江苏省昆山市2020-2021学年高二上学期期中教学质量调研测试数学试题含答案
昆山市2020-2020学年第一学期期中教学质量调研测试
高二数学2020.11
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.不等式x(x-2)＜8的解集是（）
A.｛x|-4<x<2｝
B.｛x|x＜-4或x＞2｝
C.{xl-2<x<4｝
D.｛x|x＜-2或x＞4｝
2.已知命题p:∀x≥0，2x≥1，则命题p的否定是（）
∀≥0，x2＜1
A.x∃≥0，x2＜1
B.x
∀<0,x2<1
C.x∃＜0，x2＜1
D.x
3.已知a ＜b ，则下列结论正确的是（）
A. 2
2
b a ＜ B. 3
3
b a ＜ C. ab b 2
＞ D.
b
1a 1＞ 4. 已知等差数列｝｛n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，2a 2a a 583+=+，则a 1等于（）
A.1
B.2
C.3
D.4 5.已知x 为实数，则“x ＞0”是“51
x 4
x ≥-+
”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知关于x 的不等式3|a 2x ||a x |≥-+-对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. -1≤a ≤1
B.a ≤-1或a ≥1
C. -3≤a ≤3
D.a ≤-3或a ≥3
7.在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述:今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢。
则二马相逢时，良马比驽马多走了多少路程（ ） A ，440里 B.540里 C.630里 D.690里
8. 已知等比数列｝｛n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ）
A.若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0
B. 若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0
C. 若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0
D. 若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若正实数a ，b 满足a+b=4ab ，则下列不等式一定成立的是（ ） A.ab ≥
41 B.ab ≤4
1
C. a+b ≥1
D.a+b ≤1 10.已知数列｝｛n a 是公比为q 的等比数列，4a b n n +=，若数列｝｛n b 有连续4项在集合
｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A. 43-
B. 32-
C. 34-
D. 2
3- 11.无穷数列｝｛n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A.数列｝｛n a 单调递减 B.数列｝｛n a 有最大值
B. 数列｛S n ｝单调递减 D.数列｛S n ｝有最大值
12若关于x 的不等式0≤ax 2+bx+c ≤1(a ＞0)的解集为｛x|-1≤x ≤2｝，则3a+2b+c 的值可以是 （ ）
A.
31 B. 32 C. 54 D. 4
5
三、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
13. 若命题“x ∃∈R ，使得x 2+ax+a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是 。
14. 已知正实数a ，b 满足ab=1，则
b
a 8
b 1a 1++
+的最小值为 。
15.已知等比数列｝｛n a 单调递增，若a 1+a 4=7，a 2+a 3=6，则a 1+a 2= 。
16.在数列｝｛n a 中，a 1=1，）
（*n 1n n 1a n
3
n a N ∈++=
+，则a 3= ，a n = 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知集合{
}1<-=a x x A ，{}
0322<-+=x x x B .
（1）若A x ∈是B x ∈充分不必要条件，求实数a 的取值范围；
（2）若存在实数x ,使得A x ∈和B x ∈同为真命题，求实数a 的取值范围.
18.(本题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21++=+n n n a S S ， .
①283-=+a a ；②287-=S ；③2a ，4a ，5a 成等比数列；
请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2) 求n S 的最小值并指明相应n 的值.
19.(本题满分12分)
已知数列{}n a 满足1a 1=，()n n a n na 121+=+，设n
a b n
n =， (1) 求数列{}n b 的通项公式； (2) 求数列{}n a 的前n 项和n S .
20.(本题满分12分)
如图，设矩形ABCD(AB ＞BC)的周长为20cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过 去后交DC 于点P . 设AB=x (cm)， DP=y (cm)，△ADP 的面积为S. (1) 请用x 表示y ，并指明x 的取值范围； (2) 求出S 的最大值及相应的x 的值.
21.(本题满分12分) 已知函数()m x x x f -=. (1)若3=m ，解不等式()2>x f ；
(2)若0>m ，且()x f 在[]2,0上的最大值为3，求正实数m 的值.
22.(本题分12分)
数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，记数列{}n b 的
前n 项和为n S . 已知12211,a b a b a ≠==.
(1) 若的正整数），是大于2,(k m a b m k =求证：11)1(a m S k -=-；
(2)若是某个确定的正整数）i a b i (3= , 求证: 数列{}n b 中每个项都是数列{}n a 的项.。
2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。
2020-2021学年度第一学期期中期末考试试卷含答案共六套
2020-2021学年度第一学期期中考试试卷六年级英语（本试卷分为两个部分，共十一个大题，总分100分，考试时间60分钟）第一部分听力(40分)一、请听录音，从A、B、C中选出你听到的正确答案，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（听两遍）（共5小题，每小题2分，计10分）( )1.A.tomorrow B.tonight C.today( )2.A.visit B.write C.get( )3.A.word book ic book C.storybook( )4.A.next B.behind C.near( )5.A.straight B.left C.right二、请听录音，判断下列句子与你听到的内容是否相符，相符的写“T”，不相符的写“F”，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（听两遍）（共5小题，每小题2分，计10分）( )6.Turn left at the bookstore.( )7.It’s red.We must stop and wait.( )8.I’m going to visit my uncle tomorrow.( )9.I have to do my homework now.( )10.Go straight and you can see the Palace museum.三、请听小对话，从A、B、C中选出你听到的正确图片，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（听两遍）（共5小题，每小题2分，计10分）( )11.A. B. C.( )12.A. B. C.( )13.A. B. C.( )14.A. B. C.( )15.A. B. C.四、请听对话，根据所听到的内容补全下面短文中缺少的单词，并将正确答案用黑色墨水笔或黑色签字笔填写在答题卡规定的位置上（一空一词）。
（听三遍）（共5个空，每空2分，计10分）A:Excuse me,sir.How can I get to the 16. ?I’m going to buy a 17. .B:First,18. right here.Then go 19. and you can see it.It’s next tothe 20. .A:Thanks!Bye!第二部分笔试(60分)五、请从A、B、C、D中选出不同类的一项，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中考试模拟数学试卷 Word版含答案
南京市2020～2021学年度第一学期期中调研模拟卷高 二 数 学 2020.10一、单选题（本大题共8小题，每小题 4分，共32分）1．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ▲ ）AB ．2C ．4D ．2．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ▲ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 3．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m α⊥，n β⊥，则//m n ；②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ．④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；其中正确命题的序号是（ ▲ ）A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④4．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ▲ ）A ．1312BCD 5．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ▲ ）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．6．在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ▲ ）A ．3B ．3C ．3D ．37．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是（ ▲ ）A B ．2 C ．23 D ．348．过抛物线216y x =焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆与直线13x =相切，则直线l 的方程为（ ▲ ）A ．2282y x =-或2282y x =-+B ．416y x =-或416y x =-+C ．28y x =-或28y x =-+D ．4y x =-或4y x =-+二、多选题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分）9．已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则（ ▲ ） A ．tan 0θ<B ．24tan 9θ>C ．22sin cos θθ>D ．sin20θ>10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ▲ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a < 11．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ▲ ）A ．若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥，则直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为6 C ．若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD的中心，则BM EN =12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ▲ ）A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线”三、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分） 13．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B =sin A +2sin C ．则B = ▲ .14．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为 ▲ ．15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，它的内切圆的半径为 ▲ . 16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，直线():0l y kx b k =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且6AF BF +=，线段AB 的垂直平分线过点()0,4M ，则抛物线C 的方程是 ▲ ；若直线l 过点F ，则k = ▲ .四、解答题（本大题共6 小题，共 78 分）17．（10分）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.已知 ▲ ，计算ABC 的面积.请①7a =，②2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35，求cos2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)， 若1tan 2α=，求tan θ的值.19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 为动点，已知点()2,0A，()2,0B -，直线PA 与PB 的斜率之积为定值12-． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若()1,0F ，过点F 的直线l 交轨迹E 于M 、N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程．20．（14分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF 和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角 C AF P --的余弦值是223．21．（14分）已知点P 是抛物线21:4C y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线1C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆222:143x y C +=于C 、D 两点，1S 、2S 分别是PAB △、PCD 的面积，求12S S 的最小值.22．（16分）已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与x 轴正半轴相切，且被直线l ：0x y -=截得的弦长为27.（1）求圆C 的方程；（2）设点A 在圆C 上运动，点()7,6B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ. ①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；②试探究：在直线l 上是否存在定点T (异于原点O )，使得对于Γ上任意一点P ，都有PO PT 为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由.参考答案1．B2．A3．D4．B5．C6．A7．C8．B9．AB10．BC11．ABC12．BCD13．23π14．15116．24x y = 2± 17．答案不唯一，见解析18．（1）15（2）13- 19．（1）()22102x y y +=≠；（2）10x y --=或10x y +-=． 20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）1h =．21．（1）定点坐标为()1,0，证明见解析；（2）43. 22．（1）()()22139x y -+-=；（2）①()()22551x y -+-=，Γ是圆；②存在，4949,1010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
江苏省常熟市2020_2021学年高一数学上学期期中试题
江苏省常熟市2020—2021学年高一数学上学期期中试题注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1。
本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题)、填空题（第13题～第16题）、解答题(第17题～第22题）.本卷满分150分，考试时间为120分钟,考试结束后,请将答题卷交回。
2。
答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0。
5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0。
5毫米黑色墨水的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{0，1，2｝，B ＝｛x|x 2〈3},则A ∩B ＝A 。
{0，1｝ B.｛0，1，2｝ C 。
｛x ｜0≤xD 。
｛x|0≤x}2。
命题“∀x ∈[1，＋∞),x 2＋x ≥2”的否定是A 。
∀x ∈（－∞,1)，x 2＋x<2B 。
∀x ∈(－∞，1)，x 2＋x ≥2C.∃x ∈[1，＋∞），x 2＋x 〈2 D 。
∃x ∈［1,＋∞)，x 2＋x ≥23.下列命题正确的是A 。
若a<b<0，则11a b < B.若a 〉b 〉0，则2211ab >C.若a>b ，且11a b >，则ab<0D.若a>b,c>d>0,则a b d c> 4.已知函数f(x ）＝()()x 1x x 0x 1x x 0+≥⎧⎪⎨-<⎪⎩，，，则不等式f(x －2)〈f(4－x 2）的解集是A 。
（－1，6）B 。
（－3，2)C 。
（－6，1） D.(－2，3）5。
函数f （x)的单调递减区间是 A 。
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级上学期期中数学试卷 解析版
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是.符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.1．下列交通标志图形中，轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各数：，π，0，，0.2020020002，．其中，无理数的个数为（）A．2B．3C．4D．53．由四舍五入法得到的近似数3.01×104精确到（）A．百位B．百分位C．万位D．万分位4．下列计算正确的是（）A．1+2＝3B．﹣＝C．2×3＝6D．2÷＝5．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE的是（）A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC6．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（）A．12B．15C．10D．12或157．如图所示，三个居民小区分别座落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（）A．△ABC三边的垂直平分线的交点B．△ABC三个内角平分线的交点C．△ABC三条中线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点8．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．58°C．60°D．69°9．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝22，点M、N在边OB上（M在N的左侧），且PM＝PN，若MN＝4，则OM的长为（）A．7B．8C．9D．1110．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝2CE B．△BCE≌△BDE C．∠BEC＝∠BDC D．BE平分∠CBD 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填写在答题卡相应位置上. 11．的平方根是．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．若与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝．14．计算：＝．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC，若CD＝3，则△ABD的面积为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为．17．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点P，∠ABC+∠ADC＝180°，BD平分∠ABC，AD＝CD，过D作DE⊥BC于E，若AB＝5，BC＝12，则CE＝．18．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC ＝40°，则∠CAP＝．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.19．（6分）求下列各等式中x的值：（1）3x2﹣＝0；（2）2（x+1）3+16＝0．20．（12分）计算：（1）+﹣（）2；（2）（﹣）×﹣×；（3）（2﹣1）2﹣（+）（﹣）．21．（5分）已知与（x+y﹣3）2互为相反数，求xy的算术平方根．22．（6分）已知a＝3﹣，b＝﹣3﹣，求下列各式的值．（1）a2﹣b2；（2）a2﹣ab+b2．23．（6分）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．24．（6分）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹）（1）在直线AC上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；（2）在图中找一点O，使得OA＝OB＝OC；（3）在（1）（2）小题的基础上，请在AB上确定一点M，使得两线段MP，MO的长度之和MP+MO的值最小．25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．（1）利用尺规作图：作∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F；（保留作图痕迹，并根据题意在图中标明相应字母，不写作法）（2）在第（1）小题基础上，试判断线段AF与线段BC有何关系，并说明理由．26．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B 作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．（1）求证：△ABE为等腰三角形；（2）已知AC＝14，BD＝5，求AB的长．27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，BC＝6，CD 平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA﹣AD向终点D运动．（1）点P在CA上运动的过程中，当CP＝时，△CPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案）（2）点P在折线CA﹣AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；（3）若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度＝．（直接写出答案）28．（10分）如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A 出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（s），t＞0．（1）当t＝时，△P AC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发．那么当t取何值时，△P AQ是直角三角形？请说明理由；（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发，当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是.符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.1．下列交通标志图形中，轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．下列各数：，π，0，，0.2020020002，．其中，无理数的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：＝2，，0，0.2020020002，这些都是有理数，无理数有π，，共有2个，故选：A．3．由四舍五入法得到的近似数3.01×104精确到（）A．百位B．百分位C．万位D．万分位【分析】根据近似数的精确度解答．【解答】解：近似数3.01×104＝30100，精确到百位，故选：A．4．下列计算正确的是（）A．1+2＝3B．﹣＝C．2×3＝6D．2÷＝【分析】根据二次根式加减运算和乘除运算法则计算即可．【解答】解：A．1与2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．2×3＝12，此选项错误；D．2＝，此选项正确；故选：D．5．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE的是（）A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC【分析】求出AF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD＝CB，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选：B．6．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（）A．12B．15C．10D．12或15【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．故选：B．7．如图所示，三个居民小区分别座落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（）A．△ABC三边的垂直平分线的交点B．△ABC三个内角平分线的交点C．△ABC三条中线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定P点的位置．【解答】解：∵点P到点A，B，C的距离相等，∴点P为AB、BC、AC的垂直平分线的交点．故选：A．8．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．58°C．60°D．69°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决．【解答】解：如右图所示，∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°，∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5，∴∠5＝42°，由折叠的性质可知，∠2＝∠3，∵∠2+∠3+∠5＝180°，∴∠2＝69°，故选：D．9．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝22，点M、N在边OB上（M在N的左侧），且PM＝PN，若MN＝4，则OM的长为（）A．7B．8C．9D．11【分析】过P点作PC⊥OB，垂足为C，根据含30°角的直角三角形的性质可求解OC 的长，再利用等腰三角形的性质可求解MC的长，进而求解OM的长．【解答】解：过P点作PC⊥OB，垂足为C，∵∠AOB＝60°，∴∠OPC＝90°﹣∠AOB＝30°，∵OP＝22，∴OC＝OP＝11，∵PM＝PN，MN＝4，∴MC＝MN＝2，∴OM＝OC﹣MC＝11﹣2＝9．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝2CE B．△BCE≌△BDE C．∠BEC＝∠BDC D．BE平分∠CBD 【分析】利用基本作图可判断DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到AE ＝BE，AD＝BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质可证明∠BDC＝2∠A，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可证明∠BEC＝2∠A，从而得到∠BEC ＝∠BDC，于是可对C选项进行判断；由于只有当∠A＝30°时，AE＝BE＝2CE，△BCE ≌△BDE，BE平分∠CBD，这样可对A、B、D选项进行判断．【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，∴AE＝BE，AD＝BD，∴D点为Rt△ABC的斜边AB上的中线，∴DA＝DC，∴∠A＝∠ACD，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，∵EA＝EB，∴∠A＝∠ABE，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝2∠A，∴∠BEC＝∠BDC，所以C选项的结论正确；只有当∠A＝30°时，AE＝BE＝2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，所以A、B、D 选项不一定成立．故选：C．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填写在答题卡相应位置上. 11．的平方根是±．【分析】直接根据正数的平方根的意义解答即可．【解答】解：的平方根是±．故答案为：±．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥．【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．【解答】解：根据题意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故答案为：x≥．13．若与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝．【分析】根据同类二次根式以及最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：∵＝2，∴3＝4﹣2a，∴a＝，故答案为：．14．计算：＝﹣1．【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵1＜，∴1﹣＜0，∴＝﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC，若CD＝3，则△ABD的面积为15．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×10×3＝15．故答案为：15．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为4cm．【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，再根据三角形内角和定理求出∠B＝∠C ＝30°，连接AN，AM，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝BM，根据轴对称性可得∠BAM＝30°，从而得到∠CAM＝90°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BM长，同理可得出CN的长，根据MN＝BC﹣CN﹣BM 即可得出结论．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，连接AM，AN，∵ME是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，∴CM＝2AM＝2BM，∴3BM＝BC＝12cm，∵BM＝4cm，同理可得，CN＝4，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案为：4cm．17．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点P，∠ABC+∠ADC＝180°，BD平分∠ABC，AD＝CD，过D作DE⊥BC于E，若AB＝5，BC＝12，则CE＝．【分析】由角平分线的性质得出DE＝DF，证明Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），得出CE＝AF，证明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），得出BE＝BF，则可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DF，在Rt△ADF和Rt△CDE中，，∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），∴CE＝AF，在Rt△BDF和Rt△BDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝BF，∵BC＝BE+CE，BF＝AB+AF，∴BC＝AB+2CE，∵AB＝5，BC＝12，∴CE＝．故答案为：．18．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC ＝40°，则∠CAP＝50°．【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠F AP，即可得出答案．【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PF A和Rt△PMA中，∵，∴Rt△PF A≌Rt△PMA（HL），∴∠F AP＝∠P AC＝50°．故答案为：50°．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.19．（6分）求下列各等式中x的值：（1）3x2﹣＝0；（2）2（x+1）3+16＝0．【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程整理后，利用立方根定义开方即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：x2＝，开方得：x＝±；（2）方程整理得：（x+1）3＝﹣8，开立方得：x+1＝﹣2，解得：x＝﹣3．20．（12分）计算：（1）+﹣（）2；（2）（﹣）×﹣×；（3）（2﹣1）2﹣（+）（﹣）．【分析】（1）利用算术平方根的定义和立方根的定义计算；（2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝3﹣4﹣2＝﹣3；（2）原式＝﹣﹣＝4﹣﹣2＝；（3）原式＝12﹣4+1﹣（3﹣2）＝13﹣4﹣1＝12﹣4．21．（5分）已知与（x+y﹣3）2互为相反数，求xy的算术平方根．【分析】根据一对相反数的和为0得出+（x+y﹣3）2＝0，再根据非负数的性质求出x、y的值，即可求得结果．【解答】解：∵与（x+y﹣3）2互为相反数，∴+（x+y﹣3）2＝0，∴，解得∴xy＝，∴xy的算术平方根为．22．（6分）已知a＝3﹣，b＝﹣3﹣，求下列各式的值．（1）a2﹣b2；（2）a2﹣ab+b2．【分析】（1）将a、b的值代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算即可；（2）将a、b的值代入原式，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【解答】解：（1）当a＝3﹣，b＝﹣3﹣时，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（3﹣﹣3﹣）（3﹣+3+）＝﹣2×6＝﹣12；（2）原式＝（3﹣）2﹣（3﹣）（﹣3﹣）+（﹣3﹣）2＝9﹣6+2﹣（2﹣9）+9+6+2＝29．23．（6分）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．【解答】证明：如图，连接AD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．24．（6分）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹）（1）在直线AC上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；（2）在图中找一点O，使得OA＝OB＝OC；（3）在（1）（2）小题的基础上，请在AB上确定一点M，使得两线段MP，MO的长度之和MP+MO的值最小．【分析】（1）取格点O，J，作直线OJ交AVC于点P，点P即为所求．（2）△ABC三边垂直平分线的交点O，即为所求．（3）作点P关于直线AB的对称点P′，连接OP′交AB于点M，点M即为所求．【解答】解：（1）如图，点P，即为所求．（2）如图，点O即为所求．（3）如图，点M即为所求．25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．（1）利用尺规作图：作∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F；（保留作图痕迹，并根据题意在图中标明相应字母，不写作法）（2）在第（1）小题基础上，试判断线段AF与线段BC有何关系，并说明理由．【分析】（1）先利用基本作图作AM平分∠DAC，然后延长BE交AM于F点；（2）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质证明∠CAF＝∠C，从而得到AF∥BC，然后证明△AEF≌△CEB得到AF＝BC．【解答】解：（1）如图，AF为所作；（2）AF∥BC，AF＝BC．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵∠DAC＝∠ABC+∠C，即∠DAF+∠CAF＝∠ABC+∠C，∴∠CAF＝∠C，∴AF∥BC，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB（ASA），∴AF＝BC．26．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B 作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．（1）求证：△ABE为等腰三角形；（2）已知AC＝14，BD＝5，求AB的长．【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE＝∠AFB＝90°，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF＝∠ABF，得到AE＝AB，于是得到结论；（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD＝ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF＝∠DBF，等量代换得到∠AED＝∠ABD，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵BE⊥AD，∴∠AFE＝∠AFB＝90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠EAF＝∠BAF，又∵在△AEF和△ABF中∠AFE+∠EAF+∠AEF＝180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180°∴∠AEF＝∠ABF，∴AE＝AB，∴△ABE为等腰三角形；（2）解：连接DE，∵AE＝AB，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BE，∴BD＝ED，∴∠DEF＝∠DBF，∵∠AEF＝∠ABF，∴∠AED＝∠ABD，又∵∠ABC＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，又∵△CED中，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠C＝∠EDC，∴EC＝ED，∴CE＝BD．∴AB＝AE＝AC﹣CE＝AC﹣BD＝14﹣5＝9．27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，BC＝6，CD 平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA﹣AD向终点D运动．（1）点P在CA上运动的过程中，当CP＝6时，△CPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案）（2）点P在折线CA﹣AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；（3）若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度＝3．（直接写出答案）【分析】（1）当CP＝6时，证△PCD≌△BCD（SAS），即可得出结论；（2）由（1）得：∠PCD＝45°，分两种情况：①点P在AC上，若PC＝PD，则∠PDC ＝∠PCD＝45°，则∠CPD＝90°；若DP＝DC时，∠CPD＝∠PCD＝45°，若CP＝CD，则∠CPD＝∠CDP＝67.5°；②点P在AD上时，存在DP＝DC，则∠CPD＝∠PCD，求出∠CDP＝105°，由三角形内角和定理得∠CPD＝37.5°即可；（3）当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P'，则MP'∥AC，证△PCM≌△P'CM（AAS），得MP＝MP'，CP＝CP'，当点E、M、P'三点共线时，MP+ME 的值最小，则EP'∥AC，由平行线的性质得∠BEP'＝∠A＝30°，由直角三角形的性质得BE＝AB＝6，BP'＝BE＝3，求出CP＝CP'＝BC﹣BP'＝3即可．【解答】解：（1）当CP＝6时，△CPD与△CBD的面积相等，理由如下：∵BC＝6，∴CP＝BC，∵CD平分∠ACB，∴∠PCD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，在△PCD和△BCD中，，∴△PCD≌△BCD（SAS），∴△CPD与△CBD的面积相等，故答案为：6；（2）由（1）得：∠PCD＝45°，分两种情况：①点P在AC上，如图1所示：若PC＝PD，则∠PDC＝∠PCD＝45°，∴∠CPD＝180°﹣45°﹣45°＝90°；若DP＝DC时，则∠CPD＝∠PCD＝45°，若CP＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝（180°﹣45°）＝67.5°；②点P在AD上时，如图2所示：存在DP＝DC，∴∠CPD＝∠PCD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠CDP＝∠BCD+∠B＝45°+60°＝105°，∴∠CPD＝（180°﹣105°）＝37.5°；综上所述，∠CPD的度数为45°或90°或67.5°或37.5°；（3）当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P'，如图3所示：则MP'∥AC，∵CD平分∠ACB，∴∠PCM＝∠P'CM，又∵∠MPC＝∠MP'C＝90°，CM＝CM，∴△PCM≌△P'CM（AAS），∴MP＝MP'，CP＝CP'，当点E、M、P'三点共线时，MP+ME的值最小，则EP'∥AC，∴∠BEP'＝∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴AB＝2BC＝12，∵点E是斜边AB的中点，∴BE＝AB＝6，∴BP'＝BE＝3，∴CP＝CP'＝BC﹣BP'＝3，故答案为：3．28．（10分）如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（s），t＞0．（1）当t＝3s时，△P AC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发．那么当t取何值时，△P AQ是直角三角形？请说明理由；（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发，当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．【分析】（1）先由等边三角形的性质得AB＝BC＝AC＝6，∠A＝60°，再由题意得∠APC ＝90°，则∠ACP＝30°，然后由直角三角形的性质得AP＝AC＝3，即可得出答案；（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，由直角三角形的性质得AQ ＝2AP，由题意得出方程，解方程即可；②当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，由直角三角形的性质得AP＝2AQ，由题意得出方程，解方程即可；（3）过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，先证△APE≌△CQF（AAS），得AE＝CF，PE＝QF，再证△PDE≌△QDF（AAS），得DE＝DF＝EF，进而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，若△P AC是直角三角形，则∠APC＝90°，∴∠ACP＝30°，∴AP＝AC＝3，∴t＝3÷1＝3（s），故答案为：3s；（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，如图2﹣1所示：则∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，∴AQ＝2AP，由题意可得：AP＝BQ＝t，则AQ＝6﹣t，∴6﹣t＝2t，解得：t＝2；②当∠AQP＝90°时，如图2﹣2所示：则∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，∴AP＝2AQ，∴t＝2（6﹣t），解得：t＝4；综上，当t为2s或4s时，△P AQ是直角三角形；（3）线段DE的长度不变化，理由如下：过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，如图3所示：∵PE⊥AC，QF⊥AC，∴∠AEP＝∠DEP＝∠CFQ＝90°，∵∠QCF＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠QCF，又∵AP＝CQ，∴△APE≌△CQF（AAS），∴AE＝CF，PE＝QF，又∵∠PDE＝∠QDF，∴△PDE≌△QDF（AAS），∴DE＝DF＝EF，∵EF＝CE+CF，AC＝CE+AE，∴EF＝AC＝6，∴DE＝EF＝3，即线段DE的长度不变，为定值3．。
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市二年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市二年级（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1001.（问答题，20分）口算。
30÷6= 64+30= 3÷1= 5×5+5= 3×5=18÷3= 3×3= 6×4-10= 30-6= 2×6=24+4= 4×2+15= 12÷4= 5÷5= 37-6=4+4-7= 26+7= 4×1= 3×4= 3×6-8=2.（问答题，9分）用竖式计算。
73-27-8= 12+57+26= 47+23-18=3.（填空题，6分）看图填一填。
（1）每___ 只梨一盘，___ 盘梨共___ 只。
（2）把这些梨平均分成___ 盘，每盘___ 只。
（3）把这些梨每___ 只一盘，可以分成___ 盘。
4.（填空题，3分）35比15多___ ，比35多20的数是___ ；4个5比6个5少___ 。
5.（填空题，3分）（1）6个3相加的和是___ 。
（2）2个乘数都是4，积是___ 。
（3）除数是2，商是3，被除数是___ 。
6.（问答题，6分）在〇里填“＞”“＜”或“=”。
6÷2〇4÷1 2×6〇3×4 34+13〇43+1310-5〇10÷5 12÷6〇12÷4 4×5+5〇5×57.（填空题，4分）写出得数是4的算式。
___ +___ =4 ___ -___ =4___ ×___ =4 ___ ÷___ =48.（填空题，2分）学校大门口的左边摆了16盆花，右边摆了8盆花，左边比右边多摆了___ 盆，从左边搬___ 盆放到右边，两边花的盆数就同样多。
9.（填空题，1分）公交车上下车情况如表：原有下车上车45 20 16现在车上有___ 人。
2020-2021学年苏州市昆山市高二下学期期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年苏州市昆山市高二下学期期中数学复习卷1一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2−y 24=1交于A 、B 两点，若△ABF是等边三角形，则该抛物线焦点F 的坐标为______ ．2. 在平面直角坐标系中向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为2−i ，5+3i ，则|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=______．3. 下面四个命题：①0比−i 大；②x +yi =1+i 的充要条件为x =y =1； ③任何纯虚数的平方都是负实数． 其中错误命题的序号是______ ． 4. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ，则动点P 的轨迹为椭圆； ②双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点；③方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④和定点A(5,0)及定直线l ：x =165的距离之比54的点的轨迹方程为x 216−y 29=1．其中真命题的序号为______ ． 5. 已知复数(是虚数单位)，则______6. 设函数f(x)=e x (2x −3)−a2x 2+ax ，若函数f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，则实数a 的取值范围是______．7. 若“任意x ∈[0,π4),tanx <m ”是真命题，则实数m 的取值范围是______．8. 在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第n 个三角形数为______．9. 如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______．10. 古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：则第20个图共有______ 个黑点．11. 观察下列等式12=1 12−22=−3 12−22+32=6 12−22+32−42=−10 ......照此规律，第100个等式12−22+32−42+⋯−1002= ______ ．12. 函数f(x)={|lg(1−x)|,x <1−(x −2)2,x ≥1，关于x 的方程f(f(x))=1的实根个数为______ 个．13. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,−2)，则它的离心率为______ ． 14. (几何证明选做题)已知AB 是圆O 的直径，AB =2，AC 和AD 是圆O 的两条弦，AC =√2,AD =√3，则∠CAD 的度数是______ ．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．求证：PA//平面MNB ；(2)求证：平面PAD⊥平面PMB．16.已知函数f(x)=x(x+a)2(a∈R)．(1)若a=−3，求过点P(4,4)且与y=f(x)相切的直线方程；(2)若a≤0，证明：(sinx+a−2)2≤(sin2x+a−4)2．2+sinx17.已知圆C经过M(3,0)，N(2,1)两点，且圆心在直线l：2x+y−4=0上．(1)求圆C的方程(2)从原点向圆C作切线，求切线方程及切线长18. 已知函数f(x)=lnx −ax(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f(x)<x 2在x ∈(1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围．19. 已知F 1，F 2是椭圆y 24+x22=1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，直线l ：y =√2x +m 与椭圆交于A ，B 两点． (1)求点P 的坐标； (2)求△PAB 面积的最大值．20.已知函数f(x)=ln(1+x)−ax1−x(a∈R)(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若数列{a m}的通项公式a m=(1+12013×2m+1)2013,m∈N∗，求证：a1⋅a2…a m<3,(m∈N∗)．21.设等差数列{a n}的公差为d，S n是{a n}中从第2n−1项开始的连续2n−1项的和，即S1=a1，S2=a2+a3，S3=a4+a5+a6+a7，…S n=a 2n−1+a 2n−1+1+⋯+a 2n−1(1)若S1，S2，S3成等比数列，问：数列{S n}是否成等比数列？请说明你的理由；(2)若a1=154，d>0，证明：1S1+1S2+1S3+⋯+1S n≤89d(12−14n+1)，n∈N∗．x2单调性；22.讨论g(x)fx)+43时，函数y=f(x)的图在x=的切线方；当k=23若数(x)=xf(x)在定域内调递减，kZ，的最大值．23.过原点O作圆x2+y2−8x=0的弦OA，求弦OA中点M的轨迹方程．24.四棱锥E−ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD−CE=1，AB=AD=AE=√3，且EC⊥BD(1)求证：平面BED⊥平面AEC；(2)求二面角D--BM−C的平面角的余弦值．【答案与解析】1.答案：(√62,0)解析：解：抛物线的焦点坐标为(p2,0)，准线方程为：x =−p2， 准线方程与双曲线联立解得y =±√p 2−4，因为△ABF 为等边三角形，所以√p 2+y 2=2|y|，即p 2=3y 2， 即p 2=3×(p 2−4)，解得p =√6， ∴抛物线焦点F 的坐标为(√62,0)．故答案为(√62,0)．求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p 即可得出结论．本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．2.答案：5解析：解：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3)−(2,−1)=(3,4)， ∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32+42=5． 故答案为：5．利用复数的几何意义、向量坐标运算性质、摸的计算公式即可得出．本题考查了复数的几何意义、向量坐标运算性质、摸的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：①②解析：解：①因为复数不能比较大小，所以说0比−i 大；所以①不正确；②当x ，y 是实数时，x +yi =1+i ，的充要条件为x =y =1；否则不成立，所以②不正确； ③因为i 2=−1，所以(ai)2=−a 2<0，(a ∈R 且a ≠0)，所以说任何纯虚数的平方都是负实数．所以③正确； 故答案为：①②．利用复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数的运算法则，判断命题的真假即可．本题考查命题的真假的判断，复数的基本概念以及简单性质的应用，是基础题．4.答案：②③④解析：①根据椭圆的定义，当k>|AB|时是椭圆；②正确，双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为(±√34,0)；③方程2x2−5x+2=0的两根为12或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆、双曲线与抛物线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．解：①根据椭圆的定义，当k>|AB|时是椭圆，∴①不正确；②正确，双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为(±√34,0)；③方程2x2−5x+2=0的两根为12或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确④正确，由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5，故其轨迹方程为x2 16−y29=1．故答案为②③④．5.答案：解析：试题分析：因为复数(是虚数单位)的模的公式是.所以复数(是虚数单位)的模.所以填.本小题的关键是根据复数模的公式运算，分清复数(是虚数单位)中的实部和虚部．考点：1.复数的模.2.复数的基本概念．6.答案：(0,1)解析：解：函数f(x)=e x(2x−3)−a2x2+ax，∴f′(x)=e x(2x−1)−ax+a，若要使f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，只需f′(x)=0在(−∞,1)内有两个解，可转换为函数g(x)=e x(2x−1)与ℎ(x)=a(x−1)的图象在(−∞,1)内有两个交点，由g′(x)=e x(2x+1)知，当x ∈(−∞,−12)时，g′(x)<0，函数g(x)在(−∞,−12)上为减函数;当x ∈(−12,1)时，g′(x)>0，函数g(x)在(−12,1)上为增函数，当直线ℎ(x)=a(x −1)与曲线g(x)=e x (2x −1)相切时，设切点坐标为(x 0,y 0)， 由导数的几何意义可以得到{e x 0(2x 0+1)=ay 0=e x 0(2x 0−1)y 0=a(x 0−1)，解得x 0=0或x 0=32(不合题意，舍去)， 可知a =e 0(2×0+1)=1，由图象可知，g(x)与ℎ(x)的图象在(−∞,1)内有两个交点，则a 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．本题考查了利用函数的导数判断函数极值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是中档题．7.答案：m ≥1解析：本题主要考查全称命题的应用，根据条件转化为不等式恒成立问题是解决本题的关键． 根据全称命题为真命题，转化求函数的最值即可． 解：当0≤x <π4时，函数y =tanx 为增函数， 则0≤tanx <tan π4=1，若“任意x ∈[0,π4),tanx <m ”是真命题， 则m ≥1， 故答案为：m ≥1．8.答案：n(n+1)2解析：解：设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；由图可得：第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2−a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3−a2=3，…第n个图中点的个数比第n−1个图中点的个数多n，即a n−a n−1=n，则a n=1+2+3+4+⋯+n=n(n+1)；2．故答案为n(n+1)2设第n个三角形数即第n个图中有a n个点；观察图形可得，第二个图中点的个数比第一个图中点的个数多2，即a2−a1=2，第三个图中点的个数比第二个图中点的个数多3，即a3−a2=3，依此类推，可得第n个图中点的个数比第n−1个图中点的个数多n，即a n−a n−1=n，将得到的式子，相加可得答案．本题主要考查了归纳推理，属于基础题．解题的关键在于观察、发现图形中点的个数的变化规律．9.答案：27解析：解：如图，作AO⊥BC，交BC于O，AO=√122−62=6√3，由题意得正三棱柱底面边长EF=6，高为ℎ=√3，∴所得正三棱柱的体积为：V=S△DEF⋅ℎ=1×6×6×sin60°×√3=27．2故答案为：27．由题意得正三棱柱底面边长6，高为√3，由此能求出所得正三棱柱的体积．本题考查正本棱柱的体积的求法，考查三棱柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：210解析：解：由已知中：第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有3=1+2个，第3个图中黑点有6=1+2+3个，第4个图中黑点有10=1+2+3+4个，…个，故第n个图中黑点有1+2+3+⋯+n=n(n+1)2当n=20时，共有黑点210个，故答案为：210根据已知中第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有1+2个，第3个图中黑点有1+2+3个，第4个图中黑点有1+2+3+4个，…归纳可得第n个图中黑点有1+2+3+⋯+n个，进而得到答案．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．11.答案：−5050解析：本题考查了归纳推理，以及分组求和法、等差数列的前n项和公式的应用，难度一般．观察可得：等式的左边是连续正整数的平方差相加的形式，根据这一规律得第100个等式左边为12−22+32−42+⋯+992−1002，利用分组求和法、等差数列的前n项和公式求出左边式子的和．解：观察下列等式：12=112−22=−312−22+32=612−22+32−42=−10…当n=100时，左边=(12−22)+(32−42)+⋯+[(99)2−1002]，代入n=100得到−5050．由递推式可得到右边=(−1)n−1·n(n+1)2故答案为：−5050．12.答案：3解析：作出f(x)的图象，令t =f(x)，则f(t)=1，解方程可得t 的值，再结合图象，即可得到所求方程的个数．本题考查方程根的个数问题的解法，注意运用转化思想，通过换元法和数形结合思想，考查判断能力，属于中档题．作出函数f(x)={|lg(1−x)|,x <1−(x −2)2,x ≥1的图象，令t =f(x)，则f(t)=1，解得t =−9或0.9， 由f(x)=−9，可得x =5(−1舍去)， 由f(x)=0.9，结合图象有一正一负根， 故关于x 的方程f(f(x))=1的实根个数为3． 故答案为：3．13.答案：√52解析：解：∵中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,−2)， ∴ba =24=12， ∴e =ca =√1+(ba )2=√52． 故答案为：√52．根据中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,−2)，可得b a =24=12，利用e =ca =√1+(ba )2，可得结论．本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：15°或75°解析：解：由题意可知，∠OAC =45°，∠OAD =30°． ①C ，D 在直径AB 的同侧，则∠CAD =∠OAC −∠OAD =15°； ②C ，D 在直径AB 的两侧，则∠CAD =∠OAC +∠OAD =75°． 故答案为：15°或75°．由题意可知，∠OAC=45°，∠OAD=30°，再分类讨论C，D在直径AB的同侧，C，D在直径AB 的两侧，即可得出结论．本题考查圆的知识，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．15.答案：证明：(1)连接AC交MB于Q，连接NQ，MC．AD=BC，因为AM//NC，AM=12所以四边形ABCM是平行四边形，所以Q是AC的中点，又N是PC的中点，所以NQ//PA．因为NQ⊂平面MNB，PA⊄平面MNB，所以PA//平面MNB．(2)因为PA=AD，M是AD的中点，所以PM⊥AD．因为DM//BC，DM=BC，所以四边形BCDM是平行四边形，又∠ADC=90°，所以四边形BCDM是矩形，所以AD⊥BM．因为PM∩BM=M，PM⊂平面PBM，BM⊂平面PBM，所以AD⊥平面PBM.又因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBM．解析：(1)根据中位线定理得出NQ//PA，故而PA//平面MNB；(2)根据AD⊥PM，AD⊥BM即可得出AD⊥平面PBM，于是平面PAD⊥平面PMB．本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．16.答案：解：(1)若a=−3，则f(x)=x(x−3)2=x3−6x2+9x，∴f′(x)=3x2−12x+9，∵f(4)=4，∴点P(4,4)在y=f(x)上，①当切点为P(4,4)时，f′(4)=9，切线方程为y=9(x−4)+4，即y=9x−32，②切点不为P(4,4)时，设切点为Q(x0,y0)，k切=f(x0)=3x02−12x0+9，切线方程为y =(3x 02−12x 0+9)(x −x 0)+x 0(x 0−3)2，其过切点(4,4)，有4=(3x 02−12x 0+9)(4−x 0)+x 0(x 0−3)2，易知x 0=4是其一解， 即(3x 02−12x 0+9)(x 0−4)+(x 0−4)(x 02−2x 0+1)=0，即(x 0−4)2(x 0−1)2=0，故点Q 的横坐标x 0=1，有Q(1,4)， 又f(1)=0， ∴切线方程为y =4，综合可知，有a =−3，故过点P(4,4)且与y =f(x)相切的直线方程为y =9x −32，或y =4． (2)f(x)=x(x +a)2=x 2+2ax 2+a 2x ，∴f′(x)=3x 2+4ax +a 2=(3x +a)(x +a)，a ≤0， 当x ∈(−∞,−43)，(−a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 由0≤− a3<−a ，有f(x)在(−∞,−1]上单调递增， 由sinx ∈[−1,1]，有sinx −2≤−1，则sin 2x −4≤−1， 要证：(sinx+a−2)22+sinx ≤(sin 2x +a −4)2，a ≤0，即证(sinx −2)(sinx +a −2)2≥(sin 2x −4)(sin 2x +a −4)2， ⇔f(sinx −2)≥f(sin 2x −4)， ⇔sinx −2≥sin 2x −4，⇔2≥sin 2x −sinx =(sinx −12)2−14此式恒成立， 故a ≤0时，(sinx+a−2)22+sinx≤(sin 2x +a −4)2恒成立．解析：(1)根据导数的几何意义，需要分类讨论，即可求出切线方程； (2)判断函数的单调性，要证：(sinx+a−2)22+sinx≤(sin 2x +a −4)2，a ≤0，只要证2≥sin 2x −sinx ，根据正弦函数的性质即可证明．本题考查了切线方程，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了运算能力和转化能力，属于难题．17.答案：解：(1)根据题意，圆C 经过M(3,0)，N(2,1)两点，则圆心在MN 的中垂线y =x −2上又在已知直线l ：2x +y −4=0上，则有{y =x −22x +y −4=0，解可得{x =2y =0，即圆心坐标为C(2,0)，则圆的半径r =|MC|=1；所求圆的方程为：(x −2)2+y 2=1； (2)根据题意，从原点向圆C 作切线， 当切线斜率不存在时，不与圆C 相切， 当切线斜率存在时，设直线方程为y =kx ，代入C ：x 2+y 2−4x +3=0得x 2+(kx)2−4x +3=0， 即(1+k 2)x 2−4x +3=0， 令△=(−4)2−4×3(1+k 2)=0， 解得k =±√33，即切线方程为y =±√33x ．对应切线长为√22−12=√3．解析：(1)根据题意，分析可得圆心在MN 的中垂线y =x −2上，进而可得{y =x −22x +y −4=0，解可得x 、y 的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案；(2)根据题意，分切线的斜率存在与否两种情况讨论，分析可得切线的方程，以及切线的长，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质以及切线的计算，属于基础题．18.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=lnx +1x ，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x−1x 2，则当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 即有f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)； (2)由题可知f′(x)=x+a x 2，①若a ≥−1，则x +a ≥0，f(x)在[1,e]上为增函数， [f(x)]min =f(1)=−a =32，即为a =−32(舍去)；②若a ≤−e ，则x +a ≤0，f(x)在[1,e]上为减函数， [f(x)]min =f(e)=1−ae =32，a =−e2(舍去)； ③若−e <a <−1，令f′(x)=0，解得x =−a ， 当1<x <−a 时，f′(x)<0，f(x)在(1,−a)上为减函数；当−a <x <e 时，f′(x)>0，f(x)在(−a,e)上为增函数． 即有[f(x)]min =f(−a)=ln(−a)+1=32，解得a =−√e ， 综上所述，a =−√e ； (3)f(x)<x 2，即lnx −ax <x 2， 又x >0，a >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，ℎ(x)=g′(x)=1+lnx −3x 2， ℎ′(x)=1x −6x =1−6x 2x，由x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数， 则ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0， g(x)在(1,+∞)上递减，即有g(x)<g(1)=−1， 当a ≥−1时，f(x)<x 2在(1,+∞)上恒成立．解析：本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和函数的单调性是解题的关键．(1)求出当a =−1时的f(x)解析式和导数，求得单调区间，注意函数的定义域；(2)求出导数，对a 讨论，①若a ≥−1，②若a ≤−e ，③若−e <a <−1，通过单调性求得最小值，解方程可得a 的值；(3)运用参数分离，可得a >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，求得g(x)的值域，即可得到a 的范围．19.答案：解：(1)依题意，设点P 的坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，由椭圆方程可得F 1(0,√2)，F 2(0,−√2)， 则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0,√2−y 0),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0,−√2−y 0)，∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，∴(x 0,y 0−√2)⋅(x 0,y 0+√2)=x 02+y 02−2=1， 即x 02+y 02=3 ①，又P 是椭圆上一点，∴x 022+y 024=1，②联立①②得，x 02=1,y 02=2，又x 0>0，y 0>0，∴x 0=1,y 0=√2， 故点P 的坐标为(1,√2)；(2)∵直线AB 的方程为y =√2x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程和椭圆方程，得{y =√2x +mx 22+y 24=1，消去y 得4x 2+2√2mx +m 2−4=0．∴x 1+x 2=−√22m ，x 1x 2=m 2−44，由△>0，得m ∈(−2√2,2√2)， 点P(1,√2)到直线AB 的距离为d =√3，|AB|=√3√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3(4−12m 2)， 则S △PAB =12|AB|⋅d =12√3(4−12m 2)√3=√18m 2(−m 2+8)≤√18(m 2−m 2+82)2=√2．当且仅当m =±2∈(−2√2,2√2)取等号， ∴三角形PAB 面积的最大值为√2．解析：(1)设出点P 的坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，由椭圆方程求得左右焦点坐标，然后结合PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1求得P 的坐标所满足的关系式，再根据P 在椭圆上得另一关系式，联立即可求得P 的坐标； (2)联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程后由判别式大于0求出m 的范围，然后分别利用弦长公式和点到直线的距离公式求出弦AB 的长及点P 到直线AB 的距离，代入三角形的面积公式利用基本不等式求最值．本题考查了平面向量在解圆锥曲线问题中的应用，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线位置关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，然后利用一元二次方程的根与系数关系求解，该题还运用了换元法和函数的单调性求最值，综合性强．20.答案：解：(1)由题意，函数的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，f′(x)=11+x −a(1−x)2，---(1分)当a ≤0时，注意到11+x >0,a(1−x)2≤0，所以f′(x)>0， 即函数f(x)的增区间为(−1,1)，(1,+∞)，无减区间；---(2分) 当a >0时，f′(x)=11+x −a(1−x)2=x 2−(2+a)x+1−a (1+x)(1−x)2，由f ′(x)=0，得x 2−2(2+a)x +1−a =0， 此方程的两根x 1=a+2−√a 2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2，其中−1<x 1<1<x 2，注意到(1+x)(1−x)2>0，所以f ′(x)>0⇔−1<x <x 1或x >x 2， f ′(x)<0⇔x 1<x <1或1<x <x 2，即函数f(x)的增区间为(−1,x 1)，(x 2,+∞)，减区间为(x 1,1)，(1,x 2)， 综上，当a ≤0时，函数f(x)的增区间为(−1,1)，(1,+∞)，无减区间；当a >0时，函数f(x)的增区间为(−1,x 1)，(x 2,+∞)，减区间为(x 1,1)，(1,x 2)， 其中x 1=a+2−√a2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2.--(6分)(2)证明：当a =1时，由(1)知，函数f(x)=ln(1+x)−x1−x 在(0,1)上为减函数，--(7分) 则当0<x <1时，f(x)=ln(1+x)−x1−x <f(0)=0，即ln(1+x)<x1−x ， 令x =12013×2m +1 (m ∈N ∗)，则ln(1+12013×2m +1) <12013×2m ， 即ln(1+12013×2m +1)2013<12m ，所以a m =(1+12013×2m +1)2013<e 12m ，---(10分)又a m >0，所以a 1⋅a 2⋅…⋅a m <e 12⋅e 14…e 12m =e 1−12m <e <3.----(12分)解析：(1)在定义域x 大于0上，令f ′(x)=0求出x 的值，利用x 的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间单调递增区间与单调递减区间，注意分类讨论； (2)与数列有关的证明题，常用放缩法来解决．本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握证明不等式成立时所常用的方法．21.答案：(1)解：∵S 1，S 2，S 3成等比数列，∴S 22=S 1⋅S 3，∴a 1(a 4+a 5+a 6+a 7)=(a 2+a 3)2，∴a 1(4a 1+18d)=(2a 1+3d)2，化为2a 1d =3d 2，解得d =0或a 1=32d. 当d =0时，S n =2n−1a 1≠0，∴S n+1S n=2，∴数列{S n }成等比数列．当a 1=32d 时，S n =a 2n−1+a 2n−1+1+⋯+a 2n −1 =2n−1a 2n−1+2n−1(2n−1−1)2d =2n−1[a 1+(2n−1−1)d]+2n−1(2n−1−1)2d =32d ⋅4n−1≠0．∴S n+1S n=4，∴数列{S n }成等比数列．综上可得：S1，S2，S3成等比数列，数列{S n}成等比数列．(2)∵a1=154d>0，∴1S n =12n−1(32d⋅2n−1+a1−32d)=89d⋅34n+3⋅2n=89d×3×4n−142n−1+3×2n×4n−1≤89d ×4n−4n−142n−1+5×4n−1+1≤89d(14n−1+1−14n+1)．∴1S1+1S2+1S3+⋯+1S n≤89d [(140+1−141+1)+(141+1−142+1)+⋯+(14n−1−14n+1)]=89d(12−14n+1)，n∈N∗．解析：(1)根据S1，S2，S3成等比数列，求出d=0或a1=32d，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等比数列的定义分别判断数列{S n}是否成等比数列即可；(2)由a1=154d>0，可得1S n=12n−1(32d⋅2n−1+a1−32d)=89d⋅34n+3⋅2n=89d×3×4n−142n−1+3×2n×4n−1≤89d×4n−4n−142n−1+5×4n−1+1=89d(14n−1+1−14n+1).利用“裂项求和”即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、等比数列的定义及其性质、“裂项求和”，考查了变形、裂项、放缩等技巧，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22.答案：解：f(=2lnx−13x2+23x，则′(x)=2x−23x+23，(1分)记(x)=x+2lx，则t′(x)=+2x >0(x0)，所以t(x)在(0,+∞)且t(√22)=122ln√22=12ln2<0，=1>0，即y=x−53./空格/空//空/空格//空/空//空/空//格空格/格/空格/格//格/…(分)当<4时，(x)在(,x2)上单调增，2，1上单调减，在(x1,+∞)上单调． (9)则g(x)=2x +x+k=2x2+kx2x，所以，当x=0时，(x取极小值，且最小值．因ℎ(x)在义域内单调所以′()≤0在(0,+∞恒成立，g()=2lnx+x2x，定义为0，+)，…(4分)又x0∈(√22,1)，所以x0−1x0∈(−√22,0)，即2k≤x2−2ln−2x 在(,+∞恒成立，即2k(x2−lnx−2x)min (11)则f′=2又(1)=13，所以2ks(x)min=x02−lnx0−2x0=2x02−2x0，即k≤x0−1x，…15分)所存在唯一的x0∈(√22,1)，s′(x0)=x02+lnx0x02=0，有2lnx0=−x02，…(1分)(x=2xlnx−13x3+kx2，义域0∞，则ℎ′(x)2(lnx+1)−x2+2kx．上当k≥−4，g(x)在0，+∞)调增；k<−4时，程()有两个不等的实根x1=−k+√k2−164>x2=−k−√k2−164>0当−4≤<0，g′x)≥0成立，时g)在(0,+)调增；空格/(7分)因为k∈Z，则k的值−1./空//空空空格/空格//空格空格/空////格/空空格/…(16分)解析：求出函的定义域，求出导数通过当k≥0时，−4≤<时，当k<−时，判导函数符号，求出的单区间．推出(x)=2lnx−13x3+kx2，解定义域与导数，利(x)义域内单调减，得到2k≤x2−2ln−2x(0,∞)恒成立，构造sx)=x22lnx−2x =x−2nxx−2x，出导数，记t(x=x2+lnx判断导函符号，利用所以存在一的x0∈(√22,1)，s(x)取极小是最小值．然后求解k的最大值．本题考查函数的导数的合，函数的单调性以及函数的极值以及函数的最值的求法考查构法应地产股涨以及数的应，难度，需要解题仔细认真，查类讨转想的应用．23.答案：解：设M点坐标为(x,y)，那么A点坐标是(2x,2y)，A点坐标满足圆x2+y2−8x=0的方程，所以(2x)2+(2y)2−16x=0所以M点轨迹方程为x2+y2−4x=0解析：设出M点坐标为(x,y)，求出A点坐标是，利用A点坐标满足圆的方程，代入求解可得弦OA 中点M的轨迹方程本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，注意中点坐标的灵活运用，本题是应用代入法求解的，注意掌握．24.答案：证明：(1)由于△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，故连接AC交BD于O点，则△ABC≌△ADC，∴∠BAC =∠DAC ，则AC ⊥BD ，又∵EC ⊥BD ，EC ∩AC =C ，故BD ⊥面ACE ，∴平面BED ⊥平面AEC ；解：(2)由(1)知AC ⊥BD ，且CO =12，AO =32，连接EO ，则CO CE =CE AC =12，∴△COE∽△CEA ，又CE 2+AE 2=AC 2=4，可得∠CEA =90°．∴∠COE =∠CEA =90°，故E O ⊥AC ，又BD ⊥OE ，故如图建立空间直角坐标系，则B(0,√32,0)，D(0,−√32,0)，C(−12,0，0)，M(34,0，34)， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(34,√32,√34)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)， 设平面DBM 的法向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√3y 1=034x 1+√32y 1+√34z 1=0，取z 1=1，得m ⃗⃗⃗ =(−√33,0,1)； CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(54,0,√34)， 设平面CBM 的法向量n⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则由{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{12x 2+√32y 2=054x 2+√34z 2=0，取z 2=1，得n ⃗ =(−√35,15,1)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3√8729． 故二面角D −BM −C 的平面角的余弦值为3√8729．解析：(1)由题意可得AC ⊥BD ，又EC ⊥BD ，结合线面垂直的判定可得平面BED ⊥平面AEC ；(2)由(1)知AC ⊥BD ，证得△COE∽△CEA ，可得CE 2+AE 2=AC 2=4，即∠CEA =90°，得EO ⊥AC ，又BD ⊥OE ，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面DBM 与平面CBM 的一法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D −BM −C 的平面角的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．。
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市高二上学期期中教学质量调研测试数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市高二上学期期中教学质量调研测试数学试题一、单选题1．不等式x (x -2)＜8的解集是（ ） A ．｛x |-4<x <2｝ B ．｛x |x ＜-4或x ＞2｝ C ．{x |-2<x <4｝ D ．｛x |x ＜-2或x ＞4｝【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】x (x -2)＜8()()2280420x x x x ⇒--<⇒-+<，解得24x -<<，所以不等式的解集为{x |-2<x <4｝. 故选：C2．全称量词命题“0x ∀≥，21x ≥”的否定为（ ）A ．0x ∃<，21x <B ．0x ∀≥，21x <C ．0x ∃≥，21x <D ．0x ∀<，21x <【答案】C【分析】由命题的否定的概念判断．否定结论，存在量词与全称量词互换． 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“0,x ∀≥21x ≥”的否定是“0,x ∃≥21x <”． 故选：C.【点睛】本题考查命题的否定，属于基础题． 3．已知a ＜b ，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．33a b < C ．2b ab >D ．11a b> 【答案】B【分析】举出反例可判断A 、C 、D ，由函数3y x =的单调性可判断B.【详解】对于A ，当1,0a b =-=时，满足a b <，但此时22a b >，故A 错误； 对于B ，由函数3y x =在R 上单调递增可得：若a b <，则33a b <，故B 正确； 对于C ，若0b =，2b ab =，故C 错误；对于D ，若1,1a b =-=，满足a b <，但此时11a b<，故D 错误. 故选：B.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C5．已知x 为实数，则“0x >”是“451x x +≥-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】先考虑充分性：当0x >时，分类讨论当1x >和01x <<时，结合基本不等式求最值，从而得出41x x +-的范围；再考虑必要性：当451x x +≥-时，通过分式不等式的解法求出x 的范围，再根据充分条件和必要条件的概念，即可判断得出答案. 【详解】解：先考虑充分性：当0x >时， ①当1x >时，即10x ->，则44111511x x x x +=-++≥=--，当且仅当411x x -=-时，即3x =时，取等号，②当01x <<时，即10x -<，则444111113111x x x x x x ⎛⎫+=-++=--++≤-=- ⎪---⎝⎭， 当且仅当411x x-=-时，即1x =-时，取等号， 综上得：当0x >时，451x x +≥-，所以充分条件不成立； 再考虑必要性：当451x x +≥-时，即4501x x +-≥-，则()2301x x -≥-，由于()230x -≥，则得10x ->，解得：1x >， 所以0x >时，必要条件成立； 综上得，“0x >”是“451x x +≥-”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查充分条件和必要条件的判断，解题的关键在于利用基本不等式和分式不等式进行化简求解，考查化简运算能力和分类讨论思想.6．已知关于x 的不等式|||2|3x a x a -+-≥对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．-1≤a ≤1 B ．a ≤-1或a ≥1C ．-3≤a ≤3D ．a ≤-3或a ≥3【答案】D【分析】不等式32x a x a -+-≥对一切实数x 恒成立，即()min |||2|3x a x a -+-≥，利用()()||2|2x a x a x a x a -+-≥---可求最值，从而得出答案.【详解】()()|||2|2x a x a x a x a a -+-≥---=（当()()20x a x a --≤时，等号成立）不等式32x a x a -+-≥对一切实数x 恒成立 则()min |||2|3x a x a -+-≥ 所以3a ≥，则3a ≥或3a ≤- 故选：D7．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述:今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则二马相逢时，良马比驽马多走了多少路程（ ） A ．440里 B ．540里C ．630里D ．690里【答案】B【分析】根据等差数列的前n 项和，设出天数n ，根据两前n 项和之和为2倍，列出方程，即可求解.【详解】设良马每天所行路程为{}n a ，则{}n a 是以103为首项，以13为公差的等差数列，其前n 项为n A ，驽马每天所行路程为{}n b ，则{}n b 是以97为首项，以12-为公差的等差数列，其前项为n B ，设共用n 天二马相逢，则21125n n A B +=⨯, 所以(1)(1)11031397()2250222n n n n n n --+⨯++⨯-=， 化简得2313600n n +-=，解得9n =，9981031313952A ⨯=⨯⨯=，922501395855B =-=， 所以991395855540A B -=-=. 故选：B.【点睛】解决数列与数学文化相交汇问题的关键： （1）读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意； （2）由题意，构造等差数列或等比数列或递推关系式的模型；（3）利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项，通项公式或前n 项和的公式. 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0 D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0【答案】A【分析】根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，202112021(1)01a q S q-=>-，因为20211q-与1q -同号，所以10a >，所以2131(1)0a a a q +=+>，当1q =时，2021120210S a =>，所以10a >，所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A【点睛】易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况.二、多选题9．若正实数a ，b 满足a +b =4ab ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ab ≥14B ．ab ≤14C ．a +b ≥1D ．a +b ≤1【答案】AC【分析】根据正实数a ，b 满足a +b =4ab ，直接利用基本不等式判断. 【详解】因为正实数a ，b 满足a +b =4ab ，所以4a b ab +=≥ 解得 14ab ≥，当且仅当 a b =时，取等号，故A 正确； 所以2442a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，解得1a b +≥，当且仅当 a b =时，取等号，故C 正确； 故选：AC10．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-【答案】BD【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列，∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，54-，81或81，54-，36，24-.∴363242q ==--或243236q -==-. 故选：BD11．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减 D ．数列{}n S 有最大值【答案】ABD【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.12．若关于x 的不等式0≤ax 2+bx +c ≤1(a ＞0)的解集为｛x |-1≤x ≤2｝，则3a +2b +c 的值可以是（ ） A ．13B ．23C ．45D ．54【答案】BC【分析】根据题意，设2(),y f x ax bx c ==++问题转化为()f x 恒大于等于零且(1)(2)1f f -==，建立关系求出a 的范围即可.【详解】设2(),y f x ax bx c ==++其中a ＞0，因为不等式0≤ax 2+bx +c ≤1(a ＞0)的解集为｛x |-1≤x ≤2｝， 所以()f x 恒大于等于零且(1)(2)1f f -==，故0∆≤，即240b ac -≤①，且1a b c -+=②，421a b c ++=③， 由②③可得,12,b a c a =-=- 代入①，可得2940a a -≤， 解得409a ≤≤， 由0a >知409a <≤， 故532(2)1,1)9[a b c f a a ++=-=-∈， 结合选项，32a b c ++的值可能23和45， 故选：BC【点睛】关键点点睛：原问题可转化为()f x 恒大于等于零且(1)(2)1f f -==，据此求出a 的取值范围，得出选项.三、填空题13．若命题“x ∃∈R ，使得x 2+ax +a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】0a <或4a >【分析】由特称命题为真可得不等式20x ax a ++<有解，结合一元二次不等式的知识即可得解.【详解】若“x R ∃∈，使得20x ax a ++<”为真命题，则不等式20x ax a ++<有解，所以240a a ∆=->，解得0a <或4a >， 所以实数a 的取值范围是0a <或4a >. 故答案为：0a <或4a >.14．已知正实数a ，b 满足1ab =，则118a b a b+++的最小值为____________.【答案】【分析】根据题意，0,0a b >>，且1ab =，化简得1188a b a b a b a b++=++++，再利用基本不等式求最值，即可得出结果.【详解】解：由题可知，0,0a b >>，且1ab =，因为11888a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥=+++当且仅当8a b a b+=+时，取等号， 即118a ba b+++的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．已知等比数列{}n a 单调递增，若a 1+a 4=7，a 2+a 3=6，则a 1+a 2=____________. 【答案】4【分析】设等比数列{}n a 的公比为,1q q >，由等比数列的通项公式运算可得q ，即可得解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为,1q q >，由题意，()()3111716a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相除得()()()()()1232111617111a q q q q q q q a q q q q ++===-+++-+，解得32q =或23q =（舍去）， 所以()121614a a a q q+=+==. 故答案为：4.四、双空题16．在数列{}n a 中，a 1=1，()*131n n n a a n N n++=+∈，则a 3=______，a n =_______. 【答案】272 ()234n n + 【分析】第一空：运用代入法先求出2a ，然后再求出3a 即可；第二空：根据递推公式再求出4a 的值，可以猜想出数列{}n a 的通项公式，最后利用数学归纳法进行证明即可.【详解】第一空：因为11a =，131n n n a a n++=+，所以21415a a =+=，32527122a a =+=； 第二空：由第一空可知：3272a =，所以可得432128a a =+=， 因为211(13)14a ⨯+==，222(23)54a ⨯+==，23273(33)24a ⨯+==， 244(43)284a ⨯+==，所以猜想()234n n n a +=，数学归纳法证明如下： （1）当1n =时，显然11a =；（2）假设当n k =时成立，即()234k k k a +=，当1n k =+时，1232322222313(3)14694442944(4)(21)(4)4(4)(21)4(1)(4),4k k k a a kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++=+++=⋅++++=++++=++++=+++=++= 综合（1）（2），所以()234n n n a +=，故答案为：272；()234n n +五、解答题17．已知集合{}1A x x a =-<，{}2230B x x x =+-<.（1）若x A ∈是x B ∈充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数x ，使得x A ∈和x B ∈同为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[]2,0-；（2）()4,2-.【分析】（1）先化简集合,A B ,再解不等式组1311a a -≥-⎧⎨+≤⎩即得解；（2）由题得A B ⋂≠∅,解不等式组1113a a -<⎧⎨+>-⎩即得解.【详解】（1）由题得{}1=(11)A x x a a a =-<-+，，{}2230(3,1)B x x x =+-<=-，因为x A ∈是x B ∈充分不必要条件， 所以(1,1)(3,1)a a -+-，所以1311a a -≥-⎧⎨+≤⎩，所以20a -≤≤.所以实数a 的取值范围为[]2,0-.（2）因为存在实数x ，使得x A ∈和x B ∈同为真命题， 所以A B ⋂≠∅,所以11,4213a a a -<⎧∴-<<⎨+>-⎩. 所以实数a 的取值范围为()4,2-.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是解读“存在实数x ，使得x A ∈和x B ∈同为真命题”，其含义为A B ⋂≠∅,再列出不等式1113a a -<⎧⎨+>-⎩即得解.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++， .①382a a +=-；②728S =-；③2a ，4a ，5a 成等比数列；请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最小值并指明相应n 的值.【答案】（1）212n a n =-；（2）5n =，或6n =时，-30.【分析】（1）由12n n n S S a +=++，得到12n n a a +-=，等差数列{}n a 为公差为2的等差数列，分别选择①②③，求得110a =-，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得212n a n =-，进而求得当16,n n N +≤≤∈时，0n a ≤，当7,n n N +≥∈时，0n a >，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足12n n n S S a +=++，可得12n n n S S a +-=+， 即12n n a a +=+，即12n n a a +-=，即数列{}n a 为公差为2的等差数列， 若选①：由382a a +=-，可得12922a +⨯=-，解得110a =-， 可得1(1)10(1)2212n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 所以数列{}n a 的通项公式为212n a n =-. 若选②：由728S =-，可得17672282a ⨯+⨯=-，解得110a =-， 可得1(1)10(1)2212n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 所以数列{}n a 的通项公式为212n a n =-.若选③：由2a ，4a ，5a 成等比数列，可得2425a a a =，即2111(32)(2)(8)a a a +⨯=++，解得110a =-，可得1(1)10(1)2212n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 所以数列{}n a 的通项公式为212n a n =-. （2）由（1）可得212n a n =-， 令0n a ≥，即2120n -≥，解得6n ≥，可得当15,n n N +≤≤∈时，0n a <；当6n =时，0n a =；当7,n n N +≥∈时，0n a >，所以5n =或6n =时，n S 取得最小值， 其中最小值为651545455(10)23022S a d S ⨯⨯==+=⨯-+⨯=-. 【点睛】求解等差数列的前n 项和的n S 的最值问题：（1）函数法：利用等差数列的前n 项和的函数的表达式2n S an bn =+，通过配方或借助二次函数的性质求解； （2）邻项变号法：①当10,0a d ><时，满足10m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得n S 取得最大值为m S ；②当10,0a d <>时，满足10m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得n S 取得最小值为m S .19．已知数列{}n a 满足1a 1=，()121n n na n a +=+，设nn a b n=. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）12n nb -=；（2）()121nn S n =-+【分析】（1）由递推关系式可得数列{}n b 是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）利用错位相减法进行求和可得n S ． 【详解】（1）由()121n n na n a +=+，可得121n n a an n+=⋅+，即12n n b b += 则数列{}n b 是以1111a b ==为首项，2为公比的等比数列 ∴数列{}n b 的通项公式为12n n b -=（2）12n nn a b n-==，12n n a n -∴=⋅ 0121122232...2n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯则有()12312122232 (12)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯两式作差得：()00121212222 (22221212)n n n n n n n S n n n ---=++++-⨯=-⨯=--⨯-()121n n S n ∴=-+20．如图，设矩形ABCD (AB ＞BC )的周长为20cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P .设AB =x (cm )，DP =y (cm )，△ADP 的面积为S .（1）请用x 表示y ，并指明x 的取值范围； （2）求出S 的最大值及相应的x 的值. 【答案】（1）5010y x=-，510x <<；（2）52x =时，最大值为75502-【分析】（1）根据根据矩形几何知识，将BC 表示为10x -，即翻折后10CE x =-，再通过Rt CEP Rt ADP ≅转化，根据勾股定理列出方程，解得5010y x=-.由题中条件AB BC >，结合实际要求，得出05x <<；（2）将S 用x 表示，利用基本不等式求出其最大值，以及相应的x 的值. 【详解】解：（1）矩形ABCD 周长为20，其中一边AB x =∴另一边10BC x =-，由翻折可知10CE x =-，又易证Rt CEP Rt ADP ≅，EP DP y ∴==，且PC x y =- ∴在Rt CEP △中，由勾股定理得：222(10)()x y x y -+=-5010y x∴=-AB BC >，即100x x >->05x ∴<<故5010y x =-，05x <<； （2）115050(10)(10)=5[15()]22S AD DP x x x x=⋅=--⨯-+50502102x x x x+≥⋅= 当且仅当50x x=，即52x =时等号成立， 75502S ∴≤-故S 的最大值为75502-52x =.【点睛】关键点点睛：本题考查了基本不等式的实际应用问题，其中正确地列出表达式，找准基本不等式的结构以及成立的条件，是解题的关键. 21．已知函数()f x x x m =-.（1）若3m =，解不等式()2f x >；（2）若0m >，且()f x 在[]0,2上的最大值为3，求正实数m 的值. 【答案】（1）{|12x x <<或32x >⎪⎭；（2）12或【分析】（1）由3m =，得函数()3f x x x =-，然后分3x ≥和3x <两种情况讨论求解.（2）当0m >时，()22,,x mx x mf x x x m x mx x m⎧-≥=-=⎨-+<⎩，作出其图象，根据()f x 在[]0,2上的最大值为3，分22m <，(1222m m +<≤，(122m >三种求解讨论求解.【详解】（1）由3m =，得函数()3f x x x =-， 当3x ≥时，不等式()2f x >为2320x x -->，解得x >x <x >， 当3x <时，不等式()2f x >为2320x x -+<， 解得12x <<，此时12x <<，综上：不等式的解集是：{|12x x <<或32x >⎪⎭.（2）若0m >，()22,,x mx x mf x x x m x mx x m ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，作出其图象如图所示：由图象知，令224m x mx -=，解得(122m x =，当22m≤，即 4m ≥时，()()max 2423f x f m ==-+=，解得72m =，此时无解；当(12222m m +<≤，即 )4214m ≤<时，()2max324m m f x f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得3m =3m =-；当(1222m >，即 )0421m <<时，()()max 2423f x f m ==-=，解得12m =； 综上：正实数m 的值是12或23【点睛】关键点点睛：本题的关键是将函数转化为()22,,x mx x mf x x x m x mx x m⎧-≥=-=⎨-+<⎩，根据二次函数的图象和性质，由x m <时，()2max4m f x =，得到x m ≥时，224m x mx -=的x 的值, 22．数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，记数列{}n b 的前n 项和为n S .已知11221,a b a b a ==≠.（1）若k m b a =（,m k 是大于2的正整数）求证：11(1)k S m a -=-；（2）若3i b a =（i 是某个确定的正整数），求证:数列{}n b 中每个项都是数列{}n a 的项. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由11221,a b a b a ==≠可得：()11d a q =-，代入k m b a =整理得：()1111k b q a m d -=+-，即()121k m m q q --+-=，再利用等比数列前n 项和公式求出1k S -，化简即可求证；（2）利用231b a q =，()()()111111i a a i d a i a q =+-=+--，可得()()2111q i q =+--，即()2120q i q i --+-=，可求得2q i =-，进而可判定2i -是整数，即q 是整数，设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -*=∈，数列{}na 中的某一项()()()1111m a a m a q m N *=+--∈，只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即存在方程()()111111n a qa m a q -=+--中m 有正整数解即可，即可求证.【详解】（1）因为数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，11221,a b a b a ==≠，即11a d b q +=⋅，所以()11d a q =-，由k m b a =得：()1111k b q a m d -=+-，所以()()111111k b q a m a q -+--=，即()()()111211k m q m m qq -+--=-+-=，所以()()11111111(1)1k k a q a m m q S m a qq---⎡⎤---⎣⎦===--（2）231b a q =，()()()111111i a a i d a i a q =+-=+--，由3i b a =得()()2111q i q =+--，即()2120q i q i --+-=，解得：1q =或2q i =-，因为i 是某个确定的正整数，所以2i -是整数，即q 是整数， 设数列{}n b 中任意一项为()11n n b a qn N -*=∈，数列{}na 中的某一项()()()1111m a a m a q m N *=+--∈，现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即存在方程()()111111n a qa m a q -=+--中m 有正整数解即可，1221111n n q m q q q q ----==++++-，所以222n m q q q -=++++，若1i =，则1q =-，那么2111n b b a -==，222n b b a ==当 3i ≥时，因为11221,a b a b a ==≠，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因此数列{}n b 中任意一项为()11n n b a q n N -*=∈与数列{}n a 的第222n q q q -++++项相等，从而结论成立.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了数列的通项公式和数列求和问题，解题的关键点是由条件得出()11d a q =-，利用这个关系将k m b a =化简整理可得()121k m m q q --+-=，即可对1k S -化简，第二问关键是得出2q i =-是整数.。
江苏省泰州市2020-2021学年高二上学期期末调研测试数学试题(word版,含答案)
2020~2021学年度第一学期期末调研测试高二数学试题(考试时间:120分钟;总分:150分)一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知命题:,10,xp x R e x ∃∈--≤则命题p 的否定为().,10x A x R e x ∀∈--> B.∀x ∉,10xR e x -->.,10x C x R e x ∀∈--≥.,10x D x R e x ∃∈-->2.已知等差数列{}n a 前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列{}n a 的通项公式为().62n A a n =+ .62n B a n =- .42n C a n =+ .42n D a n =-3.在空间四边形OABC 中,,,,OA a OB b OC c ===且2,AM MB =则MC =()12.33A a b c --+21.33B a b c --+12.33C a b c +-21.33D a b c +- 4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射｡嫦娥五号是我国探月工程“绕､落､回”三步走的收官之战,经历发射入轨､地月转移､近月制动､环月飞行､着陆下降､月面工作､月面上升､交会对接与样品转移､环月等待､月地转移､再入回收等11个关键阶段｡在经过交会对接与样品转移阶段后,若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为200公里,远月点(离月面最远的点)约为8600公里,以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作,月球半径约为1740公里,则此椭圆轨道的离心率约为()A.0.32B.0.48C.0.68D.0.825.如果向量()()(2,1,3),1,4,2,1,1,a b c m =-=-=-共面,则实数m 的值是(-) A.-1B.1C.-5D.56.设抛物线28y x =的焦点为F,过点M(1,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|BF|=4,则|AF|=()7.2A B.3.7C5.2D 7.已知正项等比数列{}n a 的公比为q,前n 项和为,n S 则"q>1"是“46520S S S +->”的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要D.既不充分也不必要8.若0<x<y<z 且xyz=1,则下列关系式不一定成立的是(() A.lgy+lgz>0.224y z B +> 2.2C x z +>2.2D x z +>二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡9.已知双曲线C:221,84x y -=则下列说法正确的是() A.渐近线方程为2y x = B.焦点坐标为(23,0)± C.顶点坐标为(2,0)±D.实轴长为2210.设a,b,c ∈R,则下列结论正确的有() A.若a<b,c<0,则ac>bc1.2B a a+≥ C.若a<b<0,则11a b>222.()22a b a b D ++≤11.任取一个正整数m,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想")｡如取正整数m=3,根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过7个步骤首次变成1(简称为7步“雹程”)｡则下列叙述正确的是()A.当m=12时,经过9步雹程变成1B.当*2()km k N =∈时,经过k 步雹程变成1 C.当m 越大时,首次变成1需要的雹程数越大D.若m 需经过5步雹程首次变成1,则m 所有可能的取值集合为{5,32}12.已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 与抛物线交于A, B 两点,直线AM ⊥l 交x 轴于点M,直线BN ⊥l 交x 轴于点N,则下列结论正确的有(深) A.|AF|+|BF|=|AF|·|BF| B.|MF|+|NF|=|MF|·|NF| C.|AF|·|BF|的最小值为4D.|MF|·|NF|的最小值为16三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.已知直三棱柱111ABC A B C -中,1,,AB AC AB AC AA ⊥==点E,F 分别为111,AA A C 的中点,则直线BE 和CF 所成角的余弦值为____.14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点分别为12,,F F 若椭圆上存在一点P 使得12||2||,PF PF =则该椭圆离心率的取值范围是___.15.如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽｡它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的｡设其中的第一个直角三角形12OA A 是等腰三角形,且1122334781OA A A A A A A A A ======,它可以形成近似的等角螺线,记1238,,,,OA OA OA OA 的长度组成数列*{}(,18)n a n N n ∈≤≤,且11,n n n b a a +=+则n a =___(n ∈N *,1≤n ≤8),数列{}n b 的前7项和为___.16.已知正实数a,b 满足a+2b=1,则11a ba b+--的最小值为___. 四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 17.(本题满分10分)已知命题p:实数t 满足227120(0)at a a t -+<<,命题q:实数t 满足曲线221259x y t t+=++为椭圆｡ (1)若q 为真,求实数t 的取值范围;(2)若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围｡18.(本题满分12分)在2,n an n b a =⋅①|10|,n n b a =-②21n n n b a a +=③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成问题的解答｡问题:已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,22,a =且1481,,a a a +成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记______，求数列{}n b 的前n 项和.n S注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分｡19.(本题满分12分)已知点P(x,y)到定点F的距离与它到定直线:l y 点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设点Q(m,0)(m>1),若|PQ|求实数m的值｡20.(本题满分12分)2020年11月23日,贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列,这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫,这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽,全国脱贫攻坚目标任务已经完成,在脱贫攻坚过程中,某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后,为他家量身定制了脱贫计划,政府无息贷款10万元给该农户种养羊,每万元可创造利润0.15万元,若进行技术指导,养羊的投资减少了x(x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍｡现将养羊少投资的x万元全部投资网店,进行农产品销售,则每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元,其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润,求x的取值范围;(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润,求a的最大值｡21.(本题满分12分)如图,已知在四棱锥P- ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD=2AB= 2BC=2,PA=1,∠ABC=90°.(1)求直线PB与平面PCD所,成角的正弦值;(2)在线段PB 上是否存在点E,使得二面角E-AC-P 的余弦值33？若存在,指出点E 的位置;若不存在,说明理由.22.(本题满分12分)已知A,B 分别是双曲线E ：2214y x -=的左,右顶点,直线l (不与坐标轴垂直)过点N(2,0),且与双曲线E 交于C,D 两点.(1)若3,CN ND =求直线l 的方程;(2)若直线AC 与BD 相交于点P ,求证:点P 在定直线上.2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．13．2514．1[,1)315，11612四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为q为真，所以25090259ttt t+>⎧⎪+>⎨⎪+≠+⎩，解得9t>-；……………………4分（2）命题p：由227120t at a-+<得(3)(4)0t a t a--<，因为0a<，所以43a t a<<，设{}|43A t a t a=<<，{}|9B t t=>-，因为p是q的充分条件，所以集合A是集合B的子集，故有49a≥-，解得094a-≤<．……………………10分18．解：（1）因为1481,,a a a+成等比数列，所以2418(1)a a a=+设等差数列{}n a的公差为d，则有2111(3)(1)(7)a d a a d+=++①又22a=，所以12a d+=②联立①②解得111ad=⎧⎨=⎩所以n a n=……………………6分（2）选①，则2nnb n=⋅231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ (1) 23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ (2)(1)-(2)得23122222n n n S n +-=++++-⨯化简得1(1)22n n S n +=-⋅+ ……………………12分选②，则10n b n =-当10n ≤时，10n b n =-，(19)2n n n S -= 当10n >时，219180(9810)[12(10)]2n n n S n -+=++++++++-=综上2(19),10219180,102n n n n S n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ ……………………12分 选③，则1111()(2)22n b n n n n ==-++1111111111111[()()()()()()]213243546112n S n n n n =-+-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)n nnS n n n n +=+--=++++ ……………………12分19．解：（1|y = 化简得2213y x +=，∴曲线E 的方程为2213y x +=． (6)分（2）PQ ==11)PQ x =-≤≤ ①当12m-<-，即2m >时，min 1PQ m =+=1m =（舍）②当12m -≥-，即12m <≤时，2min 3362PQ m =+=，解得2m = 综上实数m 的值为2． ……………………12分20．解:（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510x x +-≥⨯， 整理得260x x -≤，解得06x ≤≤，又0x >，故06x <≤．………………5分（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875a x x -万元， 技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510x x +-万元， 则()()()0.150.8750.1510.2510a x x x x -≤+-恒成立， 又010x <<，∴5101.58x a x≤++恒成立， 又51058x x+≥，当且仅当4x =时等号成立， ∴0 6.5a <≤，即a 的最大值为5.6．答：（1）x 的取值范围为06x <≤；（2）a 的最大值为5.6．………………12分21．解：（1）以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,0,1)A B D C P(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CP CD PB =--=-=-不妨设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =则有00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩，取(1,1,2)m =设直线PB 与平面PCD 所成的角为α，则3sin cos ,m PB m PB m PB⋅=<>==⋅α 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为36………………6分 （2）假设线段PB 上存在点E ，使得二面角E AC P --的余弦值33设,[0,1]PE PB =∈λλ，则(,0,1)E -λλ 从而(,0,1),(1,1,0),(0,0,1)AE AC AP =-==λλ 设平面ACE 的法向量1111(,,)n x y z =则有1100AE AC n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111(1)00x z x y +-=⎧⎨+=⎩λλ，取1(1,1,)n =--λλλ设平面PAC 的法向量2222(,,)n x y z =则有2200AP A n C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22200z x y =⎧⎨+=⎩，取2(1,1,0)n =-121212cos ,2n n n n n n ⋅<>===⋅ 解之得23=λ或2=λ（舍） 故存在点E 满足条件，E 为PB 上靠近点B 的三等分点． ………………12分 22．解：设直线l 的方程为2+=my x ，设()()2211,,,y x D y x C ，把直线l 与双曲线E 联立方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14222y x my x ，可得()012161422=++-my y m ，则1412,1416221221-=--=+m y y m m y y ， ………………3分 (1)()()2211,2,,2y x y x -=--=,由3=，可得213y y -=， 即14822-=m m y ①，14123222-=-m y ②, 把①式代入②式,可得14121483222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m ，解得2012=m ，105±=m ， 即直线l 的方程为05452=--y x 或05452=-+y x ． ………………7分 (2)直线AC 的方程为()1111++=x x y y ，直线BD 的方程为()1122--=x x y y ， 直线AC 与BD 的交点为P ,故()1111++x x y ()1122--=x x y ，即()1311++x my y ()1122-+=x my y ， 进而得到121221311y y my y y my x x ++=-+，又()212143y y y y +-=，故()()339343343112121121221-=-+-=++-++-=-+y y y y y y y y y y x x ，解得21=x 故点P 在定直线21=x 上． ………………12分。