2020年高考全国III卷文科数学试题(含解析)
一、选择题1.已知集合{1,2,3,5,7,11}A =，集合{315}B x x =<<，则AB 中元素的个数为（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】{5,7,11}AB =，故A B 中有3个元素.2.若(1)1z i i +=-，则z =（ ） A.1i - B.1i +C.i -D.i【答案】D【解析】21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-+-+，∴z i =. 3.设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.01，则数据1210,10,,10n x x x 方差为（ ）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【解析】由方差计算公式：12,,,n x x x 的方差为2s ，则12,,n ax ax ax 为22a s ，所以20.01s =，则所求为21001s =.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数，当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为(ln193)≈（ ） A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】由*0.23(53)0.951t K K e --=+，得*0.23(53)19t e -=，∴*0.23(53)ln193t -=≈，解得*66t ≈.故选C.5.已知sin sin()13πθθ++=，则sin()6πθ+=（ ）A.12B.3C.23D.2【答案】B【解析】∵sin sin()13πθθ++=，∴1sin sin 12θθθ+=，3sin 12θθ+=)16πθ+=，∴sin()6πθ+=.故选B. 6.在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点，若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【解析】以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴；建立平面直角坐标系，设(,0)A a -，(,0)B a ，(,)C x y ，则(,)AC x a y =+，(,)BC x a y =-，2221AC BC x y a ⋅=+-=，所以2221x y a +=+，则点C 的轨迹为圆.7.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A.1(,0)4B.1(,0)2C.(1,0)D.(2,0)【答案】B【解析】根据题意，设点D ，(2,E -，DE =OD OE ==222OD OE DE +=，可得1p =，∴抛物线的方程为22y x =，∴则C 的焦点坐标为1(,0)2.8.点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为（ ）A.1D.2【答案】B【解析】直线(1)y k x =+恒过点(1,0)A -，故点(0,1)B -到直线(1)y k x =+的距离的最大值为AB =.9.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A.6+B.4+C.6+D.4+【答案】C【解析】由题可知该几何体是如图所示三棱锥P ABC -，底面ABC 为等腰直角三角形，侧棱PC ⊥底面ABC ，其表面积为：11322sin60622S =⨯⨯⨯+⨯=+︒ C.10.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A.a c b << B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A【解析】∵3333log 2log 82a ==<，5533log 3log 272b ==>，32c =，∴a cb <<，故选A.11.在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan B =（ ）B. C. D.【答案】C【解析】∵4AC =，3BC =，2cos 3C =，∴3AB AC =<.又2cos 3C =，∴sin 3C =，又sin sin AC AB B C =，∴sin B =∴1cos 9B ==，tan B =12.已知函数1()sin sin f x x x=+，则（ ） A.()f x 的最小值为2B.()f x 的图象关于y 轴对称C.()f x 的图象关于直线x π=对称D.()f x 的图象关于2x π=【答案】D【解析】A.由于()22f π-=-，A 错误.B.()()f x f x =-显然不成立，B 错误.C.()()f x f x ππ-=+显然不成立，C 错误.D.容易验证()()22f x f x ππ-=+在定义域上恒成立，D 正确. 二、填空题13.若x ，y 满足约束条件0,20,1,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩则32z x y =+的最大值为________.【答案】7【解析】作出可行域如图所示，当32z x y =+经过(1,2)A 时，有max 31227z =⨯+⨯=.14.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则C 的离心率为 .【解析】由题意得b a =c e a ===15.设函数()xe f x x a=+，若(1)4e f '=，则a =________.【答案】1【解析】2(1)()()x e x a f x x a +-'=+，2(1)(1)4ae e f a '==+，解得1a =. 16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积 .【解析】当圆锥内球的半径最大时，记为r ，作出轴截面的图象如图所示，3SA SB ==，2AB =，1BC =，OC OD r ==，∴OS r =.在Rt SOC ∆中，由222OS OC SC =+得，222)2r r =+，解得2r =， ∴球的最大体积为3433r π=. 三、解答题17.设等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列3{log }n a 的前n 项和.若13m m m S S S +++=，求m .【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得11a =，3q =，故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=.（2）由（1）知3log 1n a n =-，∴2(01)22n n n n nS +--==， 又13m m m S S S +++=，∴222(1)(1)(3)(3)222m m m m m m -+-++-++=，解得6m =. 18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【解析】（1）空气质量等级为1的概率430.43100=， 空气质量等级为2的概率270.27100=， 空气质量等级为3的概率210.21100=， 空气质量等级为4的概率90.09100=. （2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为2567161072251280100300500350100100100+++++++++⨯+⨯+⨯=.（3）22⨯列联表如下：∴22100(3383722) 5.82 3.84155457030K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =.证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内.【解析】（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以1BB ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥.因为1111ABCD A B C D -是长方体，且AB BC =，所以ABCD 正方形，所以AC BD ⊥，又1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，又点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，所以EF ⊂平面11BB D D ，所以EF AC ⊥.（2）取1AA 靠近1A 的三等分点M ，连结1D M ，1C F ，MF . 因为E 在1DD ，且12DE ED =，所以1//ED AM ，且1ED AM =， 所以四边形1AED M 为平行四边形，所以1//D M AE ，且1 D M AE =， 又F 在1BB 上，且12BF FB =，所以11//MF A B ，且11MF A B =， 从而11//MF D C ，11MF D C =，所以11D MFC 为平行四边形，所以11//D M C F ，所以1//AE C F ， 所以A ，E ，F ，1C 四点共面.所以点1C 在平面AEF 内.20.已知函数32()f x x kx k =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意可得，定义域为R ，2()3f x x k '=-，①当0k ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在R 上单调递增， ②当0k >时，2()3f x x k '=-，()0f x x '>⇒<x >()f x 在(,-∞单调递增，或()f x 在)+∞单调递增，()0f x x '<⇒<函数()f x 在(上单调递减. （2）32()f x x kx k =-+由（1）可知，0k ≤时（舍去），0k >，保证(0f >且0f <，解之得0247k <<.21.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点. （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积.【解析】（1）∵c e a ===，∴22516m =，∴C 的方程为221612525x y +=.（2）由椭圆对称性不妨取点P 在椭圆C 上半部分，如图所示. 作PC x ⊥轴于点C ，直线6x = 交x 轴于点D ，由已知易证RtPBC Rt BQD ∆≅∆，所以1PC BD ==，BC DQ =，故可设(,1)P x ，代入C 得21612525x +=，解得3x =±，∴(3,1),(6,2)P Q 或(3,1),(6,8)P Q -， 当(3,1),(6,2)P Q 时，221115102102(12)2222APQ ABQ ABP BPQ S S S S ∆∆∆∆=--=⨯⨯-⨯⨯-⨯+=， 当(3,1),(6,8)P Q -时，221115108102(18)2222APQ ABQ ABP BPQ S S S S ∆∆∆∆=--=⨯⨯-⨯⨯-⨯+=， 综上，APQ ∆的面积为52.四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t ty t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点.（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【解析】（1）当0x =时,求得2t =-或1t =（舍）代入223 y t t =-+中,求得12y =;当0y =时,求得2t =或1t =（舍）代入22x t t =--中,求得4x =-,所以曲线与坐标轴交于(0,12)和(4,0)-,故||AB ==（2）由（1）得直线AB 过点(0,12)和(4,0)-,所以直线AB 的解析式为3120x y -+=,故直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=. 23.设a ，b ，c R ∈，0a b c ++=，1abc =. （1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{,,}a b c ≥.【解析】（1）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，222()()2cb bc ca ab a b c ab a b ab a b ab ++=++=-+=---223()024b a b =-+-<.（2）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，∵1abc =，∴()1ab a b -+=，即：2210ba b a ++=，∵0b ≠，则440b b ∆=-≥.不妨设b 为max{,,}a b c ，则340b -≥，即b ≥∴max{,,}a b c ≥。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)(解析版)
2
根据勾股定理可得： AB AD DB 2 2
△ADB 是边长为 2 2 的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
S△ ADB
1 2
AB
AD sin 60
1 2
(2
2)2
3 2 2
3
该几何体的表面积是： 3 2 2 3 6 2 3 .
故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，
x 1,
【答案】7
【解析】
【分析】
作出可行域，利用截距的几何意义解决.
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为 z 3x 2 y ，所以 y 3x z ，易知截距 z 越大，则 z 越大，
22
2
平移直线 y 3x ，当 y 3x z 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，
2
22
y 2x x 1
由
x 1
，得
y
2
，
A(1,
2)
，
所以 zmax 3 1 2 2 7 .
故答案为：7.
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，
是一道容易题.
14.设双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的一条渐近线为 y=
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】因为数据 axi b，(i 1, 2,L ,n) 的方差是数据 xi，(i 1, 2,L , n) 的方差的 a2 倍，
所以所求数据方差为102 0.01=1
故选：C
【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
高考文科数学(3卷)：答案详细解析(最新,word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（III 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（集合）已知集合{}1235711=，，，，，A ，{}315|=<<B x x ，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵{5,7,11}=A B ，∴A ∩B 中元素的个数为3. 【答案】B2．（复数）若)(11+=-z i i ，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【解析】∵)(11+=-z i i ，∴1212--===-+i iz i i ，∴=z i . 【答案】D3．（概率统计）设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【解析】原数据的方差20.01=s ，由方差的性质可知，新数据的方差为21001000.011=⨯=s .【答案】C4．（函数）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1--=+t I K t e ，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95=I t K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【解析】**0.23(53)()0.951--==+t K I t K e，化简得*0.23(53)19-=te ，两边取对数得，*0.23(53)In19-=t ，解得*In1935353660.230.23=+=+≈t . 【答案】C5．（三角函数）已知πsin sin 13θθ++=（），则πsin =6θ+（） A ．12B ．33C ．23D ．22【解析】∵π13sin sin cos 322θθθ+=+（）， ∴π3331sin sin sin 3cos 1322θθθθθθ⎫++==+=+=⎪⎪⎭（）， 31πcos sin 26θθθ+=+（）， π316θ+=（），故π3sin 63θ+==（）.【答案】B6．（解析几何）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1⋅=AC BC ，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【解析】以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,0)-A a ，(,0)B a ，(,)C x y ，则(,)=+AC x a y ，(,)=-BC x a y ，2221⋅=-+=AC BC x a y ，即2221+=+x y a ，故点C 的轨迹为圆.【答案】A7．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220=>y px p 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)【解析】解法一：如图A7所示，由题意可知，(2,2)D p ，(2,2)-E p ，(2,2)=OD p ，(2,2)=-OE p ，⊥OD ⊥OE ，⊥⊥OD OE ， 即22220⨯-=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2. 解法二：4=DE p 44==+OD OE p⊥OD ⊥OE ，⊥222+=OD OE DE ，即2(44)16+=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2.图A7【答案】B8．（解析几何）点(0)1-，到直线()1=+y k x 距离的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】解法一：点(0)1-，到直线()1=+y k x 的距离211+=+k d k ，则有222222(1)122=12111+++==+≤+++k k k kd k k k ，故2≤d . 解法二：已知点()01-，A ，直线()1=+yk x 过定点()10-，B ，由几何性质可知，当直线()1=+y k x 垂直直线AB 时，点()01-，A 到直线()1=+y k x 距离最大，最大值为线段AB 的长度，即max 2=d 【答案】B9．（立体几何）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【解析】由三视图可知，该几何体为一个四面体，如图A8所示. 其表面积(2332226234=⨯+⨯=+S图A9【答案】C10．（函数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵233332log 3=log 93==c ，33log 2log 8==a a <c .∵233552log 5log 253===c 355log 3log 27==b c <b .故a <c <b.【答案】A11．（三角函数）在ABC ∆中，2cos 3C =，4=AC ，3=BC ，则tan B = A 5B ．25C ．45D ．85【解析】解法一：由余弦定理得，2222cos 9=+-⋅⋅=AB AC BC AC BC C ，即3=AB ，∴22299161cos 22339+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC ， ∵(0,π)∈B ，∴245sin 1cos =-=B B ，sin tan 45cos ==BB B. 解法二：3=AB ，所以△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形.过B 作BD ⊥AC ，易得tan 25=B 22tan2tan 451tan 2==-BB B . 【答案】C12．（三角函数）已知函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线π=x 对称D ．f (x )的图像关于直线π2=x 对称 【解析】A ：1sin 1(sin 0)-≤≤≠x x ，当1sin 0-≤<x ，()0<f x ，故A 错误.B ：1()sin ()sin -=--=-f x x f x x，f (x )为奇函数，故B 错误. C ：1(2π)sin ()()sin -=--=-≠f x x f x f x x，故C 错误.D ：11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin -=-+=+=-f x x x f x x x，故D 正确.【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷3,参考版解析)
2020年高考新课标Ⅲ卷文数试题参考解析注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合}10,8,6,4,2,0{=A 中去掉集合}8,4{=B ，剩下的四个元素为10,6,2,0，故}10,6,2,0{=B C A ，故应选答案C 。
（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i 55 （D ）43i 55- 【答案】D 【解析】试题分析：因i z 34+=，则其共轭复数为i z 34-=，其模为534|34|||22=+=+=i z ，故i z z 5354||-=，应选答案D 。
（3）已知向量BA →=（12，BC →=12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°【答案】A（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，0只有7、8两个月份，故应选答案可以确定D是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20CD。
2020年高考全国卷三文科数学及答案解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A = 1,2,3,5,7,11， B = x | 3 x 15，则 A B 中元素的个数为
（）
A. 2
B. 3
C. 4
A. 5
B. 2 5
C. 4 5
D.8 5
12.（5 分）已知函数 f (x) = sin x + 1 ，则 sin x
A. f (x) 的最小值为 2
B. f (x) 的图像关于 y 轴对称
C. f (x) 的图像关于直线 x = 对称
D. f (x) 的图像关于直线 x = 对称 2
二、 空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（2）点C1 在平面 AEF 内. 20.（12 分）
已知函数 f (x) = x3 − kx + k 2
（1）讨论 f (x) 的单调性
2）若 f (x) 有三个零点，求 k 的取值范围.
21.（12 分）
已知椭圆
C
：x2 25
+
y2 m2
= 1(0 m 5
的离心率为
15 ，A，B 分别为
13．（5 分）若 x ， y 满足约束条件 2x − y 0，则 z = 3x + 2 y 的最大值为
.
x 1，
2
14．（5
分）设双曲线 C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的一条渐近线为
y
=
2x ，则C 的离心
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学试题解析(word版)
C.
D.
，
，
即
，
时，标志着已初步遏 ，
得
，
即
，
得
．
故选：B．
6.在平面内， ， 是两个定点， 是动点，若
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
【答案】A
【解析】在平面内， ， 是两个定点， 是动点，
不妨设
，
，设
，
因为
，
，则点 的轨迹为( ) D. 直线
所以
，
解得
，
所以点 的轨迹为圆．
故选：A．
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线 ：
则
．
故选：C．
12.已知函数
，则( )
A.
的最小值为
B.
的图象关于 轴对称
C.
的图象关于直线 对称
D.
的图象关于直线
对称
【答案】D 【解析】由
可得函数的定义域为
，故定义域关于原点对称；
设
，则
，
，由双勾函数的图象和性质得，
或
，故 A 错误；
又有
，故
义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误；
所以
平面
，
而
平面
，
． 是长方体，
所以
，
因为
是长方体，且
，
所以
是正方形，
所以
，
又
．
所以 平面
，
又因为点 ， 分别在棱 ， 上，
所以
平面
，
所以
．
（2）点 在平面 内．
【答案】见解析
【解析】取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ．
2020年高考文科数学试题(全国3卷试卷版+解析版)
A． ( 1 ， 0) 4
B． ( 1 ， 0) 2
C． (1, 0)
8．点 (0, 1) 到直线 y k(x 1) 距离的最大值为 ( )
D． (2, 0)
A．1
B． 2
C． 3
9．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 ( )
D．2
A． 6 4 2
B． 4 4 2
C． 6 2 3
好”．根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与
该市当天的空气质量有关？
人次 400
人次 400
空气质量好
空气质量不好
附： K 2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d )
P(K 2 k)
0.050
20．（12 分）已知函数 f (x) x3 kx k 2 ．
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有三个零点，求 k 的取值范围．
21．（12 分）已知椭圆 C :
x2 25
y2 m2
1(0
m 5) 的离心率为
15 ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点． 4
（1）求 C 的方程；
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线为
y
2x ，则 C 的离心率为
．
15．设函数 f (x) ex ，若 f （1） e ，则 a
．
xa
4
16．已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
17．（12 分）设等比数列{an} 满足 a1 a2 4 ， a3 a1 8 ． （1）求{an} 的通项公式；
2020年全国卷三文科数学高考试题(详细解析版)
1．已知集合 A 1，2，3，5，7，11 ， B x | 3 x 15 ，则 A∩B 中元素的个数为
A．2 C．4 答案：B
B．3 D．5
解析：由交集的定义可知 A∩B={5，7，11} ，故选 B
2．若 z (1 i) 1 i ，则 z=
A．1–i
B．1+i
C．–i
D．i
答案：C
解析：因为 z (1 i) 1 i ，所以 z 1 i (1 i)2 2i i ，故选 C 1 i (1 i)(1 i) 2
3．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为
B．f(x)的图像关于 y 轴对称 D．f(x)的图像关于直线 x 对称
2
解析：对于A，因为当 sin x 0 时， f (x) 0 ，故A错误.
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对于B，因为函数
f
(x)
的定义域为 {x
|
x
kπ, k
Z} ，又因为
f
(x)
sin(x)
1 sin( x)
f
(x)
，
故函数是奇函数，故B错误;
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷三文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2020全国3卷高考文数试题答案解析
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
【拓展】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
16.已知圆锥 底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【解析】因为 ，所以 .
故选：D
3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
【答案】C
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【解析】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
2020全国3卷高考文数试题
1.已知集合 ， ，则A∩B中元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
采用列举法列举出 中元素的即可.
【解析】由题意， ，故 中元素的个数为3.
故选：B
2.若 ，则z=（ ）
A. 1–iB. 1+iC. –iD.i
【答案】D
先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到 即可.
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A. 60B. 63C. 66D. 69
【答案】C
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文（全国卷3,含答案）
2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学试题⽂（全国卷3,含答案）2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试数学试题⽂（全国卷3）注意事项：1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每⼩题答案后,⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动,⽤橡⽪擦⼲净后,在涂选其它答案标号.回答⾮选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上⽆效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、选择题（本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求的.）1．已知集合{}|10A x x=-≥，{}012B=，，，则A B=I（）A．{}0B．{}1C．{}12，D．{}012，，2．()()12i i+-=（）A．3i--B．3i-+C．3i-D．3i卯眼，图中⽊构件右边的⼩长⽅体是棒头．若如图摆放的⽊构件与某⼀带卯眼的⽊构件咬合成长⽅体，则咬合时带卯眼的⽊构件的俯视图可以是（）4．若1sin3α=，则cos2α=（）A．89B．79C．79-D．89-5．若某群体中的成员只⽤现⾦⽀付的概率为0.45，既⽤现⾦⽀付也⽤⾮现⾦⽀付的概率为0.15，则不⽤现⾦⽀付的概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.76．函数()2tan1tanxf xx=+的最⼩正周期为（）2πC．πD．2π7．下列函数中，其图像与函数lny x=的图像关于直线1x=对称的是（）A．()ln1y x=-B．()ln2y x=-C．()ln1y x=+D．()ln2y x=+8．直线20x y++=分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆()22 22x y-+=上，则ABP⾯积的取值范围是（）A．[]26，B．[]，D．2232，9．函数422y x x=-++的图像⼤致为（）10．已知双曲线22221x yCa b-=：（00a b>>，）的离⼼率为2，则点()40，到C的渐近线的距离为（）A．2B．2C．322D．2211．ABC ?的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?的⾯积为222 4a b c +-，则C =（）A ．2πB ．3π12．设A ，B ，C ，D 是同⼀个半径为4的球的球⾯上四点，ABC ?为等边三⾓形且其⾯积为93，则三棱锥D ABC -体积的最⼤值为（）A ．123B ．183C ．243D ．543⼆、填空题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．某公司有⼤量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较⼤差异．为了解客户的评价，该公司准备进⾏抽样调查，可供选择的抽样⽅法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样⽅法是________．15．若变量x y ，满⾜约束条件23024020.x y x y x ++??-+??-?≥，≥，≤则13z x y =+的最⼤值是________．16．已知函数()()2ln11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题（共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考⽣都必须作答，第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．）（⼀）必考题：共60分。
2020年全国III卷文科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。
点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。
3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。