正弦定理、余弦定理复习_PPT课件
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高中数学必修五 1.1 正弦定理和余弦定理 教学课件 PPT (4)
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
C
b
a
A
c
B
四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
b A
或 （推论）
C a=?
c
B
五、余弦定理基本应用
1.已知两边及它们的夹角，求第三边；
2.已知三边，求三个角。
例1：隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人 员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再 利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计 算求出山脚的长度BC。
转化：在 △ABC中，
B
AB 8km, AC 3km, A 600,
求a。
C A
例2：在△ABC中，已知 a=2,b= ， 求A。
解：
∴A=45°
例3：在△ABC中，已知 a=2 ,b= ， 解三角形。
解：由例2可知 A=45°
方法一：
方法二：
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有 什么利弊呢？
1:1: 3
变式训练
在ABC中，角A、B、C的对边分别 为a、b、c,若AB AC = BA BC = 1，c = 2.
（1）判断ABC的形状； （2）若 AB AC 6，求ABC的面积
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
正弦定理与余弦定理PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
高三数学总复习《正弦定理与余弦定理》课件
答案:C
课时作业(三十) 正弦定理与余弦定理
一、选择题
12 1.(2009 全国Ⅱ已知 ) ABC中, cotA , 则cosA ( 5 12 5 5 12 A. B. C. D. 13 13 13 13 )
12 5 解析 :由cotA 知A为钝角, cosA . 5 13
解析 :由正弦定理 3sinBcosA cosAsinC cosCsinA 3 sin A C sinB,cosA . 3
3 答案 : 3
题型二 余弦定理的应用
例2 1 (2009 广东)在 ABC中, A、B、C的对边 分别为a、b、c, 若a c 6 2 , A 75, 则b ( A.2 B.4 2 3 C.4 2 3 ) D. 6 2
)
A.直角三角形,但不是等腰三角形
B.等腰三角形,但不是直角三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析 :由正弦定理可知 又 a b c sinA sinB sinC
a b c , cosB sinB, cosC sinC, sinA cosB cosC 又B、C为 ABC的内角, B C 45 ABC为等腰直角三角形.
注意:要熟记一些常见结论,如:①三角形三内角A,B,C成等差 数列的充要条件是B=60°;
②若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;
③△ABC是正三角形的充要条件是三内角A,B,C成等差数列 且对应三边a,b,c成等比数列.
4.已知三角形的两边及一边的对角解三角形
(1)先判断三角形解的情况,在△ABC中,已知a,b,A时,判断方法
)
D.等腰或直角三角形
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
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余正 弦弦 定定 理理
正弦定理和余弦定理
考试大纲： 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单 的三角度量问题。
考向预览： 1、能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形 的边角转化； 2、掌握三角形形状的判断，三角形内三角函 数的求值及三角恒等式的证明．
【考情分析】
年份 题型
考察角度
分值
2016 解答题第17题 正弦定理与余弦定理解三角形 12
2．在△ABC 中常用的一些基本关系式
(1)A＋B＋C＝____Π___________； (2)sin(B＋C)＝___S_i_n_A_________；
cos(B＋C)＝__－__c_o_s__A_______； tan(B＋C)＝__－__t_a_n_A________；
(3)sinB＋2 C＝____c_o_s_A2________；
【类题通法】
判定三角形形状的 2 种常用途径
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，
并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角 A ，B ， C 的范围对三角函数值的影响．
【越变越明】
[变式 1] 母题的条件变为“若 2sin Acos B＝sin C”，那么
△ABC 一定是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析
[变式 2] 母题的条件变为“若 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C”，确定△ABC 的形状．
解析
[变式 3] 母题的条件变为“若△ABC 的三个内角满足 sin
A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 （题点多变型考点——纵引橫联）
[解析] 由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即 sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即 A＝π2. [答案] B
()
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解析
【高考真题】
• （2015、全国理一、16）在平面四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是( )
谢谢！
解析
【由题悟法】
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
（题点多变型考点——纵引橫联）
1．判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手， 充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角 为边，边角统一． 三角形形状的判断依据： (1)等腰三角形：a＝b 或 A＝B； (2)直角三角形：b2＋c2＝a2 或 A＝90°； (3)钝角三角形：a2>b2＋c2，A>90°； (4)锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 a2<b2＋c2 或 A 为最大角，且 A<90°.
5
难度
容易 容易 容易 容易 适中 容易
【知识重现】
a
b
c
sin A sin B sin C
sin A∶sin B∶sin C
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
b2＋c2－2bccos A ＋b2－2abcos C．
b2＋c2－a2 2bc
a2＋c2－2accos B
a2
a2＋c2－b2 2ac
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边 的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约 去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角 形内角和定理对角的范围的限制．
【小题纠偏】
1．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形
(4)tanA＋tanB＋tanC＝_ta__n_A_t_a_n_B__ta__n_C__；
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 （题点多变型考点——纵引橫联）
【典型母题】
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为 ( )
a2＋b2－c2 2ab
12acsin B 12absin C
【小题体验】
1．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c.若a＝2，c＝2 3，cos A＝ 23且b＜c，则b＝( )
A．3
B．2 2
C．2
D. 3
解析：由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 4＝b2＋12－6b，解得 b
2015 填空题第16题 正弦定理与余弦定理解三角形 5
2014 填空题第16题 2013 解答题第17题 2012 解答题第17题 2011 填空题第16题
正弦定理、余弦定理、三角形面 5 积公式
正弦定理、余弦定理、三角函数 12 诱导公式、给值求角问题
正弦定理、余弦定理、三角形面 12 积公式
正弦定理、三角函数求最值
有
()
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析：∵sina A＝sinb B，
∴sin
B＝，∴sin
B＝2 3
2 .
又∵a<b，∴B 有两个解，
即此三角形有两解． 答案：B
考点一：利用正、余弦定理解三角形 （重点保分型考点——师生共研）
【典例引领】
(2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝34π，AB＝6，AC＝3 2， 点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
＝2 或 4.又 b＜c，∴b＝2. 答案：C
2．在△ABC中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝13，则△ABC的
面积为
(C )
A．3 3
B．2 3
C．4 3
D. 3
3．(教材习题改编)在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c ＝20，则 a＝_1_0_(3___2_－___6_)_.
正弦定理和余弦定理
考试大纲： 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单 的三角度量问题。
考向预览： 1、能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形 的边角转化； 2、掌握三角形形状的判断，三角形内三角函 数的求值及三角恒等式的证明．
【考情分析】
年份 题型
考察角度
分值
2016 解答题第17题 正弦定理与余弦定理解三角形 12
2．在△ABC 中常用的一些基本关系式
(1)A＋B＋C＝____Π___________； (2)sin(B＋C)＝___S_i_n_A_________；
cos(B＋C)＝__－__c_o_s__A_______； tan(B＋C)＝__－__t_a_n_A________；
(3)sinB＋2 C＝____c_o_s_A2________；
【类题通法】
判定三角形形状的 2 种常用途径
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，
并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角 A ，B ， C 的范围对三角函数值的影响．
【越变越明】
[变式 1] 母题的条件变为“若 2sin Acos B＝sin C”，那么
△ABC 一定是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析
[变式 2] 母题的条件变为“若 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C”，确定△ABC 的形状．
解析
[变式 3] 母题的条件变为“若△ABC 的三个内角满足 sin
A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13”，则△ABC
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 （题点多变型考点——纵引橫联）
[解析] 由正弦定理得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即 sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即 A＝π2. [答案] B
()
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解析
【高考真题】
• （2015、全国理一、16）在平面四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是( )
谢谢！
解析
【由题悟法】
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
（题点多变型考点——纵引橫联）
1．判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手， 充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角 为边，边角统一． 三角形形状的判断依据： (1)等腰三角形：a＝b 或 A＝B； (2)直角三角形：b2＋c2＝a2 或 A＝90°； (3)钝角三角形：a2>b2＋c2，A>90°； (4)锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 a2<b2＋c2 或 A 为最大角，且 A<90°.
5
难度
容易 容易 容易 容易 适中 容易
【知识重现】
a
b
c
sin A sin B sin C
sin A∶sin B∶sin C
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
b2＋c2－2bccos A ＋b2－2abcos C．
b2＋c2－a2 2bc
a2＋c2－2accos B
a2
a2＋c2－b2 2ac
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边 的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约 去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角 形内角和定理对角的范围的限制．
【小题纠偏】
1．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形
(4)tanA＋tanB＋tanC＝_ta__n_A_t_a_n_B__ta__n_C__；
考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 （题点多变型考点——纵引橫联）
【典型母题】
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为 ( )
a2＋b2－c2 2ab
12acsin B 12absin C
【小题体验】
1．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c.若a＝2，c＝2 3，cos A＝ 23且b＜c，则b＝( )
A．3
B．2 2
C．2
D. 3
解析：由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 4＝b2＋12－6b，解得 b
2015 填空题第16题 正弦定理与余弦定理解三角形 5
2014 填空题第16题 2013 解答题第17题 2012 解答题第17题 2011 填空题第16题
正弦定理、余弦定理、三角形面 5 积公式
正弦定理、余弦定理、三角函数 12 诱导公式、给值求角问题
正弦定理、余弦定理、三角形面 12 积公式
正弦定理、三角函数求最值
有
()
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析：∵sina A＝sinb B，
∴sin
B＝，∴sin
B＝2 3
2 .
又∵a<b，∴B 有两个解，
即此三角形有两解． 答案：B
考点一：利用正、余弦定理解三角形 （重点保分型考点——师生共研）
【典例引领】
(2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝34π，AB＝6，AC＝3 2， 点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
＝2 或 4.又 b＜c，∴b＝2. 答案：C
2．在△ABC中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝13，则△ABC的
面积为
(C )
A．3 3
B．2 3
C．4 3
D. 3
3．(教材习题改编)在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c ＝20，则 a＝_1_0_(3___2_－___6_)_.