2020高一数学下学期单元测试题

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高一数学单元测试题(附答案)

高一数学单元测试题(附答案)高一数学单元测试题（附答案）1. 计算下列各题：a) 若 a = 3，b = -5，求 a + b。

b) 若 x = 2，y = 4，求 x² + 2xy + y²。

c) 若 m = 6，n = 2，求 m³ - 3mn + n²。

解答：a) a + b = 3 + (-5) = -2。

b) x² + 2xy + y² = 2² + 2(2)(4) + 4² = 4 + 16 + 16 = 36。

c) m³ - 3mn + n² = 6³ - 3(6)(2) + 2² = 216 - 36 + 4 = 184。

2. 将下列各分数化为最简形式：a) 10/15b) 18/24c) 32/48解答：a) 10/15 = (2 × 5)/(3 × 5) = 2/3。

b) 18/24 = (2 × 3 × 3)/(2 × 2 × 2 × 3) = 3/4。

c) 32/48 = (2 × 2 × 2 × 2)/(3 × 2 × 2 × 2 × 2) = 2/3。

3. 求下列各题的百分数表示：a) 25/100b) 5/8c) 3/5解答：a) 25/100 = 25%b) 5/8 ≈ 62.5%c) 3/5 = 60%4. 解方程：a) 2x - 5 = 7b) 3(x + 2) = 15c) 4 - 5x = 14解答：a) 2x - 5 = 72x = 7 + 52x = 12x = 12/2x = 6b) 3(x + 2) = 153x + 6 = 153x = 15 - 63x = 9x = 9/3x = 3c) 4 - 5x = 14-5x = 14 - 4-5x = 10x = 10/(-5)x = -25. 比较下列各组数的大小：（用>、<或=表示）a) 3²，4³b) 2⁴，3⁴解答：a) 3² = 9，4³ = 649 < 64，所以3² < 4³。

高一数学同步测试—数列单元测试题

高一数学同步测试（13）—数列单元测试题一、选择题1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（）A ．等比数列，但不是等差数列B ．等差数列，但不是等比数列C ．等差数列，而且也是等比数列D ．既非等比数列又非等差数列2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A ．511个B ．512个C ．1023个D ．1024个 3．等差数列{a n }中，已知为则n a a a a n ,33,4,31521==+= （）A ．48B ．49C ．50D ．514．已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6=25，那么a 3＋a 5的值等于（）A ．5B ．10C ．15D ．205．等比数列｛a n ｝的首项a 1＝1，公比q ≠1，如果a 1，a 2，a 3依次是某等差数列的第1，2，5项，则q 等于（） A ．2 B ．3 C ．－3 D ．3或－3 6．等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－17．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则=-||n m（）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1 =0(n ∈N*)，则此数列为（） A ．等差数列 B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列9．等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（）A ．66B ．64C ．2663 D ．260310．设等差数列{a n }的公差为d ，若它的前n 项和S n =－n 2，则（）A ．a n =2n －1，d =－2B ．a n =2n －1，d =2C ．a n =－2n ＋1，d =－2D ．a n =－2n ＋1，d =211．数列{a n }的通项公式是a n =11++n n (n ∈N*)，若前n 项的和为10，则项数为（）A ．11B ．99C ．120D ．12112．某人于2000年7月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄，计划20XX 年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率r 不变，则到20XX 年7月1日他将所有的存款和本息全部取出时，取出的钱共为（） A ．a (1＋r )4元 B ．a (1＋r )5元C ．a (1＋r )6元D ．ra［(1＋r )6－(1＋r )］元二、填空题：13．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若｛S n ｝是等差数列，则q = ．14．设数列{}n a 满足121+-=+n n n na a a ，,,3,2,1 =n 当21=a 时，．15．数列{}n a 的前ｎ项的和S n =3n 2＋ n ＋1，则此数列的通项公式a n =__ ． 16．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a 必定是常数数列．然而在等比数列}{n a中，对某些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是 ___ ___．三、解答题：17．已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ．（1）求n a ；（2）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．18．求下面各数列的和：（1）111112123123n++++++++++；（2）.21225232132nn -++++19．数列｛a n ｝满足a 1=1，a n =21a n －1＋1(n ≥2) （1）若b n =a n －2，求证｛b n ｝为等比数列；（2）求｛a n ｝的通项公式．20．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（1）问第几年开始获利？（2）若干年后，有两种处理方案：（3）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；（4）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算．21．已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令).(R x x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式．22．某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，当年要求买房户首付3万元，然后从第二年起连续十年，每年付款8000元；另一种方案是一次性付款，优惠价为9万元，若一买房户有现金9万元可以用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5%，他该采用哪种方案购房更合算？请说明理由．(参考数据 1.059≈1.551，1.0510≈1.628)参考答案一、选择题：BBCAB CCDDC CD 二、填空题：13.１．14.1+=n a n )1(≥n ．15.⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)2(26)1(5n n n a n．16、)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数．三、解答题：17．解析：(1)由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩ 由23,3)1(5+=∴⋅-+=n a n a n n(1)设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n nb.2)12(62)2222(3321n n G n n n +-=+++++=∴ *)(,62231N n n G n n ∈-+⋅=∴+ 18.解析：(1)12)]111()3121()211[(2)111(2)1(23211+=+-++-+-=+-=+=++++=n n n n S n n n n n a n n 故(本题用到的方法称为“裂项法”，把通项公式化为a n =f (n ＋1)－f (n )的形式)(2)通项.)21()12(212nnn n n a ⨯-=-=呈“等差×等比”的形式， nn n n S 212)21(231---=-19.解析： (1)由a n =21a n －1＋1得a n －2=21(a n －1－2)即21221=---n n a a ，(n ≥2)∴｛b n ｝为以－1为首项，公比为21的等比数列 (2)b n =(－1)( 21)n －1，即a n －2=－(21)n －1∴a n =2－(21)n －120.解析：（1）由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为()f n ，∴[]9824098)48(161250)(2--=-++++-=n n n n n f ，获利即为()f n ＞0， ∴04920,09824022<+->--n n n n 即，解之得：1010 2.217.1n n <<<<即，又n ∈N ， ∴n =3，4，…，17， ∴当n =3时即第3年开始获利；（1）(i)年平均收入=)49(240)(nn n n f +-= ∵n n 49+≥14492=⨯nn ，当且仅当n =7时取“=”， ∴nn f )(≤40－2×14=12(万元)即年平均收益，总收益为12×7＋26=110万元，此时n =7． (ii)102)10(2)(2+--=n n f ，∴当102)(,10max ==n f n总收益为102＋8=110万元，此时n =10，比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种．21．解析：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n =(Ⅱ)解：令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得 ,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ① ,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ② 当1≠x 时，①式减去②式，得 ,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n n n nn nx xx x nxx x x S x所以.12)1()1(212xnx x x x S n n n ----=+当1=x 时， )1(242+=+++=n n n S n ，综上可得当1=x 时，)1(+=n n S n当1≠x 时，.12)1()1(212x nx x x x S n n n ----=+ 22．解析：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n 年的结余数为a n ， ∵a 1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8 a 2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05) …… a 10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059)=6×1.0510－0.8×105.1105.110--=6×1.0510－16×(1.0510－1) =16－10×1.0510≈16－16.28=－0.28(万元) 所以一次性付款合算．。

高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案

高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

【期末冲刺】2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷——第十一章立体几何初步(解析版)

2019—2020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷第十章立体几何初步期末单元测试卷（范围：新教材人教B 版必修四考试时间：90分钟满分：150分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.以下命题（其中a 、b 表示直线，α表示平面）中，正确的命题是( )A. 若//a b ，b α⊂，则//a αB. 若//a α，//b α，则//a bC. 若//a b ，b α⊥，则a α⊥D. 若//a α，b α⊂，则//a b答案及解析：1.C【分析】根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，直线a 可能含于平面α，所以A 选项错误.对于B 选项，,a b 可能异面，所以B 选项错误.对于C 选项，由于//a b ，b α⊥，所以a α⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，,a b 可能异面，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.2.下列命题正确的是（）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

C. 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。

D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

答案及解析：2.B【分析】根据课本中的相关概念依次判断选项即可.【详解】对于A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故选项不正确；对于B ，根据课本中棱柱的概念得到是正确的；对于C ，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确；对于D ，用平行于底面的平面截圆锥得到的剩余的几何体是棱台，故不正确.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了几何体的基本概念，属于基础题.3.在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O-AEF 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关答案及解析：3.B【分析】根据等体积法以及锥体体积公式判断选择.【详解】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O-AEF 的体积与x ，y 都无关，选B 。

2022-2023学年高教版(2021)中职数学基础模块下册指数函数与对数函数单元测试卷

2022-2023学年高一下学期高教版（2021）中职数学基础模块下册指数函数与对数函数单元测试卷一选择题1.下列运算结果中,错误的是( )A.a 3·a 4=a 7B.(-a 2)3=a 6C.√a 88=|a|D.√(-π)55=-π 2.下列函数中指数函数的个数是（） ①23xy =⋅ ②13x y += ③3x y =④()21xy a =-（a 为常数，12a >，1a ≠） ⑤3y x = ⑥4x y =- ⑦()4xy =-A ．1B ．2C ．3D ．43. 给出下列函数:①y=log 23x 2; ②y=log 3(x-1); 4. ③y=log (x+1)x; ④y=log πx. 其中对数函数的个数为( )A.1B.2C.3D.44.若指数函数f(x)=（a −1）x是R 上的减函数，则a 的取值范围( )A.a>1B.1＜a ＜2C.a>12且a ≠1D.a ≥125．已知0.3m >0.3n，则m ，n 的大小关系为( )A ．m>nB ．m<nC ．m ＝nD ．不能确定 6．函数y ＝log a (x ＋2)＋1(a ＞0且a ≠1)图象过定点( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(－2,1)D ．(－1,1) 7．函数()10,1xy a a a =+>≠的图象必经过点（）A ．(0,1)B ．(1,1)C ．()0,2D ．(2,2) 8．若log 32＝x ，则3x＋9x的值为( )A ．6B ．3 C.52 D.12解析：选A 由log 32＝x 得3x ＝2，因此9x ＝(3x )2＝4，所以3x ＋9x＝2＋4＝6，故选A.9.设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a 10．已知a ＝log 23，b ＝log 2e ，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c 11．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( ) A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.612.函数(x)f =2,01,0x x x x ⎧>⎨-⎩，若 ()(2)0f a f +=，则实数a 的值等于A ．3B ．1C ．1-D ．3-二填空题13. a m·a n＝＝ (a m )n＝ 1a m n＝log a (MN)= log aMNlog naM14.求值：lg 100＝_____ ；lg 0.001＝_____；log 2(lg10)= .15.函数()2xy a a =-是指数函数，则 .16．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y＝________.17.方程lg(2x －3)＝1的解为________．方程lg(2x －3)＝0的解为________．18.设函数f(x)＝22,4log ,44x x x x x ⎧≤⎨⎩-+＞,求f(f （8）)的值是________.19.若函数f(x)＝log a x(a ＞1)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上的最大值为2，最小值为m ，则a=________，m=________．20.若不等式()24210x xm m -++>在(],1x ∈-∞-上恒成立，则实数m 的取值范围是________．三解答题21．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)2－3＝18； (2)(13)a =b ；(3)lg 11 000＝－3； (4)ln 10＝x.22.求下列函数的定义域和值域：（1）142x y -=；（2）y =（3）f(x)＝log 2（2x-2）（4）f(x)＝log 2x ＋16－4x23．比较下列各题中的两个值的大小．1.72.5_____1.730.8—1_____0.8—2（1π）−π_____ 1 1.70.5_____ 0.82.5log 230.5_____ log 230.6； log 1.51.6_____ log 1.51.4；log 0.57_____ log 0.67； log 31.25_____ log 20.8.24.用lg x,lg y,lg z(x>0,y>0,z>0)表示下列各式: (1)lg(xyz); (2)lgxy 2z; (3)lg3√z;(4)已知log 23=a,log 27=b,试用a,b 表示log 4256.25.(1)已知对数函数的图象过点M(9,2),求此对数函数的解析式；(2)已知函数f(x)=a x(a>0,且a ≠1), f(2)=4,求函数f(x)的解析式；26.计算：(1) (√2)0+2×940.5-0.001-13;(2)(3)2lg 5+lg 12-lg 3 (4)log 25×lo g 154+(lg 5)2+lg 2×(lg 5+1).27．解不等式 (1)23－2x<0.53x －4(2) log 2x ＜328．已知函数f(x)＝a ＋22x －1.(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)为奇函数，求a 的值及f(x)的解析式．29．已知函数f(x)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1(a ＞0，且a ≠1)． (1)求定义域(2)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由．。

高一数学第二章测试题及答案解析

第二章单元测试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l() A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得() A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C.a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为()A．4B．3C．2D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为()A．－45 B. .35C.34D．－3511．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为() A.33 B.13C．0D．－1212．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，则PB与AC所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________. 16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面P AE；(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P －AM －D 的大小．20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D DC 1的值．21．(12分)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5[答案] B[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b ∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案] D[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8[答案] D [解析] 选项A 中，a ，b 还可能相交或异面，所以A 是假命题；选项B 中，a ，b 还可能相交或异面，所以B 是假命题；选项C 中，α，β还可能相交，所以C 是假命题；选项D 中，由于a ⊥α，α⊥β，则a ∥β或a ⊂β，则β内存在直线l ∥a ，又b ⊥β，则b ⊥l ，所以a ⊥b .9[答案] C[解析] 如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β.10[答案] 35 命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．[解析] 首先根据已知条件，连接DF ，然后则角DFD 1即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到5＝DF ＝D 1F ，DD 1＝2，结合余弦定理得到结论．11[答案] C[解析]取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.12[答案] B[解析]将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS 为正三角形，∴∠ACS＝60°.13[答案]α∩β＝AB14[答案]45°[解析]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.15[答案]9[解析] 如下图所示，连接AC ，BD ，则直线AB ，CD 确定一个平面ACBD .∵α∥β，∴AC ∥BD ，则AS SB ＝CS SD ，∴86＝12SD ，解得SD ＝9.16[答案] ①②④[解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确． ③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN .则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确． 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1，∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.18[解析](1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF . 由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝PEEM＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°. 20[解析](1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD ＝DE，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.21[解](1)证明：连接AE，如下图所示．∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22，∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1.∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.(3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52，CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.。

第八章立体几何初步单元测试 2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第八章立体几何初步考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．以长为8 cm ，宽为6 cm 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( ) A ．64π cm 2B ．36π cm 2C ．64π cm 2或36π cm 2D ．48π cm 23．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是( )A ．平行B ．平行或异面C ．平行或相交D ．异面或相交4．空间四点A ，B ，C ，D 共面而不共线，那么这四点中( ) A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线5．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为( )A ．22 B ．3 C ．12D ．326．E ，F ，G 分别是空间四边形ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A ．81π4 B ．16π C ．9πD ．27π48．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是( )A ．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D ．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台 10．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是( )A ．A 1M ∥D 1PB ．A 1M ∥B 1QC ．A 1M ∥平面DCC 1D 1 D ．A 1M ∥平面D 1PQB 111．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，一定正确的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°12．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点.则( )A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是___.14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为____厘米.15．已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面.①若α∩β＝a ，b ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β；②若a ⊂α，a 垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a ，α∩γ＝b ，则a ⊥b ；④若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β.上述命题中，正确命题的序号是____.16．(2020·全国Ⅰ卷理)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝ ____.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥P－EFGH的高为60 cm.(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积.18．(本小题满分12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点.(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.20．(本小题满分12分)(2020·江苏卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．21．(本小题满分12分)在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC 且分别交AC，SC于D，E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角E－BD－C的大小.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB ＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1．(1)求证：DC1∥平面A1ABB1；(2)若二面角A1－DC－A为45°.①求证：平面A1C1D⊥平面A1AD；②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值.第八章立体几何初步考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中真命题的个数是(A)A．0B．1C．2D．3[解析]①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.2．以长为8 cm ，宽为6 cm 的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( C ) A ．64π cm 2B ．36π cm 2C ．64π cm 2或36π cm 2D ．48π cm 2[解析] 分别以长为8 cm ，宽为6 cm 的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C 选项正确.3．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是( B )A ．平行B ．平行或异面C ．平行或相交D ．异面或相交[解析] 由直线与平面平行的判定定理，可知CD ∥α，所以CD 与平面α内的直线没有公共点.4．空间四点A ，B ，C ，D 共面而不共线，那么这四点中( B ) A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线[解析] ∵A ，B ，C ，D 共面而不共线，这四点可能有三点共线，也可能任意三点不共线，A 错.如果四点中没有三点不共线，则四点共线，矛盾，B 正确.当任意三点不共线时，也满足条件，C 错.当其中三点共线，第四个点不共线时，也满足条件，D 错.5．如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为( C )A ．22 B ．3 C ．12D ．32[解析] 过点F 作FH ∥DC ，交BC 于H ，过点A 作AG ⊥EF ，交EF 于G ，连接GH ，AH ，则∠AFH 为异面直线AF 与BE 所成的角.设正方形ABCD 的边长为2，在△AGH 中，AH ＝52＋24＝3，在△AFH 中，AF ＝1，FH ＝2，AH ＝3，∴cos ∠AFH ＝12.6．E ，F ，G 分别是空间四边形ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 在△ACD 中，∵G ，F 分别为AD 与CD 的中点，∴GF ∥AC .而GF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ，∴AC ∥平面EFG .同理，BD ∥平面EFG .故选C ．7．正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( A )A ．81π4 B ．16π C ．9πD ．27π4[解析] 如图所示，设球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥的底面中心为O ′.∵正四棱锥P －ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝ 2.∵PO ′＝4，∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4，故选A ．8．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 如图，取B 1C 1的中点E ，连接BE ，DE ，则AC ∥A 1C 1∥DE ，则∠BDE 即为异面直线BD 与AC 所成的角.由条件可知BD ＝DE ＝EB ＝5，所以∠BDE ＝60°，故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．以下关于空间几何体特征性质的描述，错误的是(ABC)A．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台[解析]以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得A错误；有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故B错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C错误；根据棱台的定义，可得D正确.故选ABC．10．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(ACD)A．A1M∥D1P B．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1[解析]连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD 平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C、D正确.故选ACD．11．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，一定正确的为(ABD)A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°[解析] ∵QM ∥PN ，∴QM ∥平面ABD ，∴QM ∥BD ，同理可得AC ∥MN ，∵QM ∥BD ，AC ∥MN ，MN ⊥QM ，∴AC ⊥BD ，A 正确；∵AC ∥MN ，∴AC ∥截面PQMN ，B 正确；∵QM ∥BD ，AC ∥MN ，∴MN AC ＋QMBD ＝1，C 不一定正确；∵QM ∥BD ，∴异面直线PM 与BD 所成的角为∠PMQ ＝45°，D 正确.故选ABD ．12．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点.则( BC )A ．直线D 1D 与直线AF 垂直B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98 D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等[解析] 取DD 1中点M ，则AM 为AF 在平面AA 1D 1D 上的射影，∵AM 与DD 1不垂直，∴AF 与DD 1不垂直，故A 选项错误；∵A 1G ∥D 1F ，A 1G ⊄平面AEFD 1，∴A 1G ∥平面AEFD 1，故B 选项正确；平面AEF 截正方体所得截面为等腰梯形AEFD 1，易知梯形面积为98，故C 选项正确；假设C 与G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 中点，连接CG 交EF 于H ，而H 不是CG 中点，则假设不成立.故D 选项错误.故选BC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是__14π__. [解析] ∵圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形， ∴该圆柱的高h ＝1，底面周长2πr ＝1，∴底面半径r ＝12π， ∴该圆柱的体积V ＝π×14π2×1＝14π.14．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为__12__厘米.[解析] V ＝Sh ＝πr 2h ＝43πR 3，R ＝364×27＝12(cm).15．已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面.①若α∩β＝a ，b ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β；②若a ⊂α，a 垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a ，α∩γ＝b ，则a ⊥b ；④若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β.上述命题中，正确命题的序号是__②④__.[解析] 对①可举反例，如图，需b ⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a ，b 不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.16．(2020·全国Ⅰ卷理)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝ __－14__.[解析] ∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝2，同理得BD ＝6，∴BF ＝BD ＝6，在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE ＝30°，由余弦定理得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF ＝CE ＝1，在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－BF 22CF ·BC＝1＋4－62×1×2＝－14. 四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH ，下半部分是长方体ABCD －EFGH .长方体的长、宽、高分别是40 cm 、40 cm 、20 cm ，正四棱锥P －EFGH 的高为60 cm.(1)求该安全标识墩的体积； (2)求该安全标识墩的侧面积.[解析] (1)该安全标识墩的体积V ＝V P -EFGH ＋V ABCD -EFGH ＝13×402×60＋402×20＝64 000(cm 3).(2)如图，连接EG ，HF 交于点O ，连接PO ，结合三视图可知OP ＝60 cm ，OG ＝12EG ＝20 2 cm ，可得PG ＝602＋(202)2＝2011(cm).于是四棱锥P -EFGH 的侧面积S 1＝4×12×40×(2011)2－202＝1 60010(cm 2)，四棱柱EFGH -ABCD 的侧面积S 2＝4×40×20＝3 200(cm 2)，故该安全标识墩的侧面积S ＝S 1＋S 2＝1 600(10＋2)(cm 2).18．(本小题满分12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.[解析] 不会溢出杯子.理由如下：由题图可知半球的半径为4 cm ，所以V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)，V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×12＝64π(c m 3).因为V 半球<V 圆锥，所以如果冰淇淋融化了，不会溢出杯子.19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点.(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.[解析](1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点.(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.20．(本小题满分12分)(2020·江苏卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点.(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1．[解析](1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1．又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1．(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C1，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1．21．(本小题满分12分)在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC 且分别交AC，SC于D，E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角E－BD－C的大小.[解析](1)证明：如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE∩BE＝E，根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，∵BD⊂平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD.又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC.在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，设SA＝AB＝1，则SB＝ 2.由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB.在Rt △SBC 中，SB ＝BC ＝2，∠SBC ＝90°，则SC ＝2．在Rt △SAC 中，∠SAC ＝90°，SA ＝1，SC ＝2． ∴cos ∠ASC ＝SA SC ＝12，∴∠ASC ＝60°，即二面角E －BD －C 的大小为60°. 22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，AB ＝2A 1A ＝4，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接A 1D ，DC 1．(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°. ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ； ②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值. [解析] (1)证明：连接AB 1， ∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形， ∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1． ∴DC 1∥平面A 1ABB 1．(2)①证明：如图，取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM .易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ， ∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1－DC －A 的平面角， ∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2， ∴AD ＝AC ＝22，∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ，∴AC ⊥平面A 1AD . 又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD .∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ， ∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥DC 1，∴DC 1与平面A 1AD 所成角等于AB 1与平面A 1AD 所成角. 由①知A 1C 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为DC 1在平面A 1AD 内的射影，故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角，在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63， ∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。

高一数学立体几何单元测试及答案

立体几何综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题，其中是真命题的为()(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；(4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(4) D．(3)(4)A[(1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行．综上：(1)(2)为真命题．]2．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3B[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确．因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A．4 B．5C．6 D．7C[如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C.]4．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[对于A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；对于C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，lβ，故错误．故选B.] 5．如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对D[∵DA⊥AB，DA⊥P A，∴DA⊥平面P AB.同理BC⊥平面P AB，又AB⊥平面P AD，∴DC⊥平面P AD，∴平面P AD⊥平面AC，平面P AB⊥平面AC，平面PBC⊥平面P AB，平面P AB⊥平面P AD，平面PDC⊥平面P AD，共5对．]6．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC.]7．下列命题中正确的是()A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线C[将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.] 8．如图所示的组合体，其构成形式是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体D[根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．]9．设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2B[由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝4a2＋a2＋a2，解得R＝62a，所求球的表面积S＝4πR2＝6πa2.]10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa2B[由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R＝OA满足R2＝⎝⎛⎭⎪⎫33a2＋⎝⎛⎭⎪⎫12a2＝7 12a 2，故S球＝4πR2＝73πa2.]11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310C[如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径为R ＝OA ＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝132.]12．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ⊥α，m α，则l ⊥mB ．若l ⊥m ，m α，则l ⊥αC ．若l ∥m ，m α，则l ∥αD ．若l ∥α，m α，则l ∥m A [对于A ，若l ⊥α，m α，则根据直线与平面垂直的性质，知l ⊥m ，故A 正确；对于B ，若l ⊥m ，m α，则l 可能在α内，故B 不正确；对于C ，若l ∥m ，m α，则l ∥α或l α，故C 不正确；对于D ，若l ∥α，m α，则l 与m 可能平行，也可能异面，故D 不正确．故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正六棱柱的侧面积为72 cm 2，高为6 cm ，那么它的体积为__________cm 3. 363 [设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x ·6＝72，所以x ＝2 cm ，于是其体积V ＝34×22×6×6＝36 3 cm 3.]14．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________． 180° [S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l . 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.]15．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C1MN等于________．90°[∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN.又∠B1MN为直角，∴B1M⊥MN.而B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面MB1C1.又MC1平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.]16．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．63 [设四面体的高为h ，则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63.]B三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连结A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′BC ′D 的体积．[解] (1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴六个面是互相全等的正方形，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′ABD ，C ′BCD ，D A ′D ′C ′， B A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB .又因为EF 平面ABC ，AB 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC 平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD .因为AD 平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB 平面ABC ，BC 平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC 平面ABC ，所以AD ⊥AC .19.(本小题满分12分)如图，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；(2)若∠AOQ＝120°，QB＝3，求圆锥的表面积．[解](1)证明：∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，∴QB⊥SC，QB⊥OC.∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC.又∵QB平面SBQ，∴平面SOC⊥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝3，∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝ 3.∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝6，∴S侧＝3·6π＝32π，∴S表＝S侧＋S底＝32π＋3π＝(3＋32)π.20．(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥平面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；(3)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．[解](1)证明：连结OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥P A.∵OE平面BDE，P A平面BDE，∴P A∥平面BDE. (2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC.又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面P AC.又∵BD平面BDE，∴平面P AC⊥平面BDE.(3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO .又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥BD .∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ，∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.21.(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC 的值．[解] (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高．又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM . 由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN .又BM 平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13.22．(本小题满分12分)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．(1) (2)(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．这样的设问该怎么回答？[解](1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB，BC平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC，而A1F平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，∵BE平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(A1B的中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。

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数学
一．选择题:本大题共8小题；每小题5分，共40分. 在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是( )
A.045-是锐角
B. 第二象限角大于090
C ．090是第一象限角 D. 0180-与0180的终边相同 2. ︒-120sin 的值是( )
A. 0.5
B.
0.5
- C.
D. 3. 函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（） A.0 B.
4
π
C.
2
π
D. π
4. 将函数sin()3
y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3
π个单位，
得到的图象对应的解析式是（）
A. sin(2)6
y x π=- B.1sin()2
2
y x π=- C.
1sin 2y x = D. 1sin()26
y x π=-
5. 设α角属于第二象限，且2
cos 2cos α
α-=，则2
α角属于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第
三象限 D. 第四象限 6. 若,4
2π
απ
-<<- 则（） A. αααtan sin cos >> B.αααsin tan cos >>
C. αααtan cos sin >>
D.αααcos sin tan >> 7.设
)
(x f 是定义域为
R
,最小正周期为
2
3π的函数,且
⎪⎩
⎪⎨⎧
<≤<≤-=)0(sin )02
(cos )(ππx x x x x f ,则)415(π-f 等于( ) A.1
B.2
C.0
D.-
8. 若函数,,0,)3(sin 2)(R x x x f ∈>+=ωπω又0)(,2)(=-=βαf f ,且
||βα-的最小值等于π
4
3
.则函数)(x f 的一个单调递增区间
是( )
A ．)4
,2(ππ- B ．),4
(ππ C
．
),2
(ππ
- D ．)2
,2(ππ-
二.填空题:本大题共7个小题，每小题5分，共35分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.
9. 若ααα则,0tan sin >⋅是第________________ 象限角. 10. 5
π-弧度等于_______度.
11. 设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 .
12. 在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，
射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为0120，若要光源恰好照亮整个广场，则其高应为_______m . 13. 化简：
00000360sin 270cos 180sin 90cos 0tan r q p x m ---+=__________.
14. 函数x y sin 3=的最小正周期为_______; 值域是_________. 15. 给出下列四个命题： ①函数
2sin(2)
3
y x π
=-的一条对称轴是512
x π=； ②函数
tan y x =的图象关于点(
2
π
,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数; ④函数x y cos =的所有零点可表示为22ππ+=k x ，
其中k Z ∈.以上四个命题中正确．．的有（将所有正确命题前面的序号都填写）
三.解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）已知2
2log )cos(2=-πα，求ααsin tan +的
值.
17（本题满分12分）求函数x x y tan log 22
1++=+x cos 的定义
域.
18．（本题满分12分）已知α为第三象限角，
()
3
sin()cos()tan() 22
tan()sin()
f
ππ
ααπα
α
απαπ
-+-
=
----
．
（Ⅰ）化简()
fα;
（Ⅱ）若31
cos()
25
π
α-=，求()
fα的值.
19．(本小题满分13分) 设集合
}
sin ,4,2
1
{x A =,集合
}cos ,2
3
{x B -
= （Ⅰ）若A B ⊂,求x 的值;
（Ⅱ）若}{y B A =⋂,求y x 、的值.
20．（本题满分13分）某港口的水深y （米）是时间t （
024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间
与水深的关系表：
经过长期观测,
()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+.
（Ⅰ）根据以上数据，求出()y f t =的解析式;
（Ⅱ）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
21．(本小题满分13分) 设关于
x
的函数
12cos 2sin 22+---=a x a x y 的最小值为()f a ,试确定满足1()2
f a =
的a 的值,并对此时的a 值求y 的最大值.。