Chapter3-稳态扩散问题-16
3.1.2 常用离散化方法
一般地说，对于给定的微分方程，可以用多种方法得到它的离散化方程。由于应变量在 节点之间的分布假设及推导离散化方程的方法不同，就形成了有限差分法、有限元法、有限 体积法或谱方法等不同类型的离散化方法。 1. 有限差分法（FDM） 有限差分法（Finite Difference Method，FDM） ，是历史上最早采用的计算机数值模拟方 法，至今仍被广泛运用。 基本思想是：将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，在每 个节点上， 将控制方程的导数用相应的差分表达式来代替， 从而在每个节点上形成一个代数 方程， 每个方程中包含了本节点及其附近一些节点上的未知值， 求解代数方程就获得了所需 的数值解。由于各阶导数的差分表达式可以从 Taylor 级数展开式来导出，该方法又称为建 立离散方程的 Taylor 展开法。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法， 数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是 Taylor 级数展开方法。其基本的差分 表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度， 后两种格式为二阶计算精度。 通过对时间和空间这几种不 同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分 的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分 为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，
3.2 一维稳态导热
3.2.1 有体积法概述
对于一个已经建立完物理和数学模型的传热或流体流动问题， 进行数值求解时， 一般需 要顺次完成三个步骤：第一步，计算区域离散化或称为网格生成；第二步，方程离散；第三 步，离散方程组求解。 1. 网格生成 （1）计算区域离散化的内容 区域离散实施过程： 先把计算区域分成许多互不重叠的控制容积（control volume, 或称为子区域） ，即计算 网格（grid）的划分；然后，确定每个子区域中节点的位置，及该节点所代表的控制容积。 使每一个节点都由一个控制容积所包围。 把节点视为控制容积的代表。一维和二维问题的计算网格如图 3.1 所示。 几何要素： ● 节点（node） ，需要求解的位置物理量的几何位置 ● 控制容积（control volume） ，应用控制方程的最小几何单位 ● 界面（face） ，规定了与各节点相对应的控制容积的分界面位置，通常用虚线表示； ● 网格线（grid line） ，联结相邻两节点而形成的曲线簇，通常用实线表示。 x 正方向为东（E, east） ，负方向为西（W, west） ；
第 3 章 稳态扩散问题的有限体积法
在过去二十余年中，CFD&NHT 得到了飞速的进步，新的数值处理方法不断问世，且原 有的方法不断被充实和完善。 在应用于传热和流体流动问题数值计算的众多方法中， 有限体 积法由于其物理意义明确、实施过程简便、数值特性优良而获得了特别广泛的应用。根据不 同的统计资料，世界上每年发表的 CFD&NHT 的学术论文中有 50%~75%是用有限体积法完 成的[1]，因此本书重点在于对 CFD&NHT 有限体积法的讨论。
3-2
配置点上令方程余量为 0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或 指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类 只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种 不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite） 多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用 的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维 看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参 元的应用也越来越广。 对于二维三角形和四边形电源单元， 常采用的插值函数为有 La grange 插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函 数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为： （1） 建立积分方程，根据变分原 理或方程余量与权函数正交化原理， 建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式， 这是有 限元法的出发点。 （2） 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区 域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作， 这部分工作量比较大， 除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外， 还要表 示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。 （3） 确定单元基函数， 根据单元中节点数目及对近似解精度的要求， 选择满足一定插值条件的插 值函数作为单元基函数。 有限元方法中的基函数是在单元中选取的， 由于各单元具有规则的 几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。 （4） 单元分析：将各个单元中的求解函数 用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进 行积分，可获得含有待定系数（即单元中各节点的参数值）的代数方程组，称为单元有限元 方程。 （5） 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定 法则进行累加，形成总体有限元方程。 （6） 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式， 分为本质边界条件 （狄里克雷边界条件） 、 自然边界条件 （黎曼边界条件） 、 混合边界条件 （柯 西边界条件） 。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条 件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。 （7） 解有限元方程： 根据边界条件修正的总体有限元方程组， 是含所有待定未知量的封闭方程组， 采用适当的数 值计算方法求解，可求得各节点的函数值。 优缺点：对不规则区域的适应性好。
3-1
不同的组合构成不同的差分格式。 差分方法主要适用于有结构网格， 网格的步长一般根据实 际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 优缺点：对复杂区域的适应性较差，数值解的守恒性难以保证。 2. 有限体积法（FVM） 有限体积法（Finite Volume Method, FVM）又称为有限容积法或控制容积法（Control Volume Method, CVM） 。 基本思想： 将计算区域分成许多互不重叠的控制容积， 使每一个节点都有一个控制容积 所包围；将守恒型的控制方程对每个控制容积积分，从而得出一组离散方程。其中的未知数 是网格点上的因变量的数值。 为求出控制体的积分， 需对界面上的值的变化规律及其一阶导 数的构成作出假设。 从积分区域的选取方法看来， 有限体积法属于加权剩余法中的子区域法； 从未知解的近 似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区域法属于有限体积法 的基本方法。 有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就 是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理， 如同微分方程表示因变量在无限小的控制体 积中的守恒原理一样。 有限体积法得出的离散方程， 要求因变量的积分守恒对任意一组控制 体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足，这是有限体积法吸引人的优点。有一 些离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体 积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言，有限体积法可视作 有限单元法和有限差分法的中间物。 有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律 （既插 值函数） ，并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间 如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制 体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法 中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需 要的话，可以对同一微分方程中不同的项采取不同的插值函数。 有限体积法在积分过程中需要对界面上的值的变化规律及其一阶导数的构成作出假设， 不同的假设形成了不同的格式。目前而言，扩散项多采用具有二阶截差的中心差分格式，因 而不同格式的区别主要表现在对流项的离散上。 优缺点：积分守恒对任意一组控制容积都满足，对整个计算区域也满足；离散方程的系 数物理意义明确； 对计算区域几何形状的适应性比有限差分法好。 大多数商用软件都采用这 一方法。 3. 有限元法（FEM） 有限元法（Finite Element Method, FEM）早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢 慢用于 CFD&NHT 的数值模拟。 基本思想： 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法， 其基本求解思想是把计算域划 分为有限个互不重叠的单元（二维情况下，单元多为三角形或四边形） ，在每个单元内，选 择一些合适的节点作为求解函数的插值点， 将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的 节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式， 借助于变分原理或加权余量法， 将微分方程 离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 在有限元方法中， 把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元， 在每个单元 内选择基函数， 用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解， 整个计算域上总体的基函数 可以看为由每个单元基函数组成的， 则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解 构成。 在河道数值模拟中， 常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹 法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为 多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算 单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来 划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格 式。 对于权函数，伽辽金（Galerkin）法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法 是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中， 先在计算域内选取 N 个配置点。令近似解在选定的 N 个配置点上严格满足微分方程，即在
扩散方程 稳态扩散与非稳态扩散.
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
第三章 固体中的扩散
d i G iQ iO dx dx
3-2 扩散热力学
一摩尔 i 组元原子扩散驱动力的表达式为：
d i Fi dx
式中负号表示驱动力与化学位下降的方向一致，也就是扩
散总是向化学位减小的方向进行。
3-2 扩散热力学
二、扩散定律的热力学说明
（一）原子迁移率 在化学位梯度的驱动下，i 组元原子在固体中的平均扩 散速度vi正比于驱动力Fi，即：
设原子的振动频率为，间隙原子最邻近的间隙位置
数为Z（即间隙配位数），则：
Zp Z exp( G
kT )
3-3 扩散机制和扩散激活能
由于 G E TS ，故有： Z exp( 因此： D Pd Pd Z exp(
2 2
S
k
) exp(
i i0 kT lnai i0 kT ln iCi
3-2 扩散热力学
1 d ln i d i kT ( )dCi Ci dCi J i Ci Bi kT ( 1 d ln i dCi ) Ci dCi dx d ln i dCi ) d lnCi dx
n1 C1d n2 C2d
dC d 其中： C 2 C1 dx dC 2 d 故： ( n1 n2 ) dx
因而： J Pd 2
dC dx
3-3 扩散机制和扩散激活能
扩散系数的表达式为：
D Pd
距离d 的平方成正比。
2
扩散系数与原子跳跃频率、跳跃方向几率 P和跳跃
vi Bi Fi
Bi为 i 组元原子在单位驱动力作用下的迁移速度，称为 原子迁移率。
3-2 扩散热力学
（二）扩散系数的表达式
河流水体中污染物扩散的稳态解河流水质模型
dC V Q(C 0 C ) S KCV Q,C0 dt
• S---通过其他途径进入和 反应器的污染物量 • K---衰减速度常数
S
V,C
Q,C
连续流完全混合反应器
第二节 污染物在水体中的扩散
二、河流水体中污染物扩散的稳态解
2. 一维模型 C
t Dx 2C x 2 C ux KC x
由此公式绘制的溶解氧沿程变化曲线即氧垂曲线
溶解氧浓度的最低点即临界点（氧亏值最大，变化速度
dD dt
为 0）
第二节 污染物在水体中的扩散
三、河流水质模型
• S-P模型 氧垂曲线
oxygen sag curve
临界点 critical point d D 0 dt
K：有机物降解速度常数；Ka：大气复氧常数 D：氧亏(水体中溶解氧不足量)；Kd：BOD衰减(耗氧)速度常数
Kd L Ka D
L：t时刻有机物的剩余生物化学需氧量，L0：初始时刻有机物的总生物化学需氧量
第二节 污染物在水体中的扩散
三、河流水质模型
• S-P模型
L L0 e
Kt
dD Kd L Ka D dt
C Em x
I
1
y
C Em y
I
1
z
C Em z
I1——质量通量； Em——分子扩散系数；
C——分子扩散所传递物质的浓度。
第二节 污染物在水体中的扩散
一、污染物在水体中的运动特征
2. 分散作用： ② 湍流扩散：河流水体的湍流仓中质点的各种状态 （流速、压力、浓度）的瞬时值相对于平均值的 随机脉动而导致的分散相像。脉动方向大小随机 变化，取 C 研究而非C。
材料科学基础重点总结 3 扩散
三材料的扩散扩散是物质中原子（分子或离子）的迁移现象，是物质传输的一种方式。
扩散的本质是原子依靠热运动从一个位置迁移到另一个位置。
是固体中原子迁移的唯一方式。
研究扩散一般有两种方法：表象理论—根据所测量的参数描述物质传输的速率和数量等；（宏观）原子理论—扩散过程中原子是如何迁移的。
（微观）3.1 扩散的分类1. 根据有无浓度变化自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。
(如纯金属或固溶体的晶粒长大-无浓度变化)互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩散。
（有浓度变化）2. 根据扩散方向下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。
上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。
固态扩散的条件1、温度足够高；2、时间足够长；3、扩散原子能固溶；4、具有驱动力：5、化学位梯度。
菲克第一定律稳态扩散：扩散过程中各处的浓度及浓度梯度不随时间变化（əC/ət=0，əJ/əx=0）菲克第一定律：在稳态扩散过程中，扩散通量J与浓度梯度成正比J为扩散通量，表示单位时间内通过垂直于扩散方向x的单位面积的扩散物质质量，其单位为kg/(m2s)或kg/(cm2s)。
D为扩散系数，其单位为m2/s；ρ是扩散物质的质量浓度，其单位为kg/m3。
式中的负号表示物质从高浓度向低浓度扩散的现象，扩散的结果导致浓度梯度的减小，使成份趋于均匀。
菲克第二定律非稳态扩散——各处的浓度和浓度梯度随时间发生变化的扩散过程。
（əC/ət≠0, əJ/əx≠0）。
大多数扩散过程是非稳态扩散过程，某一点的浓度是随时间而变化的菲克第二定律：扩散过程中，扩散物质浓度随时间的变化率，与沿扩散方向上物质浓度梯度随扩散距离的变化率成正比。
3.2 置换式固溶体中的扩散---互扩散与柯肯达尔效应互扩散——柯肯达尔效应柯肯达尔最先发现互扩散，在α黄铜—铜扩散偶中，用钼丝作为标志，785℃下保温不同时间后，钼丝向黄铜内移动，移动量与保温时间的平方根成正比，Cu-黄铜分界面黄铜侧出现宏观疏孔。
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
第三章 扩散
22
2. 结深 如果扩散杂质与硅衬底原有杂质的导电类型不同，在两 种杂质浓度相等处会形成p-n结。 若CB为硅衬底原有的背景杂质浓度，根据C(xj, t)=CB，得 到结的位置xj：
CB x j = 2 Dt erfc = A Dt Cs
−1
其中A是仅与CS/CB有关的常数，二者的关系如下图所示。 xj与扩散系数D和扩散时间t的平方根成正比； D与温度T是指数关系，所以在扩散过程中，温度对扩散深 度和杂质分布的影响较大。
C (0, t ) = Cs
假定杂质在硅内的扩散深度远小于硅片的厚度，则另一个边界 条件为：
19
C (∞, t ) = 0
在扩散开始时，初始条件应为：
C ( x,0) = 0,
x>0
根据上述的边界条件和初始条件，可求出恒定表面源扩散的杂 质分布情况：
x x C ( x, t ) = Cs 1 − erfc = Cs erfc 2 Dt 2 Dt
16
假设在小体积元∆v=∆x∆s内的杂质分布是均匀的。 在t时刻，体积元内的杂质浓度为C(x, t)，在t+∆t时刻杂质浓 度为C(x, t+∆t) 。经过∆t时间，该体积元内杂质变化量为
C ( x, t )∆s∆x − C ( x, t + ∆t )∆s∆x = −[C ( x, t + ∆t ) − C ( x, t )]∆s∆x
∂C ( x, t ) J = −D ∂x
扩散流密度 J 定义为单位时间通过单位面积的杂质(粒子)数。 11
D是扩散系数，D的单位为cm2/s。 杂质的扩散方向是使杂质浓度梯度变小。如果扩散时间足 够长，则杂质分布逐渐变得均匀。 当浓度梯度变小时，扩散减缓。 D依赖于扩散温度、杂质的类型以及杂质浓度等。
stable diffusion规则
稳态扩散规则是指在一定条件下，物质在介质中自由扩散的过程符合一定的规律和规则。
稳态扩散规则是物质传输领域的基础理论之一，对于理解及解决物质在空间中传输和扩散的过程具有重要的理论指导和应用价值。
本文将从稳态扩散规则的基本概念、适用条件、数学模型以及实际应用等方面进行详细阐述，以期帮助读者全面了解稳态扩散规则，并在实际工作中做出合理的应用。
一、稳态扩散规则的基本概念稳态扩散规则是描述物质在介质中自由扩散的一种规律，是描述扩散过程的基本理论。
在稳态扩散过程中，物质从高浓度区域传输到低浓度区域，直到达到均匀分布的状态。
稳态扩散规则认为扩散速率与浓度梯度成正比，扩散的总通量与浓度梯度成正比。
在不考虑外界因素扰动的情况下，稳态扩散规则可以有效描述物质在介质中的传输过程。
二、稳态扩散规则的适用条件稳态扩散规则适用于物质在均质介质中的自由扩散过程。
其中，均质介质是指介质的性质在空间上是均匀分布的，在这样的介质中，物质的扩散过程可以被理想化为观察微观尺度上的分子移动。
稳态扩散规则还适用于扩散过程中不考虑其它外部干扰的理想化情况，例如不考虑温度、压力、湍流等外部因素的影响。
三、稳态扩散规则的数学模型稳态扩散规则可以用数学模型进行描述。
经典的稳态扩散模型是菲克定律，它可以用数学方程表示为：\[J = -D \frac{dC}{dx}\]其中，J表示单位面积上的物质通量，D表示扩散系数，C表示浓度，x表示扩散方向。
菲克定律是描述稳态扩散规则的基本方程，它将扩散通量与浓度梯度联系起来，揭示了浓度梯度对于扩散通量的影响。
除了菲克定律外，还有一些扩散模型可以用于描述不同情况下的稳态扩散规则，例如对于非均质介质、非线性扩散等情况，可以采用不同的数学模型来描述。
四、稳态扩散规则的实际应用稳态扩散规则在实际应用中具有广泛的意义。
在环境保护领域，稳态扩散规则可以用于描述大气污染物在大气中的扩散过程，为评估和预测大气污染物的扩散范围提供理论依据。
第五章对流扩散问题(一维稳态对流扩散问题)
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
对控制方程在P点的控制容积积分后，得到如下方程
(u ) e (u ) w ( d d ) e ( )e dx dx
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
所以，当 F 2D，即意味着两节点对其间变量分布 的影响特性是受扩散控制的，当 F 2D时，即意味 着两节点对其间变量分布的影响特性是受对流控 制的。对于前者，两节点之间的变量分布偏离线 性分布，但尚不显著，而对于后者两节点之间的 变量分布则严重偏离线性分布。
P<<-1
P=-1
P=0
P=1 P>>1
0
0 L/2 L
第五章 对流扩散问题———一维稳态对流扩散问题
说明
由图很容易看出，只有在贝克列数为零的极限条 件下，即对纯扩散问题或导热问题，变量在任意 两点之间的变化才是线性的。即在没有流动的情 况下，我们假定变量在任意两个节点之间的线性 分布才是可以接受的。 当贝克列数不为零时，即存在对流过程时，变量 在任意两点之间的变化是偏离线性的。贝克列数 的绝对值越大，这种偏离越严重。所以我们在用 控制容积法推导差分方程时，假定任意两个节点 之间变量呈线性变化显然是有问题的。
e P e E
如果 Fe 0 如果 Fe
0
同样
w W
w P
如果 Fw 0
如果 Fw 0
为了能写出差分方程，我们定义一个新的算子，如下：
A, B AMAX( A, B)
传热与传质学稳态分子扩散课件
散通量、浓度梯度和扩散面积之间的关系计算得出。
分子扩散系数的影响因素
03
分子扩散系数受到物质分子大小、形状、质量、扩散介质的粘
度、温度和压力等因素的影响。
传热与传质学中的分子扩散实验研究
实验目的
通过实验研究，验证分子扩散原理，测定物质在不同条件下的分 子扩散系数，为实际应用提供理论根据。
实验方法
常用的实验方法包括稳态池法、瞬态法、示踪剂法等，根据不同 的实验要求选择合适的实验方法。
供理论支持。
PART 02
稳态分子扩散原理
REPORTING
稳态分子扩散的数学模型
扩散系数
描述物质在单位浓度梯度下扩散通量 与扩散系数之间的关系。
菲克定律
扩散系数与扩散通量
扩散系数是物质特性和温度的函数， 而扩散通量则与扩散系数和浓度梯度 有关。
描述稳态分子扩散过程中，扩散通量 与浓度梯度之间的关系。
稳态分子扩散的物理过程
分子随机运动
物质分子在热运动中不断产生碰 撞和位移，形成扩散过程。
浓度梯度
由于物质散布不均匀，形成浓度梯 度，促使物质从高浓度区域向低浓 度区域扩散。
分子间的相互作用
分子间的相互作用力影响扩散过程 ，不同物质间的相互作用力不同， 导致扩散系数存在差异。
稳态分子扩散的应用场景
分子扩散是物质传递的基本方式之一，在自然界和工程领域中广泛存在，对于传热 与传质过程具有重要意义。
分子扩散研究有助于深入理解物质传递的本质和规律，为相关领域的研究和应用提 供理论支持。
分子扩散研究对于解决实际问题，如能源、环境、生物医学等领域的传热传质问题 ，具有重要的应用价值。
当前研究的不足与展望
扩散系数
第3章-固体中的扩散
3.1.1 扩散第一定律
J D C x
上式称为菲克第一定律或称扩散第一定律。式中，J为扩散通量，
表示扩散物质通过单位截面的流量，单位为物质量/m2.s；x为扩散距离； C为扩散组元的体积浓度，单位为物质量/m3； C 为/ x沿x方向的浓度 梯度；D为原子的扩散系数，单位为m2/s。负号表示扩散由高浓度向低 浓度方向进行。
解出积分常数
C2
A1 2C1A1CA2 2, A2
C1
C2 2
故两端无限长特解为
C
C1 C2 2
C1 C2 2
erf 2
x Dt
（2）半无限长物体的扩散
将碳浓度为C0的低碳钢放入含有渗碳介质的渗碳炉中在一定温度 下渗碳，渗碳温度通常选择在900～930℃范围内的一定温度。渗碳开 始后，零件的表面碳浓度将很快达到这个温度下奥氏体的饱和浓度Cs （如927℃时，为1.3%C），随后表面碳浓度保持不变。随着时间的 延长，碳原子不断由表面向内部扩散，渗碳层中的碳浓度曲线不断向 内部延伸，深度不断增加。将坐标原点x＝0放在表面上，x轴的正方 向由表面垂直向内，即碳原子的扩散方向。列出此问题的初始和边界 条件分别为
的能垒太高，可能性不大。
为了降低原子扩散的能垒，曾考虑有n个原子参与换位，如图。这 种换位方式称为n-换位或称环形换位。（a）和（b）给出了面心立方 结构中原子的3-换位和4-换位模型，参与换位的原子是面心原子。 （c）给出了体心立方结构中原子的4-换位模型，它是由两个顶角和 两个体心原子构成的换位环。由于环形换位时原子经过的路径呈圆形， 对称性比2-换位高，引起的点阵畸变小一些，扩散的能垒有所降低。
设间隙原子周围近邻的间隙数（间隙配位数）为z，间