中考数学 第二部分 题型研究 拓展题型 二次函数综合题
中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件
时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .
∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－
−
＋ .∴
时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图
中考数学二次函数解答题题型全归纳 专题02 将军饮马(学生版)
专题02 将军饮马和最小【例1】如图，抛物线215222y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，与y 轴相交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；【变式训练1】已知抛物线26(0)y ax bx a =++≠交x 轴于点(6,0)A 和点(1,0)B -，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标；【变式训练2】如图，抛物线23y ax bx =+-经过点(2,3)A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P ，使PB PC +的值最小，求点P 的坐标；【变式训练3】如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、(1,0)B ，与y 轴交于点C ，直线122y x =-经过点A 、C ．抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点E 为x 轴上一点，且AE CE =，求点E 的坐标；（3）设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD GB +的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C -三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，抛物线213y x mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴1x =．（1）求出抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在对称轴上方是否存在点D ，使三角形ADC 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标；若不存在．说明理由（使用图1)；【变式训练2】如图，已知二次函数24(0)y ax x c a =-+≠的图象与坐标轴交于点(1,0)A -和点(0,5)B -．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得ABP ∆的周长最小，请求出点P 的坐标；【例3】如图，抛物线2y=+x轴交于A，B两点(A点在B点的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC．（1）求顶点D的坐标及直线AC的解析式；（2）如图，P为直线AC上方抛物线上的一动点，连接PC、PA，当PAC∆面积最大时，过P作PQ x⊥轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点++的最小值．N．连接PM，NQ，求PM MN NQ【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 与x 轴、y 轴的交点分别为(8,0)C ，(0,6)B ，5CD =，抛物线215(0)4y ax x c a =-+≠过B ，C 两点，动点M 从点D 开始以每秒5个单位长度的速度沿D A B C →→→的方向运动到达C 点后停止运动．动点N 从点O 以每秒4个单位长度的速度沿OC 方向运动，到达C 点后，立即返回，向CO 方向运动，到达O 点后，又立即返回，依此在线段OC 上反复运动，当点M 停止运动时，点N 也停止运动，设运动时间为t ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）当点M ，N 同时开始运动时，若以点M ，D ，C 为顶点的三角形与以点B ，O ，N 为顶点的三角形相似，求t 的值；（4）过点D 与x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段BA 沿过点B 的直线翻折，点A 的对称点为A '，求A Q QN DN '++的最小值．差最大【例1】如图，已知抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点(1,0)A 和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）①若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，则PBC ∆的面积最大值为 ； ②若点T 为对称轴直线2x =上一点，则TC TB -的最大值为 ．【变式训练1】如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，抛物线交x 轴于C 、D 两点，已知(3,0)C -（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使||MB MD -的值最大，请求出点M 的坐标及这个最大值．【变式训练2】如图，已知抛物线上有三点(4,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C -．（1）求出抛物线的解析式；（2）是否存在一点D ，能使A 、B 、C 、D 四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在，请求出D 点坐标，若没有，请说明理由．（3）在（2）问的条件，P 为抛物线上一动点，请求出||PD PB -取最大值时，点P 的坐标．【变式训练3】如图，二次函数21212y x x =-++的图象与一次函数1y x =-+的图象交于A ，B 两点，点C 是二次函数图象的顶点，P 是x 轴下方线段AB 上一点，过点P 分别作x 轴的垂线和平行线，垂足为E ，平行线交直线BC 于F ．（1）当PEF ∆面积最大时，在x 轴上找一点H ，使||BH PH -的值最大，求点H 的坐标和||BH PH -的最大值；。
人教版中考数学专题复习 二次函数综合题
人教版中考数学专题复习二次函数综合题1．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t ．（1）当a=1，b=4时，t=________；（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n ，则t 的取值范围是________；（3）已知点C(0，a)，D(2，3a -2b)，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．2．如图，已知顶点是M 的抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P 是x 轴上方抛物线上的一点，若PAB △的面积等于3，求点P 的坐标．（3）是否在y 轴存在一点Q ，使得QBM 为直角三角形？若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣4的图象与x 轴交于的A 、B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ．（1）求△ABD 的面积；（2）求△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为4时，求所有符合条件的点P 的坐标；（4）点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为8时，求所有符合条件的点P 的坐标；（5）点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为10时，求所有符合条件的点P 的坐标．4．如图，已知抛物线经过点(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作//MN y 轴交抛物线于N 点，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；（3）在（2）的条件下，连接NB ，NC ，当m 为何值时，BNC 的面积最大．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++，与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B ．且点()0,5A ，()5,0B ，点P 为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，若点P 在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，连接PA ，PC ，当245AOE APCD S S ∆=四边形时，求点P 坐标； （3）设抛物线的对称轴与AB 交于点M ，点Q 在直线AB 上，当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q 的坐标．6．如图是二次函数y ＝（x+2）2的图象，顶点为A ，与y 轴的交点为B ．（1）求经过A，B两点的直线的函数关系式；（2）请在第二象限中的抛物线上找一点C，使△ABC的面积与△ABO的面积相等；（3）已知抛物线上存在点P，使△PAB为等腰三角形，则所有符合条件的这样的点P共有几个?7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上．（1）b= ，c= （直接填写结果）（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；8．已知，点A是平面直角坐标系内的一点，将点A绕坐标原点O逆时针旋转90°得到点B，经过A、O、B 三点的二次函数的图象记为G．（1）若点A的坐标为（1，2），求二次函数G的解析式；（2）若点A的坐标为（m，2m）（m≠0），图象G所对应的函数表达式为y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）．写出b 的值，并用含m 的代数式表示a ．（直接写出即可）（3）在（2）的条件下，直线x=-2与图象G 交于点P ，直线x=1与图象G 交于点Q ．图象G 在P 、Q 之间的部分（包含P 、Q 两点）记为G 1．①当图象G 在-2≤x≤1上的函数值y 随自变量x 的增大而增大时，设图象G 1的最高点的纵坐标为h 1，最低点的纵坐标为h 2，记h=h 1-h 2，求h 的取值范围．②连结PQ ，当PQ 与图象G 1围成的封闭图形与x 轴交于点D （点D 不与坐标原点重合）．当OD≥12时，直接写出m 的取值范围．9．如图，直线y ＝﹣12x ＋2交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线y ＝﹣14x 2＋bx ＋c 经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．（1）点A 的坐标为 ，点C 的坐标为 ，并求抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；（3）将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请你直接写出m 的取值范围．10．如图，平面直角坐标系xoy 中，抛物线223y x x =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．（1）求顶点D 的坐标；（2）求ABC 的面积．11．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣2，0），B （4，0），C （0，8）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，求△CBF 的最大面积及此时点E 的坐标．12．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点（x ，y ）的坐标值：（2）如图1，直线1y kx =+()0k <与抛物线交于P ，Q 两点，交抛物线对称轴于点T ，若QMT 的面积是PMT 面积的两倍，求k 的值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF⊥x 轴，垂足为F ，ABD 的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点左侧，B 点的坐标为（4，0），与y 轴交于C （0，﹣4）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P ，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线21522y x bx =-++与x 轴交于点1,0A ，抛物线的对称轴l 经过顶点B ，作直线AB ．P 是该抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点Q ，过点P 作PNl 于点N ，以PQ 、P N 为边作矩形PQMN ．（1）b =______；（2）当点P 在抛物线A ，B 两点之间时，求线段PQ 长度的最大值；（3）矩形PQMN 与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G ，G 的最高点的纵坐标为m ，最低点纵坐标为n ，当2m n -=时，求点P 的坐标．。
二次函数综合题--二次函数与线段有关的问题(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与线段有关的问题（专题训练）1.小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．2.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234P P P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P 右侧）．3.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （－1，0）和点B （0，3），顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP ＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．5.如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值：x…1-0123…y …03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值；（3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8.已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；②当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB=90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE+BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与 AOG 相似，求点D 的坐标．10.如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，二次函数y ＝ax 2+bx+x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．12.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13.在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．14，若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC 恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m=12时，求点P的坐标；②求m的最大值．15.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．16.已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．17.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连结PB，求35PC+PB的最小值．。
中考数学：二次函数的推理计算与证明综合问题真题+模拟(原卷版北京专用)
中考数学二次函数的推理计算与证明综合问题【方法归纳】据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。
在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式． (可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)． 3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12c x x a⋅=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；②当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+ 1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；②若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；②若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a2的取值范围．17．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y 轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+ 6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+ 4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；②当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；②若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+ m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D 两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n< 1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；②若y1=y2=0，求x1的值（用含a；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．。
专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)
专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。
中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题试题-人教版初中九年级
题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 二次函数与图形判定1．(2017·某某)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·某某模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2016·某某)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.类型二 二次函数与图形面积1．(2017·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·某某)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．类型三二次函数与线段问题1．(2017·某某)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1AM ＋1AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·某某模拟)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.3．(2017·某某)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.类型四二次函数与三角形相似1．(2016·某某)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，233)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△Q与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a ＋4)2＋2(a ＋4)－3， 解得a ＝－2，∴b ＝a 2－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a －4)2＋2(a －4)－3， 解得a ＝2.∴b ＝4－4－3＝－3， ∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3). 2．解：(1)∵抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋233，联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－233x ＋233y ＝－233x 2－433x ＋23，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴A(－2，23)，B(1，0)；(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形， 如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y ＝－233x 2－433x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2＋（23）2＝13， 由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MDAD ＝3，∴∠DAM ＝60°，∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°， 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，∴此时N 点坐标为(32，332)；综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，332)；(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ， 在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF，∴△ACK ≌△EFH(AAS )， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，233)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－433，∴E(－1，－433)； 当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴线段AC 的中点坐标为(－52，3)，设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－52)，y ＋t ＝23，∴x ＝－4，y ＝23－t ，代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－433，∴E(－1，－433)，F(－4，1033)；综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－433)、F(－4，1033).3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m－1)2＋3，又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；图①图②(3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2， 又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)， 由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)， 由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3). 4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n ＝4，∴y ＝－43x ＋4，令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，解得b ＝－43，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－43m －2)，∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－43m －2＋2|，当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∴m 2＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12；(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5， ∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35，①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－43m ，在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝35，∴ND ′＝35(23m 2－43m)，在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝45，∴D ′M ＝－45m ，∴ND ′－MD′＝2，∴35(23m 2－43m)－(－45m)＝2， 解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②， 同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝45m ，ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋45m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)，②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝35m ，∵P ′N ＝BM ，∴45(23m 2－43m)＝35m ， 解得m ＝258或m ＝0(舍去)，∴P(258，1132)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，1132).类型二 二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN ，设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，12a ＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DMBN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝43，如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ，∴－12a 2－32a －a ＝12，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝43，设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2911， ∴点D 的横坐标为－2或－2911.2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32)；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E(x ，x 2－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ，∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2＋3x)＝－32(x －32)2＋278，∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－34)，即当E 点坐标为(32，－34)时，△CBE 的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q. ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3， 解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．如解图②，连接AC ，PC.可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S四边形PBAC＝S △BPM ＋S四边形PMOC＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝12(x＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋32，将y ＝x 2＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.∵－32＜0，－3＜x ＜0，∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2＋2x －3＝－154.∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为758.4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)． ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)． 将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3； (2)如解图①，连接OP.将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1. 由题意可知P(t ，t 2－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，配方得：S ＝－32(t －32)2＋758，∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为758；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－172，∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－172)，∴OO ′＝2＋342或OO′＝34－22， ∴△DOB 平移的距离为2＋342或34－22， 当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－132.∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－132)．∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋262.∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋262.综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋262单位长度，或沿AD 方向平移34－22或－2＋262个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三 二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－13.令y ＝0，得ax 2－23ax －9a ＝0，∵a ≠0，∴x 2－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝33AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)， 设点P 的坐标为(3，a)．∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4. ∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2k －3，∴点M 的横坐标为2k －3.如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋ 3.∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1，∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y ＝34×4－1＝2，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝43，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝145DE ，∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l ＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1， 解得m ＝712，如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ， 将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2my 2＝2m 2－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2－m)． ∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝12x(x －1)，∴点E 的坐标为(1，0)．设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝1k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12b 1＝12，∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋12.设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－12b 2＝m， ∴直线FH 的解析式为y ＝－12x ＋m.∴FH ∥AE ；(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM ＝2PM ， ∴QM′QP′＝MM′PP′＝23，∴QM ′＝43，MM ′＝23t ，∴点M 的坐标为(t －43，23t)，又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴23t ＝12(t －43)2－12(t －43)， 解得t ＝15±1136，当点M 在线段QP 的延长线上时， 同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴2t ＝12×(t －4)2－12(t －4)，解得t ＝13±892.综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋892秒时，QM ＝2PM.类型四 二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点， 则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， ∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|，由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N ∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB，①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)，②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1， 此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13c ＝1， ∴直线的表达式为y ＝13x ＋1，把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋1；(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，13t ＋1)，∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，54)；(3)设P(m ，－13m 2－23m ＋1)，如解图，∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－23m ＋1＜0，∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋23m －1，∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝313m 2＋23m －1，解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3m ＋3，解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－53)；综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝23，∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋23x ＋33； (2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点， 当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)， 直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，设M(n ，－3n 2＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)， ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2＋33n ， S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是2738；(3)存在；理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733，当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝73，将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，233－1)，如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ， 则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CEEQ ＝3，可得Q 的坐标为(－23，－33)；根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，533)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △P ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940；②存在．∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°， ∴当△Q 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3，当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527).。
2023年安徽中考数学总复习专题：二次函数的性质综合题(PDF版,有答案)
2023年安徽中考数学总复习专题：二次函数的性质综合题1．已知函数y=(k+2)x k2+3k―2是关于x的二次函数．（1）求k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最低点？（3）当k为何值时，函数有最大值？2．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（―13，13），（5，―5），…都是“慧泉”点．（1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．①求a，c的值；②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为―74，求实数n的取值范围．3．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．4．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．（1）求该二次函数的对称轴．（2）求证：无论a取何值，该函数的图象必过某个定点．（3）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，且最高点M的纵坐标为24，求点M和点N的坐标．5．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．（1）若a＞0，当x＜m+13时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．参考答案1．解：（1）∵函数y=(k+2)x k2+3k―2是关于x的二次函数，∴k满足k2+3k﹣2＝2，且k+2≠0，解得：k1＝1，k2＝﹣4，∴k的值为1或﹣4；（2）∵抛物线有最低点，∴图象开口向上，即k+2＞0，∴k＝1；（3）∵函数有最大值，∴图象开口向下，即k+2＜0，∴k＝﹣4．2．解：（1）函数y＝2x﹣3的图象上存在“慧泉”点，根据题意﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，故其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）；（2）①∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点，∴﹣x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0，∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．∴Δ=42―4ac=0 4a+6+c=―2，解得a＝﹣1，c＝﹣4；②∵a＝﹣1，c＝﹣4，∴二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4，∴x＝﹣1时，y＝﹣1﹣3﹣4＝﹣8，∵y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x―32）2―74，∴对称轴为直线x=3 2，∴当x=32时，函数有最大值为―74，∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为―7 4，∴实数n的取值范围是32≤n≤4．3．解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m=―3―10或m=―3+10（舍去）．综上所述，m＝﹣2或―3―10．4．（1）解：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴函数的对称轴为直线x＝1．（2）证明：∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），∴该函数的图象必过定点（3，0），（﹣1，0）；（3）解：∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4a），∵抛物线开口向上，∴a＞0，顶点（1，﹣4a）为图象最低点N，∵5﹣1＞1﹣（﹣1），∴直线x＝5与抛物线交点为最高点M，把x＝5代入代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得y＝12a，∴M（5，12a），∵12a＝24，∴a＝2，∴M（5，24），N（1，﹣8）．5．解：（1）∵抛物线得对称轴为直线x=―4a2a=―2，a＞0，∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，∵x＜m+13时，此二次函数y随着x的增大而减小，∴m+13≤―2，即m≤﹣7；（2）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3①当a＞0 时，开口向上，∴当x＝1时，y有最大值8a，∴8a＝3，∴a=3 8；②当a＜0 时，开口向下，∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，∴﹣a＝3，∴a＝﹣3，综上，a=38或a＝﹣3．。
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解：由抛物线y= - 1 x2+ 5 x-2，得
2
2
y= -1 （x2-5x）-2= - 1 (x- 5 )2+ 9 ，
2
22
8
∴抛物线顶点D的坐标为（ 5
对称轴l为直线x= 5 ；
2
2
, 9 ）， 8
例1题图②
（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标； 【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为（e,0）,要 求点E的坐标，已知AE=CE，需先分别用含e的式子表示出 AE和CE，由于A点坐标（1）中已求得，则AE＝4-e,由题图
式，得
16a+4b+c=0 a+b+c=0 c=-2，
a= - 1
2
解得
b= 5 2
c=-2，
∴抛物线解析式为y= - 1 x2+ 5 x-2；
2
2
例1题图①
（2）求顶点D的坐标与对称轴l； 【思维教练】要求顶点D的坐标和对称轴l，需知抛物 线的顶点式，(1)中已求得抛物线的一般式，直接化为 顶点式即可得到点D的坐标和对称轴l ；
解得e= 3 ， 则点E的2 坐标为（ 3
2
，0）；
例1题解图①
（4）设点G是y轴上一点，是否存在点G,使得GD+GB的值 最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题图④
【思维教练】线段之和最小值问题即“最短路径问题”， 解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点， 使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方 法就是通过轴对称作出对称点来解决.如此问，要使 GD+GB的值最小，先找点B关于y轴的对称点B′,再连接B′D, B′D与y轴的交点即为所求的G点，求直线B′D的解析式，再 求其与y轴的交点即可；
例1题图⑥
后，再求出直线BD与y轴的交点坐标即可；
解：存在.如解图④，延长DB交y轴于点S.
当S与DB不在同一条直线上时，
由三角形三边关系得SD-SB<BD，
当S与DB在同一条直线上时，SD-SB=BD，
∴SD-SB≤BD，即当S在DB的延长线上时，
SD-SB最大，最大值为BD.
设直线BD的解析式为y=mx+n, 由B（1，0），D（ 5 ， 9 ），得
设点H的横坐标为h，线段HK＝d.
①求d关于h的函数关系式；
②求d的最大值及此时H点的坐标；
例1题图⑦
【思维教练】平行于y轴的两点之间的距离为此两点的纵坐
标之差的绝对值，如此问，要求d关于h的函数关系式，由
股定理得BC= 1222= 5为定值，
F
∴当BF+CF最小时，C△BCF最小.
∵点B与点A关于直线l对称， ∴AC与对称轴l的交点即为所求的点F， 例1题解图③
将x= 5 代入直线y= 1 x-2，得y= 1 × 5 -2=- 3 ，
2
2
22
4
∴点F的坐标为（
5 2
3 , -4
）.
在Rt△AOC中，由AO=4，OC=2，根据勾股定理得 AC=2 5 ， ∴△BCF周长的最小值为BC+AC= 5 +2 5 =3 5 ；
28
S
例1题解图④
m+n=0
5 m+n= 9 ，
2
8 m=
3
解得
4，
3
n=-
4 ∴直线BD的解析式为y=
3
x- 3
,
当x=0时,y=- 3 ,
44
S
例1题解图④
即当点S的坐标4 为（0，- 3 ）时，SD-SB的值最大；
4
（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一
点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，
可知点O、E、C三点可构成Rt△COE，结合C点坐标，利用
勾股定理即可表示出CE的式子，建立方程求解即可；
例1题图③
解：如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为
（e,0），
则AE=4-e，连接CE，
在Rt△ COE中，根据勾股定理得
E
CE2=OC2+OE2=22+e2，
∵AE=CE，
∴(4-e)2＝22+e2，
F
例1题解图③
（6）在y轴上是否存在一点S，使得SD- SB的值最大，
若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由;
【思维教练】要使SD-SB的值最大，则
需分两种情况讨论：①S、B、D三点不
共线时构成三角形，由三角形三边关系
得到SD-SB<BD；②当三点共线时，有
SD-SB=BD.从而得到当点S在DB的延长 线上时满足条件，求出直线BD的解析式
拓展题型 二次函数综合题
拓展一 二次函数与线段和差问题 拓展二 二次函数与三角形面积问题 拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题
拓展一 二次函数与线段和差问题
典例精讲
例1 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴交于点A、 B（1,0)，与y轴交于点C，直线y= 1 x-2经过点A、C.抛物
2 线的顶点为D,对称轴为直线l .
（1)求抛物线的解析式； 【思维教练】已知直线y= 1 x-2经过
2 点A、C，结合题干，可求得A、C两
点的坐标，结合B(1,0)，代入抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)求解即可；
例1题图①
解：对于直线y= 1 x-2，令y=0,得x=4, 2
令x=0，得y=-2， ∴点A（4 ， 0），点C（0，-2）， 将A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入抛物线解析
解：存在.如解图②，取点B关于y轴的对称点B′，则点B′的
坐标为（-1,0）.连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求
的点.
设直线B′D 的解析式为y=kx+d
G B′
（k≠0），其中D( 9 , 5 )，
8 29
-k+d=0
k= 28
则 5 k+d= 9 ， 解得 d= 9 ，
2
8
28
例1题解图②
9 ∴点直 G的线坐B′标D的为解（析0，式为y9）= ；2 8x+
9 2 8 ，令x=0,得y=
9，∴ 28
28
（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，
若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，
请说明理由；
【思维教练】要使△BCF的周长最小，因
为BC长为定值，即要使CF+BF的值最小，
由点A,B关于直线l对称，可知AC与l的交点
为点F，即可使得CF+BF最小，将x= 5 代 入直线AC的解析式，即可求得F点的坐2 标，
例1题图⑤
在Rt△AOC中可得AC的长，在Rt△OBC中可得BC的长，
即可得到△BCF周长的最小值；
解：存在，要使△BCF的周长最小，即BC+BF+CF最小，
如解图③所示. 在Rt△OBC中，OB=1，OC=2，由勾