二次函数综合题经典习题(含答案)
二次函数综合题训练题
1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y x m与该二次函数的图象交
于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4) ，B点在轴y上.
(1 )求m的值及这个二次函数的关系式；
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次
函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关
系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说
明理由?
2、如图3,已知抛物线y ax2 bx c经过0(0,0) , A(4,0),B(3, 3)三点，连结AB,过
点B作BC// x轴交该抛物线于点 C.
(1) 求这条抛物线的函数关系式?
(2) 两个动点P、Q分别从O A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A T B T C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为t (秒)(0 V t V 4) , △ PQA的面积记为S.
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；
③是否存在这样的t值，使得△ PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由
图3
4
3、如图7,直线y —x 4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过
3
点A、C和点B 1,0 .（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
3
（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC
2
按O T A T C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O T C A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动?设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S .
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE // OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，
请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
4、如图5,已知抛物线y a x2 b x c的顶点坐标为E（ 1,0 ），与y轴的交点坐标为（0,1 ）.
（1）求该抛物线的函数关系式?
（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4, A在B的左边，过A作ADL x轴交抛物线于D,过B作BC L x轴交抛物线于 C.设A点的坐标为（t,0 ）,四边形ABCD 的面积为S.
①求S与t之间的函数关系式■
②求四边形ABCD勺最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？
③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△ PAE的周
长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△ PAE的周长；若不存在，说明理由.
A O E
B x
图5
2
5、如图6,抛物线y x 2x 3与x 轴交A B 两点(A 点在B 点左侧)，直线I 与抛物线 交于A C 两点，其中C 点的横坐标为2。
(1 )求A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；
(2)P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；
(3)点G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点F ，使A 、C F 、G 这样的四个点为顶 点的四边形是平行四边形？如果存在， 求出所有满足条件的 F 点坐标；
如果不存在，请说明
⑵设⑴中的抛物线上有一个动点 p,当点P 在该6抛物线上 滑动到什么位置时，满足 S A PAE =8,并求出此时P 、点的坐标； (3)
设(1)中抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上 是否存在点Q,使得△ QAC 的周长
最小？若存在，求出 Q 点的坐标;
若不存在，请说明理由
7、(如图9、已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+ n 2-1 (n 为常数). (1) 当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，
求出它所对应的函数关系式；
(2) 设A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、且在对称轴左 侧的一个动点，过 A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点 D, 再作AB 丄x 轴于B, DCL x 轴于C. ① 当BC=1时，求矩形 ABCD 的周长；
\ A
\ 1 ?
\
、
理由。
6、如图8,抛物线y x 2 bx (1)求该抛物线的解析式；
图8
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由
8、如图10,已知点A(0,8)，在
抛物线y丄x2上，以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形,
2
且项点B, C, D在抛物线上，AD// x轴，点D在第一象限.
(1)求BC的长；
⑵若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，
△ DAP的面积是7.
⑶连结AC E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线0E将ABCD 分成面积相等的两部分？并求此时E点的
坐标及直线0E的函数关系式.