2021年高二下学期期中数学考试数学文试题

2021年高二下学期期中数学考试数学文试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）= {5，6} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先求出A∪B，再求∁U（A∪B）即可．解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，A∪B={1，2，3，4}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，所以∁U（A∪B）={5，6}故答案为：{5，6}点评：本题考查集合的基本运算：并集，补集．属于基础题、2．（5分）若复数z=，则z的实部是2．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算和实部的意义即可得出．解解：复数z===2﹣i，因此其实部是2．答：故答案为2．点评：熟练掌握复数的运算和实部的意义是解题的关键．3．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．考点：命题的否定．专题：规律型．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可解答：解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化．4．（5分）已知条件p：x＞2，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是a＜2．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：探究型．分析：利用充分条件和必要条件的定义判断．解答：解：因为p：x＞2，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a＜2．故答案为：a＜2．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用．5．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））的值为2．考点：函数的值．专题：计算题．分析：本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，可以先计算f（﹣2）的值，再根据f （﹣2）的值或范围，代入相应的解析式求出最后的结果．解答：解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=﹣（﹣2）+2=4 ∵4＞0，∴f（4）=即f（f（﹣2））=f（4）=故答案为：2点评：本题考查分段函数求函数值，按照由内到外的顺序逐步求解．要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值．6．（5分）复数z=（3+i）m﹣（2+i）n（m、n∈R）对应的点在第四象限内，则的取值范围是．考点：简单线性规划；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：化简复数的为a+bi的形式，利用对应点所在象限，得到可行域，然后求出的取值范围．解答：解：复数z=（3+i）m﹣（2+i）n=（3m﹣2n）+（m﹣n）i，（m、n∈R）对应的点在第四象限内，即，画出约束条件的可行域，如图，相当于直线的斜率，所以．故答案为：．点评：本题以复数为载体考查线性规划知识，基本知识的应用．7．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6．解答：解：由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6，∴第n条小鱼需要（2+6n）根，故答案为：6n+2．点评：本题考查了规律型中的图形变化问题，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数．8．（5分）定义：若函数f（x）的图象经过变换T后所得图象对应的函数与f（x）的值域相同，则称变换T是f（x）的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换：（1）f（x）=（x﹣1）2，T1将函数f（x）的图象关于y轴对称；（2）f（x）=2x﹣1﹣1，T2将函数f（x）的图象关于x轴对称；（3）f（x）=，T3将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称；（4）f（x）=sin（x+），T4将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称．其中T是f（x）的同值变换的有（1）（3）（4）．（写出所有符合题意的序号）考点：函数的图象与图象变化．专题：新定义．分析：（1）将函数f（x）的图象关于y轴对称的变换不改变函数的值域；（2）求出函数f（x）=2x﹣1﹣1关于x轴对称的函数解析式，分别求出值域，即可得到结论；（3）求出函数f（x）=关于点（﹣1，1）对称的函数解析式，它们是同一个函数；（4）求出函数f（x）=sin（x+）关于点（﹣1，0）对称的函数解析式是y=sin（﹣2﹣x+），求出它们的值域，即可得到结论．解答：解：（1）将函数f（x）的图象关于y轴对称的变换不改变函数的值域，故T1属于f （x）的同值变换；（2）f（x）=2x﹣1﹣1，其值域为（﹣1，+∞），将函数f（x）的图象关于x轴对称，得到的函数解析式是y=﹣2x﹣1+1，值域为（1，+∞），T2不属于f（x）的同值变换；（3）f（x）=，将函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，得到的函数解析式是2﹣y=，即y=，它们是同一个函数，故T3属于f（x）的同值变换；（4）f（x）=sin（x+），将函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，得到的函数解析式是y=sin（﹣2﹣x+），它们的值域都为[﹣1，1]，故T4属于f（x）的同值变换；∴T是f（x）的同值变换的有（1）（3）（4）故答案为：（1）（3）（4）点评：本题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、函数的图象变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．9．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣3）＜f（﹣1）的x的集合是（1，2）．考奇偶性与单调性的综合．点：分析：分析：由f（x）是偶函数，得f（2x﹣3）=f（|2x﹣3|，又f（x）在[0，+∞）上递增，得|2x﹣3|＜1，可解出x的范围．解答：解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减f（2x﹣3）＜f（﹣1）∴|2x﹣3|＜1∴﹣1＜2x﹣3＜1∴2＜2x＜4∴1＜x＜2故答案为：（1，2）点评：点评：本题考查函数的性质：奇偶性、单调性，解决本题的关键是利用性质转化，化抽象为具体．10．（5分）（2011•上海模拟）设a是实数．若函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为〔﹣1，1〕．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：先利用函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，求得参数a=1或﹣1，利用不是偶函数，确定a=1，从而将函数用分段函数表示，进而可求函数f（x）的递增区间．解答：解：由题意得f（﹣x）=﹣f（x），即：|﹣x+a|﹣|﹣x﹣1|=﹣|x+a|+|x﹣1| ∴a=1或﹣1．a=﹣1，f（x）=0是偶函数不对，a=1时，分情况讨论可得，，所以函数f（x）的递增区间为〔﹣1，1〕故答案为〔﹣1，1〕点评：本题的考点是奇偶性与单调性的综合，主要考查利用奇偶函数的定义求参数，考查函数的单调性，关键是参数的确定，从而确定函数的解析式．11．（5分）定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=6，若f（3）=2，则f （xx）的值为3．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由于f（x）•f（x+2）=6，以x+2代x得f（x+2）•f（x+4）=6，所以f（x）=f（x+4）．函数f（x）是周期函数，4是一个周期．在f（x）•f（x+2）=6中，令x=1得出f（1），f（3）关系式，求解即可．解答：解：由于f（x）•f（x+2）=6，以x+2代x得f（x+2）•f（x+4）=6 所以f（x）=f（x+4）．函数f（x）是周期函数，4是一个周期．f（xx）=f（503×4+1）=f（1）又在f（x）•f（x+2）=6中，令x=1得出f（1）•f（3）=6，而若f（3）=2 所以f（1）=3，即f（xx）=3故答案为：3点评：本题考查抽象函数求值，一般令相关字母准确赋值，利用关系式求解．本题发掘出周期性很关键．12．（5分）（2011•山东）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1（x））=．考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．分析：观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．解答：解：∵函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n∴f n（x）=f（f n﹣1（x））=故答案为：点评：本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项公式，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙．13．（5分）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=R（S1+S2+S3+S4）．考点：类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题；规律型．分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．解答：解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．14．（5分）关于函数f（x）=（x∈R）有如下结论：①f（x）是偶函数；②函数f（x）的值域为（﹣2，2）；③f（x）在R上单调递增；④函数|f（x+1）|的图象关于直线x=1对称；其中正确结论的序号有②③．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：分别利用函数奇偶性，单调性，对称性的定义和性质进行判断．解答：解：①因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称．，所以函数f（x）是奇函数，所以①错误．②当x=0时，f（x）=0．当x＞0时，，此时0＜f（x）＜2．当x＜0时，，此时﹣2＜f（x）＜0．综上﹣2＜f（x）＜2，即函数f（x）的值域为（﹣2，2），所以②正确．③当x＞0时，，此时函数单调递增，由①知函数f（x）为奇函数，所以f（x）在R上单调递增，所以③正确．④因为为偶函数，所以|f（x）|关于y轴对称，将|f（x）|向左平移1个单位得到|f（x+1）|，所以函数|f（x+1）|的图象关于直线x=﹣1对称，所以④错误．故答案为：②③．点评：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性和对称性的应用，要求熟练掌握函数的性质及应用．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，m∈R．（1）若m=3，求A∩B．；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：计算题．分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆B，根据子集的定义，列出等式进行求解．解答：解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}={x|m﹣3≤x≤m+3}（1）由于B={x|m﹣3≤x≤m+3}故当m=3时，B={x|0≤x≤6}∴A∩B=[0，3]（2）由于集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3} ∵点评：此题主要考查集合的子集的定义及集合的交集运算，一元二次不等式的解法及集合间的混合运算是高考中的常考内容，要认真掌握．16．（14分）命题p：函数f（x）=x2+（m﹣2）x+1在（﹣∞，2）上为减函数，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根．若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：先分别求得p为真命题，q为真命题时，a的范围，再根据命题p或q为真命题，可得p真或q真，分别求得a的范围，最后求出它们的并集即可．解解：若P为真，则答：若q为真，则△=16（m+2）2﹣16＜0∴﹣3＜m﹣1因“p或q”为真点评：本题以命题为载体，考查复合命题的真假运用，解题的关键是根据命题p或q为真命题，可得p真或q真．17．（15分）求S n=1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）（n∈N*）可用如下方法：将以上各式相加，得S n=n（n+1）（n+2），仿此方法，求S n=1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n∈N*）．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：类比已知，1×2×3对应的系数应为，括号里应有1×2×3×4，与0×1×2×3的差式，依此类推．再各式相加．解答：解：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）将以上各式相加得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）点评：本题考查类比推理，本题要确定好前面的系数，以及后面项的因式构成．属于中档题．18．（15分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1），设函数（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数；（Ⅱ）①求证：g（x）+g（1﹣x）=2；②求的值．考点：函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义证明f（x）是奇函数；（Ⅱ）直接代入进行化简，利用①的结论化简求值．解答：解：证明：（I）f（x）定义域为R，，所以f（x）为奇函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）①=因为f（x）为奇函数，所以，所以g（x）+g（1﹣x）=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）②由①知g（x）+g（1﹣x）=2，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断以及函数奇偶性的应用，综合性较强．19．（16分）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），a＞0且当x=1时取得最小值，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值；（2）问：PM•PN是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．考点：函数与方程的综合运用；基本不等式；两点间的距离公式．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由基本不等式得当且仅当即时，f（x）取得最小值，从而由=1求解a．（2）先设点P的坐标为，则有，PN=t．再求得PM•PN即可得出答案．（3）由（2）可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．解答：解：（1）∵x＞0，a＞0∴，当且仅当即时，f（x）取得最小值，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）设，则：，PN=t，∴PM•（定值）﹣﹣（10分）（当时取等号）∴四边形OMPN面积最小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．属于中档题．20．（16分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若不等式f（x）﹣kx≥0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a（a＞0）在[2，3]上为增函数，可得，从而可求得a、b的值；（Ⅱ）f（x）﹣kx≥0在x∈（0，+∞）时恒成立⇒k≤1+﹣=（x＞0）恒成立，从而可求得实数k的取值范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0⇒|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x ﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．解答：解：（Ⅰ）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a（a＞0），当a＞0时，g（x）在区间[2，3]上为增函数，故，即，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）f（x）﹣kx≥0化为：x+﹣2≥kx，∵x＞0，∴1+﹣≥k，∵1+﹣=≥0（当x=1时取等号）∴k≤0．﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），∵方程|2x﹣1|+﹣（2+3k）=0有三个不同的实数解，∴由t=|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．记φ（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则或∴k＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．!26965 6955 楕Y22500 57E4 埤35811 8BE3 诣`q021330 5352 卒37681 9331 錱37235 9173 酳l|^35980 8C8C 貌。