离散变量的最优化方法

7.4 凑整解法与网格法（续）
图中A、B两点分别表示二维离散变量优化问题 凑整法中的连续最优点与离散最优点。
7.4 凑整解法与网格法（续）
凑整法可能出现的两个问题：
1、与连续最优点A最接近的离散点B落在可行域外，不可 以接受；
2、与连续最优点A最接近的离散点B并非离散最优点C， 点B仅是一个工程实际可能接受的较好的设计方案。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
p个离散变量全部可取的离散值的集合称为p维 离散变量的值域，可用一个p*l阶的矩阵Q来表示
q11 q12 q1l
Q
q21
q22
q2l
q p1
qp2
q
pl
pl
l为各离散设计变量可取离散值个数中的最大值
注：①因为离散变量是有限个,所以离散空间是有界的。 ②某个离散变量的取值不足l个，其余值可用预先 规定的自然数补齐。
UN
(
X
)
X
xi
i , xi , xi
i , i 1, 2,...p)
X xi i , xi , xi i , i p 1, p 2,...n)
7.3 离散最优解（续） 图示为二维设计空间中离散点X的离散单位邻域
UN(X ) A, B,C, D, E, F,G, H, X
一般情况下，设离散变量
X(k)点 若可行，则计算目标函数值f(X(k))，并与以前计 算取得的可行最好点x(l)比较,若f(X(k))<f(X(l)),则 将X(k)作为新的最好点
继续检查所有的全部离散点后，其最好点就是该 优化问题的最优解X**。
优点：原理简单
缺点：设计变量维数n以及每个变量离散值数目很 多时，计算量大。
x(3)是离散最优点。
● X(3)
● X(2)
● x*
● X(1)
0
x1
§7.2 离散变量优化设计的基本概念
一、离散设计空间 1、一维离散设计空间
qij-1
●
qij
qij+1
●
●
Xi
i
i
在一条表示变量的坐标轴上的一些间隔点的集 合，这些点的集合称为离散设计空间；
这些点的坐标值是该变量可取的离散值，这些点 称为一维离散设计空间的离散点。
7.5 离散复合形法（续）
一、初始离散复合形的产生 1、初始离散点的确定
用复合形法在n维离散设计空间搜索时，通常取 初始离散复合形的顶点数为k=2n+1个。先给定一个 初始离散点X(0)，X(0)必须满足各离散变量值的边界 条件，即：
xiL
x(0) i
xiU
(i 1, 2,..., n)
xiL 、xiU 分别是第i个变量的下限值和上限值。
离散点： ，qij1 , qij , qij1, i 1,2,, n j 1,2,, l代表离散点个数；
离散间隔： i ，i 只有在均匀离散空间中 ：i i
XD x1, x2,, xp T R p
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
2、二维离散设计空间
二维连续设计变量的设计空间是代表该两个 变量的两条坐标轴形成的平面；
资最小。
8.1 引 言（续） 三、传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变 量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到 离散值上。
弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是 离散最优解。
8.1 引 言（续）
x*是连续变量的最优点；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可行；
x2
x(2)是最近的可行离散 点，但不是离散最优点；
x( j) i
ai
ri( j) (bi
ai )
i 1, 2, , n ; j 2,3, , k
将第q+1点朝着点X (s)的方向移动，新点X (q+1)为： X(q+1)= X(s)+0.5 (X(q+1)—X(s))
X (r) X (c) (X (c) X (h))
反射系数的初值一般取 1.3
li 为欲取离散值的个数。
xi坐标轴上的第j个拟离散点为：xij，
其相邻两个拟离散点为：xij i，xij，xij i
7.3 离散最优解
由于离散设计空间的不连续性，离散变量最优点与 连续变量最优点不是同一概念，必须重新定义。
1．离散单位邻域（UN(X))
在设计空间中，离散点X的单位邻域UN(X)是 指如下定义的集合。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
4、P维离散设计空间 对于p维离散变量，过每个变量离散值作该变量
坐标轴的垂直面，这些超平面的交点的集合就是p维
离散设计空间，用R表p 示。
而这些交点就是p维离散设计空间中的离散点，用
x D表示。
X D x1, x2 ,
,
xp
T
Rp
P 个离散设计变量组成P维离散设计空间。
7.5 离散复合形法
离散复合形法是在求解连续变量复合形法的基础 上进行改造，使之能在离散空间中直接搜索离散点， 从而满足求解离散变量优化问题的需要。
基本思想： 通过对初始复合形调优迭代．使新的复合形不断向
最优点移动和收缩，直至满足一定的终止条件为止。
特点：复合形顶点必须是可行的离散点。
连续变量的复合形法
整型变量可看作为是离散间隔恒定为1的离散变 量。是离散变量的特例。
2、连续变量的离散化 有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转
化为拟离散变量。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
3、连续变量离散化的方法
i
xiu li
xil 1
i p 1，p 2，，n
其中： xiu，xil 为连续变量xi的上、下界，
连续设计空间为 XC xp1, xp2,, xn T Rnp
若Rp为空集时，Rn为全连续变量设计问题； 若Rn-p为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
在机械优化设计中．常见的约束非线性离散变
量最优化问题的数学模型为：
min f (X ) D
D X gu ( X ) 0 (u 1, 2,...m)
5、离散全域最优解 若 X **D，对所有 X D 恒有 f (X **) f (X )
则称X**是离散全域最优点
7.3 离散最优解（续）
严格说来，离散优化问题的最优解应 是指离散全域最优点而言，但它与一般的 非线性优化问题一样，离散优化方法所求 得的最优点一般是局部最优点，这样通常 所说的最优解均指局部最优解。
x2
A
B
●
●
的维数为p，则UN(X)内的离 C 散点总数为N=3p(p次方）
●
D ● i
εix
●
εi
i
E
●
●
●
F
G
●
H
0
7.3 离散最优解（续） 2、离散坐标邻域（UC(X))
在设计空间中离散点X的离散坐标邻域UC(X)是指 以X点为原点的坐标轴线和离散单位邻域UN（X）的 交点的集合。
图示离散坐标邻域为：
在调优迭代运算中必须保持复合形各顶点的可行 性，故如果有部分顶点落在可行域外面，则需将其移 入可行域之内。
定义离散复合形的有效目标函数 f (X ) 为：
X
X
D
X C
X
D
x1,
T
x2 ,...xp
RD
XC
T
xp1, xp2 ,...xn
RC
N—设计变量维数；m—不等式约束条件个数 P—离散变量的个数； XD—离散子空间；RD—离散变量子集； XC—连续子空间；RC—连续变量子集；
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
二、非均匀离散变量和连续变量的均匀离散化处理 1、整型变量的离散
x x (n j1) (0)
i
i
(i 1,2,...,n;i j; j 1,2,...,n) 上下限约束边界上。
x(n j
j 1)
xUj
(i 1,2,...,n)
7.5 离散复合形法（续）
二、约束条件的处理 由于初始复合形顶点的产生未考虑约束条件，此时
产生的初始复合形顶点可能会有部分甚至全部落在可 行域 D的外面。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
4、N-P维连续设计空间 N个设计变量中有P个离散变量，此外有N-P个 连续变量。
N-P维连续设计空间
XC xp1, xp2,, xn T Rnp
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
4、N维设计空间 Rn R p Rn p
其中：离散设计空间为 XD x1, x2,, xp T R p
7.3 离散最优解（续） 三、收敛准则
设当前搜索到的最好点为x(k)，需要判断其是否收 敛。 在x(k)的单位邻域中查3n – 1个点，若未查到比x(k) 的 目标函数值更小的点，则收敛，x*=x(k) 。
7.4 凑整解法与网格法 一、凑整解法
解决离散变量的优化问题很容易考虑为；将离 散变量全都权宜地视为连续变量，用一般连续变量 最优化方法求得最优点（称为连续最优点），然后 再把该点的坐标按相应的设计规范和标准调整为与 其最接近的整数值或离散值，作为离散变量优化问 题的最优（称为离散最优点）的坐标．这便构成离 散变量最优化问题的凑整解法。
二维离散设计空间则 是上述平面上的某些 点的集合；
这些点的坐标值分别离 散变量可取的离散值．称 为二维离散设计空间的离 散点，
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续） 3、三维离散设计空间
对于三维离散变量，过每个变量离散值作该变 量坐标轴的垂直面．这些平面的交点的集合就是 三维离散设计空间。