2019-2020年高考数学考点通关练第三章三角函数解三角形与平面向量19同角三角函数基本关系式与诱导公式课件
1 k2＋1
，所以sin40°
＝
－k k2＋1 .
10．已知1＋ cossixnx＝－12，那么sincox－ sx 1的值是(
)
A．12
B．－12
C．2
D．－2
解析 由于1＋ cossixnx·sincox－ sx 1＝sinco2xs－ 2x 1＝－1，故
sincox－ sx 1＝12.
11．若sinθcosθ＝18，θ∈π4，π2，则cosθ－sinθ＝_－__2_3__.
由
sinα－cosα＝ sinα＋cosα＝0
2，
可知sinα＝
2 2
，cosα＝－
2 ，∴ 2
tanα＝csoinsαα＝－1.
20．[2016·咸阳模拟]化简
1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα 1＋sinα＋cosα
的
结果是(
)
A．2sinα
B．2cosα
C．sinα＋cosα
2．α∈－π2，2π，sinα＝－35，则cos(－α)的值为(
)
A．－45
B．45
C．35
D．－35
解析
因为α∈
－π2，2π
，sinα＝－
3 5
，所以cosα＝
4 5
，即
cos(－α)＝45，故选B.
3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中
拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大
正方形的面积是1，小正方形的面积是
1 25
，则sin2θ－cos2θ的
值为(
)
A．1
B．－
7 25
C．275
D．－2245
解析 解法一：由题意可知，拼图中的每个直角三角形
的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ
－sinθ，∵小正方形的面积是
解析
(cosθ－sinθ)2＝cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－
1 4
＝
34，∵θ∈π4，π2，∴cosθ<sinθ，∴cosθ－sinθ＝－
3 2.
12．化简 1－sin2440°＋ 1－2sin80°cos80°＝_s_in_8_0_°_.
解析 由于 1－sin2440°＝ 1－sin2360°＋80° ＝ 1－sin280°＝ cos280°＝cos80°； 1－2sin80°cos80° ＝ sin280°＋cos280°－2sin80°cos80°＝ sin80°－cos80°2 ＝|sin80°－cos80°|＝sin80°－cos80°. 故原式＝cos80°＋sin80°－cos80°＝sin80°.
解析
由题意得sinθ＋cosθ＝－
m 2
，sinθcosθ＝
m 4
，又
(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所以
m2 4
＝1＋
m 2
，解得m＝
1± 5 ，又Δ＝4m2－16m≥0，解得m≤0或m≥4，所以m＝1
－ 5，故选B.
9．已知tan140°＝k，则sin140°＝(
)
A．
k 1＋k2
二、高考小题
13．[2015·福建高考]若sinα＝－
5 13
，且α为第四象限
角，则tanα的值等于(
)
A．152
B．－152
C．152
D．－152
解析
因为sinα＝－
5 13
，且α为第四象限角，所以cosα
＝1132，所以tanα＝－152，故选D.
14．[2016·全国卷Ⅲ]若tanα＝
3 4
D．sinα－cosα
解析 原式＝sin2α＋cos2α1＋ ＋2ssininαα＋cocsoαs＋ α sinα＋cosα
＝sin
α＋cosα2＋sinα＋cosα 1＋sinα＋cosα
＝sinα＋1c＋ osαsinsαi＋ nαc＋oscαosα＋1＝sinα＋cosα.
21．[2017·宁波模拟]已知sinθ＝
m＋5
2＝1，整理得
m2－6m＋9＋16－16m＋4m2 m＋52
＝1，即5m2－22m＋25＝m2＋
10m＋25，即4m(m－8)＝0，解得m＝0或m＝8，又m＝0不
满足①②两式，m＝8满足①②两式，故m＝8.
22.[2017·洛阳模拟]在北京召开的国际数学家大会会标
如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形
第2步 精做大题·练能力
一、高考大题
本考点在近三年高考中未独立命题．
二、模拟大题
1．[2017·甘肃河西月考]已知
tanα tanα－6
＝－1，求下列各
式的值．
(1)23ccoossαα－ ＋34ssiinnαα； (2)1－3sinαcosα＋3cos2α.
解 由tantaαn－ α 6＝－1，得tanα＝3. (1)23ccoossαα－ ＋34ssiinnαα＝23－ ＋34ttaannαα＝－175. (2)1－3sinαcosα＋3cos2α
(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 注意到2013°＝360°×5＋(180°＋33°)，因此 2013°角的终边在第三象限，sin2013°<0，cos2013°<0，所以 点A位于第三象限．
5．已知sinθ＝－
1 3
，θ∈
5π)sin32π－θ的值是(
)
A．
3 2
B．－
3 2
C．12
解析
D．－12
由2tanα·sinα＝3得，
2sin2α cosα
＝3，即2cos2α＋3cosα
－2＝0，又－π2<α<0，解得cosα＝
1 2
(cosα＝－2舍去)，故sinα
＝－
3 2.
7．已知sin(π－α)＝－2sinπ2＋α，则sinαcosα＝(
)
A．2 9 2
B．－2 9 2
C．－19
D．19
－π2，2π
，则sin(θ－
解析
∵sinθ＝－
1 3
，θ∈
－π2，2π
，∴cosθ＝
1－sin2θ
＝23 2 .∴原式＝－sin(π－θ)·(－cosθ)＝sinθcosθ＝－13×23 2
＝－2
9
2 .
6．已知2tanα·sinα＝3，－π2<α<0，则sinα等于(
csoisn32ππ＋ ＋αα－ ＋scions2ππ＋－αα 的值为___－__3___．
解析
csoisn32ππ＋ ＋αα－ ＋scions2ππ＋－αα ＝－sisninα－ α－cocsoαsα
＝－tatnanαα－－11＝－3.
B．
1 1＋k2
C．－
k 1＋k2
D．－
1 1＋k2
解析 因为k＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，所
以tan40°＝－k，所以k<0，sin40°＝－kcos40°，sin140°＝
sin(180°－40°)＝sin40°，因为sin240°＋cos240°＝1，所以
k2cos240°＋cos240°＝1，所以cos40°＝
3 5
，∴sinθ＝
3 5
，cosθ＝
4 5
，∴sin2θ－
cos2θ＝352－452＝－275，故选B.
23．[2016·唐山一模]若sin
π6－α
＝
1 3
，则cos
23π＋2α
＝
(
)
A．－79
B．79
C．－29
D．29
解析
∵sin
－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.
1 16．[2016·四川高考]sin750°＝____2____.
解析 sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.
三、模拟小题
17．[2017·沈阳育才中学模拟]已知锐角α满足5α的终边
上有一点P(sin(－50°)，cos130°)，则α的值为(
m－3 m＋5
，cosθ＝
4－2m m＋5
，
其中θ∈π2，π，则下列结论正确的是(
)
A．3≤m≤9
B．3≤m<5
C．m＝0或m＝8
D．m＝8
解析
因为θ∈
π2，π
，所以sinθ＝
m－3 m＋5
≥0
①，cosθ
＝
4－2m m＋5
≤0
②，且
m－3 m＋5
2＋
4－2m
1 25
，∴(cosθ－sinθ)2＝
1 25
，又θ
为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ>sinθ，∴cosθ－sinθ＝
1 5
，又(cosθ－sinθ)2＝1－2cosθsinθ＝
1 25
，∴2sinθcosθ＝
24 25
，
(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝
49 25
，∴sinθ＋cosθ＝
，则cos2α＋2sin2α＝
(
)
A．6245
B．2458
C．1 解析
D．2156 当tanα＝34时，原式＝cos2α＋4sinαcosα
＝coss2iαn＋ 2α＋ 4scinoαs2cαosα＝1ta＋n24αt＋ an1α＝11＋ 96＋ 4×134＝2654，故选A.
15．[2014·全国卷Ⅰ]设α∈ 0，π2，β∈ 0，π2，且tanα＝
2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题 第三章 三
考点测试20 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质一、基础小题1．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 答案 B解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin 12x ，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20.故选B.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32.3．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4 答案 A解析 由题图可知，函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4答案 A解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则( ) A ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f (x )的图象向右平移π3个单位后，图象关于原点对称D ．函数f (x )在区间(0，π)内单调递增 答案 C解析 因为函数的周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12×π3＋π6＝sin π3＝32，所以A 、B 错误．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin x 2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－4π3＋4k π≤x ≤2π3＋4k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡ －4π3＋4k π，⎦⎥⎤2π3＋4k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，2π3，所以D 错误．故选C.7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1.∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 ±2解析 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则其对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.二、高考小题9．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 答案 D解析 该函数的周期为π，将其图象向右平移π4个单位后，得到的图象对应的函数为y＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.10．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度答案 A解析 根据“左加右减”的原则可知，把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．故选A.11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 答案 A解析 由图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2πT＝2.由x＝π3时，y ＝2，可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.12．已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 答案 D解析 f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，∵x ∈(π，2π)，ω>0，∴ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，∵f (x )在区间(π，2π)内没有零点，∴有以下两种情况： ①⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π，2k π＋π)，k ∈Z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥2k π，2ωπ－π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋14，k ＋58，k ∈Z ，当k ＝0时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58；②⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4⊆(2k π＋π，2k π＋2π)，k ∈Z ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥2k π＋π，2ωπ－π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，得ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋54，k ＋98，k ∈Z ，当k ＝－1时，ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，18，又ω>0，∴ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18.综上，ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58，故选D.13．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案π3解析 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．三、模拟小题14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 D解析 根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象，可得A ＝2，T 4＝2πω·14＝π3－π12，求得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝2sin2x ，故把f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，故选D.15．将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2sin xB ．f (x )＝2sin xC ．f (x )＝22sin2x D ．f (x )＝22(sin2x ＋cos2x ) 答案 A解析 由题意得，将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ＝－2sin x ·cos x ，故f (x )的表达式可以是f (x )＝－2sin x ，故选A.16．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0答案 A解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，∴12×π3＋φ＝π2＋2m π(m ∈Z )，即φ＝π3＋2m π(m ∈Z )．由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为(2k π－2π3，0)(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.17．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 答案 B解析 ∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴f π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∴f π6＋π22＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＋π3＝0，∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2.18． 如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，⎭⎪⎫|φ|≤π2与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (1,0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为( )A ．2 3 B.733 C.833 D ．4 3答案 C解析 依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2|PQ |＝6，ω＝π3，A sin φ＝－4.f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A >0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833，选C.19．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案 A解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－A ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6，k ∈Z ， 又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6.∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，－π上为减函数，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．一、高考大题1．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．解 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos2x )＋sin2x －1 ＝sin2x －3cos2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12 k ∈Z(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1.把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1.所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 2．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.3．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得，0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.二、模拟大题4．已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间上的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)函数可化为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 列表如下：(2)将函数y ＝sin x (x ∈R )图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．5．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)写出φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡ －12，⎦⎥⎤13上的最大值和最小值．解 (1)因为32＝cos(0＋φ)，0<φ<π2，所以φ＝π6， 因为32＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6，所以2π－π6＝πx 0＋π6，可得x 0＝53.(2)由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－sin πx . 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3，所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.6．已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a·b )cos x ＋sin(φ－x )sin x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y＝g (x )的单调递减区间．解 (1)∵a·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )， ∴f (x )＝(a·b )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x ＝cos(φ－x －x ) ＝cos(2x －φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，而0<φ<π，∴φ＝π3. (2)由(1)得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，于是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3， ∴g (x )的单调递减区间为2k π≤2x －2π3≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . 7．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋(23sin ωx －cos ωx )cos ωx －λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5，使f (x 0)＝0，求λ的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin2ωx －cos2ωx －λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－λ. 因为f (x )的图象关于直线x ＝π对称， 则2ωπ－π6＝k π＋π2，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．因为ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则k ＝1，ω＝56.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝6π5. (2)令f (x )＝0，则λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.由0≤x ≤3π5得－π6≤53x －π6≤5π6，则－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1.据题意，方程λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5内有解，所以λ的取值范围是．。
高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第三章 三角函数、解三角形与平面向量 19 Word版含答案
考点测试19 三角函数的图象和性质一、基础小题1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得到g (x )的图象答案 D解析 因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，所以f (x )向右平移π2个单位，可得到g (x )的图象，故选D.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4是( ) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为2π的奇函数答案 D解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－2sin x ，所以函数f (x )是周期为2π的奇函数．3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54答案 C解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.4．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22答案 B解析 由题意知f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.故选B.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡ π3＋k π，⎦⎥⎤5π6＋k π(k ∈Z )，又x ∈，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6.6．使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A.π4 B.π2 C ．π D.3π2答案 C解析 若f (x )是R 上的奇函数，则必须满足f (0)＝0，即sin φ＝0.∴φ＝k π(k ∈Z )，故选C.7．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π答案 D解析 若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，所以要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D. 8．函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2或0<x <π2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2或0<x <π2.二、高考小题9．函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5，故选B.10．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.11．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 12．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sin x ＋cos x 答案 A解析 选项A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A.13．定义在区间上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在同一平面直角坐标系中作出y ＝sin2x 与y ＝cos x 在区间上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．三、模拟小题14．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的图象大致是( )答案 D解析 函数f (x )＝2x －4sin x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，故A 、B 错误．又令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，即cos x ＝12，解得x ＝±π3，所以x ＝±π3为函数的极值点，所以只有D 项符合条件．故选D.15．若函数f (x )＝A sin2ωx (A >0，ω>0)在x ＝1处取得最大值，则函数f (x ＋1)为( ) A ．偶函数 B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 答案 A解析 因为f (x )＝A sin2ωx 在x ＝1处取得最大值，故f (1)＝A ，即sin2ω＝1，所以2ω＝π2＋2k π，k ∈Z .因此，f (x ＋1)＝A sin(2ωx ＋2ω)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋2k π＝A cos2ωx ，故f (x ＋1)是偶函数．16．函数f (x )＝sin x ＋x 在区间已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则nm＝( )A.332 B. 3 C ．－233 D.33答案 C解析 若x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则x ＝π3是函数f (x )的极值点．f ′(x )＝2m cos x ＋n sin x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2m cos π3＋n sin π3＝m ＋32n ＝0，所以n m ＝－233.18．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x >cos x时，f (x )＝sin x .给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________． 答案 ①④⑤解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示． 由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.一、高考大题1．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．2．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.二、模拟大题3．已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解 由cos2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z .因为f (x )的定义域关于原点对称，且 f (－x )＝6cos4－x ＋5sin2－x －4－2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )．所以f (x )是偶函数， 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时， f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝6cos 4x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝2x －2x －2cos 2x －1＝3cos 2x －1.所以f (x )的值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤y <12或12<y ≤2.4．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在x ＝x 0处取得最大值，求f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)的值．解 (1)f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴f (x )的最小正周期为2π. (2)依题意，x 0＝2k π＋3π4(k ∈Z )，由周期性，f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4－cos 3π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2－cos 3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 9π4－cos 9π4＝2－1.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝±1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0， ∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z .因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .6．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32 函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
2019年高考数学(文)考点通关训练第三章 三角函数、解三角形与平面向量 22 及答案
考点测试22 简单的三角恒等变换一、基础小题1．已知tan α＝2，则sin2αcos 2α的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 C解析 sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝4，故选C.2．已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33 D ．－33 答案 B解析 ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1＋132＝－63. 3.＋2α1＋cos2α·cos 2α＋α等于( ) A ．－sin α B ．－cos α C ．sin α D ．cos α 答案 D 解析 原式＝－sin2α2α＋cos2α－sin α＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.4．cos20°cos40°cos80°的值为( ) A.12 B.14 C.18 D.116 答案 C解析 cos20°·cos40°·cos80°＝8sin20°cos20°cos40°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.5．已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( )A ．－1B ．－2 C.12 D ．2答案 D解析 依题意得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，所以2sin αcos α＝1，从而tan α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝22sin αcos α＝2，因此选D.6．若tan20°＋m sin20°＝3，则m 的值为________． 答案 4解析 由于tan20°＋m sin20°＝3， 所以m ＝3－tan20°sin20°＝3cos20°－sin20°sin20°cos20°＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫32cos20°－12sin20°12sin40°＝－sin40°＝4.7．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________.答案 －12解析 解法一：由题意知，sin α＝－35，所以1＋tanα21－tanα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22cos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.解法二：tan α2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cos α2＝1－cos αsin α＝1＋45－35＝－3，所以1＋tanα21－tanα2＝－12.8．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1＋tan 213°，c ＝1－cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a <c <b解析 a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°， b ＝2sin13°cos13°1＋sin 213°cos 213°＝2sin13°cos13°＝sin26°，c ＝1－－2sin 22＝sin25°，由于sin α在(0°，90°)上单调递增，故a ，b ，c 的大小关系为a <c <b .二、高考小题9．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.56 答案 A解析 tan β＝tan ＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17，故选A.10．已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.答案2 1解析 ∵2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，∴A ＝2，b ＝1.11．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.答案 －43解析 解法一：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22×(sin θ＋cos θ)＝35，∴sin θ＋cos θ＝325， ①∴2sin θcos θ＝－725.∵θ是第四象限角，∴sin θ<0，cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－425，②由①②得sin θ＝－210，cos θ＝7210， ∴tan θ＝－17，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－43.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35，又2k π－π2<θ<2k π，k ∈Z ，∴2k π－π4<θ＋π4<2k π＋π4，k ∈Z ，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43.12．函f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 由三角恒等变换公式得f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋2φ)－2sin φ(cos x cos φ－sin x sin φ) ＝sin(x ＋2φ)－cos x sin2φ－sin x cos2φ＋sin x ＝sin(x ＋2φ)－sin(x ＋2φ)＋sin x ＝sin x ，故函f (x )的最大值为1. 三、模拟小题13．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案 C解析 解法一：由sin θ＋cos θ＝a 可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)及θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，得sin θ·cos θ<0且|sin θ|<|cos θ|，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.解法二：用单位圆中三角函线的知识可知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.14．已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365 C.3365 D.6365答案 C解析 ∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝( )A ．－518 B.518 C ．－79 D.79答案 D解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos α＝13，得32sin α＋12cos α－cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－29＝79.16．sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 C解析 解法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos2αcos π3－sin 2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.解法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.17．已知sin α－sin β＝63，cos α－cos β＝33，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α－β2＝________.答案 32解析 由题意得sin α－sin β＝63 ①，cos α－cos β＝33②，①2＋②2得，2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，即cos(α－β)＝12，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1＋α－β2＝34， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α－β2＝32.18．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.答案268解析 由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋－sin 2α＋cos 2α＝268.一、高考大题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＝－45，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.2．已知函f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒22A ＝322⇒A ＝3.(2)由f (θ)－f (－θ)＝3，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π3＝3，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3， 简整得6sin θcos π3＝3，∴3sin θ＝3，∴sin θ＝33. ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝63， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6. 二、模拟大题3．已知函f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35， 所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250.4．设sin α＝－35，sin β＝1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin(α－β)，cos2α，tan β2的值． 解 ∵sin α＝－35，sin β＝1213， 且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45， cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×1213＝6365， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725， tan β2＝sin β1＋cos β＝12131－513＝32. 5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin2α－tan α的值；(2)若函f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围． 解 (1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围是．6．已知函f (x )＝cos x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋34. (1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋5π12＝310，0<θ<π2，求tan θ的值； (2)求f (x )的最小正周期及函g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2的单调增区间． 解 f (x )＝cos x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋34 ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos x ＋34 ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin x －32cos x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34cos2x －34＋34＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋5π12＝310，所以12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π6－π3＝310， 即12cos θ＝310，所以cos θ＝35. 又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝1－cos 2θ＝45， 从而tan θ＝sin θcos θ＝43. (2)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 又g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π3＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 令2k π＋π2≤x ＋π3≤2k π＋3π2， 得2k π＋π6≤x ≤2k π＋7π6，k ∈Z ， 故g (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋7π6(k ∈Z )．。
2020高考数学刷题首秧单元测试三三角函数解三角形与平面向量文含解析
单元质量测试(三)时间：分钟满分：分第Ⅰ卷(选择题，共分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．函数()＝－的最小正周期为()．π．π．．π答案解析()＝－＝，最小正周期＝π，故选．．已知θ<，θ>，则化简的结果为()．θ．－θ．±θ．以上都不对答案解析由已知可判断出θ是第三象限角，所以＝θ＝－θ．故选．．(·福建月质检)已知向量＝()，＝()，则下列向量与垂直的是()．＝() ．＝(，－)．＝() ．＝(－)答案解析＝－＝()，因为()·(－)＝×(－)＋×＝．故选．．(·长沙统考)已知，为单位向量，且⊥(＋)，则向量与的夹角为()．° ．° ．° ．°答案解析由题意，·(＋)＝＋·＝＋·〈，〉＝＋〈，〉＝，所以〈，〉＝－，又°≤〈，〉≤°，所以〈，〉＝°．故选．．(·长春调研)在△中，角，，的对边分别为，，，若－＝，且＝，则△的形状是()．等腰直角三角形．直角三角形．等腰三角形．等边三角形答案解析∵－＝，∴－＝＝(＋)，即＝，∴＝，又＝，∴＝，得＝，＝，＝＝，＝，故△为直角三角形．故选．．(·广东广州调研)如图所示，在△中，＝，是上的一点，若＝＋，则实数的值为()．．．．答案解析因为，，三点共线，所以＝＋＝＋，从而＋＝⇒＝．故选．．(·湖南长郡中学调研)若△的内角，，所对的边分别为，，，已知＝，且＝，则等于()．．．．答案解析由＝，得＝，由正弦定理得＝，∵≠，且≠，∴＝，由余弦定理，得＝＋－，∴＝，∴＝．故选．．(·江西九校联考)已知α＝α，α∈，则＝()．－．．．答案解析由题意知αα＝α，又α∈，∴α＝，α＝，＝＝＝＝＝．．(·东北三省四市二联)将函数()＝(＋φ)φ＜的图象向右平移个单位，所得到的图象关于轴对称，则函数()在，上的最小值为()．．．－．－答案解析()＝(＋φ)向右平移个单位得到函数()＝－＋φ＝－＋φ，此函数图象关于轴对称，即函数()为偶函数，则－＋φ＝＋π，∈，由φ＜，可得φ＝－，所以()＝－，因为≤≤，所以－≤－≤，所以()的最小值为－＝－．故选．．(·湖北宜昌二模)已知△中，∠＝°，且＝，＝，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为()．．．．答案解析因为＝λ＋，且⊥，所以有·＝(λ＋)·(－)＝λ·－λ＋－·＝(λ－)·－λ＋＝，整理可得(λ－)×××°－λ＋＝，解得λ＝，故选．．(·河北石家庄一模)已知三个向量，，共面，且均为单位向量，·＝，则＋－的取值范围是()．[－，＋] ．[，]．[，] ．[－]答案解析由题意不妨设＝()，＝()，＝(θ，θ)(≤θ<π)．则＋－＝(－θ，－θ)，＋－＝＝，令＝－θ＋，则－≤≤＋，故＋－∈[－，＋]．．(·湖南长沙长郡中学摸底)已知函数()＝(ω＋φ)ω>，φ<的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位长度后得到函数()＝ω的图象，则函数()的图象()．关于直线＝对称．关于直线＝对称．关于点，对称．关于点，对称答案解析由题意＝＝π，得ω＝，把()＝的图象向右平移个单位长度得()＝－＝－＝－＋＝－＋＝－的图象，＝，＝，因此函数()的图象关于点，对称．故选．第Ⅱ卷(非选择题，共分)二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．(·合肥质检一)已知平面向量，满足＝，＝，＋＝，则在方向上的投影等于．答案－解析依题意，有＋＝(＋)＝＋·＋＝＋××〈，〉＋＝，解得〈，〉＝－，则在方向上的投影等于〈，〉＝－．．(·全国卷Ⅲ)△的内角，，的对边分别为，，．已知＝°，＝，＝，则＝．答案°解析由正弦定理得＝，∴＝．又∵＞，∴＝°，∴＝°．．(·河北石家庄质检)已知与的夹角为°，＝，＝，＝λ＋μ(λ，μ∈)，且·＝，则的值为．答案解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则()，()，()，所以＝()，＝()，＝(，－)．设(，)，则＝(，)，所以·＝(，)·(，－)＝－＝，即＝，又＝λ＋μ，即(，)＝λ()＋μ()＝(μ，λ)，所以＝μ，＝λ，所以＝＝．．(·广州调研) 如图所示，某炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面处和处，已知＝，∠＝°，∠＝°，目标出现于地面处时测得∠＝°，∠＝°，则炮兵阵地到目标的距离是．(结果保留根号)答案解析在△中，∵∠＝°，∠＝°，∴∠＝°，由正弦定理可得＝，∴＝×＝()．在△中，由正弦定理得＝，∴＝＝()，在△中，由勾股定理可得＝＋，∴＝＝()．三、解答题(本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．(本小题满分分)已知α∈，α＝．()求的值；()求的值．解()因为α∈，α＝，所以α＝－＝－．故＝α＋α＝×＋×＝－．()由()知α＝αα＝××＝－，α＝－α＝－×＝，所以＝α＋α＝×＋×＝－．．(·浙江温州统考)(本小题满分分)已知函数()＝ω＋ω(ω>)的最小正周期为π．()求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数＝()在区间[，π]上的图象；()函数＝()的图象可由函数＝的图象经过怎样的变换得到？解()函数可化为()＝，因为＝π，所以＝π，即ω＝，所以()＝．列表如下：画出图象如图所示：()将函数＝(∈)图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数＝(∈)的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得函数()＝(∈)的图象．．(·河南洛阳二模)(本小题满分分)如图，已知扇形的圆心角∠＝，半径为，若点是上的一动点(不与点，重合)．()若弦＝(－)，求的长；()求四边形面积的最大值．解()在△中，＝(－)，＝＝，所以由余弦定理得∠＝＝，所以∠＝，于是的长为×＝．()设∠＝θ，θ∈，，则∠＝－θ，四边形＝△＋△＝××θ＋××－θ＝θ＋θ＝θ＋，由于θ∈，，所以θ＋∈，，当θ＝时，四边形的面积取得最大值．．(·河南濮阳三模)(本小题满分分)△内接于半径为的圆，，，分别是内角，，的对边，且(－)＝(－)，＝．()求角的大小；()若是边上的中线，＝，求△的面积．解()因为(－)＝(－)，所以－＝(－)，所以－＝－，即－＝－，即＋－＝，所以＝＝，＝°．()以，为邻边作平行四边形，在△中，∠＝°，＝，由余弦定理得＝＋－·°，即＝＋－×××－，解得＝(负值舍去)，所以＝．故△＝·∠＝×××＝．．(·荆门调研)(本小题满分分)已知向量＝(，)，＝(－，)，()＝·－．()求函数()的最大值及取得最大值时的值；()若方程()＝在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．解()()＝·－＝－＋－＝－＋(＋)－＝－＋＝．当＋＝π＋，∈，即＝π－，∈时，函数()取得最大值．()由于∈时，＋∈．而函数()＝在区间上单调递减，在区间上单调递增．又＝－，＝－，＝．结合图象(如图)，所以方程()＝在区间上有两个不同的实数根时，∈．．(·广东茂名二模)(本小题满分分)已知△的内角，，的对边分别为，，，＝＝．()求；()若∠的平分线交于点，且△的面积为，求的长．解()∵＝，∴＝．于是，＝＝＝．()由()知＝，∴＝．∵△＝···＝，∴＝，＝，则＝，＝．∵为∠的平分线，∴＝＝，∴＝．又＋＝，∴＝，＝．在△中，由余弦定理可得＝＋－×××＝，∴＝．。
2020高考数学刷题首秧第三章三角函数解三角形与平面向量考点测试23正弦定理和余弦定理文含解析
考点测试23 正弦定理和余弦定理高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝，BC ＝，那么A 等于( )32A ．135° B ．105° C ．45° D ．75°答案 C解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sin A ＝，又由题知BC sin A AB sin C 2sin A 3sin60°220°<A <120°，所以A ＝45°．故选C ．2．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则＝( )sin Csin B A ． B ． C ． D ．85585335答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos A ，代入得49＝25＋AC 2＋5AC ，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)，所以＝＝，故选C ．sin C sin B AB AC 533．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则角B 3的值为( )A ．B ．π3π6C ．或 D ．或π32π3π65π6答案 C解析 由余弦定理，知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，所以由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac 可得32ac cos B ·＝ac ，所以sin B ＝，所以B ＝或，故选C ．sin B cos B 332π32π34．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形 D ．不能确定答案 C解析 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝<0，所以C 是钝角，故△ABC 是a 2＋b 2－c 22ab钝角三角形．故选C ．5．已知△ABC 中，cos A ＝，cos B ＝，BC ＝4，则△ABC 的面积为( )3545A ．6 B ．12 C ．5 D ．10答案 A解析 因为cos A ＝，cos B ＝，所以sin A ＝，sin B ＝，则由正弦定理得＝，35454535BC sin A ACsin B 所以AC ＝＝3，则由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即32＝AB 2＋42－8×BC ·sin Bsin AAB ，解得AB ＝5，所以△ABC 是以AC ，BC 为直角边的直角三角形，所以其面积为×3×4＝6，4512故选A ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ∶b ∶c ＝6∶4∶3，则＝sin2Asin B ＋sin C( )A ．－B ．C ．－D ．－11141271124712答案 A解析 不妨设a ＝6，b ＝4，c ＝3，由余弦定理可得cos A ＝＝－，则b 2＋c 2－a 22bc 1124＝＝＝＝－，故选A ．sin2A sin B ＋sin C 2sin A cos A sin B ＋sin C 2a cos Ab ＋c12×－11244＋311147．在△ABC 中，“sin A <sin B ”是“A <B ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 根据正弦定理，“sin A <sin B ”等价于“a <b ”，根据“大边对大角”，得“a <b ”等价于“A <B ”．故选C ．8．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝60° B ．a ＝6，c ＝5，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45° D ．a ＝7，b ＝5，A ＝60°答案 C解析 由条件解三角形，其中有两解的是已知两边及其一边的对角．C 中，sin B ＝b sin A a＝＝<1，b >a ，B >A ，角B 有两个解，故选C ．16×sin45°14427二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos ＝，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )C255A ．4 B ． C ． D ．2230295答案 A解析 因为cos C ＝2cos 2－1＝2×2－1＝－，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ×AC cos C ＝1C 25535＋25－2×1×5×－＝32，∴AB ＝4．故选A ．35210．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为，则C ＝( )a 2＋b 2－c 24A ．B ．C ．D ．π2π3π4π6答案 C解析 由题可知S △ABC ＝ab sin C ＝，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ．由余弦定理12a 2＋b 2－c 24得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ．∵C ∈(0，π)，∴C ＝，故选C ．π411．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 答案 A解析 解法一：因为sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，所以sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B ，即cos C (2sin B －sin A )＝0，所以cos C ＝0或2sin B ＝sin A ，即C ＝90°或2b ＝a ，又△ABC 为锐角三角形，所以0°＜C ＜90°，故2b ＝a ．故选A ．解法二：由正弦定理和余弦定理得b 1＋＝2a ·＋c ·，a 2＋b 2－c 2ab a 2＋b 2－c 22ab b 2＋c 2－a 22bc所以2b 21＋＝a 2＋3b 2－c 2，a 2＋b 2－c 2ab即(a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2－c 2，即(a 2＋b 2－c 2)－1＝0，所以a 2＋b 2＝c 2或2b ＝a ，2b a 2ba又△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2＞c 2，故2b ＝a ．故选A ．12．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝，b ＝2，A ＝760°，则sin B ＝________，c ＝________．答案 3217解析 由＝得sin B ＝sin A ＝，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，asin Absin Bb a 217解得c ＝3(舍去负值)．13．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．答案 233解析 根据题意，结合正弦定理可得sin B sin C ＋sin C ·sin B ＝4sin A sin B sin C ，即sin A ＝，结合余弦定理可得2bc cos A ＝8，所以A 为锐角，且cos A ＝，从而求得bc ＝，1232833所以△ABC 的面积为S ＝bc sin A ＝××＝．121283312233三、模拟小题14．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b cos C ＝c (1－3cos B )，则sin C ∶sin A ＝( )A ．2∶3B ．4∶3C ．3∶1D ．3∶2答案 C解析 由正弦定理得3sin B cos C ＝sin C －3sin C cos B ，3sin(B ＋C )＝sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＋C ＝π－A ，所以3sin A ＝sin C ，所以sin C ∶sin A ＝3∶1，故选C ．15．(2018·合肥质检)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(C －A )＝sin B ，且b ＝4，则c 2－a 2＝( )12A ．10B ．8C ．7D ．4答案 B解析 依题意，有sin C cos A －cos C sin A ＝sin B ，由正弦定理得c cos A －a cos C ＝b ；再1212由余弦定理可得c ·－a ·＝b ，将b ＝4代入整理，得c 2－a 2＝8，故b 2＋c 2－a 22bc b 2＋a 2－c 22ab 12选B ．16．(2018·珠海摸底)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝，则△ABC 的面积为________．13答案 3解析 根据余弦定理，有a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，即16b 2＋b 2－8b 2×＝13，所以b 2＝1，12解得b ＝1，所以a ＝4，所以S △ABC ＝ab sin C ＝×4×1×＝．121232317．(2018·贵阳期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝b cos A ，a 3＝4，若△ABC 的面积为4，则b ＋c ＝________．3答案 8解析 由a sin B ＝b cos A 得＝，再由正弦定理＝，所以＝3bsin Ba3cos Absin Basin Aasin A，即tan A ＝，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝．由△ABC 的面积为S ＝bc sin A ＝a3cos A3π312bc ×＝4，得bc ＝16．再由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝32，所以b ＋c ＝12323＝＝＝8．(b ＋c )2b 2＋c 2＋2bc 32＋2×1618．(2018·长春质检)已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝b 2sin A ，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，AD ＝，a ＝，则b ＝________．2333答案 1解析 由S ＝bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，由角平分线定理可知，＝＝＝12BD CD AB AC cb 2．又BD ＋CD ＝a ＝，所以BD ＝，CD ＝．在△ABD 中，因为BD ＝AD ＝，AB ＝c ＝2b ，323333233所以cos ∠ABD ＝＝b ，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABD ，12AB BD32所以b 2＝4b 2＋3－4b cos ∠ABD ＝3＋4b 2－6b 2，解得b ＝1．3一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5．(1)求cos ∠ADB ；(2)若DC ＝2，求BC ．2解 (1)在△ABD 中，由正弦定理，得＝．BDsin AABsin ∠ADB由题设知，＝，所以sin ∠ADB ＝．5sin45°2sin ∠ADB 25由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝＝．1－225235(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝．25在△BCD 中，由余弦定理，得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ×DC cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC ＝5．2252．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知△ABC 的面积为．a 23sin A(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解 (1)由题设得ac sin B ＝，即c sin B ＝．12a 23sin A 12a3sin A 由正弦定理得sin C sin B ＝．12sin A3sin A 故sin B sin C ＝．23(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－，12即cos(B ＋C )＝－，所以B ＋C ＝，故A ＝．122π3π3由题设得bc sin A ＝，即bc ＝8．12a 23sin A 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝．33故△ABC 的周长为3＋．333．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ．(1)求C ；(2)若c ＝，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．7332解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C ．因sin C ≠0，可得cos C ＝，因为C ∈(0，π)，所以C ＝．12π3(2)由已知，得ab sin C ＝．12332又C ＝，所以ab ＝6．π3由已知及余弦定理，得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7．故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，a ＋b ＝5．所以△ABC 的周长为5＋．7二、模拟大题4．(2018·深圳4月调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B 为锐角，且a cos B ＋b sin B ＝c ．(1)求C 的大小；(2)若B ＝，延长线段AB 至点D ，使得CD ＝，且△ACD 的面积为，求线段BD π33334的长度．解 (1)由已知及正弦定理可得sin A cos B ＋sin 2B ＝sin C ．因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin 2B ＝cos A sin B ．因为B ∈0，，所以sin B >0，所以sin B ＝cos A ，π2即cos－B ＝cos A ．π2因为A ∈(0，π)，－B ∈0，，π2π2所以－B ＝A ，即A ＋B ＝，所以C ＝．π2π2π2(2)设BD ＝m ，CB ＝n ．因为B ＝，C ＝，π3π2所以A ＝，∠DBC ＝，且AC ＝n ，AB ＝2n ，AD ＝2n ＋m ．所以S △ACD ＝AC ·AD ·sin A ＝π62π3312×n ×(2n ＋m )×＝，即n (2n ＋m )＝3 ①，12312334在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠DBC ，即m 2＋n 2＋mn ＝3 ②，联立①②解得m ＝n ＝1，即BD ＝1．5．(2018·长沙统考)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2＝c (a －c )＋b 2．(1)求角B 的大小；(2)设m ＝2a －c ，若b ＝，求m 的取值范围．3解 (1)因为a 2＝c (a －c )＋b 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝＝．a 2＋c 2－b 22ac 12又因为0<B <π，所以B ＝．π3(2)由正弦定理得＝＝＝＝2，asin Acsin Cbsin B3sinπ3所以a ＝2sin A ，c ＝2sin C ．所以m ＝2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin A －2sin－A 2π3＝4sin A －2×cos A ＋sin A 3212＝3sin A －cos A3＝2×sin A －cos A 33212＝2sin A －．3π6因为A ，C 都为锐角，则0<A <，且0<C ＝－A <，所以<A <，所以0<A －<，π22π3π2π6π2π6π3所以0<sin A －<，所以0<m <3．π6326．(2018·福建4月质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C －3c sin B ＝a ．3(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝7，D 为边AC 上一点，且sin ∠BDC ＝，求BD ．33解 (1)由正弦定理及b cos C －c sin B ＝a ，33得sin B cos C －sin C sin B ＝sin A ，33所以sin B cos C －sin C sin B ＝sin(B ＋C )，33所以sin B cos C －sin C sin B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，333即－sin C sin B ＝cos B sin C ．3因为sin C ≠0，所以－sin B ＝cos B ，所以tan B ＝－．33又B ∈(0，π)，解得B ＝．2π3(2)解法一：在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝7，所以72＝32＋c 2－2×3c ×－，解得c ＝5．12在△ABC 中，由正弦定理＝，得＝，b sin B c sin C 7325sin C解得sin C ＝．5314在△BCD 中，由正弦定理＝，BDsin C asin ∠BDC 得＝，解得BD ＝．BD53143334514解法二：在△ABC 中，由正弦定理＝，a sin A b sin B 及a ＝3，b ＝7，得sin A ＝．3314又因为B ＝，所以0<A <，所以cos A ＝，2π3π31314则sin C ＝sin(A ＋B )＝sincos A ＋cos sin A 2π32π3＝×－×＝．3213141233145314在△BCD 中，由正弦定理＝，BDsin C asin ∠BDC 得＝，解得BD ＝．BD 53143334514。
高考数学 考点通关练 第三章 三角函数、解三角形与平
示，若A→C＝λA→B＋μA→D，则 λμ＝(
)
A．－3 C．－4
B．3 D．4
解析 建立如图所示的平面直
角坐标系 xAy，则A→C＝(2，－2)，A→B
＝(1,2)，A→D＝(1,0)，由题意可知(2， － 2) ＝ λ(1,2) ＋ μ(1,0) ， 即
2＝λ＋μ， －2＝2λ，解 Nhomakorabea得
i＝1
x1＋x2＋x3＋x4－4x＝0， y1＋y2＋y3＋y4－4y＝0，
即
x＝14x1＋x2＋x3＋x4，
y＝14y1＋y2＋y3＋y4，
故点 M 只有 1 个．
解法二：取特殊值，令 A1(0,0)，A2(0,1)，A3(1,1)，A4(1,0)， 则满足M→A1＋M→A2＋M→A3＋M→A4＝0 的条件的点有且仅有 1 个，即正方形 A1A2A3A4 的中心．
5．已知向量 a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)且 b
∥c，则 x 的值为(
)
A．4
B．－4
C．2
D．－2
解析 由 2a＝(2,2)及 2a＋b＝(4,3)，得 b＝(2,1)．由 b∥ c，得 x＋4＝0，得 x＝－4.
6．已知向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(10，k)，当
解析 ∵向量 a 在基底 p，q 下的坐标为(－2,2)，∴a＝ － 2p ＋ 2q＝ (2,4) ， 令 a＝ xm ＋ yn＝ (－ x＋ y， x＋ 2y)， 故
－x＋y＝2， x＋2y＝4，
即xy＝ ＝02， ，
故向量 a 在基底 m，n 下的坐标
为(0,2)．
12．已知 O 为坐标原点，B，D 分别是单位圆与 x 轴正
2019届高考数学总复习分类试卷 三角函数、解三角形、平面向量
2019届高考数学总复习分类试卷三角函数、解三角形、平面向量(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知sin(88°+θ)=23,则cos(178°+θ)=()A.23B.-23C.√53D.-√532.设P是△ABC所在平面内的一点,且CP⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗ ,则△PAB与△PBC的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.343.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=23,则b=( ) A.14 B.6 C.√14 D.√64.函数f(x)=cos(x+π4)-cos(x-π4)是( )A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数5.函数y=2sin(π6-2x)(x∈[-π,0])的单调递增区间是( )A.[-π,-5π6] B.[-π3,0] C.[-2π3,-π6] D.[-π3,-π6]6.已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,π2]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为( )A.{13,23,1} B.{16,13} C.{13,23} D.{16,23}7.若把函数y=sin(ωx-π6)的图象向左平移π3个单位,所得到的图象与函数y=cos ωx的图象重合,则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.128.在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,CM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗ =( )A.-113B.-43C.43D.1139.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是( )A.3B.9√32C.3√32D.3√310.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C 等于( )A.34B.43C.-43D.-3411.已知△ABC是边长为1的等边三角形,则(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC⃗⃗⃗⃗ )·(3BC⃗⃗⃗⃗ +4CA⃗⃗⃗⃗ )=( )A.-132B.-112C.-6-√32D.-6+√3212.将函数f(x)=2sin(ωx-π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,π4]上为增函数,则ω的最大值为( )A.1B.2C.3D.41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.若单位向量e1,e2的夹角为π3,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=√32,则λ=.14.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4√3S=(a+b)2-c2,则角C的大小为.15.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)= .16.在平面四边形ABCD中,若AB=1,BC=2,∠B=60°,∠C=45°,∠D=120°,则AD= .三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=√3sin 2ωx+cos4ωx-sin4ωx+1(其中0<ω<1),若点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)求f(x)的解析式,并求距y轴最近的一条对称轴的方程;(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)·cos(x+π4)+sin 2x+a的最大值为1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,若方程g(x)=m在x∈[0,π2]上有解,求实数m的取值范围.19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+1a=4cos C,b=1.(1)若A=90°,求△ABC的面积;(2)若△ABC的面积为√32,求a,c.20.(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2asin A=(2sin B-√3sinC)b+(2sin C-√3sin B)c.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2√3,求△ABC的面积.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos(2x+2π3)+√3sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)设△ABC的三个内角分别是A,B,C,若f(C2)=-12,且AC=1,BC=3,求sin A的值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2. (1)当x ∈[0,π2]时,求f(x)的值域;(2)若△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足ba =√3,sin(2A+C)sinA=2+2cos(A+C),求f(B)的值.三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1.B ∵sin(88°+θ)=23,∴cos(178°+θ)=cos(90°+88°+θ)=-sin(88°+θ)=-23.2.B ∵CP ⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,又△PAB 边PA 上的高与△PBC 边PC 上的高相等,∴S △PAB S△PBC=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗||CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12. 3.D 在△ABC 中,由asinA =bsinB,可得bsin A=asin B,又bsin A=3csin B,所以a=3c,又a=3,故c=1.由b 2=a 2+c 2-2accos B,cos B=23,可得b=√6.故选D.4.D f(x)=cos (x +π4)-cos (x -π4)=-√2sin x,所以函数f(x)是周期为2π的奇函数. 5.C 因为y=2sin (π6-2x)=-2sin (2x -π6),所以函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间就是函数y=sin (2x -π6)的单调递减区间.由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z ),解得π3+kπ≤x ≤5π6+kπ(k∈Z ),即函数y=2sin (π6-2x)的单调递增区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k ∈Z ),又x ∈[-π,0],所以k=-1,故函数y=2sin (π6-2x)(x ∈[-π,0])的单调递增区间为[-2π3,-π6].6.A 由题意知{π2ω≥π2,3ωπ=kπ,k ∈Z,即{0<ω≤1,ω=k 3,k ∈Z,则ω=13或ω=23或ω=1.7.A 把函数y=sin (ωx -π6)的图象向左平移π3个单位得函数y=sin [ω(x +π3)-π6]=sin [ωx +(π3ω-π6)]的图象,由题意,得π3ω-π6=2kπ+π2(k ∈Z ),所以ω=6k+2(k∈Z ),所以ω的一个可能取值是2,故选A.8.C 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13×32-23×22+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13+13×3×2cos π3=43,故选C. 9.C c 2=(a-b)2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab+6①.∵C=π3,∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab②,由①和②得ab=6,∴S △ABC =12absin C=12×6×√32=3√32,故选C.10.C 由2S=(a+b)2-c 2得2×12absin C=a 2+b 2-c 2+2ab,得absin C=2abcos C+2ab,sin C-2cos C=2,∴sin 2C+4cos 2C-4sin Ccos C=4, ∴tan 2C -4tanC+4tan 2C+1=4,∴tan C=-43或0(舍去),故选C.11.B (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -8BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-6|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°-8|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 120°=3×1×1×(-12)-6×12+4×1×1×(-12)-8×1×1×(-12)=-32-6-2+4=-112,故选B. 12.B 将函数f(x)=2sin (ωx -π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得g(x)=2sin ω(x +π3ω)-π3=2sin (ωx +π3-π3)=2sin ωx 的图象,当x ∈[0,π4]时,ωx∈[0,ωπ4],要使y=g(x)在[0,π4]上为增函数,需满足ωπ4≤π2,即ω≤2,故ω的最大值为2.二、填空题 13.答案 -12解析 由题意可得e 1·e 2=12,|a |2=(e 1+λe 2)2=1+2λ×12+λ2=34,化简得λ2+λ+14=0,解得λ=-12. 14.答案π3解析 由4√3S=a 2+b 2-c 2+2ab 可得,2√3absin C=2abcos C+2ab,即√3sin C-cos C =2sin (C -π6)=1,sin (C -π6)=12,由题意知0<C<π,∴-π6<C-π6<56π,∴C -π6=π6,解得C=π3. 15.答案 √3解析 由题图可知:T=2(3π8-π8)=π2, ∴ω=2,∴2×π8+φ=kπ+π2,k ∈Z ,又|φ|<π2, ∴φ=π4.又f(0)=1,∴Atan π4=1, 得A=1,∴f(x)=tan (2x +π4),∴f (π24)=tan (π12+π4)=tan π3=√3. 16.答案√6-√22解析 连接AC.在△ABC 中,AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos 60°=3,所以AC=√3,又AC 2+BA 2=4=BC 2,所以△ABC 是直角三角形,且∠BAC=90°.在四边形ABCD 中,∠BAD=360°-(60°+45°+120°)=135°,因此∠CAD=∠BAD-∠BAC=45°,所以∠ACD=180°-∠CAD-∠D=15°.在△ACD 中,由ADsin ∠ACD =ACsin ∠D,即ADsin15°=√3sin120°,得AD=√3sin15°sin120°=√3×(√6-√2)4×√3=√6-√22. 三、解答题17.解析 (1)f(x)=√3sin 2ωx+(cos 2ωx -sin 2ωx)(cos 2ωx+sin 2ωx)+1=√3sin 2ωx+cos 2ωx+1 =2sin (2ωx +π6)+1.∵点(-π6,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,∴-ωπ3+π6=kπ,k∈Z ,∴ω=-3k+12,k ∈Z . ∵0<ω<1,∴ω=12,∴f(x)=2sin (x +π6)+1.由x+π6=kπ+π2,k ∈Z ,得x=kπ+π3,k ∈Z ,令k=0,得距y 轴最近的一条对称轴方程为x=π3.(2)由(1)知, f(x)=2sin (x +π6)+1,当x ∈[-π,π]时,列表如下:x+π6-5π6-π2π2π 7π6 x-π -2π3 -π6π3 5π6 π f(x) 0 -1 13 1则函数f(x)在区间[-π,π]上的图象如图所示.18.解析 (1)f(x)=√3sin (2x +π2)+sin 2x+a=√3cos 2x+sin 2x+a=2sin (2x +π3)+a,由题意知2+a=1,解得a=-1. 由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z , 解得-5π12+kπ≤x ≤π12+kπ,k∈Z ,∴函数f(x)的单调递增区间是[-5π12+kπ,π12+kπ],k ∈Z .(2)∵将函数f(x)的图象向左平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=f (x +π6)=2sin [2(x +π6)+π3]-1=2sin (2x +2π3)-1,当x ∈[0,π2]时,2x+2π3∈[2π3,5π3],当2x+2π3=2π3时,sin (2x +2π3)=√32,g(x)取最大值√3-1; 当2x+2π3=3π2时,sin (2x +2π3)=-1,g(x)取最小值-3.∴-3≤m ≤√3-1. 19.解析 (1)∵b=1, ∴a+1a =4cos C=4×a 2+b 2-c 22ab=2(a 2+1−c 2)a,∴2c 2=a 2+1.又A=90°,∴a 2=b 2+c 2=c 2+1, ∴2c 2=a 2+1=c 2+2,解得c=√2, ∴S △ABC =12bcsin A=12bc=12×1×√2=√22.(2)∵S △ABC =12absin C=12asin C=√32, ∴sin C=√3a ,∵a+1a=4cos C,∴[14(a +1a)]2+(√3a)2=1, 化简得(a 2-7)2=0,∴a=√7, ∴cos C=2√77. 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C =7+1-2×√7×1×2√77=4,从而c=2.20.解析 (1)由已知及正弦定理可得2a 2=(2b-√3c)b+(2c-√3b)c,整理得b 2+c 2-a 2=√3bc,所以cos A =√32. 又A ∈(0,π),故A=π6. (2)由a sinA=b sinB ,a=2,b=2√3,A=π6, 得sin B=√32. 又B ∈(0,5π6),故B=π3或2π3. 若B=π3,则C=π2,于是S △ABC =12ab=2√3; 若B=2π3,则C=π6,于是S △ABC =12absin C=√3. 21.解析 (1)f(x)=2cos (2x +2π3)+√3sin 2x=-cos 2x,∴函数f(x)的最小正周期T=π,函数f(x)的最大值为1. (2)由(1)知f(x)=-cos 2x, ∴f (C2)=-cos C=-12,可得cos C=12. ∵C∈(0,π),∴sin C=√32. 由余弦定理可得,AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C=1+9-2×1×3×12=7, ∴AB=√7.第 11 页 共 11 页 ∴由正弦定理可得,sin A=BC ·sinC AB =3×√32√7=3√2114. 22.解析 (1)f(x)=2√3sin xcos x-3sin 2x-cos 2x+2 =√3sin 2x-2sin 2x+1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6).∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6], ∴sin (2x +π6)∈[-12,1],∴f(x)在x ∈[0,π2]上的值域是[-1,2]. (2)由题意可知sin[A+(A+C)]=2sin A+2sin Acos(A+C),即sin Acos(A+C)+cos Asin(A+C)=2sin A+2sin Acos(A+C), 化简可得sin C=2sin A,由正弦定理可得c=2a,∵b=√3a,∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-3a 22a ·2a =12, ∵0<B<π,∴B=π3.∴f(B)=2sin (2×π3+π6)=1.。
2018年高考考点完全题数学文考点通关练习题 第三章 三
考点测试19 三角函数的图象和性质一、基础小题1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得到g (x )的图象答案 D解析 因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，所以f (x )向右平移π2个单位，可得到g (x )的图象，故选D.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4是( ) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为2π的奇函数答案 D解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－2sin x ，所以函数f (x )是周期为2π的奇函数．3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54答案 C解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.4．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22答案 B解析 由题意知f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.故选B.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡ π3＋k π，⎦⎥⎤5π6＋k π(k ∈Z )，又x ∈，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6.6．使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A.π4 B.π2 C ．π D.3π2答案 C解析 若f (x )是R 上的奇函数，则必须满足f (0)＝0，即sin φ＝0.∴φ＝k π(k ∈Z )，故选C.7．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π答案 D解析 若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，所以要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D. 8．函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2或0<x <π2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin2x >0，9－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin2x ＋9－x 2的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3≤x <－π2或0<x <π2.二、高考小题9．函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5，故选B.10．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.11．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 12．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析 选项A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A.13．定义在区间上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在同一平面直角坐标系中作出y ＝sin2x 与y ＝cos x 在区间上的图象(如图)．由图象可知，共有7个交点．三、模拟小题14．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的图象大致是( )答案 D解析 函数f (x )＝2x －4sin x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，故A 、B 错误．又令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，即cos x ＝12，解得x ＝±π3，所以x ＝±π3为函数的极值点，所以只有D 项符合条件．故选D.15．若函数f (x )＝A sin2ωx (A >0，ω>0)在x ＝1处取得最大值，则函数f (x ＋1)为( ) A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数答案 A解析 因为f (x )＝A sin2ωx 在x ＝1处取得最大值，故f (1)＝A ，即sin2ω＝1，所以2ω＝π2＋2k π，k ∈Z .因此，f (x ＋1)＝A sin(2ωx ＋2ω)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋2k π＝A cos2ωx ，故f (x ＋1)是偶函数．16．函数f (x )＝sin x ＋x 在区间已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则nm＝( )A.332 B. 3 C ．－233 D.33答案 C解析 若x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则x ＝π3是函数f (x )的极值点．f ′(x )＝2m cos x ＋n sin x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2m cos π3＋n sin π3＝m ＋32n ＝0，所以n m ＝－233.18．已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x ≤cos x 时，f (x )＝cos x ，当sin x >cos x时，f (x )＝sin x .给出以下结论： ①f (x )是周期函数； ②f (x )的最小值为－1；③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值； ④当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π. 其中正确的结论序号是________． 答案 ①④⑤解析 易知函数f (x )是周期为2π的周期函数． 函数f (x )在一个周期内的图象如图所示． 由图象可得，f (x )的最小值为－22，当且仅当x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )取得最小值；当且仅当2k π－π2<x <(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )>0；f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.一、高考大题1．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．2．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.二、模拟大题3．已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解 由cos2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z .因为f (x )的定义域关于原点对称，且 f (－x )＝6cos4－x ＋5sin2－x －4－2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )．所以f (x )是偶函数， 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时， f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝6cos 4x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1＝2x －2x －2cos 2x －1＝3cos 2x －1.所以f (x )的值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤y <12或12<y ≤2.4．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在x ＝x 0处取得最大值，求f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)的值．解 (1)f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴f (x )的最小正周期为2π. (2)依题意，x 0＝2k π＋3π4(k ∈Z )，由周期性，f (x 0)＋f (2x 0)＋f (3x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4－cos 3π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2－cos 3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 9π4－cos 9π4＝2－1.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝±1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0， ∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z .因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .6．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32 函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
2019年艺术生高考数学复习考点快速过关第三章三角函数与解三角形
第16课弧度制与任意角的三角函数要点梳理1.角的概念的推广终边相同的角:与角α的终边相同的角β的集合为.2.角的度量(1) 弧长公式:l=;(2) 扇形面积公式:S=rl=|α|r2.3.任意角的三角函数的定义设角α的终边上任意一点的坐标为P(x,y)(除原点),点P到坐标原点的距离为r(r=>0),则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).4.三角函数的定义域在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是、、.激活思维1. (必修4P10习题2改编)在集合A={α|α=120°+k·360°,k∈Z}中,属于区间(-360°,360°)的角的集合是.2. (必修4P14例1改编)若点P在角的终边上,且OP=2,则点P的坐标为.3. (必修4P10习题8改编)已知扇形的周长为6 cm,面积为2 cm2,那么扇形的圆心角的弧度数为.4. (必修4P23习题16改编)已知角α的终边过点P(-8m,3),且cos α=-,那么sin α=.真题演练1. (2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),若cos2α=,则|a-b|=.(第2题)2. (2018·北京卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知,,,是圆x2+y2=1上的四段弧,点P 在其中的一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanα<cosα<sinα,则点P所在的圆弧是.能力提升(例1)例1如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β,其终边与单位圆交于点B,AB=.(1) 求cosβ的值;(2) 若点A的横坐标为,求点B的坐标.例2若角α的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.当堂反馈1.若120°的角的终边上有一点(-4,a),则a的值为.2.下列命题中,正确的是.(填序号)①小于的角是锐角;②若α是第一象限角,则必是第一象限角;③终边相同的角必相等;④第三象限角大于第二象限角;⑤若α,β的终边相同,则α-β的终边必在x轴的非负半轴上.第17课同角三角函数间基本关系式与诱导公式要点梳理1.同角三角函数间基本关系式(1) 平方关系:.(2) 商数关系:.诱导公式的规律可概括为十个字:奇变偶不变,符号看象限.激活思维1. (必修4P22练习7改编)若θ∈,,sin θ=,则tan θ=.2. (必修4P22练习9改编)若tan α=3,则-=.3. (必修4P19例1改编)计算:cos=.4. (必修4P22练习5改编)若cos(π+α)=-,且α∈-,,则tan=.真题演练1. (2015·四川卷)已知sinα+2cosα=0,那么2sinαcosα-cos2α的值是.2. (2018·镇江期末)已知锐角θ满足tanθ=cosθ,那么-=.能力提升例1已知f(α)=(-)(-)-(--),求f-的值.例2若sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则tan θ=.当堂反馈1.已知sin-=,且2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),求sin(α-7π)的值.2.若直线4x-3y+1=0的倾斜角为α,则cos4α-sin4α=.第18课三角变换要点梳理1.两角和(差)的三角函数公式(1) sin(α±β)=.(2) cos(α±β)=.(3) tan(α±β)=.2.二倍角公式(1) 二倍角的正弦:sin 2α=.(2) 二倍角的余弦:cos 2α=.(3) 二倍角的正切:tan 2α=.激活思维1. (必修4P96练习4改编)计算:sin 12°cos 18°+cos 12°sin 18°=.2. (必修4P102习题4改编)计算:--=.3. (必修4P106例2改编)已知sin α=,α∈,,那么 sin 2α=.4. (必修4P94习题6改编)函数f(x)=sin x-cos x,x∈,的最小值为.真题演练1. (2018·全国卷Ⅲ)若sinα=,则cos2α=.2. (2018·全国卷Ⅱ)已知tan-=,那么tanα=.能力提升例1若cos-=,则sin-的值是.例2已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<.(1) 求tan2α的值;(2) 求β的值.当堂反馈1.若sin-=,α∈,,则cosα的值为.2.若sin=,则sin-+sin2-=.第19课三角函数的图象和性质要点梳理1.2.函数y=A sin(ωx+φ)的图象(1) 用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤:①列表;②描点;③连线.(2) 用“变换法”.由函数y=sin x的图象得到函数y=A sin(ωx+φ)的图象的规律:①由y=sin x的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度,得到的图象;纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到的图象;横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到的图象.②由y=sin x的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到的图象;向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度,得到的图象;横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到的图象.激活思维1. (必修4P26例2改编)函数y=sin的最小正周期为.2. (必修4P33练习2改编)函数y=tan-的定义域为.3. (必修4P32练习5改编)函数y=sin x的值域为.4. (必修4P40习题4改编)函数y=3sin(x∈[0,π])的单调增区间为.真题演练1. (2018·江苏卷)已知函数y=sin(2x+φ)-的图象关于直线x=对称,那么φ的值为.2. (2018·天津卷)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数的单调增区间为.能力提升例1已知函数y=3sin-.(1) 用“五点法”作函数的图象;(2) 说出此图象是由y=sin x的图象经过怎样的变化得到的;(3) 求此函数的对称轴、对称中心和单调增区间.例2(2018·北京卷)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若f(x)在区间-,上的最大值为,求m的最小值.当堂反馈1.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=sin-的图象,则φ=.2. (2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]上是单调减函数,则a的最大值是.第20课正弦定理与解三角形要点梳理1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理:(其中R为△ABC的外接圆的半径).变式:(1) a=2R sin A,b=,c=;(2) sin A=,sin B=,sin C=;(3) a∶b∶c=;(4) ===(等比性质).2.三角形面积公式S△ABC=ab sin C====.(其中R为△ABC的外接圆的半径,r为△ABC的内切圆的半径)激活思维1. (必修5P8练习1改编)在△ABC中,若A=60°,B=75°,a=10,则c=.2. (必修5P10练习2改编)在△ABC中,若a=5,c=10,A=30°,则B=.3. (必修5P10练习3改编)在△ABC中,若A=60°,a=,则=.4. (必修5P11习题6改编)在△ABC中,若a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为.真题演练1. (2018·北京卷)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=,的取值范围是.2. (2018·全国卷Ⅰ)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b sin C+c sin B=4a sin B sin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.能力提升例1在△ABC中,已知AC=6,cos B=,C=.(1) 求AB的长;(2) 求cos-的值.例2(2018·镇江期末)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a·cos B=-2c cos C.(1) 求角C的大小;(2) 若b=2a,且△ABC的面积为2,求c.当堂反馈1. (2018·南京、盐城、连云港二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b sin A sin B+a cos2B=2c,则的值为.2. (2018·苏锡常镇调研(一))已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=-,则cos A=.第21课余弦定理与解三角形要点梳理1.余弦定理:a2=,b2=,c2=.2.变式:cos A=,cos B=,cos C=.激活思维1. (必修5P15练习1改编)在△ABC中,若a=,b=1,c=2,则A=.2. (必修5P17习题6改编)已知△ABC三边满足a2+b2=c2-ab,那么此三角形的最大内角为.3. (必修5P17习题5改编)在△ABC中,若c=2a cos B,则△ABC是三角形.4. (必修5P15习题3改编)在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是.真题演练1. (2018·浙江卷)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=,c=.2. (2018·全国卷Ⅲ)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为-,则C=.能力提升例1在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a sin A=4b sin B,ac=(a2-b2-c2). (1) 求cos A的值;(2) 求sin(2B-A)的值.例2(2018·天津卷)在△ABC中,已知内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b sin A=a cos-.(1) 求角B的大小;(2) 设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.当堂反馈1. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在△ABC中,已知AB=1,AC=,B=45°,那么BC的长为.2. (2018·无锡期末)在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,C=2A.(1) 求cos B的值;(2) 若ac=24,求△ABC的周长.第三章三角函数与解三角形第16课弧度制与任意角的三角函数要点梳理1. {β|β=k·360°+α,k∈Z}2. (1) |α|r3.4. R R∈激活思维1. {-240°,120°}2. (-1,)3. 1或44.真题演练1.【解析】如图,假设角α为第一象限角.由cos2α=,得2cos2α-1=,解得cosα=,所以cosα==,解得a=;cosα==,解得b=,所以|a-b|=.(第1题)2.【解析】如图,在同一平面直角坐标系中分别作出y=tanα,y=sinα,y=cosα在[0,2π]上的图象.由图知,当α∈时,cosα<sinα;当α∈,其中<a<π时,tanα<cosα.即当α∈,其中<a<π时,恒有tanα<cosα<sinα,所以<α<π,故点P在上.(第2题)能力提升例1【解答】(1) 在△AOB中,由余弦定理得, cos∠AOB=-·=-=,即cosβ=.(2) 因为cosβ=,β∈,所以sinβ=-=-=.因为点A的横坐标为,由三角函数定义可得,cosα=,又α为锐角,所以sinα=-=-=,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×=,所以点B-.例2【解答】因为x=4a,y=-3a,所以r=-=5|a|.当a>0时,r=5a,所以sinα==-=-,cosα==,tanα=-=-.当a<0时,r=-5a,所以sinα==--=,cosα=-=-,tanα=-=-.当堂反馈1. 42.⑤第17课同角三角函数间基本关系式与诱导公式要点梳理1. (1) sin2α+cos2α=1(2) tan α=激活思维1. -2.3. -4.真题演练1. -12. 3+2【解析】由tanθ=cosθ,得sinθ=cos2θ,即sinθ=(1-sin2θ),解得sinθ=(负值舍去),cosθ=,所以原式=3+2.能力提升例1【解答】因为f(α)==-cosα,所以f-=-cos--=-cos=-.-例2【答案】-【解析】由sinθ+cosθ=①,两边平方得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=,即1+2sinθcosθ=,所以2sinθcosθ=-<0.又因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ-cosθ=-=-=②.由①②两式,解得sinθ=,cosθ=-,所以tanθ=-.当堂反馈1.【解答】由sin-=,得cosα=-.因为2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),所以sinα=-,sin(α-7π)=-sinα=.2. -【解析】由直线4x-3y+1=0的倾斜角为α,知tanα=,故cos4α-sin4α=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=-=-=-=-.第18课三角变换要点梳理1. (1) sin αcos β±cosαsin β(2) cos αcos β∓sin αsin β(3)∓2. (1) 2sin αcos α(2) cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(3)-激活思维1.2.3. -4. -真题演练1.2.【解析】由题知tanα=tan-=---=-=.能力提升例1【答案】-【解析】令β=α-,则cosβ=,α=β+,从而2α-=2β+,所以sin-=sin=cos2β=2cos2β-1=2×-1=-.例2【解答】(1) 由cosα=,0<α<,得sinα=,所以tanα=4,所以tan2α=-=-.(2) 由0<β<α<,可得0<α-β<,因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)=--=,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=,所以β=.当堂反馈1.-【解析】因为α∈,所以α-∈-.又sin-=,所以cosα-=,所以cosα=cos-=cosα-cos-sin-sin=×-×=-.2.【解析】由题知sin-+sin2-=sin-+sin2-=sin+cos2=sin+1-sin2=+1-=.第19课三角函数的图象和性质要点梳理2.y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ)y=sinωx y=sin(ωx+φ)y=A sin(ωx+φ)激活思维1.4π2.∈3.4.真题演练1. -【解析】由题知sin=±1,则+φ=+kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ(k∈Z).因为-<φ<,所以φ=-.2.-(k∈Z)【解析】将函数y=sin的图象向右平移个单位长度后,得到函数y=sin2x的图象.由-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以函数y=sin2x的单调增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).能力提升例1【解答】(1)②描点.③作图:如图所示.(例1)(2) 方法一:“先平移,后伸缩”.先将y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图象;再将y=sin-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin-的图象;最后将y=sinx-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.方法二:“先伸缩,后平移”.先将y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象;再将y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图象;最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.(3) 因为y=3sin-是周期函数,通过观察图象可知,所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴,即令x-=+kπ(k∈Z),解得x=+2kπ(k∈Z),即为对称轴方程.所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心,令x-=kπ(k∈Z),得x=+2kπ(k∈Z),所以对称中心为点(k∈Z).因为x前面的系数为正数,所以,令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得x∈-+4kπ,+4kπ,k∈Z,即为函数的单调增区间.例2【解答】(1) 因为f(x)=-+sin2x=sin2x-cos2x+=sin-+,所以f(x)的最小正周期为T==π.(2) 由(1)知f(x)=sin-+.因为x∈-,所以2x-∈-,2m-.要使f(x)在-上的最大值为,即sin2x-在-上的最大值为1,只需2m-≥,即m≥, 所以m的最小值为.当堂反馈1.2.【解析】因为f(x)=cos x-sin x=cos x+,由2kπ≤x+≤π+2kπ(k∈Z),得函数f(x)的单调减区间为-(k∈Z).又f(x)在[0,a]上单调递减,所以[0,a]⊆-,所以a≤,所以a的最大值为.第20课正弦定理与解三角形要点梳理1.===2R (1) 2R sin B 2R sin C (2) (3) sin A∶sin B∶sin C2.bc sin A ac sin B r(a+b+c)激活思维1.2.105°或15°3. 24. 4真题演练1.(2,+∞)【解析】由正弦定理得S△ABC=ac sin B=(a2+c2-b2),即sin B=cos B.因为B为△ABC的内角,所以B=.由正弦定理得==-=·+.又因为C为钝角,所以+A<,即0<A<,所以0<tan A<,所以>2.2.【解析】由b2+c2-a2=8,得2bc cos A=8,所以A为锐角,且bc cos A=4.由题意及正弦定理得sin B sin C+sin C sin B=4sin A sin B sin C,因为sin B≠0,sin C≠0,所以sin A=,所以A=30°,所以bc cos30°=4,即bc=,所以△ABC的面积为S=bc sin A=××=.能力提升例1【解答】(1) 因为cos B=,0<B<π,所以sin B=-=-=,由正弦定理知=,所以AB=·==5.(2) 在△ABC中,因为A=π-(B+C),所以cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin.又cos B=,sin B=,所以cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A=-=,所以cos-=cos A cos+sin A sin=-×+×=-.例2【解答】(1) 由正弦定理==,且b cos A+a cos B=-2c cos C,得sin B cos A+sin A cos B=-2sin C cos C,所以sin(B+A)=-2sin C cos C.因为A,B,C为△ABC的内角,所以B+A=π-C,所以sin C=-2sin C cos C.又C∈(0,π),所以sin C>0,所以cos C=-,所以C=.(2) 因为△ABC的面积为2,所以ab sin C=2,所以ab=.由(1)知C=,所以sin C=,所以ab=8.又因为b=2a,解得a=2,b=4,所以c2=a2+b2-2ab cos C=22+42-2×2×4×-=28,所以c=2.当堂反馈1. 2【解析】由正弦定理,得sin B sin A sin B+sin A·cos2B=2sin C,即sin A(sin2B+cos2B)=2sin C,即sin A=2sin C.又由正弦定理得,==2.2.【解析】由+1=,得+1=,即=.在△ABC中,因为sin(A+B)=sin C,由正弦定理=,得·=,故cos A=.第21课余弦定理与解三角形要点梳理1.b2+c2-2bc cos A a2+c2-2ac cos B a2+b2-2ab cos C2.---激活思维1.60°2.150°3.等腰4.真题演练1.3【解析】由正弦定理=,得sin B==.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得c2-2c-3=0,解得c=3.2.【解析】由三角形的面积公式,得-=ab sin C,又由余弦定理得-=cos C,所以cos C=sin C,因为C∈(0,π),所以C=.能力提升例1【解答】(1) 由a sin A=4b sin B及=,得a=2b.又由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理,得cos A=-=-=-.(2) 由(1)可得sin A=,代入a sin A=4b sin B,得sin B==.由(1)知,A为钝角,所以cos B=-=,所以sin2B=2sin B cos B=,cos2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin2B cos A-cos2B sin A=×--×=-.例2【解答】(1) 在△ABC中,由正弦定理=,得b sin A=a sin B.又由b sin A=a cos-,得a sin B=a cos B-,即sin B=cos-,所以tan B=.又因为B∈(0,π),所以B=.(2) 在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,得b2=a2+c2-2ac cos B=7,故b=.又由b sin A=a cos-,得sin A=.因为a<c,所以cos A=,所以sin2A=2sin A cos A=,cos2A=2cos2A-1=,所以sin(2A-B)=sin2A cos B-cos2A sin B=×-×=.当堂反馈1.【解析】在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题知c=1,b=,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得a2-a-1=0.因为a>0,所以a=,即BC=.2.【解答】(1) 因为cos A=,C=2A,所以cos C=cos2A=2cos2A-1=2×-1=.在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=,又cos C=,所以sin C=-=,故cos B=-cos(A+C)=sin A sin C-cos A cos C=.(2) 由正弦定理=,得==.因为ac=24,所以a=4,c=6.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=25,所以b=5,所以△ABC的周长为a+b+c=15.。
2019年高考数学(文)考点通关训练第三章 三角函数、解三角形与平面向量 21 及答案
考点测试21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、基础小题1.sin20°cos20°cos50°＝( )A ．2 B.22 C. 2 D.12答案 D解析 原式＝sin40°2cos50°＝sin40°2sin40°＝12.2．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A.45 B ．－83 C ．－237 D ．－247答案 D解析 ∵α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，∴sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－34，于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，故选D.3．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3，故选A.4．简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 答案 A解析 cos15°cos45°－cos75°sin45° ＝cos15°cos45°－sin15°sin45° ＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12，故选A.5．下列各式中，值为32的是( )A ．2sin15°cos15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°答案 B解析 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，2sin 215°－1＝－co s30°＝－32，sin 215°＋cos 215°＝1.故选B.6．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.7．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327答案 D解析 ∵cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝223，∴sin2α＝429，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.8.3－sin70°2－cos 210°＝________. 答案 2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos20°＋12＝2 3－cos20°3－cos20°＝2.二、高考小题9．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－725 答案 D解析 解法一：sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.故选D.解法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝35⇒cos α＋sin α＝325⇒1＋sin2α＝1825， ∴sin2α＝－725.故选D.10．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.11．cos 2π8－sin 2π8＝________. 答案 22解析 由二倍角公式易得cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 12．sin15°＋sin75°的值是________． 答案 62解析 sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°＝62. 13．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3解析 tan β＝tan ＝tan α＋β －tan α1＋tan α＋β tan α＝17－ －2 1＋17× －2 ＝3.三、模拟小题14．sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝( ) A ．－12 B.32 C.22 D.12答案 D解析 sin47°cos17°＋cos47°cos(90°＋17°)＝sin47°cos17°＋cos47°(－sin17°)＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12，故选D.15．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7 B.17 C ．－7 D ．－17答案 B解析 解法一：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即sin αcos βsin β－cos αsin 2β－cos αcos 2β－sin αsin βcos β＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B.解法二：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B.16．函f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3 答案 B解析 依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.17．已知5sin2α＝6cos α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )A ．－23 B.13 C.35 D.23答案 B解析 由题意知10sin αcos α＝6cos α，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，cos α＝45，tan α2＝sin α2cos α2＝2sin2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13.18．(1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)·(1＋tan18°)的值是( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 (1＋tan17°)(1＋tan28°)＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°，tan45°＝tan17°＋tan28°1－tan17°tan28°＝1，∴1＋tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝2，∴(1＋tan17°)(1＋tan28°)(1＋tan27°)(1＋tan18°)＝4，故选B.一、高考大题 1．已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．解 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3.(2)原式＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 2．已知函f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解 (1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函，又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.二、模拟大题3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值； (2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．解 (1)解法一：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α. 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，有1＋tan α1－tan α＝12.解得tan α＝－13.解法二：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αtanπ4＝12－11＋12×1＝－13.(2)解法一：sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin α－cos α2cos α＝tan α－12＝－13－12＝－56.解法二：由(1)知tan α＝－13，得sin α＝－13cos α.∴sin 2α＝19cos 2α，1－cos 2α＝19cos 2α.∴cos 2α＝910.于是cos2α＝2cos 2α－1＝45，sin2α＝2sin αcos α＝－23cos 2α＝－35.∴sin2α－cos 2α1＋cos2α＝－35－9101＋45＝－56.4．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin2x －cos2x )＋cos2x ＝12(sin2x ＋cos2x )＋12.由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35，所以，f (α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得，f (x )＝12(sin2x ＋cos2x )＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2＋12. 5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求：(1)sin2α；(2)tan α－1tan α. 解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12， 又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2·－3212＝2 3. (或者∴2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝2 3.) 6．已知向量a ＝⎝ ⎛ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， f (x )＝2a ·b －1.(1)求函f (x )的最小正周期；(2)求函f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴函f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6. 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32，所以函f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，1.。