九年级数学相似形测试题

如果四条线段a、b、c、d满足a......相似形中考要求1、理解相似图形的性质.2、掌握相似三角形的判定及性质，并能利用他们解决一些简单的几何问题和实际应用题3、了解位似图形，能利用位似变换将一个图形放大或缩小知识概要一相关概念1、成比例线段c=（即ad=bc），那么这四条线段是成比例线段，b d简称比例线段.2、相似比相似多边形对应边的比叫相似比.相似比为1的两个图形全等.3、位似图形如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.二相似三角形的判定1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似2、如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.5、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三形的斜边和一条直角边的对应比相等，那么这两个直角三角形相似.三相似三角形的性质1、相似三角形（多边形）对应角相等，对应边的比相等.2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比3、相似三角形（多边形）周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方四位似变换的坐标规律在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k..范例解析例1（2009深圳）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为_．分析要求矩形周长，可矩形的边长都是未知的.由题意，每个小正方形的边长为1，可得AE=EF=4，GF=2，而∠AEF=∠EFG=90△0，不难发现ABE≌△ECF∽△FDG，继而可得到这些三角形边长之间的内在联系，求出矩形的边长.∴△ECF ∽△FDG ∴ EC5 ∴矩形 ABCD 的周长=2(AB+BE+EC)=2 5 ⎪⎭ ⎝ 5A ． - aB ． - (a + 1)C ． - (a - 1)D ． - (a + 3).∴平移前 B 点的横坐标为 - (a + 1)- 1 ，即 - (a + 3) .解 ∵∠GFD+∠EFC=900 ∠EFC+∠FEC=900 ∴∠GFD=∠FEC 又∵∠D=∠C=900EF 4= = = 2DF GF 2∵AE=EF=4 ∠BAE=∠FEC ∠B=∠C ∴△ABE ≌△ECF ∴AB=EC BE=CF ∵AB=CD EC=2DF ∴AB=2DF=2CF=2BE 设 BE=x 则 AB=2x ∵x 2+(2x)2=42∴x= 4 5 ⎛ 8 5 4 5 8 5 ⎫+ + ⎪ = 8 5 5点评 本题综合运用了全等与相似三角形的判定和性质，找到线段之间的关系，是解题的关键所在.当然还要用到矩形的性质，并借助勾股定理列方程，因此有一定综合性例 2 （2009 衢州）如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(-1，0)．以 点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍，记所得的像是 △A ′B ′C ．设点 B 的对应点 B ′ 的横坐标是 a ，则点 B 的横坐标是（） 1 212 1 212分析 本题是求位似变换下点的坐标，但位似中心不是原点，不能直接利用课本相关结论， 为此可将图形向右平移，使位似中心 C 与原点重合，求出平移后 B 点坐标，再将图形向左 平移到原先的位置，问题便迎刃而解.解 将△ABC 与△A'B'C 向右平移一个单位，则 B'的横坐标变为 a + 1 ， ∵点 C 的坐标是(-1，0) ∴平移后 C 点位于原点 O ∵△ABC 与△A'B'C 的相似比为 1：2，点 B 与点 B'在原点异侧∴B 点平移后的横坐标为 -1 (a + 1)21 12 2故选 D点评 课本位似变换下点的坐标变化规律是以原点为位似中心，本题通过平移，使这一条件得到满足，这种转化思想在解题时经常用到，要注意仔细体会 当然本题还可分别过 B 、 B'点作 x 轴的垂线，利用相似三角形列比例式，也可求出 B 点坐标.例 3 （2009 黄冈）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，连结 BC ，= 发现只要证明△， BCG ∽△BFC 即⎩∠GBC = ∠CBF1AC ，过点 C 作直线 CD ⊥AB 于点 D ，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交⊙O 于点 F ，连结 BF ，与直线 CD 交于点 G ．求证： BC 2 = BG ⋅ BF分析 将等积式 BC 2= BG ⋅ BF 化成比例式 BC BFBG BC可.证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又 CD ⊥AB 于 D ， ∴∠BCD=∠A ，又∠A=∠F ， ∴∠F=∠BCD=∠BCG ，⎧ ∠BCG = ∠F在△BCG 和△BFC 中， ⎨∴△BCG ∽△BFC ∴ BC BG=BF BC即 BC 2 = BG ⋅ BF点评 在圆中找角相等比较方便，圆中的相似三角形往往通过“两角对应相等，两三角形相 似”这一判定来证.例 4 （2009 奉化）△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上．（1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M ， EF 与 AC 交于点 △N ，求证：BEM ∽△CNE ；（2）如图 △2，将 DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M ，EF 与 AC 交于点 N ，于是，除（ ）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形？并证明 你的结论．AC =1FDD MA A FM NNB EC B E C图1图2分析（△1）对于BEM与△CNE，有∠B=∠C=450，又∠BEM+∠CEN=∠BEM+∠BME=1350，从而∠BME=∠CEN，△BEM∽△CNE.（2）图2在（1）的基础上多出了两个三角形（可用字母表示），即△EMN与△Rt AMN，△Rt AMN不与原两个等腰直角三角形相似，可考虑△EMN与△BME和△CEN是否相似.证：（1） ∆ABC是等腰直角三角形，∴∠B=450，∴∠BME+∠MEB=1350又 ∆DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=450∴∠NEC+∠MEB=1350∴∠BME=∠NEC，而∠B=∠C=450，∴∆BEM∽∆CNE（2）与（1）同理∆BEM∽∆CNE，∴BE EM= CN NE又 BE=EC∴EC EM=，CN NEEC ME则∆ECN与∆MEN中有，又∠ECN=∠MEN=450，CN EN∴∆ECN∽∆MEN点评在△DEF绕点E旋转过程中，图1、图2中始终有∠BEM+∠CEN=∠BEM+∠BME，从而得到∠BME=∠CEN，在解题中善于抓住图形变化过程中的不变量，至关重要.另外（2）问有一定的开放性，哪些三角形可能相似要能快速判断出，而在证明时要用到（）的结论，得到比例式，再进行等线段替换，作为判定三角形相似的一个条件，这些是证明相似三角形时常用到的方法，有一定的难度.例5(2009武汉)如图1，在Rt△A BC中，∠BAC=90°，A D⊥BC于点D，点O是AC 边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△A BF∽△COE；OF=2时，如图2，求的值；AB OE（2）当O为AC边中点，．， ， ∴ BF（3）当 O 为 AC 边中点， AC OF= n 时，请直接写出 的值．AB OEBBDF DEFEAOC AOC图 1图 2分析 在(1)中通过找两三角形角之间的关系，易证这两个三角形相似.而（2）在原题条件下又加了两个条件，结合（1）的结论，不难得到 OE=BF ，将求 OF OF转化为求 ，再通过OE BF作辅助线，使 OF 与 BF 所在的三角形相似，从而将OF BF进一步转化，直到转化为可求出比的两线段之比.（3）问是更一般的情形，沿用（2）的思路不难写出结果. 解（1） AD ⊥ BC ，∴∠ DAC + ∠C = 90° ∠BAC = 90°∴∠ BAF = ∠C ．OE ⊥ OB ∴∠BOA + ∠COE = 90°， ∠BOA + ∠ABF = 90°，∴∠ ABF = ∠COE ． ≥? ABF ∽△COE ； （2） BDF GEAOC如图，作 OG ⊥AD （或 OG ∥BC ），垂足为 G∵OA=OCAC AB= 2∴AB=OA=OC 由（△1）知 ABF ∽COEAB = = 1 ∴BF=OEOE OC∵AD ⊥BC OG ⊥AD∴OG ∥BC ∴△OGF ∽△BDFOF OG=BF BD∵AB=OA ∠ADB=∠OGA ∠ABD =∠OAG∴△ADB ≌△OGA ∴OG=AD∵△ADB ∽CABOG AD=BD BD∴ AD AC = = 2 ∴BD ABOF OE= 2321360°A．B．C．D．C B①∠1=∠A，②CD=，③∠B+∠2=90°④AC⋅BD=BC⋅CDDB（3）OF=n．OE点评将要求的比转化，常用的方法有等线段替换和等比替换，本题这两种替换都用到了.另外，构造相似三角形时，通常是作平行线，构造“A字型”或“X字型”等基本相似图形，从而得到需要的比例式.巩固训练一、选择题1．（2009天津）在△A BC和△DEF中，AB=2D E，AC=2D F，∠A=∠D，如果△A BC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）A．8，3B．8，6C．4，3D．４，62．（2009烟台）如图，等边△A BC的边长为3，P为BC上一点，A且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）D 2324P3.（2009牡丹江)如图，△A BC中，CD⊥AB于D，一定能确定△A BC为直角三角形的条件的个数是（），AD CDA．1B．2C．3D．44.（2009宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形AM NBODC5.（2009济宁）如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.8cm2D.16cm2（B C:6．(2009温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是()A．第4张B．第5张 C.第6张D．第7张7．2009广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=42，则△CEF的周长为（）A．8B．9.5C．10D．11.5AGEFD二、填空题8．（2009朝阳）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影长为___________米．BO MA9.（2009年黄石）在□A BCD中，E在DC上，若DE:EC=1:2，则BF BE=．10.（2009庆阳）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是．（ AO 1 2 3 4△-3A图 1C（11． 2009 大连）如图，原点 O 是△ABC 和 △A ′B ′C ′的位似中心，点 A (1，0)与点 A ′(－2，△0)是对应点， ABC 的面积是y3 2，则 △A ′B ′C ′的面积是________________．32BC1 A′-4 -3 -2 -1x-1 -212. （2009 日照）将三角形纸片（ ABC ）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上， 记为点 B ′，折痕为 EF ．已知 AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点 B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ ABC 相似，那么 BF 的长度是 ．13．（2009 贺州）如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接 BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是cm 2．A BED F C三、解答题 14．（2009 河南）（1）把两个含 450 角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE 、 AD ，AD 的延长线交 BE 于点 F ，求证：AF ⊥BE（2）把两个含 300 角的直角三角板如图 2 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE 、AD ，AD 的延长 线交 BE 于点 F ，问 AF 与 BE 是否垂直？并说明理由.BBFDFDEC E图 2A15． 2009 长沙）在 Rt △ ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与边 AC 相切于点 E ，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F ．（E在射线AB上，且满足PQ（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．ADO EB C F16．2009安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．A M BF GCD17．（2009广东）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：△Rt ABM∽△Rt MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时△Rt ABM∽△Rt AMN，求此时x的值.A DB M N C18.(2009年上海)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点QAD=（如图1所示）．PC AB（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP．当AD=32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△APQS△PBC=y，其中S△APQ△表示APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．A Q图 37 或 2 13、 2AC = ，APD D A PDPQB图 1C B （Q ）C B图 2C巩固训练答案 一、选择题1、A2、B3、C4、C5、C6、C7、A二、填空填 8、59、3：510、（ -2 ，0） 11、612、123 三、解答题14、（1）证明：在△ACD 和△BCE 中，AC=-BC ，∠DCA=∠ECB=900，DC=EC ∴△ACD ≌△BCE ，∴∠DAC=∠EBC ∵∠ADC=∠BDF∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=900 ∴∠BFD=900，∴AF ⊥BE （2）AF ⊥BE ，理由如下：∵∠ABC=∠DEC=300，∠ACB=∠DCB=900∴ BC ECDC = tan 60 0∴△DCA ∽△ECB ，∴∠DAC=∠EBC ∵∠ADC=∠BDF∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=900 ∴∠BFD=900，∴AF ⊥BE15、（1）证明：连结 O E ．AC 切 ⊙O 于 E ， ∴ O E ⊥ AC ，又 ∠ACB = 90°即BC ⊥ AC ，又∵AMF ∽△BGM ，∴ AF∴ BG = AM ⋅ BM = ，即 + 4⎥ ⨯ 4 , ⎣∴ O E ∥ BC∴∠ OED = ∠F ．A又 OD = OE ，D∴∠ ODE = ∠OED ， ∴∠ ODE = ∠F ， OE∴ BD = BF ．（2）设⊙O 半径为 r ，由 OE ∥ BC 得 △ A OE ∽△ ABC ．BCFAO OE r + 4 r ∴ = ，即 = ，AB BC 2r + 4 6∴ r 2 - r - 12 = 0 ，解之得 r = 4，r = -3 （舍）．1 2∴ S⊙O= πr 2 = 16π ．16、（△1）证：AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ∴△AMF ∽△BGM ．（2）解：当 α＝45°时，可得 AC ⊥BC 且 AC ＝BC∵M 为 AB 的中点，∴AM ＝BM ＝ 2 2BM=AM BG2 2 ⨯ 2 2 8= =AF 3 3又 AC = BC = 4 2 cos45 = 4 ，∴ CG = 4 -8 4= ， CF = 4 - 3 = 1 3 34 5 ∴ FG = CF 2+ CG 2= 12+ ( )2 = 3 317、（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°∵∠ ABM+ ∠CMN+ ∠AMN=180°，∠ AMN=90°∴∠ AMB+ ∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN∴△Rt ABM ∽Rt △MCN（2）∵△Rt ABM ∽△Rt MCN ，∴AB BM 4 x = MC CN 4-x CN解得： CN = x (4 - x )4∵ S = 1 (CN+AB )BC ∴ y=梯形 2 1 ⎡ x (4 - x ) ⎤ 2 ⎢ 4 ⎦即： y = - 1 2x 2+ 2 x + 811又∵ y = - 1 (4 - x )2+ ⎡⎢ x4 - x ⎤⎥MMN = 由（1）知 AM PC = EP = 2 ⋅ BC ⋅ PE = 2 ⨯ 3 ⨯ 4k = 6k ，∆BPC = AB ⋅ S 2 ⋅ ⋅ AB ⋅ PF = 2 ⨯ ⨯ 2 ⨯ 3k = 2 ⨯ 3k =∆APQ = ∆APB =∴ y = S ∆BPC = 12k (2 - x )⋅ 3k 2 - x1 1x 2 + 2 x + 8 = - ( x 2 - 4 x + 4 - 4) + 8 = - ( x - 2) 2 + 102 2 2∴当 x=2 时，y 有最大值 10.∴当 M 点运动到 BC 的中点时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积是 10. （ 3 ） 解 法 一 ： ∵ Rt △ ABM ∽ Rt △ AMN ， ∴A B= B ， 即 A MM N4xx 2 + 16=( ) 2⎣4 ⎦化简得： (x 2 + 16)(x - 2 ) = 0 ，解得：x=2∴当 M 点运动到 BC 的中点时 △Rt ABM ∽Rt △AMN ，此时 x 的值为 2. 解法二：∠B = ∠AMN = 90°，∴要使 △ A BM ∽△ AMN ，必须有AM ABBM ，MN = ABMC ，∴ BM = MC ，∴当点 M 运动到 BC 的中点时， △ ABM ∽△ AMN ，此时 x = 2 ．18、（1）∵△RtABD 中，AB=2，AD=2，∴ PQ AD AB =1，∠D=45°∴PQ=PC 即 PB=PC ， 而∠PBC=∠D=45°∴PC=PB= 3 22（2）在图 1 中，过点 P 作 PE ⊥BC ，PF ⊥AB 于点 F 。