八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。
如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。
2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
立方根是它本身的数有0,1，-1.例：（1）64的立方根是 （2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个比较两个数的大小：方法一：估算法。
如3＜10＜4 方法二：作差法。
如a ＞b 则a-b ＞0.方法三：乘方法.如比较3362与的大小。
例：比较下列两数的大小（1）2123-10与 （2）5325与 【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。
对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
（2）数轴上的每个点都表示已个实数。
例：（1）下列说法正确的是（ ）；A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 、1和2之间的无理数只有2 ；D 、不带根号的数都是有理数。
2024八年级数学上册第二章实数专题四利用二次根式的双重非负性解题习题课件新版北师大版
(1) − 有意义， a 的取值范围是
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a ≥2 025
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(2)根据(1)的分析，求 a －2 0242的值.
【解】因为 a ≥2 025，所以2 024－ a ＜0，
所以｜2 024－ a ｜＋ − ＝ a －2 024＋
(2－ a )2＋ ＋＋ ＋｜ c ＋8｜＝0，且 ax2＋ bx ＋
c ＝0，求代数式3 x2＋6 x ＋200的值.
【解】因为(2－ a )2≥0， ＋＋ ≥0，｜ c ＋8｜≥0，
(2－ a )2＋ ＋＋ ＋｜ c ＋8｜＝0，
所以2－ a ＝0， a2＋ b ＋ c ＝0， c ＋8＝0.
所以 a ＝2， c ＝－8， b ＝4.
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因为 ax2＋ bx ＋ c ＝0，
所以2 x2＋4 x －8＝0.
所以 x2＋2 x ＝4.
所以3 x2＋6 x ＋200＝3( x2＋2 x )＋200＝12＋200＝212.
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所以 + ＋(1－ b ) − ＝0.
因为1＋ a ≥0，1－ b ≥0， 所以1＋ a ＝0，1－ b ＝0，
解得 a ＝－1， b ＝1，
所以 a2 024－ b2 025＝(－1)2 024－12 025＝1－1＝0.
北师大版八年级上册数学第二章-实数练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第二章实数练习题（带解析）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四<五总分得分[1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分.一、单选题(注释)1、下列各式计算正确的是A．B．（＞）C．=、D．2、下列计算中，正确的是（）A．B．C．5=5·D．=3a(3、实数a在数轴上的位置如图所示，则a,－a,,a2的大小关系是（）A．a<－a<<a2B．－a<<a<a2 C．<a<a2<－a D．<a2<a<－a 4、下列各式中，计算正确的是（）A．+=~B．2+=2C．a－b=(a－b)D．=+=2+3=55、在实数中，有（）A．最大的数B．最小的数C．绝对值最大的数。
D．绝对值最小的数6、下列说法中正确的是（）A．和数轴上一一对应的数是有理数B．数轴上的点可以表示所有的实数C．带根号的数都是无理数D．不带根号的数都不是无理数（7、一个正方形的草坪，面积为658平方米，问这个草坪的周长是（）A．B．C．D．8、下列各组数，能作为三角形三条边的是（）A．,,<B．,,C．，，D．,, 9、将，，用不等号连接起来为（）A．<<B．<<C．<<@D．<<10、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．B．±C．D．－！11、2nd x2 2 2 5 ) enter显示结果是（）A．15B．±15C．－15D．25更多功能介绍、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）A．22厘米B．27厘米*C．厘米D．40厘米13、设=,=,下列关系中正确的是（）A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b-14、化简的结果为（）A．－5B．5－C．－－5D．不能确定15、在无理数，，，中，其中在与之间的有（）^A．1个B．2个C．3个D．4个16、的算术平方根在（）A．与之间B．与之间，C．与之间D．与之间17、下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1。
北师大版八年级数学上册第二章《实数》章末复习题含答案解析 (3)
一、选择题1.下列各式中，运算正确的是( )A．√8−√3=√5B．√13×√27=9C．3√2−√2=3D．√3×√5=√152.已知m=1+√2，n=1−√2，则代数式√m2+n2−3mn的值为( )A．±3B．3C．5D．93.如果代数式√−m+√mn有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n)的位置在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.对于任意的正数m，n，定义运算⋇如下：m⋇n={√m−√n(m≥n),√m+√n(m<n).计算(3⋇2)×(8⋇12)的结果为( )A．2−4√6B．2C．2√5D．205.估计√13+1的值在( )A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间6.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72进行如下操作：72第一次→[√72]=8；第二次→[√8]=2；第三次→[√2]=1，这样对72只需进行3次操作即可变为1．类似地，将81变为1需要操作的次数是( )A．2B．3C．4D．57.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72进行如下操作：72→第一次[√72]=8→第二次[√8]=2→第三次[√2]=1．这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是( )A．254B．255C．256D．2578.设a>0，b>0，则下列运算错误的是A．√ab=√a⋅√b B．√a+b=√a+√b C．(√a)2=a D．√ab =√a√b9.在有理数1，12，−1，0中，最小的数是( )A．1B．12C．−1D．010.在下列各数中，无理数是( )A．207B．π3C．√4D．0.101001二、填空题11.若x−5y−4√xy=0，则xy=．12.设a是π的小数部分，则根式√a2+6a+10+2π可以用π表示为．13.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简√(−a)2+√b2−√(a+b)2的结果为．14.在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由(√2+1)(√2−1)=1，可得√2+1与√2−1互为倒数，即√2+1=√2−1，√2−1=√2+1，类似地，3+2=√3−√2，3−2=√3+√2；2+3=2−√3，2−3=2+√3；⋯．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）6+5=，√n+1+√n=；（n为正整数）（2）若22+m=2√2−m，则m=；（3）计算：√2+1√3+√2√4+√3+⋯√100+√99=．15.若a=√17+12，则a3−5a+2020=．16.对于实数a，我们规定：用符号[√a]表示不大于√a的最大整数，称[√a]为a的根整数，例如：[√9]=3，[√10]=3．（1）仿照以上方法计算：[√4]=；[√37]=．（2）若[√x]=1，写出所有满足题意的x的整数值：．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[√10]= 3→[√3]=1，这时候结果为1．（3）对 120 连续求根整数， 次之后结果为 1．（4）只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中，最大的是 ．17. 计算：√2a ⋅√a = ．三、解答题 18. 阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：(2+√3)(2−√3)=1，(√5+√2)(√5−√2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：√3=√3√3×√3=√33，√32−√3=√3)(2+√3)(2+√3)(2−√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题：(1) 4−√7 的有理化因式可以是 ，23分母有理化得 ．(2) 计算：①已知 x =√3+1√3−1，y =√3−1√3+1，求 x 2+y 2 的值；②1+√2+√2+√3√3+√4⋯+√1999+√2000．19. 已知 x x 2+1=√55，求 x −3+x 3 的值．20. 计算：6(13√2+√3)−12(4√2−8√3)21. 当 x 取什么值时，√x +1+2 的值最小？请求出这个最小值．22. 计算：(1) −12×(−4)2+∣∣−52∣∣×6；(2) (√3−1)2−(√5+√2)(√5−√2)．23. 记 R (x ) 表示正数 x 四舍五入后的结果，例如 R (2.7)=3，R (7.11)=7，R (9)=9．(1) R (π)= ，R(√3)= ．(2) 若 R (12x −1)=3，则 x 的取值范围是 ． (3) 若 R (R (x+2)2)=4，则 x 的取值范围是 ．24. 已知：x =√5+√3，y =√5−√3，求代数式 (x +2)(y +2) 的值．25. 当 a =2 时，求下列二次根式的值．(1) √4a −8． (2) √a 2−2a +5．答案一、选择题1. 【答案】D【知识点】二次根式的乘法2. 【答案】B【解析】由已知可得：m+n=2，mn=(1+√2)(1−√2)=−1，原式=√(m+n)2−5mn=√22−5×(−1)=√9=3．【知识点】二次根式的加减、二次根式的乘法、完全平方公式3. 【答案】C【知识点】二次根式的概念4. 【答案】B【解析】原式=(√3−√2)×(√8+√12) =(√3−√2)×(2√2+2√3)=2(√3−√2)×(√3+√2)=2×[(√3)2−(√2)2]=2×(3−2)= 2.【知识点】二次根式的混合运算5. 【答案】C【解析】∵3<√13<4，∴4<√13+1<5，即√13+1在4和5之间，故选：C．【知识点】平方根的估算6. 【答案】B【知识点】二次根式的乘法7. 【答案】B【知识点】平方根的估算8. 【答案】B【知识点】二次根式的概念9. 【答案】C【解析】根据有理数比较大小的方法，可得<1，−1<0<12，−1，0这四个数中，最小的数是−1．∴在1，12【知识点】实数的大小比较10. 【答案】B是分数，是有理数，故不是无理数；【解析】A．207是无理数；B．π3C．√4=2是整数，故不是无理数；D．0.101001是有理数，故不是无理数．【知识点】无理数二、填空题11. 【答案】25或1【知识点】二次根式的混合运算12. 【答案】π+1【知识点】二次根式的性质与化简13. 【答案】2b【知识点】二次根式的加减14. 【答案】√6−√5；√n+1−√n；±√7；9【解析】（1）∵(√6+√5)(√6−√5)=1，=√6−√5；∴√6+√5∵(√n+1+√n)(√n+1−√n)=(√n+1)2−(√n)2=1，=√n+1−√n；∴√n+1+√n（2）=2√2−m，∵2√2+m∴(2√2+m)(2√2−m)=1．∴(2√2)2−m2=1，∴m 2=7， ∴m =±√7； （3）√2+1√3+√2√4+√3⋯√100+√99=(√2−1)+(√3−√2)+(√4−√3)+⋯+(√100−√99)=−1+√2−√2+√3−√3+√4+⋯−√99+√100=√100−1=9.【知识点】二次根式的加减、分母有理化15. 【答案】 2024【解析】 ∵a =√17+12， ∴a 2=9+√172，a 3=13+5√172，∴a 3−5a +2020=13+5√172−5×√17+12+2020=13+5√17−5√17−52+2020=82+2020=4+2020=2024.【知识点】二次根式的加减、简单的代数式求值、二次根式的乘法16. 【答案】 2 ； 6 ； 1，2，3 ； 3 ； 255【解析】（1）∵22=4，62=36，72=49， ∴6<√37<7， ∴[√4]=2，[√37]=6．（2）∵12=1，22=4，且 [√x]=1， ∴x =1,2,3．（3）第 1 次：[√120]=10，第 2 次：[√10]=3，第 3 次：[√3]=1． （4）∵[√255]=15，[√15]=3，[√3]=1，∴ 对 255 只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1． ∵[√256]=16，[√16]=4，[√4]=2，[√2]=1， ∴ 对 256 需进行 4 次连续求根整数运算后结果为 1，∴ 只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中，最大的是 255． 【知识点】实数的大小比较17. 【答案】 √2a【知识点】二次根式的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 4+√7；√32(2) ①当x=√3+1√3−1=√3+1)(√3+1)(√3−1)(√3+1)=4+2√32=2+√3，y=√3−1√3+1=√3−1)(√3−1)(√3+1)(√3−1)=4−2√32=2−√3时，x2+y2=(x+y)2−2xy=(2+√3+2−√3)2−2×(2+√3)×(2−√3)=16−2×1=14.②原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2000−√1999 =√2000−1.【解析】(1) 4−√7的有理化因式可以是4+√7，2√3=√3×√32√3=√32．【知识点】二次根式的除法19. 【答案】2√5．【知识点】二次根式的混合运算20. 【答案】原式=2√2+6√3−2√2+4√3=10√3．【知识点】二次根式的加减21. 【答案】当x=−1时，最小值为2．【知识点】二次根式的概念22. 【答案】(1) 原式=−12×16+52×6=−8+15=7.(2) 原式=3−2√3+1−(√52−√22) =4−2√3−3=1−2√3.【知识点】二次根式的混合运算、有理数的加减乘除乘方混合运算23. 【答案】(1) 3；2(2) 7≤x<9(3) 4.5≤x<6.5【解析】(1) ∵π≈3.14，∴R(π)=3；∵√3≈1.73，∴R(√3)=2，即：R(π)=3；R(√3)=2．x−1)=3，(2) ∵R(12x−1<3.5，∴2.5≤12解得：7≤x<9．)=4，(3) ∵R(R(x+2)2<4.5，∴3.5≤R(x+2)2∴7≤R(x+2)<9，∵R(x+2)为整数，∴R(x+2)=7或R(x+2)=8，∴6.5≤x+2<8.5，∴4.5≤x<6.5．【知识点】解连不等式、实数的大小比较+2√5．24. 【答案】412【知识点】二次根式的混合运算25. 【答案】(1) 当a=2时，√4a−8=√4×2−8=√0=0.(2) 当a=2时，√a2−2a+5=√22−2×2+5=√5.【知识点】二次根式的性质与化简。
(完整版)八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。
39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根a 本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。
北师大版八年级上册数学第二章-实数练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第二章实数练习题（带解析）考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号一二三四五总分得分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分一、单选题(注释)1、下列各式计算正确的是A．B．（＞）C．=D．2、下列计算中，正确的是（）A．B．C．5=5·D．=3a3、实数a在数轴上的位置如图所示，则a,－a,,a2的大小关系是（）A．a<－a<<a2B．－a<<a<a2C．<a<a2<－a D．<a2<a<－a4、下列各式中，计算正确的是（）A．+=B．2+=2C．a－b=(a－b)D．=+=2+3=55、在实数中，有（）A．最大的数B．最小的数C．绝对值最大的数D．绝对值最小的数6、下列说法中正确的是（）A．和数轴上一一对应的数是有理数B．数轴上的点可以表示所有的实数C．带根号的数都是无理数D．不带根号的数都不是无理数7、一个正方形的草坪，面积为658平方米，问这个草坪的周长是（）A．B．C．D．8、下列各组数，能作为三角形三条边的是（）A．,,B．,,C．，，D．,,9、将，，用不等号连接起来为（）A．<<B．<<C．<<D．<<10、用计算器求结果为（保留四个有效数字）（）A．B．±C．D．－11、2nd x2 2 2 5 ) enter显示结果是（）A．15B．±15C．－15D．25更多功能介绍、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（）A．22厘米B．27厘米C．厘米D．40厘米13、设=,=,下列关系中正确的是（）A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b14、化简的结果为（）A．－5B．5－C．－－5D．不能确定15、在无理数，，，中，其中在与之间的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16、的算术平方根在（）A．与之间B．与之间C．与之间D．与之间17、下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C．负数没有立方根D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，118、如果是6－x的三次算术根，那么（）A．x<6B．x=6C．x≤6D．x是任意数19、若m<0，则m的立方根是（）A．B．－C．±D．20、在下列各式中：=，=，=，－=－27，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4分卷II分卷II 注释评卷人得分二、填空题(注释)21、已知m是3的算术平方根，则x－m<的解集为______.22、若是一个实数，则a=______.23、等腰三角形的两条边长分别为2和5，那么这个三角形的周长等于______.24、－的相反数是______，绝对值等于______.25、计算（保留四个有效数字）=______.26、的平方根为______.27、（）÷=______.28、a是的整数部分，b是的整数部分，则a2+b2=______.29、大于－且小于的整数有______.30、不等式（2－）x>0的解集为__________.评卷人得分三、计算题(注释)31、计算：。
第二章 实数 易错剖析+重难点突破训练(含答案)2024-2025-北师大版数学八年级上册
第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰【例1】 在−π ，227，0，3−4，5.⋅6，−2.5656656665⋯ （相邻两个5之间6的个数逐次加1）中，无理数有（ ）.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都是分数，如：23.跟踪练习1. 下列各数：3.14159，−27，0，−π ，−17，其中有理数有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 在0，227，−1，−π2，0.101001⋯ （相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4易错点二 不能够熟练掌握实数比较大小的方法【例2】 比较大小：52 33（填“> ”“=”或“< ”）.实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0> 负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a ，b ，①当a−b >0时，a >b ；②当a−b =0时，a =b ；③当a−b <0时，a <b ；（4）平方法：若要比较任意两个实数a ，b 的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a ，b 本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.跟踪练习3. 下列实数中，最小的数是（）.A. −2B. −3C. 1D. 34. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（）.A. a>0B. b<0C. a>bD. |a|>|b|易错点三二次根式的化简要彻底【例3】计算：12−27+613.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.跟踪练习5. 计算：（1）232−18−12；（2）35+4135−75115;（3）128−0.5−412+250.重难点突破重难点一实数的相关概念熟练掌握实数的有关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方，实数涉及的概念较多，且均属于基础知识，往往稍不注意就容易出错，像相反数、倒数、绝对值的意义、概念就容易混淆出错，此部分知识主要在选择题中考查，很少在填空题或者解答题中出现.提醒：多注意0和π的特殊性以及平方根和算术平方根的概念理解.1. 实数−2的相反数是（）.A. −2B. 2C. −12D. 122. 下列各数是无理数的是（）.A. 0B. 2C. −13D. 3.33. 25的平方根是 .4. 无理数5的倒数是（）.A. −5B. −55C. −5 D. 555. 16的算术平方根的相反数是（）.A. 2B. −2C. 4D. −46. 下列说法中，正确的是（）.A. 16的平方根是4B. 任何实数都有立方根C. 若一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数D. 算术平方根等于本身的数只有17. 一只蚂蚁位于数轴的原点，现在向右爬了4个单位长度到了点A，则点A所表示的数是（）.A. 4B. −4C. ±4D. ±8重难点二实数的混合运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等，其中减法可以转化为加法运算，除法可以转化为乘法运算；同时要掌握好实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键还要把握好符号关；实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算.提醒：注意零指数幂和负整数指数幂的运算，还有绝对值的化简及乘方运(a≠0)；特别地：算有括号和无括号的区别，公式：a0=1(a≠0)；a−p=1a p(a≠0).a−1=1a.8. 计算：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×529. 计算：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1.10. 计算：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1.11. 计算：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4.12. 计算：|−5|+2−2−(π−2024)0.重难点三利用实数性质及二次根式化简求值实数及其相关概念：有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方.实数是牵连概念最多的一个考点，需要我们准确掌握各种概念的定义及其考察方向.二次根式的性质：①(a)2=a(a≥0)；②a2 =a(a≥0)；③a2=|a|(a取全体实数).做这类习题需先根据实数的性质得出结论，或先对二次根式进行化简，再代入求值，注意书写格式.13. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，则化简|a+b|−a2−3(b−a)3的结果为 .14. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示.化简：a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|.15. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+ |a−b|.16. 先化简，再求值：x (6−x )+(x +5)(x−5)，其中x =6−2.17. 已知a =13−2，b =13+2.（1） 求a +b 的值；解：a =13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b =13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.（2） 求a 2−3ab +b 2的值.第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰跟踪练习1．C 2．B（1）实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.（2）实数范围内，所有的分数都是指的有理数，同时无限循环小数也属于分数，即也是有理数；但要记住不能说所有带分数线的数都.是分数，如：23【例1】 A易错点二不能够熟练掌握实数比较大小的方法跟踪练习3．B4．D实数大小比较的常用方法：（1）根据性质比较：正数>0>负数；（2）数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；（3）差量法：对于任意两个实数a，b，①当a−b>0时，a>b；②当a−b=0时，a=b；③当a−b<0时，a<b；（4）平方法：若要比较任意两个实数a，b的大小，可以先比较它们的平方，由平方倒推a，b本身的大小；（5）近似值法：对于实数中含有二次根式部分时，可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.【例2】>易错点三二次根式的化简要彻底跟踪练习5．（1）解：232−18−12=82−32−22=922.（2）35+4135−75115=155+1215−515=36155.（3）128−0.5−412+250=12×22−22−322+2×52=2−22+102=92.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母，也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.【例3】解：原式=23−33+6×33=23−33+23=3.重难点突破重难点一实数的相关概念1．B2．B3．±54．D5．B6．B7．A重难点二实数的混合运算8．解：3−8−|2−5|+(1−3)0+4×52=−2−(5−2)+1+25=−2−5+2+1+25=5+1.9．解：4+|−2|−(−2024)0+(12)−1=2+2−1+2=5.10．解：−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1=2+1−(3−1)+(−3)=2+1−3+1−3=1−3.11．解：|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4=1+4−1+3−2=5.12．解：|−5|+2−2−(π−2024)0−1=5+14=4+14.=174重难点三利用实数性质及二次根式化简求值13．−a−2b14．解：根据数轴可得c<b<0<a，∴a−b>0，c−a<0，b+c<0，∴a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|=a−(a−b)−(c−a)−(b+c)=a−a+b−c+a−b−c=a−2c.15．解：由数轴可知a<0，b>2，∴a−b<0，a−3<0,3−b<0,∴a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+|a−b|=|a|+|−b|−[−(a−3)]−[−(3−b)]+[−(a−b)]=−a+b+a−3+3−b+b−a=b−a.16．解：原式=6x−x2+x2−5=6x−5，当x=6−2时，原式=6×(6−2)−5=6−23−5=1−23.17．（1）解：a=13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b=13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.17．（1）a+b=3+2+3−2=23.（2）∵ab=(3+2)(3−2)=3−2=1，∴a2−3ab+b2=(a+b)2−5ab=(23)2−5=12−5=7.。
八年级数学上册第二章实数7二次根式第1课时二次根式及其性质习题pptx课件新版北师大版
A. 第一步
B. 第二步
C. 第三步
D. 第四步
【点拨】
因为－3 ＝－ × ＝－ ，所以首先错误的
一步是第三步.
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10. [母题教材P43习题T2] 若直角三角形的两条直角边长分
别为 cm和 cm，则此直角三角形的斜边长为
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(1)第7行，第2列上的数是
4
；
(2)我们规定一个二次根式落在第 a 行，第 b 列，可记作
( a ， b )，如 落在第2行，第4列，记作(2，4)，则
可记作
1
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(406，5)
.
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14. 实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示.
( D )
A. 3 cm
B. 3 cm
C. 12 cm
D. 2 cm
【点拨】
由勾股定理，得直角三角形的斜边长＝
( ) ＋( ) ＝2 (cm).
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11. 已知 ＝ a ， ＝ b ，则 . 等于(
−
＋
B.
A.
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第二章：实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。
特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。
求x － y 的值.平方根：1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （2）当x 时，x 23－有意义。
（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 3. 的性质与22)0()(a a a ≥（1）77)0()22=≥=）如：（a a a （2）||2a a =中，a 可以取任意实数。
如5|5|52==3|3-|3-2==）（例：1.求下列各式的值（1）27 （2）27-）（ （3）249-）（2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。
3.已知2＜x ＜3,化简=-+|3|)-22x x （ 。
【立方根】1.定义：一般地，如果以个数x 的立方等于a ，即x 3=a,那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。
如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。
2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
立方根是它本身的数有0,1，-1.例：（1）64的立方根是 （2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 比较两个数的大小：方法一：估算法。
如3＜10＜4 方法二：作差法。
如a ＞b 则a-b ＞0.方法三：乘方法.如比较3362与的大小。
例：比较下列两数的大小（1）2123-10与 （2）5325与 【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a 1（a ≠0）；实数a 的绝对值|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。
对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。
运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
（2）数轴上的每个点都表示已个实数。
例：（1）下列说法正确的是（ ）；A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 、1和2之间的无理数只有2 ；D 、不带根号的数都是有理数。
（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A 、b a -B 、abC 、b a +D 、a b - （3）比较大小(填“>”或“<”).3 10 3- 320， 76______67， 215- 21， （4）数 7,2,3-- 的大小关系是 ( )A. 732<-<-B. 372-<<-C. 273-<-D. 327-<-<（5）将下列各数：51,3,8,23---，用“＜”连接起来；______________________________________。
（6）若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= 。
【二次根式】定义：形如）（0≥a a 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如9是二次根式，而9=3,3显然就不是二次根式。
（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式。
若a 是数，则这个数必须是非负数；若a 是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。
例：下列根式是否为二次根式（1）3- （2）｜｜3- （3）a - （4）32-- 二次根式的性质：性质1：)0,0(.≥≥=b a b a ab 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。
性质2：)0,0.( b a baba ≥= 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
例：1.化简：（1）1512⨯ （2）)0(2724≥b b a （3）x942.计算：32278115.041--+ 323811613125.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-3.已知：()()064.01,121732-=+=-y x ，求代数式3245102y y x x ++--的值。
6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ①2111111112111122=+-+=++ ②6111212113121122=+-+=++③12111313114131122=+-+=++，……（1）根据上面三个等式的信息，请猜想2251411++的结果； （2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。
课后练习一、重点考查题型：1.－1的相反数的倒数是2.已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b ）的相反数3.数－3．14与－Л的大小关系是4.和数轴上的点成一一对应关系的是5.和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是6.在实数中Л,－25 ,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有 个7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） （A ）非负数 （B ）非正数 （C ）负数 （D ）正数 8．若x ＜－3，则｜x ＋3｜= 。
9．下列说法正确是（）（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数（B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1） c-b和d-a（2） bc和ad二、考点训练：*1．判断题：（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（）（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）（3）两个无理数之和一定是无理数；（）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）（5）任何有理数都有倒数；（）（6）最小的负数是－1；（）（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－227,0，－9 ,－3－18, －Л2,8 , ( 2 － 3 )0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中无理数集合｛｝负分数集合｛｝整数集合｛｝非负数集合｛｝*3．已知1<x<2，则|x－3|+(1-x)2 = 。
4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？－3, 2 －1， 3，－ 0．3， 3－1， 1 + 2 ， 31 3互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－ 2 ）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值6.ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求|a+b|2m 2+1+4m-3cd= 。
*7．已知（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜a+2 ＝0，求ａ＋ｂ= 。
三、解题指导： 1．下列语句正确的是（ ）A 、无尽小数都是无理数B 、无理数都是无尽小数C 、带拫号的数都是无理数D 、不带拫号的数一定不是无理数。