【2020同济大学(电磁学)】5高斯定理的应用
高斯定理的应用
高斯定理的应用
高斯定理是数学中一个非常重要且广泛应用的定理，它在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着重要的应用。
本文将介绍高斯定理在不同领域中的具体应用，并探讨其重要性和实际意义。
在物理学中，高斯定理常常被用来计算电场、磁场等物理量。
例如，在静电场中，我们可以利用高斯定理来计算电场强度在一个封闭曲面上的总通量，从而求解出该曲面内的电荷量。
这对于分析电场分布、计算电场能量等问题非常有用。
类似地，高斯定理也可以应用于磁场分析中，帮助我们理解磁场的性质和行为。
在工程学中，高斯定理可以用来解决各种电磁场问题，如天线设计、电磁干扰分析等。
通过建立适当的高斯曲面和选择合适的控制面，我们可以简化复杂的电磁场计算，并得到准确的结果。
这对于工程师设计和优化各种电磁设备和系统非常重要。
在计算机科学中，高斯定理也有着重要的应用。
例如，在图形学中，我们常常需要计算三维空间中的曲面积分或体积积分，而高斯定理可以帮助我们将这些复杂的积分问题转化为简单的曲面积分或线积分。
这样一来，我们就可以更高效地计算各种图形学问题，如渲染、建模等。
总的来说，高斯定理作为数学中的重要定理，不仅具有理论意义，更具有广泛的应用价值。
通过在不同领域中的应用，高斯定理帮助
我们解决各种复杂的物理、工程和计算问题，促进了科学技术的发展。
因此，深入理解和熟练运用高斯定理对于我们探索世界、解决问题具有重要意义。
愿我们在学习和工作中不断探索高斯定理的更多应用，为人类进步和发展贡献自己的力量。
高斯定理的推导与应用
高斯定理的推导与应用在物理学的广阔领域中，高斯定理是一个极其重要的概念，它在电学和磁学等方面有着广泛而深刻的应用。
让我们一同踏上探索高斯定理的奇妙之旅，深入了解它的推导过程以及在实际问题中的出色表现。
要理解高斯定理，首先得从电场的基本概念说起。
电场是由电荷产生的一种物理场，它对置于其中的电荷有力的作用。
我们想象一个空间中的点电荷 q，以它为中心作一个半径为 r 的球面。
根据库仑定律，我们可以知道球面上任意一点的电场强度 E 的大小都相等，方向都沿径向朝外（对于正电荷）。
那么通过这个球面的电场强度通量（简称电通量）Φ 就等于电场强度 E 乘以球面的面积 S。
由于球面的面积 S ＝4πr²，而电场强度 E ＝kq ／ r²（其中 k 是库仑常量），所以电通量Φ ＝ E × S ＝4πkq 。
现在，我们考虑一个任意形状的闭合曲面 S 包围着一个电荷 q。
我们可以把这个曲面分割成无数个小面元 dS，对于每个小面元，我们可以近似地认为上面的电场强度是均匀的。
那么通过这个小面元的电通量dΦ 就等于电场强度 E 在面元法线方向上的分量 En 乘以面元的面积dS，即dΦ ＝ En dS 。
对整个闭合曲面 S 积分，就可以得到通过这个闭合曲面的总电通量Φ ：Φ ＝∫ E · dS由于电场强度是由电荷产生的，而库仑定律告诉我们电荷与电场强度之间的关系，经过一系列复杂但严谨的数学推导（此处省略详细的数学过程），我们可以得出：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷除以真空介电常数ε₀。
这就是高斯定理的表达式：Φ ＝∑q ／ε₀接下来，让我们看看高斯定理在实际中的应用。
在计算具有高度对称性的带电体产生的电场时，高斯定理有着极大的优势。
比如，对于一个均匀带电的无限长直导线，由于其具有轴对称性，我们可以选取一个圆柱面作为高斯面。
通过合理的计算，可以简便地得出其周围的电场分布。
高斯定理的推导与应用
高斯定理的推导与应用在物理学的众多定理中，高斯定理无疑是一颗璀璨的明珠。
它不仅在电磁学领域有着广泛而深刻的应用，还为我们理解和解决许多物理问题提供了强有力的工具。
要理解高斯定理，首先得从电场的基本概念说起。
电场是由电荷产生的，电荷周围存在着一种特殊的物质，它能够对置于其中的其他电荷产生力的作用，这就是电场。
我们用电场强度 E 来描述电场的强弱和方向。
那么，高斯定理到底是什么呢？简单来说，高斯定理指出：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷除以真空中的介电常数。
接下来，让我们一步步来推导高斯定理。
考虑一个点电荷 q 处于真空中，以点电荷为球心，作一个半径为 r 的球面。
根据库仑定律，球面上任意一点的电场强度 E 的大小为 E ＝kq ／ r²，其中 k 是库仑常数。
电通量的定义是电场强度 E 与面积元 dS 的点积在整个曲面上的积分。
对于这个球面，由于电场强度 E 处处与球面垂直，所以电通量Φ 就等于 E 乘以球面积4πr²，即Φ ＝E×4πr² ＝ kq ／r² × 4πr² ＝4πkq 。
可以发现，这个电通量只与点电荷 q 的电荷量有关，而与球面的半径无关。
现在考虑一个由多个点电荷组成的带电体系。
假设这些点电荷分别为 q₁、q₂、q₃……qn 。
对于一个任意闭合曲面，我们可以把每个点电荷产生的电场对这个闭合曲面的电通量分别计算出来，然后相加。
由于电场强度满足叠加原理，所以总的电通量等于各个点电荷产生的电通量之和。
如果闭合曲面内的净电荷为 Q，则总电通量Φ ＝4πkQ 。
又因为真空中的介电常数ε₀＝1 ／（4πk) ，所以可以得到高斯定理的表达式：Φ ＝ Q ／ε₀。
高斯定理有着极其广泛的应用。
在计算具有对称性的带电体的电场强度时，高斯定理往往能发挥巨大的作用。
比如，对于一个均匀带电的无限长直圆柱体，由于其具有轴对称性，我们可以选取一个与圆柱体同轴的圆柱形闭合高斯面。
高斯定理的应用
6 0
r a r a
中子的分布：
sa3
N
3Dr
s
6 D
3a2 r 2
r a r a
19
第一章 电磁场的普遍规律
4.无旋的流体 设流体缓慢流过一个球体，没有引起旋窝 （并不是真实情况的近似），也没有源。
r 0, r 0 因此： r ——速度势（没有对应的物理量）
2 0 ——与静电场方程相同
7
第一章 电磁场的普遍规律
③ 原子同一性：按照经典力学，太阳系是由当初形成时 宇宙的初始条件决定的，初始条件不同则不可能形成 相同的结果，宇宙的变化是浩渤莫测的，因此不可想 象还存在着第二个完全一样的太阳系。然而，原于的 情况就不同了，可以轻而易举地找到相同的原子。
原因： 经典粒子没有全同粒子
8
第一章 电磁场的普遍规律
20
两个限制：
第一章 电磁场的普遍规律
① 球体表面没有法向分量（与导体球不同）
② 在远离球体时，流速恒定：
z
r
0
0
r ra
设：
E0 z
pz
4 0 r 3
E0r cos
p cos 4 0 r 2
② 满足
由①得： p 20a3E0
E0
r
a3 2r 2
cos
v0
r
a3 2r 2
cos
第一章 电磁场的普遍规律
高斯定理的应用
1
高斯定理的应用
第一章 电磁场的普遍规律
r
E
2π 0 r
E S
E SS
r
R
E＝ 20
R3
E
3 0 r
r
2
3 0
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
高斯定理及应用.
h
r
+ + +
o
y
x
物理学方法概论
思考： 如果直线状带电体变成圆柱面带
电体，结果会是如何？ 总结：高斯面的选择 选择原则：观察带电体的形状,根据其对称性而定 球(壳)状带电体——同心高斯球面
无限大带电平面——圆柱体形高斯面
无限长线状带电体——同轴圆柱体形高斯面
物理学方法概论
小结:
一 二 电场线及其特点 电场强度通量(E 通量)
注意：电场线是为了描述电场分布而引 入的曲线,不是电荷的运动轨迹
+
物理学方法概论
2、 电场强度通量(E 通量/电通量) 通过电场中某一个面的电场线数叫做通过 这个面的电场强度通量.
均匀电场 ，E 垂直平面
Φe ES 均匀电场 ， E 与平面不垂直 Φe ES cos
S
E
en
Φe
q
0
物理学方法概论
3、高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲 面的电场强度通量,等于该曲面 所包围的所有电荷的代数和除 以 0 .(与面外电荷无关，闭合 曲面称为高斯面）.
1 Φe E dS
S
请思考：1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s的 Φ 有贡献 e
0
0
0
0
0
0
理学方法概论
例6 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
r
解 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面
z
s ( 柱面）
E dS
高斯定理的应用
高斯定理的应用高斯定理是电磁学和物理学中非常重要的一条定理，它描述了通过一个任意闭合曲面的电场通量与该闭合曲面内的电荷量之间的关系。
这个定理不仅仅在电学领域有着广泛的应用，还可以用于其他领域，比如流体力学和热传导等。
本文将探讨高斯定理的应用，并从几个方面进行论述。
1. 电场分布的计算高斯定理可以用于计算电场在空间中的分布情况。
根据高斯定理，通过一个闭合曲面的电场通量等于该闭合曲面内的电荷量除以真空介电常数。
因此，如果我们已知一个体内的电荷分布情况，通过运用高斯定理可以计算出任意点的电场强度。
这对于理解和分析电场的性质至关重要，可以帮助我们更好地理解电场的行为规律。
例如，假设我们有一个球形体内的均匀带电球体，半径为R，电荷量为Q。
我们可以选取一个球面作为闭合曲面，将高斯定理应用于该球面上。
由于球内电荷均匀分布，球面内的电荷量将与球内电荷量相等。
根据高斯定理，电场通量为闭合曲面内的电荷量除以真空介电常数，即E·4πR^2 = Q/ε0。
通过简单的计算，我们可以得到球心处的电场强度为E = Q/(4πε0R^2)。
2. 电荷分布的确定高斯定理还可以被用于确定电荷分布的情况。
如果我们已知一个空间中存在的电场分布，而且我们希望分析该空间内的电荷分布，高斯定理可以提供有用的信息。
通过选择合适的闭合曲面和确定体内电场的分布情况，我们可以利用高斯定理解出体内电荷的分布特征。
例如，假设我们已知一个无限长的均匀带电导体柱体，电荷密度为λ。
我们可以选择一个圆柱形的闭合曲面，沿着导体的轴线方向，使其穿过导体并将其分为两个平面。
由于导体上的电荷自由分布，电场在导体内是零，因此只有柱体两端面积的电场通量不为零。
根据高斯定理，通过闭合曲面的电场通量等于该曲面内的电荷量除以真空介电常数。
通过简单的计算，我们可以发现，由于导体柱体上的电荷密度均匀，导体两端面积上存在的电荷量与导体表面积成正比。
因此，我们可以确定导体的电荷密度为λ = Q/A。
高斯定理应用
qr R
3 3
E＝
qr 4 0 R
3
q
in
q
E＝
q
方向沿径向向外
2
4 0 r
故均匀带电球体的电场分布为
qr 4 R 3 0 E q 2 4 0 r
(r R )
(r R )
方向：沿径向
均匀带电球体电场强度分布曲线
E
O
R
r
例3 均匀带电的无限长的直线场强分布. 线密度 解: 电场也具有轴对称性。做一个过P点，以直线为轴、 底面半径为r、高为 的闭合圆柱面为高斯面。 l 计算电通量
②选取高斯面：取一个轴垂直于带电平面的圆 柱面为高斯面，且被带电平面平分。
e
S
E dS
S
E dS
1
S
E dS
S
E dS
0
S EdS
EdS S
E
由高斯定理:
08:40:23
E 2S
2
E ds E ds
S
侧面
E ds
两底面
高 斯 面
E 2 rl
利用高斯定理解出
E 2 rl
E
r
l
0
2 0 r
l
E
E
dS
dS
方向如图(如果λ>0)
例4 无限大均匀带电平面的电场分布. 面密度σ. 解: ①对称性分析： q分布具有面对称性，产生 的E分布也具有面对称性。
练习 高斯定理的应用 求无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴 线方向单位长度带电量为。
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v E
⋅
v dS
=
0
4、按1、2、3要求所作的高斯面，要容易计算面积，通 常选取柱面、球面等形状.
高斯定理应用之二: 计算通量
高斯定理的应用
主要是封闭曲面，或能化为封闭曲面以简化运算.
封闭面的通量
Φ= q
ε0
每个面的通量
Φ= q
6ε 0
分析电荷在面上、棱上，角上时，封闭面上的通量大小. 分析电荷在角上时，每个面上的通量大小.
qrv (r ≥ R)
4 πε0r3 球体外区域~电量集中
r
于球心的点电荷
例2.求无限长均匀带电直线(λ )的电场.
高斯定理的应用
λ
对称性分析:
v
L
dq O dq′
S
r
P
v dE
'
v
v dE
dE
+
v dE
'
P点处合场强 E
垂直于带电直线,
与P 地位等价的点的集合为
以带电直线为轴的圆柱面.
高斯面:
取长 L 的圆柱面，加上底、下底构成高斯面S
S
S
ε0
q内
∑ E = ( q内) (4 π ε0r2 )
S
q
R
r
o
r P
E
q
4πε0R2 ∝ r
∝1 r2
O
R
r ≥ R: ∑q内 =q
E外高斯=定4理π的qε0应r2用
∑ r ≤ R :
q内
=
q
4 3
π
R
3
⋅ 4 π r3 3
E内
qrv
=
qr
4 πε0R3
(r ≤ R)
v E
=
4 πε0R3球体内区域 E ∝ r
大学物理: 电磁学
静电场
第5讲 高斯定理的应用
∫ ∑ v
E
⋅
v dS
=
1
S
ε0
q内
高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度.
高斯定理的应用
高斯定理计算场强的条件: 带电体的电场强度分布要具有高度的对称性. ⑴ 高斯面上的电场强度大小处处相等；
⑵ 面积元dS的法线方向与该处的电场强度的方向一致.
典型实例: 均匀带电无限长直线、圆柱，无限大带 电平板，均匀带电球体及球面等
λL ε0
r
∴ E= λ 2 π ε0r
讨论: 1. 无限长均匀带电柱面的电场分布？
高斯定理的应用
对称性分析: 视为无限长均匀 带电直线的集合
Or
E OR
选同轴圆柱型高斯面；
由高斯定理计算
P
v
d
v E
′v
dE
+
dEv′
dE
r<R: E=0
r>R: E= λ 2πε0r
r
高斯定理的应用
2. 求无限长、 均匀带电柱体的电场分布时，高斯面
高斯定理的应用
应用高斯定理求E除对电场分布有要求以外，关键是选取 合适的高斯面.
选取原则:
∫
v E
⋅
v dS
=
E
⋅
S
=
∑q
ε0
1、高斯面必须经过所求场点
2向、处在处求相E同的(部通分常高使斯Ev面//上nv ，，要或求co该sθ面=上1 )各.目点的E是的可大以小把、E方从
3积、分不号求内E提的出部来分.高斯面Ev ⊥ nv ，使
如何选取？
高
高
斯
斯
面
面
r
l
rl
3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时， 能否用高斯定理求电场分布？
例1. 求均匀带电球体(q、R)的电场分布.
高斯定理的应用
解: 对称性分析
作以O为中心, r为半径
的高斯面S
S面上各点彼此等价
v Ev E
大小相等 方向沿径向
S
d q′ v
q
R
o
r r0 P d E
v dE
+
v dE
′
dq r0
d
v E
′
由高斯定理:
∫ ∫ ∑ v E
⋅
v dS
=
E cos0odS = E ⋅ 4π r2 = 1
λ
S
r
L
P
E O
∫ ∫ ∫ ∫ v E
⋅dSv
=
Ev ⋅
v dS
+
v E
⋅
v dS
+高斯Ev定⋅理dS的v 应用
S
上
下
侧
∫ ∫ ∫ = E cos πdS + E cos πdS + E cos0odS
上
2
下
2
侧
= E ⋅ 2 π rL
由高斯定理
∫
v E
⋅
v dS
=
E
⋅
2
π
rL
∑ = 1
ε0
q内
=