第五章第四讲对称矩阵特征值和特征向量的性质

⎛ λ1 ⎜ , pn ) ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λn ⎠
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定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）
⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ [ξ 3 ,η2 ] 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ η2 = ξ 2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = ξ 3 − η2 = ⎜ 1 ⎟ [η2 ,η2 ] 2⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 此时ξ1⊥η2 ， ξ1⊥η3 ，η2⊥η3 ．
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单位化：
⎛ −1 ⎞ ξ 1 = ⎜ −1 ⎟ 当 λ1 = −2时，对应的特征向量为 ； ⎜ ⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ p1 = ⎜ −1 ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 当 λ2 = λ3 = 1 时，对应的特征向量为 η2 = ⎜ 1 ⎟ , η3 = 2 ⎜ 1 ⎟. ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ p2 = ⎜ 1 ⎟ , p3 = 6 ⎜ 1 ⎟ 2⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ 0⎠ ⎝ ⎝ ⎠
说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．
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二、对称矩阵正交对角化
定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = PTAP = Λ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7）
n
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三、小结
1．对称矩阵特征值的性质 2．对称矩阵特征向量的性质 3．对称矩阵2， λ2 = λ3 = 1 ．
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当 λ1 = −2 时， 解方程组 (A + 2E) x = 0． ⎛ −1 ⎞ ⎛ 2 −1 1 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A + 2 E = ⎜ −1 2 1 ⎟ ~ ⎜ 0 1 1 ⎟，得基础解系 ξ1 = ⎜ −1 ⎟． ⎜ 1 1 2⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 当 λ2 = λ3 = 1 时， 解方程组 (A−E) x = 0． ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ −1 −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 −1 ⎞ r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A − E = ⎜ −1 −1 1 ⎟ ~ ⎜ 0 0 0 ⎟ ，得 ξ 2 = ⎜ 1 ⎟ , ξ 3 = ⎜ 0 ⎟ ． ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1 1 −1 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −1 ⎞ ξ 1 = ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟； 当 λ1 = −2时，对应的特征向量为 ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ξ2 = ⎜ 1 ⎟ , ξ3 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. 当 λ2 = λ3 = 1 时，对应的特征向量为 ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
显然，必有ξ1⊥ξ2 ， ξ1⊥ξ3 ，但ξ2⊥ξ3 未必成立． 于是把 ξ2, ξ3 正交化：
Λ 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.
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⎛ 0 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 1 ⎟ ，求正交阵 P，使P−1AP = Λ对角阵. 例1 设 ⎜ 1 1 0⎟ ⎝ ⎠
解 因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化．
−λ | A − λ E |= −1 1 −1 −λ 1 1 1 = − (λ − 1)2 (λ + 2) −λ
⎛ −2 0 0 ⎞ ⎛ −1 −1 1 ⎞ 令 P = (ξ , ξ , ξ ) = ⎜ −1 1 0 ⎟ ，则 P −1 AP = Λ = ⎜ 0 1 0 ⎟ . 1 2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 1 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 问题：这样的解法对吗？
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推论：设 A 为 n 阶对称阵，λ 是 A 的特征方程的 k 重根，则
• •
矩阵 A −λΕ 的秩等于 n − k， 恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 λ 对应．
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对称阵 A 对角化的步骤为： 1. 求出 A 的所有各不相同的特征值 λ1, λ2, …, λs ，它们的重 数依次为k1, k2, …, ks （k1 + k2 + … + ks = n）． 2. 对每个 ki 重特征值 λi ，求方程组 | A−λi E | = 0 的基础解 系，得 ki 个线性无关的特征向量． 把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量． 因为k1 + k2 + … + ks = n ，总共可得 n 个两两正交的单位 特征向量． 3. 这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有 P −1AP = Λ ．
⎛ 1 0⎞ ⎛1 0 ⎞ n Λ=⎜ Λ =⎜ ⎟ ⎟ 0 3n ⎠ 0 3⎠ ⎝ ⎝ 下面求满足 P −1AP = Λ 的可逆矩阵 P ．
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下面求满足 P −1AP = Λ 的可逆矩阵 P ． 当 λ1 = 1 时， 解方程组 (A−E) x = 0 ．
⎛ 1 −1 ⎞ r ⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 1⎞ A− E = ⎜ ~⎜ p = ⎟ ⎟ −1 1 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ，得基础解系 1 ⎜ 1 ⎟． ⎝ ⎝ ⎠
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定理：设 λ1 和 λ2 是对称阵 A 的特征值， p1, p2 是对应的特 征向量，如果 λ1 ≠ λ2 ，则 p1, p2 正交．（P.124定理6） 证明： A p1= λ1 p1， A p2= λ2 p2 ， λ1 ≠ λ2
λ1 p1T = (λ1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A （A 是对称阵） λ1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (λ2 p2 ) = λ2 p1T p2 (λ1 − λ2) p1T p2 = 0 因为λ1 ≠ λ2 ，则 p1T p2 = 0，即 p1, p2 正交．
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可逆矩阵 P ，满足 P −1AP = Λ （对角阵）
?
AP = PΛ 矩阵 P 的 列向量组 线性无关 Api = λi pi (i = 1, 2, …, n)
A的 特征值 对应的 特征向量
(A−λi E) pi = 0
其中 A( p1 , p2 ,
, pn ) = ( p1 , p2 ,
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⎛ 2 −1 ⎞ 例2 设 A = ⎜ ⎟ ，求 An . ⎝ −1 2 ⎠
分析： 数学归纳法 因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化．
2−λ | A − λ E |= −1 −1 = (2 − λ )2 + 1 = (λ − 1)(λ − 3) 2−λ
求得 A 的特征值 λ1 = 1， λ2 = 3．
当 λ2 = 3 时， 解方程组 (A−3E) x = 0．
⎛ −1 −1 ⎞ r ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ A − 3E = ⎜ ~⎜ p =⎜ ⎟ ⎟ ⎟ −1 −1 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ，得基础解系 2 ⎝ −1 ⎠ ． ⎝ 问题：是否需要单位化？ ⎛ 1 0⎞ ． 于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即 A( p1 , p2 ) = ⎜ ⎟ ( p1 , p2 ) ⎝ 0 3⎠ ⎛ 1 0⎞ ⎛1 1 ⎞ −1 若 P = ( p1 , p2 ) = ⎜ ⎟ ． P −1 = 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎟，则 P AP = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ 0 3⎠ ⎝ 1 −1 ⎠ 2 ⎝ 1 −1 ⎠
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⎛ 1 0⎞ 于是 P AP = ⎜ ⎟ = Λ ，即 ⎝ 0 3⎠
−1
A = P Λ P −1
A n = ( P Λ P −1 ) n = P Λ n P −1 1 ⎛1 1 ⎞⎛ 1 0⎞ ⎛1 1 ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 1 −1 ⎠ ⎝ 0 3 ⎠ ⎝ 1 −1 ⎠ 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 + 3n 1 − 3n ⎞ = ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟= ⎜ n ⎟⎜ 2 ⎝ 1 −1 ⎠ ⎝ 0 3 ⎠ ⎝ 1 −1 ⎠ 2 ⎝ 1 + 3 n 1 + 3 n ⎠
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一、对称矩阵特征值和特征向量的性质
定理：对称阵的特征值为实数
回顾
定理：设 λ1, λ2, …, λm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 λ1, λ2, …, λm 各不相同，则 p1, p2, …, pm 线性无关． （P.120定理2）
⎛ 1 ⎜− 3 ⎜ ⎜ 1 于是 p1, p2, p3 构成正交阵 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ − 3 ⎜ ⎛ −2 0 0 ⎞ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ． −1 从而 P AP = Λ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎝ 3 ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠
−
1 2 1 2 0
1 ⎞ ⎟ 6⎟ 1 ⎟ ⎟ 6⎟ 2 ⎟ ⎟ 6⎠
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⎛ −1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ 当 λ1 = −2时，对应的特征向量为 p1 = ⎜ −1 ⎟ ； 3⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ 当 λ2 = λ3 = 1 时，对应的特征向量为 ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ p2 = ⎜ 1 ⎟ , p3 = 6 ⎜ 1 ⎟ 2⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠