni i RF F 1'(3-5)R F '称作平面任意力系的主矢。