人教版高中数学高二-数学学案 余弦定理(一) (人教A版必修5)
人教A版高中数学高二必修5课件余弦定理(一)
第三边所对的角是直角.
1.1.2 余弦定理(一)
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[预习导引]
1.余弦定理 三角形中任何一边的 平方等于其他两边的 平方 的和 减去这两边与它们的 夹角 的余弦的积的 两倍 . 即a2＝b2＋c2－2bccos A ，b2＝ c2＋a2－2cacos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
1.1.2 余弦定理(一)
1.1.2 余弦定理(一)
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(2)在△ABC中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角 形.
解 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.
即 c2－
6c＋1＝0，解得 c＝
6＋ 2
2 或 c＝
6－ 2
2 ，
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当c＝
6＋ 2
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当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 21＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°. 法二 由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×21＝ 23， 由b＜c，∴C＝60°或120°， 当C＝60°时，A＝90°，
由勾股定理得 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6， 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形. ∴a＝3.
解 ∵c＞a，c＞b，∴角C最大. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即37＝9＋16－24cos C，∴cos C＝－12， ∵0°＜C＜180°，∴C＝120°. ∴△ABC的最大内角为120°.
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规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理 求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据 边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解. (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k， 从而转化为已知三边解三角形.
余弦定理的教案
余弦定理的教案余弦定理的教案作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
如何把教案做到重点突出呢？以下是小编收集整理的余弦定理的教案，欢迎阅读与收藏。
余弦定理的教案1一、教材分析《余弦定理》选自人教A版高中数学必修五第一章第一节第一课时。
本节课的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角”“三边”的解三角形问题。
余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一定的方法指导。
其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是高中数学学习的一个十分重要的内容。
二、教学目标知识与技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。
2、掌握余弦定理的推导、证明过程。
3、能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。
过程与方法：1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。
2、通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。
3、通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验解决问题的成功喜悦。
2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。
三、教学重难点重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。
难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判断。
四、教学用具普通教学工具、多媒体工具（以上均为命题教学的准备）余弦定理的教案2一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
高中数学余弦定理 教案(新人教A版必修5)
数学：1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）余弦定理一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章第二节二、设计思想：1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。
因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。
3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。
激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。
4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问题，经过启发、引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。
三、教学目标：1、知识与技能：理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题2．过程与方法：通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。
3．情感、态度与价值观：探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。
通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。
四、教学重点：通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。
五、教学难点：余弦定理的灵活应用六、教学流程：(一)创设情境，课题导入：1、复习：已知A=045,b=16解三角形。
高中数学人教A版必修5 1.1.2余弦定理学案
高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理学案【课前自主学习】预习课本P5～6，思考并完成以下问题(1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角，如何解三角形？(3)已知三角形的三边，如何解三角形？【新知探究•夯实知识基础】余弦定理[点睛]余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．【学练结合】(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a2>b2＋c2时，cos A＝b2＋c2－a22bc<0.因为0<A<π，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．答案：(1)√(2)√(3)×2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A.39B．8 3C．10 2 D．7 3解析：选D由余弦定理得：c＝92＋(23)2－2×9×23×cos 150°＝147＝7 3.3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°解析：选C由cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()A.14 B.34C.24 D.23解析：选B由b2＝ac且c＝2a得cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a·2a＝34.故选B.【学以致用•探究解题方法】题型一已知两边与一角解三角形[典例](1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A＝π6，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cos C＝910，则BC＝________.[解析](1)由余弦定理得：a＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝4×602－3×602＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×910，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.[答案](1)60(2)4或5[解题规律总结][活学活用]在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，∴b＝2 2.又∵cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.题型二已知三角形的三边解三角形[典例]在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形．[解]法一：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.法二：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6)2＋(3＋3)2－(23)22×6×(3＋3)＝22，∴A＝45°.由正弦定理asin A＝bsin B知23sin 45°＝6sin B，得sin B＝6·sin 45°23＝12.由a>b知A>B，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°. [解题规律总结][活学活用]已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：选C ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ，由余弦定理可得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(a 2＋b 2＋ab )2ab ＝－ab 2ab ＝－12， ∵0°<C <180°，∴C ＝120°，故选C.题型三 利用余弦定理判断三角形形状[典例] 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：[法一 化角为边] 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，∴b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2.∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． [法二 化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin 2C sin 2B ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B sin C cos B cos C . 又sin B sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C ，即cos(B ＋C )＝0. 又∵0°<B ＋C <180°，∴B ＋C ＝90°，∴A ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．[解题规律总结][活学活用]在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以a cos A ＝b cos B 可化为sin Acos A ＝sin B cos B ，sin 2A ＝sin 2B ，又△ABC 中，A ，B ，C ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 的形状为等腰或直角三角形．[活学活用]在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.题型四 正、余弦定理的综合应用命题点一：利用正、余弦定理解三角形1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB.(1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B. 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故由正弦定理得a ＝b ·sin Asin B ＝1＋ 3. 由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°， c ＝b ·sin Csin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.命题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC 中，求证a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C . 证明：法一：(化为角的关系式)a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝(2R ·sin A )2·2sin B ·cos B ＋(2R ·sin B )2·2sin A ·cos A ＝8R 2sin A ·sin B (sin A ·cos B ＋cos A sin B )＝8R 2sin A sin B sin C ＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C .∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A cos A ＝a 2·2b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a2R ·b 2＋c 2－a 22bc＝ab 2Rc (a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2)＝ab 2Rc ·2c 2＝2ab ·c2R ＝2ab sin C ＝右边，∴原式得证．命题点三：正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇应用3．已知△ABC 的周长为4(2＋1)，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有sin B ＋sin C ＝2sin A .(1)求边长a的值；(2)若△ABC的面积为S＝3sin A，求AB·AC的值．解：(1)由正弦定理，得b＋c＝2a.①又a＋b＋c＝4(2＋1)，②联立①②，解得a＝4.(2)∵S△ABC＝3sin A，∴12bc sin A＝3sin A，即bc＝6.又∵b＋c＝2a＝42，∴由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(b＋c)2－2bc－a22bc＝13.∴AB·AC＝bc cos A＝2.[解题规律总结]高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理同步检测基础达标题1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于() A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－183．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－a2－b22ab>0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－4 3C．1 D.2 35．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为()A.π6 B.π3或2π3C.π3 D.π6或5π66．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b＝________.9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.能力达标题1．在△ABC中，有下列关系式：①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B；③a2＋b2－c2＝2ab cos C；④b＝c sin A＋a sin C.一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为()A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定3．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则a sin (30°－C)b－c＝()A.12 B.32 C．－12D．－325．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin Bsin C的值为________．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos Ccos B＝2c－ab.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．8．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC＝3DC.(1)若∠DAC＝30°，求B；(2)若BD＝2DC，且AD＝22，求DC.高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理同步检测解析基础达标题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18 解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9， 所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形 解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3或2π3 C.π3D.π6或5π6解析：选B 因为(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， 所以2ac cos B tan B ＝3ac ，即sin B ＝32， 所以B ＝π3或B ＝2π3，故选 B.6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：07．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3， ∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. 答案：18．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：49．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .解：∵a >c >b ，∴A 为最大角． 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A <180°， ∴A ＝120°，∴sin A ＝sin 120°＝32.由正弦定理，得sin C ＝c sin A a ＝5×327＝5314. ∴最大角A 为120°，sin C ＝5314.能力达标题1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C .一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋sin C cos B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B＝sin C sin A＋sin A sin C＝2sin A sin C，又sin B＝sin(A＋C)＝cos C sin A＋cos A sin C，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C. 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为()A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定解析：选A在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2 a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.3．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：选B∵cos2B2＝a＋c2c，∴cos B＋12＝a＋c2c，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2＋bc－a2＝0，则a sin (30°－C)b－c＝()A.12 B.32C．－12D．－32解析：选A由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，又b2＋c2＋bc－a2＝0，则cos A＝－12，又0°<A<180°，则A＝120°，有B＝60°－C，所以a sin (30°－C)b－c＝sin A sin (30°－C )sin (60°－C )－sin C ＝34cos C －34 sin C 32cos C －32sin C＝12.故选A. 5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．解析：∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝22，∴sin C ＝22， ∴AD ＝AC sin C ＝ 3. 答案： 36．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得： AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案：357．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B＝2c －ab .(1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2， 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.8．如图，D 是直角三角形△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC .(1)若∠DAC ＝30°，求B ；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC . 解：(1)在△ADC 中，根据正弦定理， 有AC sin ∠ADC ＝DC sin ∠DAC， ∵AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32， 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°， ∴∠ADC ＝120°，∴∠C ＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B ＝60°. (2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ， ∴sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x ， 在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ， 即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2， 得x ＝2.故DC ＝2.。
1.1.余弦定理-人教A版必修五教案
1.1.余弦定理-人教A版必修五教案一、教学目标1.知道余弦定理的表述和含义；2.掌握余弦定理的使用方法，能够解决与三角形边长和角度有关的问题；3.运用余弦定理解决实际问题。
二、教学重点1.了解余弦定理的含义和意义；2.掌握余弦定理的使用方法。
三、教学难点1.运用余弦定理解决实际问题。
四、课前准备1.根据教材内容，精心准备三角形问题的练习题；2.准备黑板笔、板书、三角板等教具。
五、教学步骤与内容1. 余弦定理的引入（5分钟）余弦定理是解决三角形问题的重要定理，那么在引入该定理的时候，我们可以从以下几个角度来讲解：1.引入三角形的“cos定理”；2.以实例讲解余弦公式的基本内涵；3.通过简单的问题分析帮助学生理解该定理的重要性。
2. 余弦定理的推导（10分钟）在学习定理的时候，很多时候我们需要通过推导，来观察其内涵和基本原理。
而在推导该定理的时候，我们可以运用以下几个步骤：1.通过向量的基本公式了解cos值的含义；2.通过向量的点积公式导出cos值的计算公式；3.运用将向量分解的方法，得到余弦定理的推导过程；4.总结上述步骤，为学生进行详细讲解。
3. 余弦定理的应用（25分钟）学生在学会余弦定理的推导过程后，我们需要让他们通过一些实际问题来进行余弦定理的应用练习。
为了使学生对余弦定理的应用有更多的了解，我们可以运用以下几个练习题：1.让学生描述自己在余弦定理的学习中的收获；2.通过代入余弦定理，让学生求解三角形边长问题；3.通过代入余弦定理，让学生求解三角形内角余弦值问题；4.设计更多实用的练习题，让学生在运用余弦定理中不断巩固知识。
4. 教学总结与思考（10分钟）在教学结束后，我们需要对本次教学进行总结和思考，可以从以下几个方面来进行：1.总结本次课堂主要内容和重点难点；2.整理一下学生在课堂上提出的问题，并对其进行解答；3.尝试引导学生思考本节课所包含的数学思想和意义；4.根据本次课程，给学生布置一组自主思考和解决的练习。
人教A版数学必修5第一章第2节《余弦定理》 教学设计
“体现高中数学相关分支教育价值的教学设计”余弦定理（人教A必修5第一章第2节）一、教学设计⏹内容和内容解析余弦定理是《普通高中课程标准实验教科书•数学》(人教版)必修5第1章“解三角形”的主要内容，是反映三角形边角之间等量关系的重要定理，是三角函数和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解决可转化为三角形计算问题的其他数学问题以及生产、生活实际中的测量、设计、计算等问题的重要工具，具有广泛的应用价值.此前学生已经学习了“三角函数”、“平面向量”、“三角恒等变换”,并且学习了正弦定理的发现、证明和应用,具有初步的归纳、猜想和证明意识,因此在余弦定理教学中，应以学生的已有知识为固着点，突出问题引导，着眼多元联系，诱导学生展开有质量的联想，有效地激发学生的思维，让学生全程参与到定理的探究、发现和证明之中，体验数学发现和创造的历程.为此，本节课教学重点:余弦定理的探究、发现与证明.教学难点:余弦定理的证明思路的引导与发现.⏹目标和目标解析1经历发现、猜想、推导余弦定理的过程,享受数学发现的快乐,激发学习兴趣.2通过与三角、向量、平面几何等知识的联系，能多个角度证明余弦定理，体会向量方法的作用,比较不同证法的区别与联系,体验余弦定理的不同结构、表现形式和含义.3感悟“类比”、“函数与方程”、“特殊到一般”、“化归与转化”、“数形结合”、不变量”等思想方法. 4能用余弦定理解决一些简单的解三角形问题.⏹教学问题诊断分析在已有勾股定理和正弦定理学习的基础上，让学生独立地“再发现”余弦定理是有困难的，学生难以想到“由两边夹角求第三边“时还要先建立平方关系；让学生比较”自然地”想到向量方法来证明也是困难的，定理证明所包含的数学思想学生也不容易体会到.因此需要教师真正洞察余弦定理的知识结构，把握余弦定理的认知基础，在生成和证明余弦定理时，教师启发的着力点要放在如何发现余弦定理，怎样运用向量法去证明.⏹教学支持条件分析定理的教学绝对不应该是定理的直接灌输、简单记忆、表面应用，重要的是发现问题、提出问题、探索结论、猜想归纳、模拟实验、演绎证明。
人教A版数学必修5-1.1.2 余弦定理(第一课时) 教学设计
编写时间：2021年月日2021-2022学年第一学期编写人：形体系，确定边角边和边边边是两类可解的解三角形问题，使学生产生进一步探索解决问题的动机. （二） 分析问题，确定方案探究一：已知两边及其夹角解三角形问题：怎样确定解决问题的方案？设置意图：通过学生的独立思考，畅所欲言，确定思路，让更多的学生有的放矢，明确解决问题的方向.学生活动：小组合作，相互讨论，展示结果.过程说明：通过确定方案，放手让学生自己探究发现证明余弦定理.必要时加以引导如：第三边可以放在直角三角形中求解吗？涉及边长和夹角，三角形是三条线段首尾相接所组成的封闭图形，可以用向量的等式来表示吗？两点之间的距离，能用坐标法求解吗？设置意图：将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度联想去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明.使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高. （三） 发现定理，分析内涵不同方法探索并证明余弦定理之后，通过观察余弦定理结构特征，层层深入，去分析余弦定理的内涵.思考：观察C ab b a c cos 2222-+=的结构特征，谈一谈你对等式的理解.设置意图：分析等式的外延和内涵，自然的得到余弦定理及其推论. （四） 解决问题，理解定理得到了余弦定理，继续完成已知边角边求解角的过程，和已知三边解三角形的过程.探究二：已知三边解三角形设置意图：通过解三角形的过程，不但发现余弦定理，还能在求解中进一步理解和应用余弦定理. （五） 例题展示，巩固定理例：在ABC ∆中，已知,30,3,32︒===A b c 解三角形.设置意图：巩固熟悉余弦定理，从例题的思考，展示，交流，点评中使学生对正余弦定理解三角形有进一步的体验. （六） 课堂小结，提炼过程思考：余弦定理及其推论发现和证明的过程是怎样的？在这个过程中你有 什么体会？设置意图：小结环节设置了两个问题：谈过程，谈体会.目的是不但让学生经历整个探究学习过程，还能在此基础上对本节课有整体的认识，说出整个过程的环节，感受以及发现证明定理运用的方法等. （七） 布置作业，课后探究（1） 课本10P A 组3,4题（2） 拓展思考：相等和不等是一对辩证的关系，请根据角的范围讨论余弦定理中所蕴含的相等和不等关系.设置意图：作业一是巩固熟悉利用余弦定理解三角形，作业二的目的是进一步挖掘余弦定理的内涵.。
高中数学余弦定理教案(优秀5篇)
高中数学余弦定理教案（优秀5篇）高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了边与角的互化，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。
(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
⒈情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；(三)本节课的重难点教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。
教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。
下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说学情从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
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1.1.2 余弦定理(一)
课时目标 1.熟记余弦定理及其推论.2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．
1．余弦定理
三角形中任何一边的______等于其他两边的______的和减去这两边与它们的____的余弦的积的______．即a 2＝______________，b 2＝__________________，c 2＝_______. 2．余弦定理的推论
cos A ＝______________________；cos B ＝______________________；cos C ＝______. 3．在△ABC 中：
(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝______； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝______； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝______.
一、选择题
1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5
2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12
3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos
B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23
5．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b
2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形
状为( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
6．在△ABC 中，已知面积S ＝1
4
(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )
A ．135°
B ．45°
C ．60°
D ．120° 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________. 8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.
9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．
10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π
3
，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋
B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
能力提升
13．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
1．1.2 余弦定理(一)
知识梳理
1．平方 平方 夹角 两倍 b 2＋c 2－2bc cos A a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab
3．(1)90° (2)60° (3)135° 作业设计 1．A
2．B [∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝
72＋
432－13
2
2×7×43
＝
3
2
. ∴C ＝π6
.]
3．C [b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 2
2a
＝a ＝2.] 4．B
[∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝
2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝3
4
.]
5．B [∵sin 2
A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝
b 2＋
c 2－a 2
2bc
a 2＋
b 2＝
c 2，
符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．] 6．B [∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝1
2ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .
由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .]
7．120° 8．30°
解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12， ∴c ＝2 3.
由正弦定理a sin A ＝c sin C 得，sin A ＝1
2.
∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.
9．120°
解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－
a 2＋a
b ＋b 22
2ab
＝－1
2
，∴θ＝120°.
10．－2 3
解析 S △ABC ＝1
2
ac sin B ＝3，
∴c ＝4.
由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝12
13，
∴tan C ＝－12＝－2 3.
11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝2
3，设中线长为x ，由余弦定
理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， ∴x ＝7.
所以所求中线长为7.
12．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1
2，
又∵C ∈(0°，180°)， ∴C ＝120°.
(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，
∴⎩⎨⎧
a ＋
b ＝23，ab ＝2.
∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.
(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝3
2.
13. 3
解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝2
2，
∴sin C ＝
2
2
. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 14．解 由余弦定理知
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ，
代入已知条件得
a ·
b 2＋
c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab
＝0，
通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4. ∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。