对坐标的曲线积分的概念与性质.
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对坐标的曲线积分
4、性质 性质1 设、 为常数，则 L [F1 ( x, y ) F2 ( x, y )] dr L F1 ( x, y ) dr L F2 ( x, y ) dr 性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和L2，则 L F ( x, y) dr L1 F ( x, y) dr L2 F ( x, y) dr 性质3 设L是有向光滑曲线弧，L-是L的反向曲线弧， 则
时，点M ( x, y )从L的起点A沿L运动到终点B， (t )、 (t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数 , 且 ' (t ) ' (t ) 0，则曲线积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy
2 2 L
存在, 且 : P( x, y )dx Q( x, y )dy
L
2 xydx x 2 dy 2 xydx x 2 dy
y 2 ydy
1 4 2 1 y dy 5 1
y 4 2 5 1 5
例2 计算 y 2 dx 其中L为 :
L
(1)半径为a、圆心为原点, 按逆时针方向绕行的上半圆周；
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段.
解:(1) L的参数方程 :
x a cos y a sin
3
4 3 a 3 0
x由a变到 a 0
y dx
2 L
a 0dx a
注意: 由此题可见，当两个曲线积分的被积函数相同，
起点、终点相同时，沿不同路径的曲线积分并不相等.
例3 计算 2 xydx x 2 dy, 其中L为 :
L
高数10-2
Γ
性质 是有向曲线弧, 反向的有向曲线弧 的有向曲线弧, （1） 设 L是有向曲线弧 − L 是与 L 反向的有向曲线弧 则 ）
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = −∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
−L L
对坐标的曲线积分具有方向性. 对坐标的曲线积分具有方向性. 方向性 合并而成， （2） 设有向曲线弧 L 是由有向曲线弧 L1 , L2合并而成， 即 ）
π
2
(
)
3
∫
L
y dx = ∫ 0dx = 0
2 a
−a
此题说明：对坐标的曲线积分一般与路径有关。 一般与路径有关 此题说明：对坐标的曲线积分一般与路径有关。
11
例4 计算 I =
y = x 2上从 O (0,0 ) 到 B (1,1)的一段弧； （1）抛物线 ） 的一段弧；
∫
L
2 xydx + x 2 dy 其中 L 为：
L = L1 + L2 , 则
∫ Pdx + Qdy = ∫
L
L1
Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy
L2
对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性 对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性. 关于积分弧段具有可加性
6
二. 对坐标的曲线积分的计算法
x = ϕ (t ) 定理 设曲线弧 L 由参数方程 给出， 且满足下列条件： 给出， 且满足下列条件： y = ψ (t )
可简记作： ∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x, y)dy 可简记作：∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
性质 是有向曲线弧, 反向的有向曲线弧 的有向曲线弧, （1） 设 L是有向曲线弧 − L 是与 L 反向的有向曲线弧 则 ）
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = −∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
−L L
对坐标的曲线积分具有方向性. 对坐标的曲线积分具有方向性. 方向性 合并而成， （2） 设有向曲线弧 L 是由有向曲线弧 L1 , L2合并而成， 即 ）
π
2
(
)
3
∫
L
y dx = ∫ 0dx = 0
2 a
−a
此题说明：对坐标的曲线积分一般与路径有关。 一般与路径有关 此题说明：对坐标的曲线积分一般与路径有关。
11
例4 计算 I =
y = x 2上从 O (0,0 ) 到 B (1,1)的一段弧； （1）抛物线 ） 的一段弧；
∫
L
2 xydx + x 2 dy 其中 L 为：
L = L1 + L2 , 则
∫ Pdx + Qdy = ∫
L
L1
Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy
L2
对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性 对坐标的曲线积分关于积分弧段具有可加性. 关于积分弧段具有可加性
6
二. 对坐标的曲线积分的计算法
x = ϕ (t ) 定理 设曲线弧 L 由参数方程 给出， 且满足下列条件： 给出， 且满足下列条件： y = ψ (t )
可简记作： ∫ P( x, y)dx + ∫ Q( x, y)dy 可简记作：∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy
对坐标的积分
于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧 MoMn 上所作功的 近似值为
W Wi P (x i ,h i )xi Q(x i ,h i )yi .
i 1 i 1 n n
令 表示 n 个小弧段的最大弧长，当 0 时， 上式 的右端极限如果存在， 则这个极限就是 W 的精确值，
a b Q( x, y)dy a Q[x(t ), y(t )] y(t )dt .
L L
P ( x, y )dx P[x(t ), y( t )] x( t )dt . (11.2.1)
(11.2.2)
b
证明从略.
对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算， 其要点是： (1) 因为 P(x, y)、 Q(x, y) 定义在曲线 L 上， 所以 x、 y 应分别换为 x(t)、 y(t)； (2) dx、dy 是有向小曲线段在坐标轴上的投 影， dx = x(t)dt、 dy = y(t)dt ； (3) 起点 A 对应的参数 t = a 是对 t 积分的下 限，终点 B 对应的参数 t = b 是对 t 积分的上限.
对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 在应 用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即
简记为
L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
L
L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
称之为组合曲线积分.
设Ｌ是有向曲线弧，记Ｌ- 是与Ｌ方向相反的有向 曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：
第五模块
第四节
二重积分与曲线积分
对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念
二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系
高等数学之对坐标的曲线积分
高 等 数 学 电 子 案
例1 计算 L xydx
,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点
y
B(1,1) o A(1,-1)
B(1,1)的一段弧.
解法一：把x作为参数,利用对x的定积分
x
来计算,把L分成AO和OB两段,被积函数
可用积分路线的方程来处理.
xydx
L
AO
xydx xydx
由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) xi ( i)ti
应用微分中值定理，有 其中 ti ti ti 1 , i 在 ti 1 与 t i 之间，于是
L
P( x, y )dx lim P ( i ), ( i ) ( i)ti
L 0 i 1 i i
n
i
为P(x,y)对坐标x的曲线积分； 当P=0 时,
Q( , )y Q( x, y)dy lim
L 0 i 1 i i
n
i
为Q(x,y)对坐标y的曲线积分.
高 等 上述定义可推广到空间曲线Γ的情况： 数 学 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz 电 n 子 [P(i ,i , i )xi Q(i ,i , i )yi R(i ,i , i )zi ] 案 lim 0
P( x, y)dx 存在，并且有
L
P( x, y)dx P (t ), (t ) (t )dt
L
同理可证：
Q( x, y)dx Q (t ), (t ) (t )dt
L
高 等 (1)式推广到空间曲线,得到如下公式： 数 学 设 x x(t ), y y(t ), z z(t ), 则 电 子 Pdx Qdy Rdz 案
数学分析考研讲义10
∫ 的部分，计算积分 xyds . C
{ 解：因C :
x = r cosθ y = r sinθ
，0
≤θ
≤
π 2
，所以
∫ ∫ ∫ xyds =
π
2 r2 sinθ cosθ
r2 dθ = r3
uLv+
r
∫ （2） L = L1 + L2 ，
F ( x, y) d r
L
uv
r uv
r
= ∫L1 F ( x, y) d r + ∫L2 F ( x, y) d r .
（3） （4）
∫L ∫L
k
⋅
uv F
(
x,
uv uFv
(
x,
y
r
)y+) rdGuvr(=x,kuyv⋅)∫L
uv F
(
∴
∫L
(
x,
y
)
ds
=
1
∫0
xdx
+
1
∫0
ydy
+
1
∫0
(
x
+
1
−
x
)
2dx
= 1 + 1 + 2 =1+ 2 . 22
∫ 例 10.1.2 （湖南大学考研试题）计算 x2 + y2 ds ，其中 c : x2 + y2 = −2 y . c
解：令 x = r cosθ ， y = r sinθ ，则 c : r = −2sinθ (−π ≤ θ ≤ 0) .
)
dx
+
Q
( x,
r
y
)
dy
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线-
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, ,n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L上对坐 标 x的积分, 记为
作用下, 沿曲线 L 从点 A移到点B, 则力F 所做的功为
W yzdx 3xzdy 2xydz.
而在曲线上, 有
dy dz
x dx, a2 x2
z
y a2 x2
yz0
O
y
x
W yzdx 3xz`dy 2xydz
yzdx xzdy
a
a2
x2
x
a2 x2
a
a a2dx 2a3. a
x dx
a2 x2
三、两类曲线积分的联系
变到 时, 点 M x, y 从 L的起点 A沿L移动到L 的终
点B, 则有
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
b
a
P
(t
),
(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
)
(t
)dt.
（8.7）
下面来推导该公式.
因 P x, y,Qx, y在 L 上连续, 故所给的曲线积分
定存在. 在 L上取取一一列点 A M 0 , M1, M 2 , , M n1,
故, 单位切向量为
y
e
1 1,2x.
1 4x2
y x2
O
x
2.变力沿曲线的作功问题
设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B, 在移
高等数学对坐标的曲面积分
cos
1 1 x2 y2
(z2 x)( x)dxdy
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
dxdy
cos
对坐标的曲面积分
(z2 x)dydz (z2 x)( x)dxdy
(z2 x)由dy对dz称性zdxdy
z 1(x2 y2)
[(z2 x14)x((xx2 )yz2 )]d2dxxddyy 0
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)cos dS
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(P cos Q cos Rcos )dS
其中cos、cos 、cos 是有向曲面Σ在点 ( x, y, z)
处的法向量的方向余弦. 不论哪一侧都成立.
对坐标的曲面积分
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
2
1
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
Dxy
对坐标的曲面积分
Dxy : x2 y2 1( x 0, y 0)
xy 1 x2 y2dxdy xy( 1 x2 y2 )dxdy
对坐标的曲面积分 Mobius(1790--1868) 19世纪德国数学家
(2) 单侧曲面
莫比乌斯(Mobius)带.
它是由一张长方形纸条ABCD, 扭转一下,
将A、D粘在一起，B、C 粘在一起形成的环
行带.小毛虫在莫比乌斯带上,不通过边界可以
爬到任何一点去.
这在双侧曲面上是不能实现的.
决定了侧的曲面称为 有向曲面.
i 1
2. 存在条件
当P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在有向光滑
11-2 对坐标的曲线积分
第二讲 对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
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n
lim
0
i 1
P[
(
i
)
,
(
i
)]
(
i)ti
因为L 为光滑弧 ,
n
lim
0
i 1
P[
(i),( Nhomakorabeai
)]
(
i
)ti
P[ (t), (t)](t)dt
同理可证
Q[ (t), (t)] (t) d t
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特别是, 如果 L 的方程为 y (x), x : a b,则
3) “近似和”
n
W P(k , k )xk Q(ξk , k )yk
k 1
4) “取极限”
n
W
lim
0
k
1
P(ξk
,
ηk
)Δxk
(其中 为 n 个小弧段的
Q(ξk , ηk )Δyk
y F(k , k )
最大长度)
L
M ykk
B
Mxkk1
A
x
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ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
x (t) 对空间光滑曲线弧 : y (t) t : , 类似有
z (t)
P[
(t
),
(t
)
,
(t
)]
(t)
(t)
(t )
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定理 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算 xyd x , 其中L 为沿抛物线 y2 x 从点 L
(t),
(t)]
(t
)
Q
[
(t),
(t)]
(t)d
t
证明: 下面先证
P[ (t), (t)](t)dt
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n
根据定义
lim
0
i 1
P(i
,
i
)xi
设分点 xi 对应参数 ti ,
对应参数 i ,
由于 xi xi xi1 (ti ) (ti1) (i)ti
L
1
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o y xx
A(1,1)
2
1
x
3 2
dx
4
0
5
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例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的B
A
上半圆周, 方向为逆时针方向; a o a x
(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
第十章
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用
y L
B
F(x, y) (P(x, y), Q(x, y))
解: (1) 取L的参数方程为
则
y2 dx a2 sin2 t (a sin t )d t
L
0
2a3 2 1 4 a3
3
3
(2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a,则
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例3. 计算
其中L为 y
B(1,1)
Q( k
k 1
,
k
)yk ,
称为对
y
的曲线积分.
若记 d s (d x , dy), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P(x, y)dx Q(x, y)dy
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , dy , dz)
F(x, y, z) (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
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2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
n
lim
0
k 1
P(k , k
记作
)xk
Q(k
, k
)yk
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
都存在, 则称此极限为函数
A(1, 1)到B(1, 1)的一段.
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
y B(1,1)
AO : y x, x :1 0
y x
OB : y x, x : 0 1
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为参数, 则
xydx 1 y2 y( y2 )dy
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取一点
y F(k , k )
L
M ykk B
Mxk k1
A
x
则有
Wk F (k , k ) M k1M k
P(k , k )xk Q(k , k )yk
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在有向曲线弧 L 上
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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n
L
P(x,
y)dx
lim
0
P(k
k 1
,
k
)xk ,
称为对
x
的曲线积分;
n
L
Q(x,
y)d
y
lim
0
(1) 抛物线 L : y x2, x : 0 1; x y 2
(2) 抛物线
y x2
(3) 有向折线 L : OA AB.
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上
有定义且连续,
L
的参数方程为
x y
(t) (t)
t : ,
则曲线积分 存在, 且有
P[
A
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移x
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “大化小”
F A
W F AB cos
B F AB
“常代变” “近似和” “取极限”
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1) “大化 小把”L分. 成 n 个小弧段, F 沿
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3. 性质
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy L
k
P(x, y)dx Q(x, y)dy
i1 L i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
,k
说明:
L P(x, y)dx Q(x, y)dy