高思竞赛数学导引-五年级第十一讲-约数和倍数学生版汇编
高思数学_5年级上第10讲约数、倍数初步(彩色)
高
思
5400 共有多少个约数？求出所有约数乘积的质因数分解
教
在数字较小的时候，可以利用配对法进行枚举，当数比较大的时候，利用公式就会
育
63
五 年 级
上册第 10 讲
有奇数个，它的所有质因数的指数加 1 就都得是奇数，即每一个质因数的指数都是偶数． 例如：4 = 22 ， 400 = 24 × 52 ， 90000 = 24 × 32 × 54 ，…… 不难看出 4、36、400、90000 这些数都是完全平方数．原因就在于它们所含的每个 质因数，其指数都是偶数． 关于平方数和约数个数之间的关系，我们有如下的结论： 含有奇数个约数的数是完全平方数，含有偶数个约数的数不是完全平方数． 如果一个数不是完全平方数，它的所有约数刚好可以配对，而且每一对的乘积都是 这个数本身． 对于完全平方数，我们可以按如下方法计算其所有约数的乘积．36 是一个完全平方 数，它的所有约数有 9 个．其中除了 6 以外，另 8 个约数可以配成 4 对，积为 4 个 36 相 乘．所以 36 的所有约数乘积是 36 × 36 × 36 × 36 × 6 = 69 ．
例题 3
数的约数个数多 1．这两个数分别是多少？
数，2800 的约数中哪些数有奇数个约数呢？
练习
3. 两数乘积为 2100，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数的 2 倍还多 1．这两个数分别是多少？ 下面， 继续来学习公约数与公倍数的概念．顾名思义， 公约数就是几个数公共的约数， 其中最大的一个称为最大公约数； 公倍数就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为 最小公倍数．特别地，1 为所有数的公约数． 通常，我们把两个数 a、b 的最大公约数记为 (a , b ) ； a、b 的最小公倍数记为 [a , b ]． 三个数 a、b、c 的最大公约数记为 (a , b , c ) ； a、b、c 的最小公倍数记为 [a , b , c ] ． 求几个数的最大公约数与最小公倍数，常用的方法有如下几种： 短除法、分解质因 数法、辗转相除法． 分解质因数的方法比较实用， 也利于我们分析数的构成， 所以本讲将重点讲解这种办法：
高思竞赛数学导引-五年级和差倍分问题学生版汇编
学习-----好资料第6讲和差倍分问题内容概述在和差倍问题中引入“分数倍”的概念，并理解其含义。
解题中应合理选取单位“1”，题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键。
典型问题兴趣篇5，其余都是手榴弹。
由于遇上敌军伏枚弹药送到前线，其中炮弹占了1、运输连要将450923，而手榴弹只剩下击，炮弹损失了，送到是还剩多少枚弹药？582、学校举行新年自助餐会，一共准备了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁。
1，但可乐的数量却没有改变。
如果此时饮料还剩果汁已经减少了872瓶，那一个小时后，5么可乐的数量是多少瓶？11，黄球占总球数的，绿、口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。
其中红球占总球数的334个。
口袋里一共有几个球？球比黄球多505，现在已完成计划的、游戏公司计划生产一批限量版的游戏机。
4如果再生产340台，总121，原计划生产多少台？产量就超过计划的8更多精品文档．学习-----好资料11，第二天完成了剩下部分的，前5、一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的53 56个。
请问：这批零件共有几个？两天一共完成了1，第二车间的人数、红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的621，第三车间有105是第一、三车间人数和的人。
求该厂工人的总数。
311，丙桶中的水比甲桶中的少。
7、甲桶中的水笔乙桶中的多请问：乙、丙两桶哪桶水多？55如果把三桶水倒入一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？35，竹林占圆形的6-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的，正方形和圆形、图847的公共部分是水池。
已知竹林的面积比草地的面积少450平方米。
问：水池的面积是多少平方米？3阿奇的科普书数量是小悦的。
后来小悦送给阿奇11、阿奇和小悦都有很多科普书，9本书84后，阿奇的科普书数量就变成了小悦的。
原来阿奇比小悦少多少本书？7更多精品文档．学习-----好资料2，后来又来了12、课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的10个女生，使得女93，操场上现在有多少名同学？生人数达到男生人数的7拓展篇1、等候公共汽车的人整齐地排列成一列，阿奇也在其中。
高斯小学奥数五年级下册含答案第11讲_正反比例的概念与应用
第十一讲正反比例的概念与应用- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -本讲我们来学习两种特殊的数量关系：正比例关系和反比例关系．看到题目你一定很好奇什么才是正比例关系？什么才是反比例关系呢？我们先来看一个具体的例子．某汽车行驶的时间和路程如下表：同学们可以考虑这样几个问题：表中有哪两个量？它们是不是有关联的？写出几组这两种量的比，并比较比值的大小．说一说这个比值表示什么？从表中我们可以看出，路程和时间都是变化的量，并且时间越大，路程也越大，它们的比值是一定的．像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系，或者简写为成正比．我们再来看另外一个例子：王老师买来一些巧克力，准备分给同学们．从表中我们可以看出，学生数和每个人分得的巧克力数都是变化的量，并且学生数越多，每人分得的巧克力数就越少，它们的乘积是一定的．像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系，或者简写为成反比．在实际应用过程中，我们常常用到这样一些结论．如果两个量成正比，例如：=⨯总价单价数量，当单价一定的时候，总价比等于数量比，即1212::=总价总价数量数量．如果两个量成反比，例如：=⨯路程速度时间，当路程一定的时候，速度比等于时间比反过来，即1221::v v t t =．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（1）阿呆和阿瓜，一起去超市买可乐，可乐的价钱相同．阿呆买了12瓶，阿瓜买了15瓶，问阿呆和阿瓜所花的钱数比为____________．（2）灰太狼和红太狼从狼堡去羊村，红太郎用了18分钟，灰太狼只用了12分钟，问红太狼和灰太郎的速度比为____________．（3）小高、墨莫和卡莉娅三人一起去爬灵山，从山脚出发，约好在山顶见面．小高从山脚爬到山顶用了40分钟，墨莫和卡莉娅分别用了1小时20分钟和120分钟，问小高、墨莫和卡莉娅的速度比为____________．分析：题目中的各个量之间是成正比例还是反比例关系？练习1．（1）喜羊羊和沸羊羊进行百米赛跑，喜羊羊跑完全程用了10.5秒，沸羊羊用了12秒，问喜羊羊和沸羊羊的速度比为____________．（2）甲、乙、丙三人各自独立做同一件工程，效率比为2:3:4，那么完成的时间比为____________．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -齿轮在机械装置中是很常见的一种零件，如图是钟表中的一些齿轮图．如果两个齿轮A、B相互咬合，那么齿轮A的齿数乘以齿轮A转过的圈数等于齿轮B的齿数乘以齿轮B转过的圈数．即两个相互咬合的齿轮它们的齿数比与圈数比成反比．钟表中的齿轮1 钟表中的齿轮2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -如图，有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．如果A齿轮转动7圈时，B齿轮恰好转动5圈；B齿轮转动7圈时，C齿轮恰好转动10圈．请问：这三个齿轮的齿数之比是多少？（注：图片只是示意图，并不代表实际齿数）分析：观察图形，当两个齿轮相互咬合的时候，它们的齿数和转动圈数有什么关系？练习2．有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．这三个齿轮的齿数之比3:4:5．当A、C两个齿轮一共转动64圈时，B齿轮一共转动了多少圈？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 利用正反比，我们常常可以解决一些生活中的问题，下面我们来看看这样的题目．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题3．一天，卡莉娅拿着妈妈给她的钱去超市买苹果，平时每斤苹果5元钱，当她到超市的时候发现，由于打折促销，苹果变为每斤4元钱，于是卡莉娅多买了3斤苹果．问妈妈给了卡莉娅多少钱？分析：卡莉娅带的钱是固定的，那么苹果的价格和重量之间有什么关系？练习3．一个旅游团租车出游，平均每人应付车费40元．后来又增加了8人，这样每人应付的车费是35元．总租车费是多少元？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在行程问题中，速度×时间＝路程．当路程一定时，时间和速度成反比．与之类似的，在工程问题中，效率×时间＝工作量．当工作量一定时，时间和效率成反比．正反比在行程、工程问题中有着广泛的应用．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -小高从家去高思学校，可以骑车也可以步行，骑车比步行每分钟快150米，骑车所用的时间比步行时间少35，那么小高每分钟步行多少米？分析：当行驶路程固定的时候，如何把速度的变化与时间的变化联系起来呢？练习4．完成一件工程，甲的工作效率比乙的工作效率高27，单独做，甲比乙少用4天完成整件工程，问乙单独完成这件工程用多少天？例题5．墨莫最近在看文学名著《战争与和平》，计划20天看完．实际上，在看了500页之后，由于情节精彩，每天比原来多看了14，结果提前3天看完全书．问这本书共有多少页？分析：书的页数是固定的，那么每天看的页数和看书的天数之间有什么关系？例题6．某工程，可由若干台机器在规定的时间内完成．如果增加2台机器，则只需用规定时间的7 8就可做完；如果减少2台机器，那么就要推迟1小时做完．则由一台机器去完成这工程需要多长时间？分析：工作总量是固定的，那么如何把工作效率的变化与工作时间的变化联系起来呢？谚语的智慧——节选自《怎样解题》乔治·波利亚解题是人类的一项基本活动．有些人在达到目标和解答题目方面比较成功，另一些则没有那么成功．这些差异被注意到了，并进行了探讨和评论，某些谚语看来保留了这种评论的精华．1.我们解题时必须做的第一件事是理解题目：知敌方能应敌．我们必须清楚地看到我们所要达到的目的：想清目标再动手．这是老生常谈了，不幸的是，并非每个人都听从这样一条好的建议，人们常常在还没有真正理解他们所应该努力的目标之前，就开始推测、谈论，甚至鲁莽行事．愚者只看脚下，智者紧盯目标．然而光理解题目是不够的，我们还必须渴望求出它的解答．如果没有强烈的解题愿望，我们就不可能解出一道难题，只有具备这样的愿望，才有可能解出它．有志者事竟成．2.设计一个方案，构思一条适当行动的思路，是解题中的主要成就．一个好的思路是一个好运、一个灵感、一份神赐的礼物，我们必须受之无愧：勤勉是幸运之母．坚持就是胜利．一口吃不成胖子．出师不利，再三尝试．然而反复尝试是不够的，我们必须试着用不同的方法，变化我们的尝试．千方百计．条条大路通罗马．3.我们应该在适当的时候，即在我们的方案成熟的时候，才开始执行它，而不要提前．我们不能轻率行事．三思而后行．试验在先，相信在后．巧施援手，确保安全．另一方面，我们也不应犹豫太久．不入虎穴，焉得虎子．做最可能的事，抱最大的希望．全力以赴，天助人愿．4.回顾已经完成的解答是工作中的一个重要且有启发性的阶段．不爱再思索的人，必定不善思索．多思出上策．重新检验解答后，我们可能会对结果更加坚信．但必须向初学者指出，这种额外的验证是有价值的，两个证明要比一个好．抛两个锚停泊更安全．不要相信一切，只怀疑值得怀疑的．当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看；它们总是成群生长．谚语，体现了人们的智慧与高尚．作业1.小灰灰和喜羊羊同时从羊村出发去狼村，小灰灰的速度为16米/秒，喜羊羊的速度为12米/秒，问小灰灰和喜羊羊所用的时间比是多少？作业2.小小、红红、豆豆三人各自独立做同一件工作，分别用时10分钟、20分钟、30分钟，那么他们的效率比是多少？作业3.有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．如果A齿轮转动3圈，B齿轮恰好转动5圈；B齿轮转动6圈，C齿轮恰好转动4圈．请问：这三个齿轮的齿数之比是多少？作业4.一天，小高拿着爸爸给他的钱去超市买可乐，平时每瓶可乐3.5元钱，当他到超市的时候，正巧碰到优惠活动，可乐变为每瓶3元钱，于是小高多买了1瓶可乐．那么爸爸给了小高多少钱？作业5.小东每天步行上下学，去的时候每秒走2米，回来的时候每秒走1.2米，上下学共用时24分钟，那么小东家到学校的距离是多少米？第十一讲正反比例的概念与应用例题1.答案：（1）4:5．（2）2:3．（3）6:3:2．详解：小高、墨莫和卡莉娅三人所用时间比为40:80:1201:2:3=，所行路程相同，可设为“6”份，由此可得速度比为6:3:2．例题2.答案：50:70:49详解：相互咬合的齿轮，它们的齿数与圈数成反比．A、B两个齿轮它们的圈数比为7:5，齿数比为5:7，B、C两个齿轮它们的圈数比为7:10，齿数比为10:7，由此可得A、B、C三个齿轮的齿数比为50:70:49．例题3.答案：60元详解：卡莉娅所带的钱数一定，因此所购买苹果的单价与斤数成反比．打折前后的单价比为5:4，则斤数比为4:5，“1”份对应的是3斤，打折前可购买12斤，打折后可购买15斤，妈妈给了卡莉娅60元钱．例题4.答案：100米详解：设步行的时间为“5”份，骑车所用的时间比步行时间少35，则骑车所用的时间为“2”份．骑车与步行的时间比为2:5，则速度比为5:2．又知骑车比步行每分钟快150米，则“1”份为150(52)50÷-=米/分，步行速度为100米/分．例题5.答案：2000页详解：如下图，先比较看了500页之后的情况．实际效率比计划提高14，设计划效率为“4”份，则实际效率为“5”份．效率比为4:5，时间比为5:4，3天对应“1”份，计划用时15天．这15天是看完500页后的计划时间，而全书计划看20天，因此看500页计划用5天，每天看100页，全书共2000页．例题6.答案：84详解：首先可以明确每台机器的效率一样，机器越多则效率越高．从第一个条件可知，完成相同的工作量，增加机器前后的时间比为8:7，则效率比为7:8．机器的台数与效率成正比，因此台数比也为7:8，2台机器对应一份，实际上有14台机器．如果减少2台的话，还剩下12台机器．台数比为14:12，即7:6，那么效率比也为7:6，时间比为6:7，1小时对应“1”份，减少前用时6小时，即完成这件工程14台机器需工作6小时，则1台机器需工作84小时．练习1. 答案：（1）8:7；（2）6:4:3简答：（1）喜羊羊和沸羊羊用的时间比是10.5:12=7:8，那么速度比是8:7； （2）设这件工程的工作量为12份，那么三人完成工程所用的时间比为121212::6:4:3234=． 练习2.答案：30简答：三个齿轮的齿数之比为3:4:5，设转过的长度为“60”，由此可得圈数比为20:15:12．A 、C 两个齿轮一共转动64圈，由此可求出“1”份对应2圈，B 齿轮一共转动了30圈． 练习3.答案：2240简答：总租车费不变，每人应付车费和人数成反比．前后应付车费之比是40:35=8:7，那么人数之比为7:8．由此可知原来有56人，后来变成64人．总租车费为40562240⨯=元． 练习4.答案：18简答：甲乙的工作效率之比是9:7．完成同一件工程，两人所需的时间之比是7:9．那么乙单独完成需要()497918÷-⨯=天．作业1. 答案：3:4简答：路程一定，时间与速度成反比．作业2. 答案：6:3:2简答：工作量之比为1:1:1，时间比为1:2:3．效率比为6:3:2．作业3. 答案：10:6:9简答：互相咬合的齿轮转过的齿数是相同的，所以齿数与圈数成反比．A 与B 的齿数比为5:3，B 与C 的齿数比为2:3，那么三个齿轮齿数之比为10:6:9．作业4. 答案：21简答：总钱数不变，单价与瓶数成反比．单价比为7:6，可知瓶数比为6:7．那么本来可以买6瓶，小高带了21元．作业5. 答案：1080简答：去与回的路程相同，所用时间与速度成反比．去与回的时间比是3:5，那么去用了9分钟，距离为96021080⨯⨯=米．。
五年级奥数约数与倍数(一)学生版
1. 五年级奥数约数与倍数（一）学生版2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念[1]约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；[2]公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”；[3]最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；[4]0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632,所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．[如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的]．例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以知识点拨教学目标5-4-1.约数与倍数（一）n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数[1]倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数[2]公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数[3]最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第11讲-和差倍分问题
水面
乙 丙
水 深
图11-2
【拓展篇例12】高思学校竞赛数学导引P67页
小高和墨莫一起玩游戏牌，开始时小高手里的牌数是墨莫手里牌数 的������������；玩了若干局后，小高赢了墨莫的20张牌，此时小高手里的牌数 反而是墨莫手里牌数的������．请问：小高此时一共有多少张牌？
������
【拓展篇例13】高思学校竞赛数学导引P67页 口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的������������������．后来又放了8个 红球，这时红球占了总球数的������，现在口袋里有多少个球？
第一口 第二口 第三口 第四口 第五口
喝掉
������
������
������ ������
×
������������=������������
������ ������
×
������������=������������������
������ ������
×
������������=������������������
话说到了发工钱的日子，抠门的老地主为了克扣工人们的工钱，想出
了一个非常卑鄙的办法。
地主：我亲爱的朋友们，今年收成实在是不好，你们看这里有120枚
金币，我们今年改变一下分配方式，我拿������
������
，小王拿������
������
，小高拿������������.
聪明的小高一下就明白地主的意图了
������
总人数的������．从前往后数，小高排在第几个？
������
������
������
������
������
【拓展篇例2】高思学校竞赛数学导引P65页 五年级原来有学生325人，新学期男生增加25人，女生减少了������������������， 结果总人数增加了16人．请问：现有男生多少人？
五年级下册数学试题——五升六讲义第10讲 约数与倍数(奥数版块)(不含答案) 北师大版(2014秋)
第十讲倍数与约数一、最大公约数知识点:几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个公约数叫做这几个数的最大公约数。
我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
一个自然数的约数个数为奇数个时,这个自然数是完全平方数.求约数个数与所有约数的和的公式:1、求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)2、求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323++++++++=(1222)(13)(1555)(17)74880例题1、12和15的公约数有哪些？其中最大的公约数是多少?练习1、a=3×5×7，b=3×5×13，c=3×5×17,这三个数的最大公约数是多少？例题2、(1)360的约数一共有多少个。
它所有约数的和是多少？(2) 在1到100的所有自然数中，约数个数是奇数个的数一共有多少个？练习2、（1）105有几个约数?它们的和是多少?（2）1—100中只有三个约数的有哪些，这些数的和是多少？例题3、一张长方形的纸，长75厘米，宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？练习3、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？例题4、一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。
高思竞赛数学导引-五年级第十一讲-约数和倍数学生版汇编
学习-----好资料第11讲约数与倍数内容概述掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题．典型问题兴趣篇1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数．2．(1) 20000的约数有多少个？(2) 720的约数有多少个？3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260].4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；(2)求3553，3910和1411的最大公约数．6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最更多精品文档．学习-----好资料小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？拓展篇1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1．这两个数分别是多少？4．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36].5．1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？6．张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？7．一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？8．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？9．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？10．有4个不同的正整数，它们的和是1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？11．甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126.请问：甲数是多少？更多精品文档．学习-----好资料12．甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是12.请问：甲、乙两数之和是多少？超越篇1．360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？2．求出所有恰好含有10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和．aa bb与c的最小公倍数都是100，而且a 与c、≤3．已知b与，的最大公约数是4．满足条件的自然数a、b、c共有多少组？4．所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？5．自然数n是1，2，3，…，10的公倍数，而且它恰有72个约数，n的最小值是多少？11千米，中圈跑道长．三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处．里圈跑道长千米，外6453千米．甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开始时，圈跑道长81三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑3千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．他2们同时出发．请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？更多精品文档．。
高思竞赛数学导引-五年级第八讲-直线型计算二学生版
第8讲直线形计算二内容概述进一步学习直线形面积公式酌运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进展互相转T七；初步学习添加协助线酌分析方法．典型问题爱好篇1．如图8-1，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图8-2所示（单位：平方米），剩下一块的面积应当是多少平方米？3．如图8-3，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC 是EC的3倍，三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？4．如图8-4，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD 的2倍，三角形ABC的面积为36平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米？5．如图8-5所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近日点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？6．如图8-6，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？7．如图8-7，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影局部的面积是多少平方厘米？8．如图8-8，将一个长为18的长方形，分成一个三角形与一个梯形，而且梯形的面积是三角形的5倍．三角形ABE的边BE的长是多少？9．如图8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加3与5厘米，结果面积增加了71平方厘米（阴影局部）．原正方形的面积为多少平方厘米？10．如图8-10，四边形ABCD内有一点D，D点到四条边的垂线都是4厘米，四边形的周长是36厘米，四边形的面积是多少平方厘米？拓展篇1．如图8-11，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平方米．其余4个长方形的面积分别是多少平方米？2．图8-12中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD是AE的3倍，三角形ABE的面积是多少平方厘米？3．如图8-13，在四边形ABCD中，已知CD=3DF，AE=3ED，而且三角形BFC的面积为6平方厘米，四边形BEDF 的面积为7平方厘米．大四边形ABCD的面积是多少？4．如图8-14，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？5．如图8-15，E是AB边上靠近A点的三等分点，梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的5倍．请问：梯形的下底长是上底长的几倍？6．如图8-16，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，则蓝色三角形的面积是多少平方厘米？7．图8-17中，正方形ABCD的面积为1．把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方形内部的某一点P相连接，形成4个阴影的四边形与4个空白的三角形，阴影局部的总面积是多少？8．如图8-18，在梯形ABCD中，E是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为35平方厘米，三角形ABD的面积为13平方厘米．三角形BCE的面积为多少平方厘米？9．在图8-19中，正方形ADEB与正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6与4．三角形ACG与三角形BDF的面积分别是多少？10．图8-20是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成，有一条与AB边平行的直线EF将此图形分成面积相等的两局部，则BF的长度为多少厘米？11．(1)如8-21中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米与4厘米，结果面积增加了50平方厘米（阴影局部）．原正方形的面积为多少平方厘米？(2)如8-21中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别削减3厘米与5厘米，结果面积削减了65平方厘米（阴影局部）．原正方形的面积为多少平方厘米？12.如图8-22，直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF，E点恰好在AB边上，直角边AC长20厘米，BC长12厘米．正方形的边长为多少厘米？超越篇1．如图8-23，三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形．恳求出CE与CF的长度之与．2．如图8 -24，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH.假如ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？3．图8-25中ABCD是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）．过，点的线段IM将五边形EFGHI分成面积相等的两局部．线段BM的长度是多少厘米？4．如图8 -26，在钝角三角形ABC中，M为AB边的中点，MD、EC都垂直于BC边．若三角形BDE的面积是3平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？5．在图8 -27中，大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米，大正方形面积是多少平方厘米？6．如图8-28，直角三角形ABC的三边长分别为AC= 30（分米），AB=18（分米），BC= 24（分米），ED垂直于AC，且ED= 95（厘米）．问正方形BFEG的边长是多少厘米？7．菜鸟与大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位，三百回合大战后，两人不分输赢．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖，说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾快速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“瞠”的一声，飞镖被劈成了两半，如图8-29，菜鸟的飞镖是正六角星的形态，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，则较小的那局部残片占到整风光积的几分之几？8．如图8-30，将三个边长为l的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中心．请问：图中阴影局部的面积是多少？。
高思竞赛数学导引五年级第四讲包含与排除学生版
高思竞赛数学导引五年级第四讲包含与排除学生版第4讲包含与排除内容概述有重叠部分酌若干对象的计数问题．能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题．典型问题兴趣篇1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？5．如图4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E 的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？9．操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有多少名？10．学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项．根据报名的人数，学校决定对象棋的前9名、围棋的前10名和军棋的前11名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？拓展篇1．在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？2．五年级二班有40名同学，其中有25:人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？3．在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？4．渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．参加长跑比赛的有150名男生和90名女生，参加游泳比赛的有120名男生和70名女生，有110名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？5．森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种．爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜．如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？6．三位基金经理投资若干只股票．张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过其中23只．张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有13只，李经理和张经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只．请问：这三位经理一共买过多少只股票？7．唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难．请问：师徒四人共同渡过的有多少难？8．培英学校有学生1000人，其中有500人订阅了《中国少年报》，有350人订阅了《少年文艺》，有250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人．请问：培英学校有多少人没有订报？9．五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍．求参加文艺小组的人数．10．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本，问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？11五年级三班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有22人，参加英语竞赛的有20人．如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？12．甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事．已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事．请问：(1)甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？(2)如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？超越篇1．森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜．其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？2．育才小学匦展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画．其他年级的画共有多少幅？3．巨人学校有105名男生和75名女生参加数学竞赛，有95名女生和85名男生参加作文竞赛．已知该校一共有280名学生参加了竞赛，其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同．请问：只参加数学竞赛的女生有多少人？4．冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片．回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里，爸爸认为应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了37张照片放到了自己的相册，妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的45张照片都拿出来放到了自己的相册．请问：究竟是妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影多？多几张？5．一次测验共有5道试题．测试后统计如下：有81%的同学做对第1题，有85%的同学做对第2题，有91%的同学做对第3题，有74%的同学做对第4题，有79%的同学做对第5题．如果做对3道或3道以上试题的同学为考试合格，请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？6．五年级一班有22人参加语文竞赛，32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有12人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有14人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有15人．请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？7．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问：(1)恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？(2)恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？8．一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米划一个刻度，每隔3厘米划一个刻度，每隔5厘米划一个刻度，每隔7厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？。
高斯小学奥数五年级上册含答案_第10讲_约数与倍数
第十讲约数与倍数在前面的章节，我们学习了数论中的整除和质数合数等知识．今天，我们来学习数论中有关约数与倍数的知识．约数和倍数的定义是这样的：对整数a和b，如果|a b，我们就称a是b的约数（因数），b是a的倍数．=⨯=⨯=⨯，根据定义，我们很容易找到一个数的所有约数，例如对12：因为121122634可知12可以被1、2、3、4、6、12整除，那么它的约数有1、2、3、4、6、12，共6个．从上面12的分拆可以看出，约数具有“成对出现．．．．”的特征，也就是：最大约数对应最小约数、第二大约数对应第二小约数等．所以在写一个数的所有约数时，可以逐对写出．另外如果计算较大约数不太方便，可以转而计算与其成对的较小约数．例题1．12345654321的第三大约数是多少？「分析」第三大约数有点大，那我们可以先求出第三小的约数，再根据它计算第三大的约数．12345678987654321的第二大约数是多少？从上面的分析知，可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数，从而可就算出它的约数个数．但是对很大的数，例如20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算．以72为例，首先采用枚举可知72共12个约数，分别为1、72；2、36；3、24；4、18；6、12；8、9．因为72的约数能整除72，而72的所有质因数也都能整除72，所以对72进行质因数分解，有：32=⨯，那么72的所有约数应当由若干个2与若干个3构成．显7223然，2有0个到3个共4种选择；3有0个到2个共3种选择，根据乘法原理，72的约数共⨯=个，见下表（注意0214312=、031=）：从72的这个例子，我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法：约数个数等于指数加1再相乘例题2．下列各数分别有多少个约数？23， 64， 75， 225， 720．「分析」熟练掌握约数个数的计算公式即可．下列各数分别有多少个约数？18， 47， 243， 196， 450．例题3．3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？「分析」约数既然能整除3600，那说明约数一定包含在3600的因数中．我们知道4223600235=⨯⨯，那么3600的所有约数一定是由若干个2、若干个3和若干个5组成的．如果约数是3的倍数，那么它至少要含有多少个3？3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个约数，根据上面关于约数个数的知识我们可以知道，有奇数个约数的数一定是平方数．．．．．．．．．．．．．．，有偶数个约数的数一定不是平方数．．．．．．．．．．．．．．．． 72 20 21 22 23 30 00231⨯= 10232⨯= 20234⨯= 30238⨯= 31 01233⨯= 11236⨯=212312⨯=312324⨯= 3202239⨯=122318⨯= 222336⨯=322372⨯=例题4．在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？「分析」有奇数个约数的数一定是平方数，所以只要找出有多少个平方数小于1000即可．在2000到3000中，有多少个数有奇数个约数？把一个数分解质因数后，可以知道它的约数个数，反过来，如果知道一个数的约数个数，虽然并不能知道这个数是多少（例如6和10都有4个约数），但可以知道这个数的质因数分解式的形式，例如有2个约数的数一定是质数，有4个约数的数是3a 或b c ⨯（a 、b 、c 都是质数）．下面以16个约数为例，来看一下如何反求质因数分解式：先对16进行分解：1628442242222=⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯． 所以质因数分解式为：15、7⨯、33⨯、3⨯⨯、⨯⨯⨯．例题5．有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？「分析」有12个约数的数有什么样的特点呢？2310823=⨯，根据约数个数的计算方法可知108有12个约数．除此之外，3223⨯，3225⨯，甚至形如32a b ⨯（a 、b 为不同的质数）均有12个约数．想一想还有没有其他的可能？关于约数的另一类问题是计算约数和，下以72为例，先利用上面的表格列出72的所有约数，并计算出行和：现在把3个行和相加，得到72的约数和是()()012301222223331513195+++⨯++=⨯=．72 20 21 22 23 行和30 0023⨯ 1023⨯ 2023⨯ 3023⨯ 01230(2222)3+++⨯ 31 0123⨯1123⨯2123⨯3123⨯01231(2222)3+++⨯ 320223⨯ 1223⨯ 2223⨯ 3223⨯01232(2222)3+++⨯根据这个例子，我们可以总结出计算约数和的一般方法：32a b c ⨯⨯的约数和为()()()232111a a a b b c +++⨯++⨯+．例题6．计算下列数的约数和：108、144． 「分析」熟练掌握约数和的计算公式即可．完全数（perfect number）如果一个自然数的真因子（除了自己以外的约数）之和恰好等于这个数本身，这个数就被叫做完全数．完全数又称完美数或完备数，是一类特殊的自然数．利用本讲学过的知识不难知道6和28是最小的两个完全数．公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数．毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身．”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了．有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数．圣·奥古斯丁说：“6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了．”完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找．它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字．接下去的两个完全数是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数（真因子之和大于自身的数）和亏数（真因子之和小于自身的数）非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统．但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128．它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数．”第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出．这一寻找完全数的努力从来没有停止．电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索．笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事．”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在．于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题．目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件．作业1.111111111的第二大的约数是多少？作业2.79、128、180分别有多少个约数？作业3.在小于200的正整数中，有多少个数有偶数个约数？作业4.36的所有约数的和是多少？90的所有约数的和是多少？作业5.240有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是3的倍数？第十讲 约数与倍数例题1. 答案：1763664903详解：12345654321最小的约数是1，第二小的约数是3，第三小的约数是7，那么第三大的约数是1234565432171763664903÷=．例题2. 答案：2；7；6；9；30详解：23为质数，质数有2个约数．6642=，有617+=个约数．27535=⨯，有11216+⨯+=（）（）个约数．2222535=⨯，有21219+⨯+=（）（）个约数．42720235=⨯⨯，有41211130+⨯+⨯+=（）（）（）个约数．例题3. 答案：45；30；27；21 详解：4223600235=⨯⨯，有41212145+⨯+⨯+=（）（）（）个约数．41112130+⨯+⨯+=（）（）（），有41112130+⨯+⨯+=（）（）（）个约数是3的倍数．42222236002354235=⨯⨯=⨯⨯⨯（），有21212127+⨯+⨯+=（）（）（）个约数是4的倍数．4223236002356235=⨯⨯=⨯⨯⨯（），有31112124+⨯+⨯+=（）（）（）个约数是6的倍数，不是6的倍数的约数有21个．例题4. 答案：31详解：平方数有奇数个约数．1000以内的平方数有22221,2,331，因此有31个数有奇数个约数．例题5. 答案：60，5详解：有12个约数的数分解质因数后，可能是11、5⨯、23⨯、2⨯⨯；对应的最小数分别是2048、96、72、60，那么最小的就是60．其中的两位数除了60、72、96之外还有84和90，共5个．例题6. 答案：（1）280；（2）403 详解：（1）2310823=⨯，它的所有约数之和是()()12413927280++⨯+++=．（2）4214423=⨯，它的所有约数之和是()()124816139403++++⨯++=．练习1. 答案：4115226329218107简答：约数是成对出现的，最大的约数对应最小的约数，第二大的约数对应第二小的约数，12345678987654321的第二小的约数是3，对应的第二大的约数是1234567898765432134115226329218107÷=．练习2. 答案：6，2，6，9，18简答：分解质因数后，指数加1连乘即可．练习3. 答案：32；24；24；11简答：73345623=⨯，约数有8432⨯=个．其中3的倍数有8324⨯=个，4的倍数有6424⨯=个，6的倍数有7321⨯=个，那么有322111-=个不是6的倍数．练习4. 答案：10简答：2000~3000之间的平方数有245、246、…、254，共10个，只有这10个数有奇数个约数．作业1. 答案：37037037简答：111111111第二小的约数为3，因此第二大的约数为．作业2. 答案：2个；8个；18个简答：提示，牢记计算约数个数的方法，并能准确分解质因数．作业3. 答案：185个简答：平方数有奇数个约数，小于200的平方数有，共14个，因此有偶数个约数的数有185个．作业4. 答案：91；234简答：提示，牢记求约数和的公式，并能准确分解质因数． 作业5.答案：20个；4个；10个简答：4240235=⨯⨯，有41111120+⨯+⨯+=（）（）（）个约数．奇约数即不含有因子2，有11114+⨯+=（）（）个奇约数，有10个约数是3的倍数．22221,2,314111111111337037037÷=。
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第11讲约数与倍数
内容概述
掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题．
典型问题
兴趣篇
1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数．
2．(1) 20000的约数有多少个？(2) 720的约数有多少个？
3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260].
4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？
5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；(2)求3553，3910和1411的最大公约数．
6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？
7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？
8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？
9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、12、
14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？
10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最
小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？
拓展篇
1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？
2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．
3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1．这两个数分别是多少？
4．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36].
5．1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？
6．张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？
7．一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？
8．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？
9．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？
10．有4个不同的正整数，它们的和是1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？
11．甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126.请问：甲数是多少？
12．甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是12.请问：甲、乙两数之和是多少？
超越篇
1．360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？
2．求出所有恰好含有10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和．
3．已知a 与b 的最大公约数是4，a 与c 、b 与c 的最小公倍数都是100，而且a ≤ b ．满足条件的自然数a 、b 、c 共有多少组？
4．所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？
5．自然数n 是1，2，3，…，10的公倍数，而且它恰有72个约数，n 的最小值是多少？
6．三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处．里圈跑道长
51千米，中圈跑道长41千米，外圈跑道长8
3千米．甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑32
1千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．他们同时出发．请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？。