2019年上海交通大学留学生本科入学考试数学大纲样题
2019年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则 ．2．（4分）计算 ． 3．（4分）不等式的解集为 ．4．（4分）函数的反函数为 ．5．（4分）设为虚数单位，，则的值为 6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 ． 7．（5分）在的展开式中，常数项等于 ．8．（5分）在中，，，且，则 ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为 ．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 ．{1A =5}{3B =6}AB =22231lim 41n n n n n →∞-+=-+|1|5x +<2()(0)f x x x =>i 365z i i -=+||z 22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩a 61()x x+ABC ∆3AC =3sin 2sin A B =1cos 4C =AB =OABC (1)OA a a =>23y x =BC P 12y x-=AB Q ||||AQ CP +a 22142x y +=P Q P x 121F P F P 1F P 2F Q12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为，的是 A ．B ．C ．D ．14．（5分）已知、，则“”是“”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系 A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是 A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，． （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积．18．（14分）已知数列，，前项和为． （1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．[A t =1][4t t ++9]t +0A ∉λa A ∈A aλ∈t [0)+∞()2xy =12y x =tan y x =cos y x =a b R ∈22a b >||||a b >()αβγa b c a α⊆b β⊆c γ⊆a b c ()1(a 0)2(a 0)(1,0)y 1(y 0)2(y 0)120lny lny +=1211(,)a a ()P ABC -2,3PA PB PC AB BC AC ======PB M BC N AC MN P ABC -{}n a 13a =n n S {}n a 415a =n S {}n a lim 12n n S →∞<q19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．2015-1t =n t 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+()f t20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：． （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．24y x =F P Q PF ||()||PF d P FQ =8(1,)3P --()d P a 2()||d P PF a =+1P 2P 3P 1223||||PP P P =13()()d P d P +22()d P {}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈120,3a d π==S 12a π=d S S n T n b b +=T T2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学 答 案一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则 ， ．【解答】解：集合，2，3，4，，，5，， ，．故答案为：，．2．（4分）计算 2 ． 【解答】解：． 故答案为：2．3．（4分）不等式的解集为 ． 【解答】解：由得，即 故答案为：，．4．（4分）函数的反函数为 ．【解答】解：由解得，故答案为5．（4分）设为虚数单位，，则的值为【解答】解：由，得，即，故答案为：．{1A =5}{3B =6}A B ={35}{1A =5}{3B =6}{3AB ∴=5}{35}22231lim 41n n n n n →∞-+=-+2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+|1|5x +<(6,4)-|1|5x +<515x -<+<64x -<<{6-4)2()(0)f x x x =>1()0)f x x -=>2(0)y x x =>x =1()0)f x x -∴=>1f -()0)x x =>i 365z i i -=+||z 365z i i -=+366z i =+22z i =+||||z z ∴===6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 ． 【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，可对①，得：．再与②式比较，可得：． 故答案为：． 7．（5分）在的展开式中，常数项等于 15 ．【解答】解：展开式的通项为令得， 故展开式的常数项为第3项：．故答案为：15．8．（5分）在中，，，且，则【解答】解：，由正弦定理可得：， 由，可得：，， 由余弦定理可得：，解得：．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩a 2-∴2⨯442x y +=-2a =-2-6(x 6(x 36216r r r T C x-+=3902r -=2r =2615C =ABC ∆3AC =3sin 2sin A B =1cos 4C =AB 3sin 2sin A B =∴32BC AC =∴3AC =2BC =1cos 4C =∴2221324232AB +--=⨯⨯∴AB =33424A =OABC (1)OA a a =>23y x =BC P交于点，当最小时，则．【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 ， ．【解答】解：设，则点，椭圆的焦点坐标为，，，， ，，结合 可得：，故与的夹角满足：，故，故答案为：，12y x-=AB Q||||AQ CP +aP )a Q (a 11||||23AQ CP a+=a 22142x y +=P Q P x 121F P F P 1F P 2F Q 1[arccos 3π-]π(,)P x y Q (,)x y -22142x y +=(0)0)121F P F P 2221x y ∴-+22142x y +=2[1y ∈2]1F P 2F Q θ222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++1]3-1[arccos 3θπ∈-]π1[arccos 3π-]π12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 1或 ．【解答】解：当时，当，时，则，，当，时，则，，即当时，；当时，，即； 当时，，当时，，即，，解得．当时，当，时，则，．当，，则，，即当时，，当时，，即，即当时，，当时，，即，，解得．[A t =1][4t t ++9]t +0A ∉λa A ∈A aλ∈t 3-0t >[a t ∈1]t +[4t aλ∈+9]t +[4a t ∈+9]t +[t aλ∈1]t +a t =9t aλ+9a t =+t aλ(9)t t λ=+1a t =+4t aλ+4a t =+1t aλ+(1)(4)t t λ=++(9)(1)(4)t t t t ∴+=++1t=104t t +<<+[a t ∈1]t +[t aλ∈1]t +[4a t ∈+9]t +[4t aλ∈+9]t +a t =1t aλ+1a t =+t aλ(1)t t λ=+4a t =+9t aλ+9a t =+4t aλ+(4)(9)t t λ=++(1)(4)(9)t t t t ∴+=++3t =-当时，同理可得无解． 综上，的值为1或． 故答案为：1或．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为，的是 A ．B ．C ．D ．【解答】解：，的值域为，故错，的定义域为，，值域也是，，故正确．，的值域为，故错 ，的值域为，，故错． 故选：．14．（5分）已知、，则“”是“”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：等价，，得“”，“”是“”的充要条件，故选：．15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系90t +<t 3-3-[0)+∞()2xy =12y x =tan y x =cos y x =A 2xy =(0,)+∞AB y [0)+∞[0)+∞BC tan y x =(,)-∞+∞CD cos y x =[1-1]+D B a b R ∈22a b >||||a b >()22a b >22||||a b >||||a b >∴22a b >||||a b >C αβγa b c a α⊆b β⊆c γ⊆a b c ()A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直； 如图2，可得、、可能两两相交； 如图3，可得、、可能两两异面；故选：．16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是 A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【解答】解：因为，则，同理可得，又因为， 所以， 则， 即， 则， 设，则为直线，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）a b c a b c a bc B 1(a 0)2(a 0)(1,0)y 1(y 0)2(y 0)120lny lny +=1211(,)a a ()11|1|r a =-21112y a =-22212y a =-120lny lny +=121y y =12(12)(12)1a a --=12122a a a a =+12112a a +=1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y +=A17．（14分）如图，在正三棱锥中，． （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积．【解答】解：（1），分别为，的中点，， 则为与所成角，在中，由，，可得，与的夹角为； （2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心， 连接并延长，交于，则，． ．．18．（14分）已知数列，，前项和为． （1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．【解答】解：（1），，P ABC-2,PA PB PC AB BC AC ======PB M BC N AC MN P ABC-M N PB BC //MN PC ∴PCA ∠AC MN PAC ∆2PA PC ==AC=222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===AC ∴MN P O O AO BC N 32AN=213AO AN ==PO ∴∴11333224P ABC V -=⨯={}n a 13a =n n S {}n a 415a =n S {}n a lim 12n n S →∞<q 4133315a a d d =+=+=4d ∴=； （2），存在，，存在，且，，，，或，公比的取值范围为，，．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）是减函数，且， 在上单调递增，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+3(1)1n n q S q-=-lim n n S →∞11q ∴-<<∴lim n n S →∞11q ∴-<<0q ≠∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--∴3121q<-34q ∴<10q ∴-<<304q <<∴q (1-0)(0⋃3)42015-1t =n t 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+()f t 6.44200.1136t y e -= 6.44200.11360t y e -=>6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+N令，解得，当时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：． （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系． 【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，，的方程为，代入抛物线的方程，解得， 抛物线的准线方程为，可得， ，； （2）证明：当时，， 设，，，则，联立和，可得，， ，则存在常数，使得； （3）设，，，则， 6.44200.1136357876.60531200001te ->+50.68t >∴51t ∴24y x =F P Q PF ||()||PF d P FQ =8(1,)3P --()d P a 2()||d P PF a =+1P 2P 3P 1223||||PP P P =13()()d P d P +22()d P 24y x =(1,0)F 8(1,)3P --84323PFk ==PF 4(1)3y x =-14Q x =1x =-10||3PF =15||144QF =+=||8()||3PF d P QF ==(1,0)P -2()||2222a d P PF =-=⨯-=(1,)P P y -0P y >:1PF x my =+2P my =-1x my =+24y x =2440y my --=2Q y m ==+22()||22(22P P Q y d P PF y m m --==+2122m m +-=-=a 2()||d P PF a=+11(1,)P y -22(1,)P y -33(1,)P y -1321322[()()]4()||||2||d P d pd P PF P FP F+-=+-由，，则．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值． 【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当， 集合，0． （2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时， 综上，或者．（3）①当时，，集合，，，符合题意．②当时，，，，或者，221313[()16]28y y y y -++=-2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->132()()2()d P d P d P +>{}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈120,3a d π==S 12a π=d S S n T n b b +=T T {}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈∴120,3a d π=={S =12a π={}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈{}n a y S d π=1a OA S 2a 3a y OB OC 23d π=23d π=d π=3T =3n n b b +=1{S b =2b 3}b 4T =4n n b b +=sin(4)sin n n a d a +=42n n a d a k π+=+42n n a d k a π+=-等差数列的公差，，故，，又，2 当时满足条件，此时，1，．③当时，，，，或者，因为，，故，2． 当时，，1，满足题意． ④当时，，，所以或者，，，故，2，3． 当时，，满足题意． ⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件． 当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件． 当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，4，5，6．{}n a (0d ∈]π42n n a d a k π+=+2k d π=1k ∴=1k ={S =-1}-5T =5n n b b +=sin(5)sin n n a d a +=52n n a d a k π+=+52n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k ={sin10S π=sin}10π-6T =6n n b b +=sin(6)sin n n a d a +=62n n a d a k π+=+62n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k=S =7T =7n n b b +=sin(7)sin sin n n n a d a a +==72n n a d a k π+=+72n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k =17~b b 2m n a a π-=227d m n ππ==-7m n -=7m >2k =17~b b 2m n a a π-=247d m n ππ==-m n -3k =17~b b 2m n a a π-=4π267d m n ππ==-467d m n ππ==-m n -3T =。
2019年交通大学{高等数学)试题及答案
《高等数学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ C ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ A ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ D ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ B ）A ）、2ln 2x x x dx C =+⎰B ）、sin cos tdt tC =-+⎰C ）、2arctan 1dx dx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ A ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ A ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ C ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ D ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( A )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( A )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ D ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xab x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（B ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ D ） A ）、11cos 2y -B ）、11cos 2x - C ）、22cos y - D ）、22cos x- 14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( A )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ B ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。
2019年上海交通大学自主招生数学试题(部分)及其详解
Ａ. ｍ ＝ ０ꎬＭ > ０ Ｂ. ｍ < ０ꎬＭ > ０
Ｃ. ｍ < ０ꎬＭ ＝ ０
的最大值.
１４. 在△ＡＢＣ 中ꎬ设角 ＡꎬＢꎬＣ 的对边分别为 ａꎬｂꎬｃꎬ且
满足 ａ ＋ ｃ ＝ ３ｂꎬ则 ｔａｎ
Ａ.
Ａ
Ｃ
ｔａｎ 的值为( ) .
２
２
２
１３. 已知实数 ａꎬｂ 满足 ４ａ２ － ５ａｂ ＋ ４ｂ２ ＝ １９ꎬ求 ａ２ ＋ ｂ２
若 ｍꎬＭ 分别为( ａ ｉ ＋ ａ ｊ ＋ ａ ｋ ) ( ｄ ｒ ＋ ｄ ｓ ＋ ｄ ｔ ) 的最小值与
最 大 值ꎬ 其 中 { ｉꎬｊꎬｋ } ⊆ { １ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ }ꎬ { ｒꎬｓꎬｔ } ⊆
基金项目:本文系北京市教育学会“ 十三五” 教育科研滚动立项课题“ 数学文化与高考研究” ( 课题编号 ＦＴ２０１７ＧＤ００３ꎬ课题负责
人:甘志国) 阶段性研究成果.
— ５０ —
Ａ. ｆ( ｘ) ＝ ２ ｘ Ｂ. ｆ( ｘ) ＝ ｘ３
Ｃ. ｆ( ｘ) ＝ ｌｏｇ２ ｘ
Ｄ. ｆ( ｘ) ＝
本文中的题目是笔者综合多位考生的回忆得到的ꎬ
题目不全. 解答由笔者独立完成.
３
１. 已 知 ｆ ( ｘ ) ＝ ａｓｉｎｘ ＋ ｂ ｘ ＋ ４ ( ａꎬ ｂ ∈ Ｒ ) ꎬ 且
３
７. 已 知 数 列 { ｘ ｎ }满 足 ｘ１ ＝ ３ ꎬ ｘ ｎ ＋ １ ＝ ( ｘ ｎ ) ３ ( ｎ ∈
Ｎ ∗ ) . 若 ｘ ｎ ∈Ｚꎬ求 ｎ 的最小值.
ＡＤ
ＡＥ
＝ ｘꎬ
＝ ｙꎬ
ＡＢ
ＡＣ
ＤＦ
＝ ｚꎬ 且 ｙ ＋ ｚ － ｘ ＝ １ꎬ 则
2019年上海交通大学自主招生数学试题解析
年上海交通大学自主招生试题解析福建省厦门市叶超杰1.已知解：因为，则2.已知，试解：易知当时则3.已知方程各个实根为，同侧，求的取值范围解：因为，则与两点，则易知4.已知复数满足，求负实数的值解：，因为，则情形一：当时，则解得情形二：当时，则，所以此时无解综上所述：5.若方程的三个根可以作为三角形的三边长，求的范围解：因为，则，令且，解得情形一：当，满足题意，则此时情形二：当即解得6.对于的最小值解：，所以时，又则所以时，即，此时7.已知数列，若，求的最小值解：因为所以的最小值为8.展开式中奇次幂的项的和为解：由题意可知则9.解：而所以，当且仅当时，等号成立10.，在线段上，在线段上，在线段上，且满足，若解：设，则而此时由三元均值不等式可知当且仅当时，等号成立11.对定义域内任意的，，则称为凸函数，下列函数是凸函数的是（）解：易知选12.已知复数所对应的点为，，且满足的面积解：设，因为，则情形一：当而情形二：当13.实数解：解得当且仅当时，等号成立14.15.数列是的末两位数，求解：易知数列的周期为，而所以16.，则（）解：因为则所以同理可得17.定义平面上两点，若平面上一点到，的折线距离之和最小，则点坐标为解：设点，则折线距离之和由绝对值的几何意义可知此时点坐标为18.已知的充要条件是（）解：由题意可知当抛物线与圆相切时整理可得而，解得故选。
上海交通大学高等数学复习提纲
上海交通大学高等数学复习提纲第一章函数1.会证明一般难度的不等式，并运用一些证明不等式的方法2.函数的界与数列的界的联系和区别（联系第二章）3.复合函数的函数值计算、单调性等4.单射和满射的定义与性质5.奇函数、偶函数的图像与性质，周期函数的定义与性质6.反三角函数的图像与性质7.双纽线、心脏线等的画法，图像性质，为积分应用求面积体积打好基础第二章极限与连续（这一章最为琐碎，多耐心）1.数列的有界无界的定义，怎么证数列的单调性，怎么证明数列的有界无界2.数列极限的定义（这同样也是证明一个数是数列的极限的根据；注意数列极限的几何意义）3.证明一个数是数列的极限的方法4.无穷大与无穷小的含义5.会求以下类型数列的极限1）分子、分母为多项式2）分子、分母含根式（很重要）3）分子、分母含指数式4）能够转化为（1+1/n）n的极限5）会用夹逼定理求极限（很重要）6）单调有界数列求极限的方法甚至是综合题，可参考习题集（较重要，有难度）7）用定积分的定义来求极限的方法（考得比较多，方法比较死，但不容易想到）6.为了达到会求极限的目标，要注意以下求和公式并且掌握常见的求数列前n项和的方法7.函数在一点和无穷远处极限的定义和相应的证明方法8.了解一下Heine定理，如果有问题请回看子数列与数列的关系与性质9.函数极限的几个常见性质，尤其是定性性质要有个感觉10.重要函数极限及其转化应用lim(sinx/x)=1; lim(1+1/x)x=e;11.无穷小、三类无穷小、正反求阶数、标准无穷小等概念和方法（重要）12.等价无穷小，会用它求函数极限（很重要，包括简单变形、平移和本质相同的式子的等价无穷小），等价无穷小的替换原则和规律要认真体会，要耐心13.函数极限的运算法则，会求函数极限（这一句话意味着要做大量的题和总结，类型要全）14.函数连续性的定义，函数连续与函数极限的关系，几类间断点及特征，罕见的类型记住典型案例15.连续函数求某点极限与该函数在该点函数值的关系，极限号可穿函数号等性质16.从定义和几何特征上体会一下有界性定理、最值定理、介值定理，看一下典型应用方法，适当操练操练，注意构造辅助函数的方法的出现第二章的内容一定要耐心，细节比较多，理解比较多第三章导数与微分1.导数的定义，可导的条件，可导与连续的关系2.微分、线性主部的定义（不妨从几何上看看，以直代曲P108），可导与可微的关系3.理解增量公式，会用增量公式求近似值，会用它估计误差(二者考得少，但是要会）4.背住导数表和微分表5.会求导数、会求微分（这两者比较简单），会准确地求复合函数的导数与微分；理解复合函数求导法则的来源；掌握一些求导类型与方法；反函数求导方法的推导与理解，会求反函数的导数。
2019年上海市秋季高考数学试卷word版含参考复习资料及解析
上海市2019届秋季高考数学考试卷一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1. 已知集合()(),32,A B =-∞=+∞、，则=B A ________.2. 已知C z ∈且满意i z=-51，求=z ________. 3. 已知向量)2,0,1(=a ，)0,1,2(=b ，则a 与b 的夹角为________. 4. 已知二项式()521x +，则绽开式中含2x 项的系数为________.5. 已知x 、y 满意002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为________.6. 已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，()2log f x x =-，则=)23(f ________. 7. 若x y R+∈、，且123y x+=，则y x的最大值为________.8. 已知数列{}n a 前n 项与为n S ，且满意2n n S a +=，则5S =______.9. 过24y x =的焦点F并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______.10. 某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字一样的概率是_______.11. 已知数列{}n a 满意1n n a a +<（*∈N n ），(),n n P n a 在双曲线12622=-y x 上，则1lim n n n P P +→∞=_______. 12. 已知()()21,01f x a x a x =->>-，若0a a =，()f x 与x 轴交点为A ，()f x 为曲线L ，在L 上随意一点P ，总存在一点Q （P 异于A ）使得AP AQ⊥且AP AQ =，则0a =__________.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知直线方程02=+-c y x 的一个方向向量d 可以是（ ）A. )1,2(-B. )1,2(C. )2,1(-D. )2,1(14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1与2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 815. 已知R ∈ω，函数()()()26sin f x x x ω=-⋅，存在常数R a ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω可能的值为（ ）A.2π B.3π C.4π D.5π 16. 已知)tan(tan tan βαβα+=⋅.①存在α在第一象限，角β在第三象限； ②存在α在第二象限，角β在第四象限；A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D.①错，②对；三.解答题（本大题共5题，共76分）17. （本题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，4AD =，3CD =，15AA =. （1）求直线1A C 与平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的间隔 . 18.（本题满分14分）已知()11f x ax x =++)(R a ∈. （1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集； （2）若[]1,2x ∈时，()f x 有零点，求a 的范围.19.（本题满分14分）如图，A B C --为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆弧，39.2BD km =，22BDC ∠=，68CBD ∠=，58BDA ∠=. （1）求BC 长度；（2）若40AB km =，求D 到海岸线A B C --的最短间隔 .（准确到0.001km ）20.（本题满分16分）已知椭圆22184x y +=，12,F F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点.（1）若AB 垂直于x 轴时，求AB ；（2）当190F AB ∠=时，A 在x 轴上方时，求,A B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分）数列{}n a 有100项，1a a =，对随意[]2,100n ∈，存在[],1,1n i a a d i n =+∈-，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P .（1）若11a =，求4a 可能的值；（2）若{}n a 不为等差数列，求证：{}n a 中存在满意性质P ；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项与为C ，运用,,a d c 表示12100a a a +++.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1.已知集合()(),32,A B =-∞=+∞、，则=B A ________. 【思路分析】然后依据交集定义得结果． 【解析】：依据交集概念，得出：)3,2(.【归纳与总结】本题主要考察集合的根本运算，比拟根底． 2.已知C z ∈且满意i z=-51，求=z ________. 【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】：i z+=51，i i i i i z 261265)5)(5(551-=-+-=+=.【归纳与总结】本题主要考察复数的根本运算，比拟根底． 3.已知向量)2,0,1(=a ，)0,1,2(=b ，则a 与b 的夹角为________.【思路分析】依据夹角运算公式b a =θcos 求解．【解析】：52552cos =⋅==θ. 【归纳与总结】本题主要考察空间向量数量积，比拟根底． 4.已知二项式()521x +，则绽开式中含2x 项的系数为________.【思路分析】依据二项式绽开式通项公式求出获得含2x 项的的项，再求系数． 【解析】：r r r r r r r x C x C T ---+⋅⋅=⋅⋅=55555121)2( 令25=-r ，则3=r ，2x 系数为402235=⋅C .【归纳与总结】本题主要考察项式绽开式通项公式的应用，比拟根底．5.已知x 、y满意002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为________.【思路分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目的函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当0=x ，2=y 时， 【归纳与总结】本题考察简洁的线性规划，考察数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，()2log f x x =-，则=)23(f ________. 【思路分析】干脆利用函数周期为1，将转23到已知范围01x <≤内，代入函数解析式即可． 【解析】：121log )21()23(2=-==f f . 【归纳与总结】本题考察函数图像与性质，是中档题． 7.若x y R +∈、，且123y x +=，则y x的最大值为________.【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有y x的式子求解【解析】：法一：y x y x 212213⋅≥+=，∴892232=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤x y ； 法二：由y x231-=，y y y y x y 32)23(2+-=⋅-=（230<<y ），求二次最值89max =⎪⎭⎫⎝⎛x y . 【归纳与总结】本题考察根本不等式的应用，是中档题．8.已知数列{}n a 前n 项与为n S ，且满意2n n S a +=，则5S =______. 【思路分析】将与的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由⎩⎨⎧≥=+=+--)2(2211n a S a S n n n n 得：121-=n n a a （2≥n ）∴ {}n a 为等比数列，且11=a ，21=q ，∴1631211])21(1[155=--⋅=S .9.过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______. 【思路分析】依据等式建立坐标方程求解 【解析】：依题意求得：)2,1(A ，)2,1(-B ，设M 坐标),(y x M有：)4,22()2,1()2()2,1(),(-=-⋅-+=λλλy x ，代入x y 42=有：)22(416-⋅=λ 即：3=λ.【归纳与总结】本题考察直线与抛物线的位置关系，考察数形结合的解题思想方法，是中档题．10某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字一样的概率是_______.【思路分析】分别计算出总的排列数与恰有两位数字一样的种类求解.【解析】：法一：100271031923110=⋅⋅=C C C P （分子含义：选一样数字×选位置×选第三个数字）法二：100271013310110=+-=P C P （分子含义：三位数字都一样+三位数字都不同）【归纳与总结】本题考察古典概型的求解，是中档题．11.已知数列{}n a 满意1n n a a +<（*∈N n ），(),n n P n a 在双曲线12622=-y x 上，则1lim n n n P P +→∞=_______. 【思路分析】利用点在曲线上得到1n n P P +关于n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由12822=-na n 得：)16(22-=n a n ，∴))16(2,(2-n n P n ，))16)1((2,1(21-+++n n P n ，利用两点间间隔 公式求解极限。
上海交通大学外国留学生本科入学考试数学(样题)(理科含答案)
上海交通大学外国留学生本科入学考试（样题）科目：数学（理科） 建议用时：90分钟一、 选择题 (每小题4分, 共48分)1. 设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q = ( ) (A) {|12}x x -<< (B){|31}x x -<<- (C) {|14}x x <<-(D){|21}x x -<<2．复数=+4)11(i( )(A) i 4 (B) i 4- (C) 4 (D) 4-3. 不等式21≥-x x 的解集为( )(A) ),1[∞+- (B) )0,1[- (C)]1,(--∞ (D)),0(]1,(∞+--∞4. 计算：(1)(2)lim(21)(21)n n n n n →∞++=-+( )(A) 1(B)21(C)41(D) 45. 下列函数中，偶函数的是 （ ）)(A ()02>=x x y)(B ()0<=x x y )(C ()R x xy ∈=32)(D ()R x xy ∈=316．过点()0,1且与直线022=--y x 平行的直线方程是 ( ) (A) 012=+-y x (B) 012=--y x (C)022=-+y x (D) 012=-+y x7. 若直线043=++k y x 与圆05622=+-+x y x 相切,则=k ( )(A) 1或19- (B) 10或1- (C) 1-或19- (D) 1-或198．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan（ ）(A)43(B)- 1 (C)1(D)34-9．圆02222=+-+my x y x 的圆心在直线0=+y x 上，则实数m 的值为 ( )(A) 1 (B)－1 (C)2 (D)－210. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 ( )(A)201 (B) 103 (C) 203(D) 5111．函数234x x y --+=的定义域为 （ ）(A)[4,1]- (B)[4,0)- (C)(0,1] (D) [4,0)(0,1]-12. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 ( ) (A)43 (B)6 (C)3 (D) 12二. 填空题: （每题5分，共40分）13. 方程1)3lg(lg =++x x 的解=x 14. 已知等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，则=++++7621a a a a15．已知()a b x →=→=()121，，，，且a b →+→2与2a b →-→平行，则x =16. 函数)21(log 221++=x x y 的值域是17. 已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则抛物线的方程是18. 与双曲线12422=-y x 有相同的焦点，且经过点)1,2(P 的椭圆方程是19. 设a 为常数且0≠a ，已知9)(a x +和8)1(+ax 这两个展开式中4x 的系数相等，则a =20. 过点(2,-2),且与双曲线2222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程为_____________三. 解答题 (每小题6分, 共12分)21. 已知函数,cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，R m ∈ 若)(x f 的最小值为2，求)(x f 的最大值22．已知F 是抛物线x y 42=的焦点，B A ,是抛物线上的两个点，线段AB 的中点为)2,2(M ，求ABF ∆的面积参考答案（理科）一. 选择题: （每题4分，共48分）1 2 3 4 5 6 D D B C C B 7 8 9 10 11 12 ACACDA二. 填空题: （每题5分，共40分）13. 2 17. x y 42=14. 28 18. 12822=+y x 15. 12 19. 9516. -∞(，]2 20. 14222=-x y三. 解答题: （每题6分，共12分）21. 解：.21)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f +++=+++=π．.27)(,6,262,25)62sin()(.2.)6()(,36max min ===+∴++=∴==-=≤≤-x f x x x x f m m f x f x 时即当由已知时当πππππππ22. 2。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(上海.理)含详解
上海市教育考试院 保留版权 数学（理）2019第1页（共10页）2 0 19年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a =_____________.3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z =_____________.4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f =-（0>x ），则=)4(f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a +=__________. 6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x f 2πsin sin 3)(的最大值是 . 7．在平面直角坐标系中，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、 )3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数. 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足 0)(>x f 的x 的取值范围是 .9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 .数学（理）2019第2页（共10页）10．某海域内有一孤岛. 岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界 是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆. 已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、1h 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上. 现有船只经过该海 域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21θθ、，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是 .11．方程122-+x x 0=的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的 横坐标. 若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k x x x k 所对应的点(ii x x 4,)（i =k ,,2,1 ）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出 代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12. 组合数r n C )Z ,1(∈≥>r n r n 、恒等于 [答] ( )(A) 1111--++r n C n r . (B) 11)1)(1(--++r n C r n . (C) 11--r n nrC . (D) 11--r n C rn . 13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直 线l 与平面α垂直”的 [答] ( )(A) 充要条件. (B) 充分非必要条件.(C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( ) (A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )(A) . (B) . (C) (D) .数学（理）2019第3页（共10页）三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.[解]数学（理）2019第4页（共10页）17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB . 小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD . 已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）.[解]数学（理）2019第5页（共10页）18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第 2小题满分9分．已知双曲线14:22=-y x C ，P 是C 上的任意点. （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A 的坐标为)0,3(，求||PA 的最小值.[证明]（1）[解]（2）数学（理）2019第6页（共10页）19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2 小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.[解]（1）（2）数学（理）2019第7页（共10页）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设)0(),(≠b b a P 是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点),1(b 的直线.记Q 是直线l 与抛物线py x 22=)0(≠p 的异于原点的交点.（1）已知2,2,1===p b a . 求点Q 的坐标；（2）已知点)0(),(≠ab b a P 在椭圆1422=+y x 上，abp 21=. 求证：点Q 落在双曲线14422=-y x 上；（3）已知动点),(b a P 满足0≠ab ，abp 21=. 若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.[解]（1）[证明]（2）[解]（3）数学（理）2019第8页（共10页）数学（理）2019第9页（共10页）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n n n n n a da a c a a （1）当11=a ，3,1==d c 时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当101<<a ，3,1==d c 时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ；（3）当m a 101<< （m 是正整数），mc 1=，正整数md 3≥时，求证：数列m a 12-, m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. [解]（1）（2）[证明]（3）数学（理）2019第10页（共10页）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准 说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. 2.5. 7.6. 2.7. 43. 8. ),1()0,1(∞+- . 9. 5.10,5.10==b a . 10. a h h 2cot cot 2211≤⋅+⋅θθ. 11. ),6()6,(∞+-∞- .16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF .A B C D EF 平面⊥，E DF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥， ∴ 55tan ==∠DF EF EDF . …… 10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分 17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 连接CO . …… 2分由题意，得CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分数学（理）2019第11页（共10页）在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分 即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+， …… 9分 解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分 在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴ 700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分 在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 18. [解] （1）设()11,y x P 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是02=-y x 和02=+y x . …… 2分 点()11,y x P 到两条渐近线的距离分别是5211y x -和5211y x +， …… 4分它们的乘积是5454525221211111=-=+⋅-y x y x y x . ∴ 点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. …… 6分 （2）设P 的坐标为),(y x ，则222)3(||y x PA +-= …… 8分数学（理）2019第12页（共10页）14)3(22-+-=x x54512452+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x . …… 11分2||≥x ， …… 13分∴ 当512=x 时，2||PA 的最小值为54，即||PA 的最小值为552. …… 15分19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x x f 212)(-=. …… 2分由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ，解得 212±=x . …… 6分02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）当2,2,1===p b a 时，解方程组⎩⎨⎧==,2,42x y y x 得 ⎩⎨⎧==,16,8y x即点Q 的坐标为()16,8. …… 3分[证明]（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,12bx y y abx 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==,,1a b y a x即点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1. …… 5分数学（理）2019第13页（共10页）P 是椭圆上的点，即 1422=+b a ，∴ ()1144142222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛b a a b a .因此点Q 落在双曲线14422=-y x 上. …… 8分 （3）设Q 所在抛物线的方程为 )(22c x q y -=，0≠q . …… 10分将Q ⎪⎭⎫⎝⎛a b a ,1代入方程，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c a q a b 1222，即2222qca qa b -=. …… 12分当0=qc 时，qa b 22=，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当21=qc 时，2224121c b c a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，此时点P 的轨迹落在圆上；当0>qc 且21≠qc 时，124121222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在椭圆上； 当0<qc 时，124121222=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-c q b c c a ，此时点P 的轨迹落在双曲线上. …… 16分21. [解]（1）由题意得()+∈⎪⎩⎪⎨⎧=-=-==Z k k n k n k n a n ,3,3,13,2,23,1 .…… 3分（2）当101<<a 时，112+=a a ，213+=a a ，314+=a a ，1315+=a a ，2316+=a a ，3317+=a a ，…，131113+=--k k a a ，23113+=-k k a a ，331113+=-+k k a a ，… …… 6分数学（理）2019第14页（共10页）()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=++++++++++=∴6363663311111110099987654321100a a a a a a a a a a a a a a a S3363131133111⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++= a a198311121131+⎪⎭⎫⎝⎛-=a . …… 10分 （3）当m d 3=时，ma a 112+=； 131113333113+=+<<+-=-+=m m a a m a m m a a ，mm a a m 13123+=∴+；16116333313+=+<<+-=m ma m a m m a a ，m m a a m 192126+=∴+；1921219393319+=+<<+-=m m a m a m m a a ，m ma a m 1273129+=∴+. ∴ 121a m a =-，ma m a m 31123=-+，212691m a m a m =-+，3129271m a m a m =-+.综上所述，当m d 3=时，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+是公比为m31的等比数列. ……13分 当13+≥m d 时， ⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+m d a a m 1,03123， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈++=+m d a a m 13,333126，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++=+m d d a a m 1,033136， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-+++=+3,131333129m m m d d a a m . ……15分由于0123<-+m a m ，0126>-+m a m ，0129>-+ma m ，故数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+不是等比数列.所以，数列m a 12-，m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=. ……18分数学（理）2019第15页（共10页）1.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 .【答案】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：数学（理）2019第16页（共10页）36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=； 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得： 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小； 10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 . 【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x+=，原方程的实根是曲线数学（理）2019第17页（共10页）3y x a =+与曲线4y x=的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。
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2019年上海交通大学国际本科生入学考试大纲数学一、考试目的上海交通大学留学生本科入学数学考试，是以报考我校的具有高中毕业学历的外国学生为对象而进行的选拔考试。
数学考试旨在测试考查考生的数学素养，包括数学基础知识与基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探究能力。
二、考试基本要求留学生本科入学数学考试测试考生各项数学素养如下：1.记忆。
能识别或记住有关的数学事实材料，使之再认或再现；能在标准的情景中作简单的套用，或按照示例进行模仿；2.解释性理解。
明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能用自己的语言或转换方式正确表达知识内容；在一定的变式情境中能区分知识的本质属性与非本质属性，会把简单变式转换为标准式，并解决有关的问题；3.探究性理解。
能把握知识的本质及其内容、形式的变化；能从实际问题中抽象出数学模型或作归纳假设进行探索，能把具体现象上升为本质联系，从而解决问题；会对数学内容进行拓展或对数学问题进行延伸，会对解决问题过程的合理性、完整性、简捷性作有效的思考。
三、试卷结构汉语考试釆用笔试的方式进行。
笔试共25题，满分100分。
汉语笔试要求考生在90分钟内完成。
答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
对进入考场的计算器品牌和型号不作规定，但附带计算器功能的无线通讯工具、记忆存储等设备和附带无线通讯功能、记忆存储功能、具有图像功能的计算器不得带入考场。
按测量目标划分:四、考试内容和要求文理科共同考试内容：一、集合与命题：集合及其表示、子集、交集、并集、补集；命题的四种形式；充分条件、必要条件、充分必要条件；子集推出关系。
二、不等式：不等式的基本性质及其证明；基本不等式；一元二次不等式（组）的解法；分式不等式的解法；含有绝对值的不等式的解法。
三、数列与数学归纳法：数列的有关概念；等差数列；等比数列；简单的递推数列；数列的极限；无穷等比数列各项的和；数列的实际应用问题；数学归纳法；归纳-猜测-论证。
四、函数及其基本性质：函数的有关概念；函数的运算；函数关系的建立；函数的基本性质；简单的幂函数、二次函数的性质；指数函数的性质与图像；对数；反函数；对数函数的性质与图像；指数方程和对数方程；函数的实际应用。
五、三角比：弧度制，任意角及其度量；任意角的三角比；同比三角比的关系；诱导公式；两角和与差的余弦、正弦、正切；二倍角及半角的正弦、余弦、正切；正弦定理和余弦定理。
六、三角函数：正弦函数和余弦函数的性质；正弦函数与余弦函数的图像；正切函数的性质和图像；函数y=Asin(wx+φ)的图像和性质；反三角函数与最简三角方程。
七、平面向量的坐标表示：平面向量的数量积；平面向量分解定理；向量运算的坐标表示；向量平行及向量垂直的坐标关系；向量的度量计算。
八、平面直线的方程：直线的点方向式方程；直线的点法向式方程；直线的一般式方程；直线的倾斜角与斜率；两条直线的平行关系与垂直关系；两条相交直线的交点和夹角；点到直线的距离。
九、曲线与方程：曲线与方程的概念；圆的标准方程和一般方程；椭圆的标准方程和几何性质；双曲线的标准方程和几何性质；抛物线的标准方程和几何性质。
十、排列、组合、二项式定理：乘法原理、排列与排列数、组合与组合数、加法原理、二项式定理。
十一、概率与统计初步：随机事件与概率；等可能事件的概率；总体；抽样调查；统计实习。
十二、复数初步：数的概念的扩展；复数的概念；复平面；复数的四则运算；实系数一元二次方程的解法。
单文科考查内容和要求：1.生活中的概率与统计。
通过对一些典型的统计案例的探究和分析，能初步应用于解决一些简单的实际问题。
2.数学与文化艺术。
会用数学思想方法解释和处理一些音乐美术中的一些问题。
单理科考查内容和要求：1. 概率与统计。
掌握两个相互独立事件积的概率计算方法。
能熟练运用概率初步的知识，观察、思考和处理一些现实问题。
2. 空间向量。
掌握空间向量的线性运算和数量积，领悟类比和推广的数学思维方法。
3. 直线与圆锥曲线的应用。
根据平面图形中位置关系运用定义法、代入法、直接法进行解题。
数学样卷一、单项选择题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1．设m,n ∈R ，则“m+n ＞4”是“m ＞2且n ＞2”的 （ ）.(A) 充分非必要条件 (B)必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件2．={|1}={--}=R A x x A B +＞0，B 2，1,0,1，则（C ）∩ （ ）. （A ）{-2，-1} (B){-2} （C ）{-1,0,1} （D ）{0,1}25510{}19,40,=n a a a S a +==3.在等差数列中，则 ( ).（A ）28 (B)27 （C ）29 （D ）304已知不等式（x+y ）(1ax y + )≥9，对任意正数x 、y 恒成立，则正实数a 的最大值是( ).（A ）2 (B)4 （C ）6 （D ）85.双曲线2x 6=-110- 的焦点坐标是 （ ）. （A ）（±2,0） (B)（±4,0） （C ）（0，±2） （D ）（0，±,4）6．213m 当＜＜时，复数z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点位于 （ ）（A ）第一象限 (B)第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4sin ,tan()1,tan 5ααβαβ=-+=7.若且是第三象限的角，则的值是( ).（A ）34 (B)-34 （C ）71 （D ）1-78． 已知等比数列{n a }的前5项和为10，前10项和为50，求这个数列的前15项和是( ).（A ）210 (B)90 （C ）75 （D ）2509.在三角形ABC 中，若sin 2A+sin 2B ＜sin 2C,则三角形ABC 的形状是 （ ）. （A ）钝角三角形 (B)直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定10．经过点P （5,2），Q （3，-2）两点，且圆心在直线y=2x-3上，那么该圆的圆心为 （ ）.（A ）（1，-2） (B)（-1，-5） （C ）（2，1） （D ）（0，-3）11．212()log (24)f x ax x R a =-+若的定义域为，则的取值范围是 （ ）.（A ）1+4（，∞） （B ）1[+2，∞） （C ）1[+4，∞） （D ）1[+8，∞）12．6人站成一排照相，其中甲，乙，丙三人要站在一起，且要求乙，丙分别站在甲的两边，则不同的排法种数为（ ）.（A ）12 （B ） 24 （C ）48 （D ）144二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分）13．若实数x,y 满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值是 ．14．设全集U=R ，若集合A={1,2,3,4}，B={x|2≤x ≤3}，则A ∩u CB = .15．已知平行直线1:2x+y-1=0,直线2:2x+y+1=0,则直线1与直线2的距离是 .16．函数y =1-3sin 2x 的最小正周期是 ．2212516x y +=17.双曲线的顶点为椭圆的焦点，双曲线的焦点为椭圆的顶点，则此双曲线的方程是.18．规定记号“*”表示一种运算，即+m+n(m 、n ∈R *），若1*k=3,则函数y=k*x 的值域是 .19.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）.20.圆心在y 轴上，经过点A （1，-1），B （3,1）的圆的方程为 .62121.2)x x +在（的二项展开式中，常数项等于 .3,||1,||,60||a b a a b a b b =-==22.向量满足与的夹角为，则 .23.一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与隧道拱顶的铅垂距离至少0.5米。
如果隧道为单向行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高是 米（精确到0.01米）。
24.已知复数z 1满足（z 1-2）（1+i ）=1-i(i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z 是实数，求2z25.根据预测，某地第n （n ∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n =｛451510470n n +-+134n n ≤≤≥，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差。
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =-4（n-46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？三、解答题（本大题共2题，每小题10分，满分20分）参考答案（数学理科样卷）一．选择题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）二．填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分）13.14. {1,4}15. 16. π17.221916x y-=18. （1，+∞）19.11520. 22(2)10x y+-=21. 240 22. 1 223.3.20三．解答题：（本大题共2题，每题10分，满分20分）24.∵(1z-2）（1+i）=1-i,1z=2-i设2z=a+2i,a∈R，12z z=（2-i）(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i∵12z z∈R，a=4∴2z=4+2i25.（1）(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2+b3+b4)=935．（2）设第n个月底，共享单车保有量为B n,数学样卷一、单项选择题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1.不等式|1＜x-2|≤3解集为 （ ）. (B) [3,5] (B)[-1,1)∪（3,5] （C ）[-1,1]∪（3,5] （D ）[-1,5)2.={|1}={--}=R A x x A B +＞0，B 2，1,0,1，则（C ）∩ （ ）.（B ）{-2，-1} (B){-2} （C ）{-1,0,1} （D ）{0,1}25510{}19,40,=n a a a S a +==3.在等差数列中，则 ( ).（A ）28 (B)27 （C ）29 （D ）304.(2,3),=1,2||AB BC AC =-=（），则 ( ).（A ） (B) （C （D ）105.椭圆方程22x y =12011+ ，则它的焦距是 （ ）.（A ）6 (B)3 （C （D ）213m 6.当＜＜时，复数z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点位于 （ ）.（A ）第一象限 (B)第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4sin ,tan()1,tan 5ααβαβ=-+=7.若且是第三象限的角，则的值是( ).（A ）34 (B)-34 （C ）71 （D ）1-78． 函数y =( ).（A ）1和0 (B)1和3 （C ）-1和0 （D ）19.+cos 263x +ππ函数y=sin(2x+）（）的最小正周期和最大值分别是 （ ）.（A ）π，1 (B)（C ）2π，1 （D ）210.在等比数列{a n }中，已知a 3a 6a 9=27,则a 6= （ ）. （A ）3 (B)5 （C ）9 （D ）11．212()log (24)f x ax x R a =-+若的定义域为，则的取值范围是 （ ）.（A ）1+4（，∞） （B ）1[+2，∞） （C ）1[+4，∞） （D ）1[+8，∞）12．6人站成一排照相，其中甲，乙，丙三人要站在一起，且要求乙，丙分别站在甲的两边，则不同的排法种数为（ ）.（A ）12 （B ） 24 （C ）48 （D ）144二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分）13.学校组织体检，6位学生的身高（单位：米）分别是1.72,1.78，1.75,1.80，1.69,1.77，则这组数据的中位数是 （米）．14.若sinx+cosx=12,则sin2x= .15.点（m,-2）到直线3x-4y+4=0的距离为1，则m= .16.计算极限：2222lim()1n n n n →∞-++= ．2212516x y +=17.双曲线的顶点为椭圆的焦点，双曲线的焦点为椭圆的顶点，则此双曲线的方程是.18.抛物线5x 2=y 的焦点到准线的距离是 .19.某种细菌在培养的过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为2个），经过3个小时，这种细菌可由1个繁殖到 .20.圆心在y 轴上，经过点A （1，-1），B （3,1）的圆的方程为 .21.1573-8204计算3,||1,||,60||a b a a b a b b =-==22.向量满足与的夹角为，则 .23. 15353735{}225,+=n a a a a a a a a a ++=在正项等比数列中，则 .24.（1）分别计算2,2+4,2+4+6,2+4+6+8的值；（2）根据（1）的计算，猜想2+4+6+…+2n 的表达式； （3）用数学归纳法证明你的猜想。