FFT的基2算法简介..
基2fft算法
基2FFT算法一、什么是基2FFT算法基2FFT算法（Fast Fourier Transform）是一种用于将一个离散信号变换成其频域表示的算法。
它通过将离散信号分解为多个较小的离散信号，并对这些信号进行递归处理，最后合并得到频域表示。
基2FFT算法是最常用的FFT算法之一，其时间复杂度为O(nlogn)。
二、基2FFT算法的原理基2FFT算法的核心思想是分治法。
根据离散信号的长度，将信号分解为两个较小的子信号，然后对这两个子信号分别进行FFT变换。
再将得到的两个子信号的频域表示合并，得到整个信号的频域表示。
具体过程如下：1.判断信号长度是否为1，如果是，则直接返回该信号作为其频域表示。
2.将信号分为偶数索引和奇数索引两个子信号。
3.对这两个子信号分别进行FFT变换，并得到它们的频域表示。
4.合并两个子信号的频域表示，得到整个信号的频域表示。
基于分治法，基2FFT算法可以将信号的长度减半，并通过递归的方式处理子信号，直到信号长度为1，再进行合并得到整个频域表示。
三、基2FFT算法的实现下面是基于伪代码的基2FFT算法的实现：function FFT(signal):n = length(signal)if n == 1:return signalelse:even = FFT(signal[0::2])odd = FFT(signal[1::2])for k = 0 to n/2-1:t = odd[k] * exp(-2*pi*i*k/n)signal[k] = even[k] + tsignal[k + n/2] = even[k] - treturn signal四、基2FFT算法的应用基2FFT算法在信号处理、图像处理、数字滤波器等领域具有广泛的应用。
以下是一些基于基2FFT算法的应用示例：1.频谱分析：将时间域信号转换为频域信号，可以分析信号的频率分量及其强弱关系，从而实现信号的频谱分析。
时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT分析与算法实现
离散时间信号的基2快速傅里叶变换FFT （时间抽取）蝶形算法实现一、一维连续信号的傅里叶变换连续函数f(x)满足Dirichlet （狄利克雷）条件下，存在积分变换：正变换：2()()()()j ux F u f x e dx R u jI u π+∞--∞==+⎰ 反变换：2()()j ux f x F u e du π+∞-∞=⎰其中()()cos(2)R u f t ut dt π+∞-∞=⎰，()()sin(2)I u f t ut dt π+∞-∞=-⎰定义幅值、相位和能量如下：幅度：1222()()()F u R u I u ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 相位：()arctan(()/())u I u R u ϕ= 能量：22()()(E u R u I u =+）二、一维离散信号的傅里叶变换将连续信号对自变量进行抽样得到离散信号（理想冲击抽样脉冲），利用连续信号的傅里叶变换公式得到离散时间傅里叶变换DTFT ；再利用周期性进行频域抽样，得离散傅里叶变换DFT （详情参考任何一本《数字信号处理》教材）。
DFT 变换如下：正变换：12/0()(),0,1,2,1N j ux Nx F u f x eu N π--===-∑。
反变换：12/01()(),0,1,2,1N j ux Nu f x F u ex N Nπ-===-∑。
DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换，因为计算机等数字设备只能存储和处理离散数据（时域、频域）。
因直接计算DFT 的计算量大（与变换区间长度N 的平方成正比，当N 较大时，计算量太大），所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
直到1965年发现了DFT 的一种快速算法（快速傅里叶变换，即FFT ）以后，情况才发生了根本的变化。
FFT 有时间抽取和频率抽取两种，下面介绍时间抽取FFT 。
三、时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT令2j NN W eπ-=，则2jkm km NNWeπ-=称为旋转因子，把DFT 正变换改写为：1[][],0,1,1N km N k F m f k W m N -===-∑将函数记作x ，变换后为X ，则为：10[][],0,1,1N kmN k X m x k W m N -===-∑时间抽取的FFT 算法利用了旋转因子的三个性质：周期性、对称性和可约性。
基2fft旋转因子
在快速傅里叶变换（FFT）中，旋转因子是一个重要的概念。
旋转因子通常用于在FFT算法中实现更高效的计算。
旋转因子在FFT算法中的使用可以减少计算量和存储需求，从而提高算法的效率。
基2FFT算法是一种常用的FFT算法，它使用二进制表示的旋转因子来进行计算。
基2FFT算法使用二进制表示的复数表示序列，每个复数表示一个采样点。
在基2FFT算法中，每个复数的相位可以表示为2的幂次方，从而可以通过旋转因子来快速计算傅里叶变换。
旋转因子在基2FFT算法中的具体应用如下：
1. 选择一个旋转因子，通常是2的幂次方，用于表示每个复数的相位。
2. 将输入序列按照基2旋转因子的幂次方进行分组，每组包含相同数量的采样点。
3. 对每组采样点进行FFT计算，得到一组复数结果。
4. 将每组复数结果按照旋转因子的逆序进行排列，得到最终的傅里叶变换结果。
通过使用旋转因子，基2FFT算法可以在计算过程中减少乘法和加法运算的次数，从而提高了算法的效率。
此外，旋转因子还可以减少存储需求，因为每个复数只存储一次，而不是多次重复存储。
在实际应用中，旋转因子的选择通常根据具体的应用场景和数据特点来确定。
不同的旋转因子可能会对算法的效率产生不同的影响。
因此，选择合适的旋转因子对于基2FFT算法的性能至关重要。
总之，旋转因子是FFT算法中的重要概念之一，它在基2FFT算法中用于实现更高效的计算。
通过选择合适的旋转因子，可以减少计算量和存储需求，从而提高算法的效率。
在实际应用中，需要根据具体的应用场景和数据特点来确定合适的旋转因子。
按时间抽取的基2FFT算法分析
按时间抽取的基2FFT算法分析基2FFT算法是一种快速傅里叶变换算法，它通过将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了傅里叶变换的效率。
基2FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分成长度为n/2的两个子序列，并分别做傅里叶变换。
然后将两个子序列的傅里叶变换结果合并起来，得到原始序列的傅里叶变换结果。
具体来说，基2FFT算法的步骤如下：1.如果输入序列长度为1，则返回输入序列作为傅里叶变换结果。
2.将输入序列按奇偶位置分为两个子序列。
3.对两个子序列分别递归地应用基2FFT算法，得到它们的傅里叶变换结果。
4.根据蝶形算法，将子序列的傅里叶变换结果合并起来，得到原始序列的傅里叶变换结果。
基2FFT算法通过不断将序列分成两半的方式，将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)。
在每一层递归中，需要进行O(n)次计算，而递归的层数为logn，因此总的时间复杂度为O(nlogn)。
基2FFT算法的关键之一是蝶形算法。
蝶形算法是一种合并子序列傅里叶变换结果的方法。
在每一层递归中，对于每个位置k，需要计算一个长度为n的序列上的k点DFT。
根据蝶形算法，可以将这个计算分成两个部分：计算序列中偶数位置上的点DFT和计算序列中奇数位置上的点DFT，并通过一些乘法和加法操作合并起来。
这样做可以大大减少计算量，提高计算效率。
基2FFT算法还可以通过多线程或并行处理来进一步提高效率。
由于基2FFT算法具有递归结构，可以将不同的递归层分配给不同的线程或处理器来并行进行计算，从而加快计算速度。
基2FFT算法在数字信号处理、图像处理、通信系统和科学计算等领域有着广泛的应用。
它的高效性和快速运算速度使得它成为处理大规模数据的重要工具。
综上所述，基2FFT算法通过将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了傅里叶变换的效率。
它采用递归分治的思想，通过分解和合并操作来实现傅里叶变换的计算。
按时间抽选的基2-FFT算法
X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7)
因为4点 还是比较麻烦， 因为 点DFT还是比较麻烦，所以再继续分解。 还是比较麻烦 所以再继续分解。 若将N/2(4点)子序列按奇 偶分解成两个 点 子序列按奇 偶分解成两个N/4点(2点)子 子序列按奇/偶分解成两个 若将 点 点子 分解成奇、 序列。即对将x 和 序列。即对将 1(r)和x2(r)分解成奇、偶两个 分解成奇 偶两个N/4点(2点) 点 点 点的子序列。 点的子序列。
n=0
nk x ( n )W N
=
N / 2 −1 r =0
2 x ( 2r )W N rk + ∑
N / 2 −1 r =0
( x ( 2r + 1)W N2 r +1) k ∑
=
N / 2 −1 r =0
2 k x1 (r )WN rk + WN ∑
N / 2 −1 r =0
2 x2 (r )WN rk ∑
后半部分
k = X 1 (k ) − W N X 2 (k )
k = 0,1, L , N 2 − 1
k X (k ) = X 1 (k ) + W N X 2 (k )
前半部分
k X ( N / 2 + k ) = X 1 (k ) − W N X 2 (k )
k = 0,1, L , N 2 − 1
N=8点的直接 点的直接DFT的计算量为： 的计算量为： 点的直接 的计算量为 复乘： 复乘：N2次 = 64次 次 复加： 复加：N(N-1)次 = 8×7=56次 次 × 次
X(k) = X1(k) +Wk X2(k) N X(k + N/ 2) = X1(k) −W X2(k)
4.3 按频率抽选的基-2FFT算法
k 0,1
0 0 X ( 2 ) X ( 0 ) x ( 0 ) W W x ( 1 ) x ( 0 ) x ( 1 ) 4 4 2 24 4 4 0 1 0 X ( 6 ) X ( 1 ) x ( 0 ) W W x ( 1 )[( x 0 ) x ( 1 ) ] W 4 4 2 2 4 4 4 N
W
-1
0 N
x2(0) x2(1) x2(2) x2(3)
W
-1 -1 -1
1 N
2 N
3 NWW来自X2(3)=X(7)——电子信息工程
N /2仍为偶数，进一步分解：N /2
N /4
() xn () xnN (/ 4 ) xn 3 1 1 N n 0,1 ,..., 1 n xn () [ xn () xnN (/ 4 ) ] W 4 4 1 1 N / 2
图4-14 按频率抽选蝶形运算流图符号
——电子信息工程
x(0) x(1) x1(0) x1(1) x1(2) x1(3) N/2点 DFT X1(0)=X(0) X1(1)=X(2) X1(2)=X(4)
x(2)
x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
X1(3)=X(6)
X2(0)=X(1) N/2点 DFT X2(1)=X(3) X2(2)=X(5)
——电子信息工程
4 .3 按频率抽选的基-2FFT算法
——电子信息工程
一、 DIF-FFT 算法原理
设序列点数N=2L，L为整数。
基2FFT算法分析的介绍
快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT 的出现和发展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。
DFT 的定义式为)(k X =)()(10k R W n x N N n knN∑-= 在所有复指数值knN W 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N 次复数乘法和N －1次复数加法。
算出全部N 点)(k X 共需2N 次复数乘法和)1(-N N 次复数加法。
即计算量是与2N 成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。
N W 因子具有以下两个特性，可使DFT 运算量尽量分解为小点数的DFT运算：（1） 周期性：k N n N kn N nN k N W W W )()(++== （2） 对称性：k N N k NW W -=+)2/(利用这两个性质，可以使DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子：求当N ＝4时，X(2)的值)()]3()1([)]2()0([)()]3()1([)]2()0([)3()2()1()0()()2(04240464442404324对称性－＝周期性W x x x x W x x W x x W x W x W x W x W n x X n n +++++=+++==∑=通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。
按时间抽选的基2FFT算法
按时间抽选的基2FFT算法基2FFT算法（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种高效的算法，用于在计算机上计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）。
它的核心思想是利用分治策略和递归操作，在O(nlogn)的时间复杂度下完成离散傅里叶变换。
基2FFT算法的关键步骤如下：1. 将输入的序列划分为两个子序列：偶数位置和奇数位置上的元素分别组成两个子序列。
2. 对这两个子序列分别进行离散傅里叶变换，得到两个新的子序列。
3. 将两个新子序列的元素按照原始顺序交替排列，得到最终的结果。
基于以上步骤，可以利用递归操作来实现基2FFT算法。
具体的实现过程如下：1. 如果输入序列的长度为1，则不需要进行任何操作，直接返回该序列作为结果。
2. 如果输入序列的长度大于1，则按照上述步骤进行分割和计算。
3. 首先将输入序列分为偶数位置和奇数位置上的元素组成的两个子序列。
4. 对这两个子序列分别递归调用基2FFT算法，得到两个新的子序列。
5. 将两个新子序列的元素按照原始顺序交替排列，得到最终的结果。
基2FFT算法的时间复杂度分析如下：假设输入序列的长度为n，则每一层递归的时间复杂度为O(n)，总共有logn层递归。
因此，基2FFT算法的总时间复杂度为O(nlogn)。
基2FFT算法在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。
它可以高效地计算离散傅里叶变换，将时域信号转换为频域信号，从而实现信号分析、频谱分析和频域滤波等操作。
同时，基于基2FFT算法的快速傅里叶变换还能够应用于多项式乘法、高效计算卷积等问题的求解。
总之，基2FFT算法是一种高效的离散傅里叶变换算法，通过利用分治策略和递归操作，能够在O(nlogn)的时间复杂度下完成计算。
它在信号处理和图像处理等领域有着重要的应用价值。
基2FFT算法（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的一种高效计算方法。
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x ( r ) W x ( r )W x ( r ) W x ( r ) W W x ( r ) W x ( r ) x (2 r ) W x (2 1)W e W W x (r re ) W x ( r ) W
x ( r ) W x ( r )W X (k ) x ( r )W W x ( r )W
FFT基 2 算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT( 简称DIT-FFT) 和 频域抽取法FFT(简称DIF―FFT)。
一、 时域抽取法基2FFT（DIT-FFT）
时域抽取法FFT的算法思想及实现过程： 将序列 x(n) 按n为奇、偶数分为 x1(n)、 x2(n) 两组序列；用 2 个
N/2点DFT来完成一个N点DFT的计算。
r 0,1, 1 N 2 1 r 0,1, N r 0,1, 2N 1 r 0,1, 2 1 N 2 1 r 0,1, N r 0,1, 2 1
基2FFT算法
(2)用N/2点X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N点DFT X(k)
x (2r )W x (2r 1)W x (2 r ) W x (2 r 1) W x (2 r ) W x (2 r 1) W X (k ) x ( n ) W x ( n ) W )W x (2 r 1)W x(2r
NN m m [W [W W W N N ] ]
2 j m m m N m N N N N m mm 2 NN N
N m W W W N
[
W
m WN
不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的DFT，并利用旋转
因子的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
基2FFT算法
基2FFT算法
直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 1.直接计算DFT 长度为N的有限长序列x(n)的DFT为：
kn X (k ) x(n )WN , k 0,1, , N 1 n 0 N 1
考虑x(n)为复数序列 的一般情况，对某一 个k值，直接按上式 计算X(k)值需要N次 复数乘法、(N-1)次复 数加法。
N / 2 1 1 n n N / 2 n n 2 kr k (2 r 1) N / 2 1 N / 2 1 N / 2 1 N / 2 1 N / 2 1 N / 2 1 N N 2 kr k (2 r 1) 2 kr k (2 r 1) k (2 r 1) kn kn r 0 r 0 2 kr N N N N N N N N r1 0 Nr/ 20 1 N /2 n r 0 r 0 2 r 0 r 0 2 kr kn j kr N / 2 1 N / 2 1 N /2 1 /2 N /N 2 11 N1 N N 2 N k N / 2 2 kr j 2 2 kr / 2 1 N /1 2 1 2 kr 2 kr 2 kr k r 0 k 2 2N kr Nkr k ( 2 r 1) 2 r 0 2 1 N N 1 N N 1 N N r 0 N 2 N 2 N r 0 r 0 r 0 r 0 r 0 r 0 r 0 N / 2 1 N / 2 1 k 2 kr N / 21 N / 21 kr N k k 1 2 Nkr 1 N /2 2 N /2 1 N r 0 rN 0 r 0 r 0
kn kn X (k ) x (n )WN x ( n ) W N kn kn X ( k ) x ( n ) W x ( n ) W kn kn 奇数 n 偶数 n kn kn N N X (k ) X ( x ( n ) W x ( n ) W k ) x ( n ) W x ( n ) W N N N n nN
W e
2 j 2 kr 2 kr N N /2
X (k ) W X 2 (k )
注意：这里的k的取值范围为0，1，…，N-1
基2FFT算法
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 W
k k N 2 N 2 k N 2 k k 1 N 2 1 N 2 k 1 N 2
k N N 2 k, X(k)又可表示为: WN
2、减少运算量的思路和方法
思路： N 点 DFT 的复乘次数等于 N2 。把 N 点 DFT 分解为几个
较短的 DFT ，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子 WmN 具有周期性和对称性。
基2FFT算法 方法：
分解N为较小值：把序列分解为几个较短的序列，分别计算
其DFT值，可使乘法次数大大减少；
利用旋转因子WNk的周期性、对称性进行合并、归类处理，
lN )
以减少2 DFT 的运算次数。 2
周期性： e W W
N
j
m
Hale Waihona Puke mlN m N N eW
j
( mlN ) mlN N N
e e
2 2 j j ( mm lN ) N N
W e
m m NN m m 对称性： W W W W NN NN NN 3、FFT算法思想 m m mm 22 W W W W NN NN
设序列x(n)的长度为N，且满足： N 2 M ,
M 为自然数
N (1) 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
｛
x1 ( r ) x(2r ), x1 ( r ) x(2r ), x1 ( r ) x(2r ), x2 ( r ) x(2r 1), x2 ( r ) x(2r 1), x2 ( r ) x(2r 1),