第三节、逻辑连接词及量词.

1．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列选项正确的是( )
A ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，綈p 为真
B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，綈p 为真
C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，綈p 为假
D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，綈p 为假
【解析】 因为p 真，q 假．由复合命题的真值表可以判断，p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假．
【答案】 D
2．(2010·威海模拟)下列命题中，正确的是( )
A ．命题“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x ≥0”
B ．命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的必要不充分条件
C ．“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为真
D ．若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4
【解析】 A 的否定中不能有等号．B 中命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的充分不必要条件．D 中概率计算错误．故选C.
【答案】 C
3．(2010·天津高考)下列命题中，真命题是( )
A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数
B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数
C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数
D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数
【解析】 由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．
【答案】 A
4．(2010·全国高考新课标卷)已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数
y ＝2x ＋2－
x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )
A ．q 1，q 3
B ．q 2，q 3
C ．q 1，q 4
D ．q 2，q 4
【解析】 命题p 1为真，p 2为假，所以q 1，q 4为真，其余为假．故选C.
【答案】 C
5．(2010·济宁模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52
；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论：
①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“綈p ∨綈q ”是假命题；
③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“p ∧綈q ”是假命题．
其中正确的是( )
A ．②③
B ．②④
C ．③④
D ．①②③
【解析】 由已知得，命题p 为假，命题q 为真，所以命题③④为真．故选C.
【答案】 C
6．(2010·辽宁高考)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
【解析】 由题意知：x 0＝－b 2a
为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．
7．(2010·福州月考)下列有关命题的说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”
B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”
D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题
【解析】 A 中，否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；B 中，x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，应为充分条件；C 中，命题的否定应为“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”．
【答案】 D
8．下列命题：①∀x ∈R ，x 2≥x ；②∃x ∈R ，x 2≥x ；③4≥3；
④“x 2≠1”的充要条件是“x ≠1或x ≠－1”．
其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】 ①中令x ＝12
，则x 2＜x ，故①错；④中“x 2≠1”的充要条件是“x ≠1且x ≠－1”，故④错．②③正确．
【答案】 C
二、填空题
9．命题“∃x ∈R ，x ＝sin x ”的否定是________．
【解析】 根据存在性命题和全称命题及否定形式的联系，按规则写出．
【答案】 ∀x ∈R ，x ≠sin x
10．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0.若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是________．
【解析】 由c 2＜c 得0＜c ＜1；由Δ＝16c 2－4＜0得－12＜c ＜12
.要使p 和q 有且仅有一个成立，实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭
⎫12，1. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭
⎫12，1 11．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，且p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．
【解析】 p (1)：3－m ＞0，即m ＜3.p (2)：8－m ＞0，即m ＜8.
∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，所以3≤m ＜8.
【答案】 3≤m ＜8
12．(2010·石家庄模拟)已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p ：若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；
命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β.
下面的命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨綈q ；④綈p ∧q .
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
【解析】 ∵命题p 是假命题，命题q 是真命题，∴綈p 是真命题，綈q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨綈q 是假命题，綈p ∧q 是真命题．
【答案】 ①④
三、解答题
13．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根；
(2)q ：有些质数是奇数；
(3)r ：∃x ∈R ，|x |＞0.
【解析】 (1)綈p ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题．
(2)綈q ：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)綈r ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．
14．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围．
【解析】 由⎩
⎪⎨⎪⎧ Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0得m ＜－1，∴p ：m ＜－1； 由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0知－2＜m ＜3，
∴q ：－2＜m ＜3.
由p ∨q 为真，p ∧q 为假可知，命题p ，q 一真一假．
当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3. ∴m 的取值范围是m ≤－2或－1≤m ＜3.单 元 整 合。