湖南省娄底市中考数学试卷
2023年湖南省娄底市中考数学试卷(含答案)204722
2023年湖南省娄底市中考数学试卷试卷考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. −3的倒数是 （ ）A.−3B.3C.13D.−132. 下列运算正确的是( )A.a 2⋅a 4=a 8B.(2a +b)(2a −b)=2a 2−b 2C.(−a 2)3=−a 6D.a 4+a 4=2a 83. 共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利，不仅有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保，据相关部门2018年11月统计数据显示，郑州市互联网租赁自行车累计投放超过49万辆，将49万用科学记数法表示正确的是( )A.4.9×104B.4.9×105C.0.49×104D.49×1044. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1=47∘，则∠2=（ ）A.40∘B.43∘C.45∘D.47∘−3−3313−13()⋅=a 2a 4a 8(2a +b)(2a −b)=2−a 2b 2=−(−)a 23a 6+=2a 4a 4a 820181149494.9×1044.9×1050.49×10449×104∠1=47∘∠2=40∘43∘45∘47∘5. 下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是( )A.{x −1>0,x +2≤0B.{x +1>0,x +2≤0C.{x +1>0,x −2≤0D.{x −1≤0,x +2<06. 正比例函数y ＝2x 的图象向左平移1个单位后所得函数解析式为（ ）A.y ＝2x +1B.y ＝2x −1C.y ＝2x +2D.y ＝2x −27. 下列说法中，错误的是( )A.一个正数的两个平方根的和为零B.任意一个实数都有奇次方根C.平方根和立方根相等的数只有零D.任何实数的绝对值都大于它的相反数8.下图几何体面的个数为（ ）A.1B.2C.3D.49. 如图，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，扇形AOE 的面积是12π，则该正六边形的边长是(){x−1>0,x+2≤0{x+1>0,x+2≤0{x+1>0,x−2≤0{x−1≤0,x+2<0y 2x 1y 2x+1y 2x−1y 2x+2y 2x−21234O ABCDEF AOE 12πA.6B.3√2C.2√3D.1210. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)过点(−1,0)，(0,2)，且顶点在第一象限，设M =4a +2b +c ，则M 的取值范围是( )A.M <2 B.−2<M <0 C.M >−1D.−6<M <611. 请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①√13；②√13+23；③√13+23+33；④√13+23+33+43．观察计算的结果，由发现的规律得出√13+23+33+⋯+253的值为( )A.351B.350C.325D.300 12. 将大小不同的两个正方形按图1，图2的方式摆放．若图1中阴影部分的面积是20，图2中阴影部分的面积是14，则小正方形的边长是( )A.4B.5C.6D.7二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）632–√23–√12y =a +bx+c(a ≠0)x 2(−1,0)(0,2)M =4a +2b +c MM <2−2<M <0M >−1−6<M <613−−√+1323−−−−−−√++132333−−−−−−−−−−√+++13233343−−−−−−−−−−−−−−√+++⋯+132333253−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√35135032530012120214456713. 函数y =√2−x 中，自变量x 的取值范围是________．14. 若n(n ≠0)是关于x 的方程x 2−mx +2n =0的根，则m−n 的值为________．15. 如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则cos ∠ADF 的值为________.16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =2，扇形的圆心角θ=120∘，则该圆锥母线l 的长为________．17. 抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A(−1,4)，B(2,4)，则关于x 的一元二次方程a(x −3)2−4＝3b −bx −c 的解为________．18. 已知正方形的周长为a ，用a 表示正方形的边长是________.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计66分 ）19. （6分） 计算：(−1)2016+2sin60∘−|1−√3|+π0．20. （6分） 先化简，再求值：(1a +1a +1)÷4a 2−1a 2+a ，其中a =√3+12．21.(8分) 为加强学生身体锻炼，我校开展体育“大课间”活动．学校学生会体育部决定在学生中开设A：篮球，B ：立定跳远，C ：跳绳，D ：跑步，E ：排球五种活动项目．为了了解学生对五种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题：(1)在这项调查中，共调查了多少名学生？(2)将两个统计图补充完整；(3)若该校有1200名在校学生，请估计喜欢排球的学生大约有多少人？ 22. （8分） 如图，在△ABC 中，BC =12，tanA =34，∠B =30∘，求AC 的长和△ABC 的面积．y =2−x −−−−−√x n(n ≠0)x −mx+2n =0x 2m−n ABCD AB =4BC =3P BC △CDP DP C E PE DE AB O F OP =OF cos ∠ADFr =2θ=120∘ly a +bx+c x 2A(−1,4)B(2,4)x a(x−3−4)23b −bx−c a a (−1+2sin −|1−|+)201660∘3–√π0(+)÷1a 1a +14−1a 2+a a 2a =+13–√2A B C D E (1)(2)(3)1200△ABC BC =12tanA =34∠B =30∘AC △ABC23.(9分) 某校准备购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买1个足球和2个篮球共需230元，购买5个足球和3个篮球共需555元．(1)求购买一个足球、一个篮球各需多少元．(2)根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共100个，且总费用不超过7030元．求最多可以购买多少个篮球． 24.(9分) 已知：AB 是⊙O 的直径，DA 是⊙O 的切线，点A 是切点，点C 在圆周上，连接DC ，连接DO 交弧AC 于点E ，连接AE ，CE ，且AE =CE.(1)如图(1)，求证：CD 是⊙O 的切线；(2)如图(2)，延长DO 交⊙O 于点F ，连接CF ，BE 交于点G ，求证：∠CGE =2∠F ；(3)在(2)条件下，DE =12AD,EF =2√5，求线段CE 的长. 25.(10分) 如图，路灯OP 距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 处时，（1）求此时人影的长度BN ；（2）求MN 的长． 26.(10分) 如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线的顶点为M (2,−2√33)，抛物线与轴的一个交点为A(4,0)，点B (2,2√3)与点C 关于y 轴对称．(1)判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；(2)顺次连接AB ，BC ，CO ，判断四边形ABCO 的形状并证明；(3)设点P 是抛物线上的动点，连接PM 、PC 、AC ， △PAC 的面积S 随点P 的运动而变化，请探究S 的大小变化并填写表格①∼④处的内容；当S 的值为②时，求点P 的横坐标的值．直线AC 的函数表达式S 取的一个特殊值满足条件的P 点的个数S 的可能取值范围①________64个③________②________3个102个④________1223053555(1)(2)1007030AB ⊙O DA ⊙O A C DC DO AC E AE ，CE AE =CE(1)CD ⊙O(2)(2)DO ⊙O F CF ，BEG ∠CGE =2∠F(2)DE =AD,EF =2125–√CE OP 8 1.6O 20A OA 14BBNMNO M(2,−)23–√3A(4,0)B(2,2)3–√C y (1)C(2)AB BC CO ABCO(3)P PM PC AC △PAC S P S ∼S P AC S P S 643102参考答案与试题解析2023年湖南省娄底市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】D【考点】倒数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】幂的乘方与积的乘方合并同类项同底数幂的乘法平方差公式【解析】根据同底数幂的乘法即可确定A 是否正确；根据平方差公式即可确定B 是否正确；根据幂的乘方即可确定C 是否正确；根据合并同类项的方法即可确定D 是否正确.【解答】解：A ，a 2⋅a 4=a 2+4=a 6，故A 错误；B ，(2a +b)(2a −b)=(2a)2−b 2=4a 2−b 2，故B 错误；C ，(−a 2)3=−a 2×3=−a 6，故C 正确；D ，a 4+a 4=2a 4，故D 错误.故选C.3.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a|<10，n 为整数，据此判断即可．【解答】解：49万=4.9×105．故选B.4.【答案】B【考点】中位数【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺的两边互相平行，∴∠3=∠1=47∘，∴∠4=90∘−∠3=43∘，∴∠2=∠4=43∘，故选B ．5.【答案】C【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组【解析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案.【解答】解：{x −1>0,x +2≤0,解得:{x >1,x ≤−2,则不等式组无解；{x +1>0,x +2≤0,解得:{x >−1,x ≤−2,则不等式组无解；{x+1>0,x−2≤0,解得:{x>−1,x≤2,则不等式组解集为：−1<x≤2；{x−1≤0,x+2<0,解得:{x≤1,x<−2,则不等式组解集为：x<−2.结合数轴，可知C正确.故选C.6.【答案】C【考点】一次函数的图象一次函数图象与几何变换【解析】依据一次函数图象平移的规律（左加右减）即可得出平移后的函数解析式．【解答】正比例函数y＝2x的图象向左平移1个单位后所得函数解析式为y＝2(x+1)，即y＝2x+2．7.【答案】D【考点】绝对值平方根立方根相反数【解析】根据平方根、立方根、相反数的定义和性质来解答即可.【解答】解：A，一个正数的两个平方根的和为零，正确，故A不合题意；B，任意一个实数都有奇次方根，正确，故B不合题意；C，平方根和立方根相等的数只有零，正确，故C不合题意；D，任何实数的绝对值都大于它的相反数，错误，故D符合题意.故选D.8.【答案】A【考点】认识立体图形【解析】本题考查认识立体图形.【解答】解，由图知此为球体，由1个面构成，故选A ．9.【答案】A【考点】扇形面积的计算正多边形和圆【解析】利用扇形面积公式，结合正六边形性质即可求解.【解答】解：在正六边形ABCDEF 中，连接OF ，如图，则 OA =OF ，∠AOF =360∘×16=60∘ ，∴△AOF 是等边三角形.∵∠AOE =2∠AOF =2×60∘=120∘，∴ 扇形面积 S =120π⋅OA 2360=12π,∴OA 2=36，解得 OA =6，∴AF =OA =6，即正六边形的边长为6.故选A.10.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系【解析】将(−1,0)与(0,2)代入y ＝ax 2+bx +c ，可知b ＝a +2，利用对称轴可知：a >−2，从而可知M 的取值范围．【解答】解：将(−1,0)与(0,2)代入y =ax 2+bx +c ，∴0=a −b +c ，2=c ，∴b =a +2.∵−b2a >0，a <0，∴b >0，∴a >−2，∴−2<a <0，∴M =4a +2(a +2)+2=6a +6，∴−6<M <6.故选D.11.【答案】C【考点】规律型：数字的变化类有理数的混合运算【解析】直接找到规律，利用规律的结构即可求出.【解答】解：由于√13=1=1，√13+23=3=1+2，√13+23+33=6=1+2+3，√13+23+33+43=10=1+2+3+4，故据此规律，得√13+23+33+⋯+253=1+2+3+⋯+25=252(1+25)=25×13=325.故选C.12.【答案】A【考点】三角形的面积单项式乘多项式算术平方根【解析】设大正方形的边长为a ．小正方形的边长为b ．根据题意列方程组，即可得到结论．【解答】解：设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，根据题意可得：{12ab +12b(a −b)=20，12ab =14，解得：b =4.故选A ．二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）13.【答案】x ≤2【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x 的范围．【解答】根据题意得：2−x ≥0，解得：x ≤2．14.【答案】2【考点】一元二次方程的解【解析】把n 代入方程得n(n −m+2)=0.由n ≠0即可得出m−n 的值．【解答】解：n(n ≠0)是关于x 的方程x 2−mx +2n =0的根，把x =n 代入方程得n 2−mn +2n =0，整理得n(n −m+2)=0，由n ≠0，得n −m+2=0，故m−n =2.故答案为：2.15.【答案】1517【考点】解直角三角形矩形的性质翻折变换（折叠问题）根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≅△OBP(AAS)，根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4−x 、BF =PC =3−x ，进而可得出AF =1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【解答】解：根据折叠可知：△DCP ≅△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，{∠EOF =∠BOP,∠B =∠E =90∘,OP =OF,∴△OEF ≅△OBP(AAS)，∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE −EF =4−x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC −BP =3−x ，∴AF =AB −BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即(1+x)2+32=(4−x)2，解得：x =35，∴DF =4−x =175，∴cos ∠ADF =ADDF =1517．故答案为：1517.16.【答案】6【考点】圆锥的计算【解析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×2=120⋅π⋅l180，然后解关于l 的方程即可．【解答】解：根据题意得2π×2=120⋅π⋅l180，解得l =6，即该圆锥母线l 的长为6.故答案为：6.17.【答案】2或5【考点】二次函数图象上点的坐标特征抛物线与x 轴的交点【解析】抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A(−1,4)，B(2,4)，即y ＝ax 2+bx +c ＝4时，x ＝−1或2，则将上述抛物线向右平移3个单位得到y ＝a(x −3)2+b(x −3)+c ，进而求解．抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A(−1,4)，B(2,4)，即y ＝ax 2+bx +c ＝4时，x ＝−1或2，则将上述抛物线向右平移3个单位得到y ＝a(x −3)2+b(x −3)+c ，则y ＝4时，即y ＝a(x −3)2+b(x −3)+c ＝4，即a(x −3)2−4＝3b −bx −c ，则点A 、B 也向右平移了3个单位，则x ＝2或5，18.【答案】a4【考点】列代数式【解析】设出正方形的边长为x ，根据正方形的周长公式列出代数式，即可求解.【解答】解：设正方形的边长为x ，则正方形的周长为a =4x ，即x =a4.故答案为：a4.三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计66分 ）19.【答案】原式=1+2×√32−(√3−1)+1=1+√3−√3+1+1＝3．【考点】零指数幂实数的运算特殊角的三角函数值【解析】先计算乘方、代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再去括号，最后计算加减可得．【解答】原式=1+2×√32−(√3−1)+1=1+√3−√3+1+1＝3．20.【答案】原式=2a +1a(a +1)÷(2a +1)(2a −1)a(a +1)=2a +1a(a +1)⋅a(a +1)(2a +1)(2a −1)=12a −1，√3+12时，当a=√3+12−1原式=12×=1√3=√33．【考点】分式的化简求值【解析】利用分式的加减法则、除法法则，先化简分式，再代入求值．【解答】原式=2a+1a(a+1)÷(2a+1)(2a−1)a(a+1)=2a+1a(a+1)⋅a(a+1)(2a+1)(2a−1)=12a−1，√3+12时，当a=√3+12−1原式=12×=1√3=√33．21.【答案】解：(1)40÷20%=200（名）答：共调查了200名学生.(2)喜欢篮球的学生人数：200−10−40−30−40=80（名），篮球所占百分比为：80÷200×100%=40%，跑步所占百分比为：30÷200×100%=15%，如图所示．(3)1200×20%=240（人）答：喜欢排球的学生大约有240人.【考点】条形统计图扇形统计图用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)40÷20%=200（名）答：共调查了200名学生.(2)喜欢篮球的学生人数：200−10−40−30−40=80（名），篮球所占百分比为：80÷200×100%=40%，跑步所占百分比为：30÷200×100%=15%，如图所示．(3)1200×20%=240（人）答：喜欢排球的学生大约有240人.22.【答案】解：作CD⊥AB于D，如图.在Rt△CDB中，∠B=30∘，∴ CD=12BC=6，BD=BC⋅cosB=12×√32=6√3.在Rt△ACD中，tanA=34，∴CDAD=34，即6AD=34，解得AD=8.√CD2+AD2=√62+82=10，由勾股定理得AC=∴△ABC的面积=12AB×CD=12×(8+6√3)×6=24+18√3.【考点】解直角三角形【解析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出BD，根据正切的定义求出AD，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：作CD⊥AB于D，如图.在Rt△CDB中，∠B=30∘，∴ CD=12BC=6，BD=BC⋅cosB=12×√32=6√3.在Rt△ACD中，tanA=34，∴CDAD=34，即6AD=34，解得AD=8.√CD2+AD2=√62+82=10，由勾股定理得AC=∴△ABC的面积=12AB×CD=12×(8+6√3)×6=24+18√3.23.【答案】解：(1)设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题意得，{x+2y=2305x+3y=555，解得：{x=60y=85.答：购买一个足球需要60元，购买一个篮球需要85元.(2)设购买a个篮球，则购买(100−a)个足球，根据题意得：85a+60(100−a)≤7030，解得：a≤41.2，∵a是整数，∴最多可以购买41个篮球．【考点】一元一次不等式的实际应用由实际问题抽象出二元一次方程组【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题意得，{x+2y=2305x+3y=555，解得：{x=60y=85.答：购买一个足球需要60元，购买一个篮球需要85元.(2)设购买a个篮球，则购买(100−a)个足球，根据题意得：85a+60(100−a)≤7030，解得：a≤41.2，∵a是整数，∴最多可以购买41个篮球．24.【答案】解：(1)证明：如图(1)连接OC,∵DA是⊙O的切线，∴∠DAO=90∘，∵AE=CE，∴∠EOA=∠EOC，在△ODA和△ODC中，{OA=OC，∠EOA=∠EOC，OD=OD，∴△ODA≅△ODC，∴∠DCO=∠DAO=90∘，∴DC是⊙O的切线.(2)证明：如图(2)，连接OC,由(1)可得∠AOE =∠COE ，又∵∠B =12∠AOE,∠F =12∠COE ，∴∠B =∠F.∵OB =OE ，∴∠B =∠OEB ，∴∠F =∠OEG ，∵∠CGE 是△EGF 的外角，∴∠CGE =∠F +∠GEF =2∠F.(3)∵EF 是⊙O 的直径，∴∠ECF =90∘,∵EF =2√5,∴OA =OE =12EF =√5，设DE =m ，则AD =2m ，在Rt △DAO 中，OA 2+DA 2=OD 2,即(√5)2+(2m)2=(m+√5)2，解得m 1=0(舍去)，m 2=2√53，∴DA =4√53,∴DO =5√53，在Rt △ADO 中，tan ∠DOA =DAOA =43,cos ∠DOA =OADO =35，如图(2)，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，在Rt △EOH 中，OH =OE ⋅cos ∠EOH =√5×35=3√55，∴EH =4√55,AH =AO −OH =√5−35√5=2√55，在Rt △EHA 中，EA 2=AH 2+EH 2，∴EA =2，∵AE =CE,∴EC =2.【考点】圆的综合题【解析】作辅助线，构造三角形，通过证明△ODA ≅△ODC ，来判断∠DCO =∠DAO =90∘，进而得出DC 是⊙O 的切线.通过圆周角定理以及等边三角形的性质，外角的性质推断出∠CGE =∠F +∠GEF =2∠F.设DE =m ，则AD =2m ，利用勾股定理，求出m,得出相关线段的长度，通过直角三角形中的角的三角函数来解得所求.【解答】解：(1)证明：如图(1)连接OC,∵DA 是⊙O 的切线，∴∠DAO =90∘，∵AE =CE ，∴∠EOA =∠EOC ，在△ODA 和△ODC 中，{OA =OC ，∠EOA =∠EOC ，OD =OD ，∴△ODA ≅△ODC ，∴∠DCO =∠DAO =90∘，∴DC 是⊙O 的切线.(2)证明：如图(2)，连接OC,由(1)可得∠AOE =∠COE ，又∵∠B =12∠AOE,∠F =12∠COE ，∴∠B =∠F.∵OB =OE ，∴∠B =∠OEB ，∴∠F =∠OEG ，∵∠CGE 是△EGF 的外角，∴∠CGE =∠F +∠GEF =2∠F.(3)∵EF 是⊙O 的直径，∴∠ECF =90∘,∵EF =2√5,∴OA =OE =12EF =√5，设DE =m ，则AD =2m ，在Rt △DAO 中，OA 2+DA 2=OD 2,即(√5)2+(2m)2=(m+√5)2，解得m 1=0(舍去)，m 2=2√53，∴DA =4√53,∴DO =5√53，在Rt △ADO 中，tan ∠DOA =DAOA =43,cos ∠DOA =OADO =35，如图(2)，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，在Rt △EOH 中，OH =OE ⋅cos ∠EOH =√5×35=3√55，∴EH =4√55,AH =AO −OH =√5−35√5=2√55，在Rt △EHA 中，EA 2=AH 2+EH 2，∴EA =2，∵AE=CE,∴EC=2.25.【答案】解：（1）∵OA=20米，AB=14米，∴OB=20−14=6（米）．∵BC//OP，∴△BCN∽△OPN，∴BCOP=BNON，即1.68=BN6+BN，解得BN=1.5（米）；（2）∵BN=1.5米，∴ON=6+1.5=7.5米，∴AN=20−7.5=12.5米．∵AD//OP，∴△AMD∽△OMP，∴AMOM=ADOP，即AM20+AM=1.68，解得AM=5（米），∴MN=AN+AM=12.5+5=17.5米．【考点】相似三角形的应用中心投影【解析】（1）小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化；（2）先求出AN的长，再由△AMD∽△OMP求出AM的长，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵OA=20米，AB=14米，∴OB=20−14=6（米）．∵BC//OP，∴△BCN∽△OPN，∴BCOP=BNON，即1.68=BN6+BN，解得BN=1.5（米）；（2）∵BN=1.5米，∴ON=6+1.5=7.5米，∴AN=20−7.5=12.5米．∵AD//OP，∴△AMD∽△OMP，∴AMOM=ADOP，即AM20+AM=1.68，解得AM=5（米），∴MN=AN+AM=12.5+5=17.5米．26.【答案】【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021年湖南省娄底市中考数学真题(原卷版+解析版)
1 2
1
1 2
1
2
cos
45
．
20.
先化简，再求值：
x x
3 1
1
2x x2
10 9
，其中
x
是
1,
2,
3
中的一个合适的数．
四、解答题（本大题共 2 小题）
21. “读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径．学校图书馆计划购进 一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A 文史类、B 科普类、C 生活类、D 其它”的喜欢程度，随机抽
18. 弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是 1 弧度角，记作
1rad ．已知 1rad, 60 ，则 与 的大小关系是 ________ ．
三、解答题（本大题共 2 小题）
5
2021 年湖南省娄底市中考数学试卷（原卷+解析）
19. 计算： ( 2021 )0
【详解】解：5 万=50000= 5104 ．
故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定 a 与 n 的值是解题的关键．
4. 一组数据17,10,5,8,5,15 的中位数和众数是（ ）
A. 5,5
B. 8,5
C. 9,5
D. 10,5
【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两 个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：5,5,8,10,15,17，
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
2022年湖南省娄底市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2022的倒数是()A ．2022B ．2022-C ．12022D ．12022-【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解：2022的倒数是12022．故选：C ．2．（3分）下列式子正确的是()A ．325a a a ⋅=B ．235()a a =C ．22()ab ab =D ．325a a a +=【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A 、325a a a ⋅=，故A 符合题意；B 、236()a a =，故B 不符合题意；C 、222()ab a b =，故C 不符合题意；D 、3a 与2a 不能合并，故D 不符合题意；故选：A ．3．（3分）一个小组10名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：编号12345678910月份26861047887这组数据（月份）的众数是()A ．10B ．8C ．7D ．6【分析】根据众数的意义求出众数即可．【解答】解：这10名同学的出生月份出现次数最多的是8，共出现3次，因此众数是8，故选：B ．4．（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D ．是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．5．（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨．5000亿用科学记数法表示为()A ．105010⨯B ．11510⨯C ．120.510⨯D ．12510⨯【分析】根据5000亿500000000000=，再用科学记数法表示即可．【解答】解：5000 亿11500000000000510==⨯，故选：B ．6．（3分）一条古称在称物时的状态如图所示，已知180∠=︒，则2(∠=)A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【分析】根据平行线的性质和平角的定义可得结论．【解答】解：如图，由平行线的性质得：3180∠=∠=︒，23180∠+∠=︒ ，218080100∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．7．（3分）不等式组3122x x -⎧⎨>-⎩的解集在数轴上表示正确的是()A ．B ．C ．D ．【分析】先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．【解答】解：3122x x -⎧⎨>-⎩①②，解①，得2x ，解②，得1x >-．所以原不等式组的解集为：12x -<．故符合条件的选项是C ．故选：C ．8．（3分）将直线21y x =+向上平移2个单位，相当于()A ．向左平移2个单位B ．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向右平移1个单位【分析】根据直线y kx b=+平移k值不变，只有b发生改变解答即可．【解答】解：将直线21y x=++，即=+向上平移2个单位后得到新直线解析式为：212y x=+．23y x由于232(1)1y x x=+=++，所以将直线21=+．y xy x=+向左平移1个单位即可得到直线23所以将直线21=+向左平移1个单位．y xy x=+向上平移2个单位，相当于将直线21故选：B．9．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了()A．1335天B．516天C．435天D．54天【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为5，37⨯，⨯⨯⨯，然后把它们相加即可．⨯⨯和1777377【解答】解：孩子自出生后的天数是：⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+1777377375=+++343147215=，516答：那么孩子已经出生了516天．故选：B．10．（3分）如图，等边ABC∆内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边ABC∆的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与ABC∆的面积之比是()A ．318B ．318C ．39D ．39【分析】根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与ABC ∆的面积之比．【解答】解：作AD BC ⊥于点D ，作BE AC ⊥于点E ，AD 和BE 交于点O ，如图所示，设2AB a =，则BD a =，90ADB ∠=︒，AD ∴==，1333OD AD ∴==，∴圆中的黑色部分的面积与ABC ∆21)2π⨯⨯=故选：A．11．（3分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(,1)P m 、(1Q ，)(0m m >且1)m ≠，过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的有()①点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；②AOB ∆为等腰直角三角形；③090POQ ︒<∠<︒；④POQ ∠的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断①；根据P 、Q 点的坐标特征即可判断②③；求得直线OP 、OQ 的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．【解答】解： 点(,1)P m 、(1Q ，)(0m m >且1)m ≠，则11m m m ⋅=⋅=，∴点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上，故①正确；设直线PQ 为y kx b =+，则1mk b k b m +=⎧⎨+=⎩，解得11k b m =-⎧⎨=+⎩，∴直线PQ 为1y x m =-++，当0y =时，1x m =+；当0x =时，1y m =+，(1,0)A m ∴+，(0,1)B m +，OA OB ∴=，90AOB ∠=︒ ，AOB ∴∆为等腰直角三角形，故②正确； 点(,1)P m 、(1Q ，)(0m m >且1)m ≠，P ∴、Q 都在第一象限，090POQ ∴︒<∠<︒，故③正确； 直线OP 为1y x m=，直线OQ 为y mx =，∴当01m <<时，POQ ∠的值随m 的增大而减小，当1m >时，POQ ∠的值随m 的增大而增大，故④错误；故选：D ．12．（3分）若10x N =，则称x 是以10为底N 的对数．记作：x lgN =．例如：210100=，则2100lg =；0101=，则01lg =．对数运算满足：当0M >，0N >时，()lgM lgN lg MN +=．例如：3515lg lg lg +=，则2(5)522lg lg lg lg +⨯+的值为()A ．5B ．2C ．1D ．0【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【解答】解：原式5(52)2lg lg lg lg =++5(52)2lg lg lg =⨯⨯+5102lg lg lg =+52lg lg =+10lg =1=．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y =的自变量x 的取值范围是1x >．【分析】0)a ，以及分母不能为0，可得10x ->，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：10x ->，解得：1x >，故答案为：1x >．14．（3分）已知实数1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则12x x =1-．【分析】根据根与系数的关系解答．【解答】解： 方程210x x +-=中的1a b ==，1c =-，121cx x a∴==-．故答案是：1-．15．（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是715．【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到一共有多少种可能性，其中摸出编号是偶数的有多少种可能性，从而可以求得摸出的球编号为偶数的概率．【解答】解：由题意可得，从袋中随机摸出1个球，一共有15种可能性，其中摸出编号是偶数的有7种可能性，故摸出的球编号为偶数的概率是715，故答案为：715．16．（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E 是AD 的黄金分割点，即0.618DE AD ≈．延长HF 与AD 相交于点G ，则EG ≈0.618DE ．（精确到0.001)【分析】根据黄金分割的定义可得0.618DE AEAD DE=≈，再根据题意可得EG AE =，即可解答．【解答】解： 点E 是AD 的黄金分割点，且0.618DE AD ≈，∴0.618DE AEAD DE=≈，由题意得：EG AE =，∴0.618EGDE≈，0.618EG DE ∴≈，故答案为：0.618．17．（3分）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为【分析】连接AQ ，作AH BC ⊥于H ，利用SAS 证明ABQ CBQ ∆≅∆，得AQ CQ =，当点A 、Q 、P 共线，AQ PQ +的最小值为AH 的长，再求出AH 的长即可．【解答】解：连接AQ ，作AH BC ⊥于H ，四边形ABCD 是菱形，AB CB ∴=，ABQ CBQ ∠=∠，BQ BQ = ，()ABQ CBQ SAS ∴∆≅∆，AQ CQ ∴=，∴当点A 、Q 、P 共线，AQ PQ +的最小值为AH 的长，2AB = ，45ABC ∠=︒，AH ∴=CQ PQ ∴+，．18．（3分）如图，已知等腰ABC ∆的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D '处，连接BD '．给出下列结论：①ACD ABD ∆≅∆'；②ACB ADD ∆∆'∽；③当BD CD =时，ADD ∆'的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【分析】由题意可知AC AB =，AD AD ='，CAD BAD ∠=∠'，即可根据SAS 判断ACD ABD ∆≅∆'；根据BAC D AD θ∠=∠'=，AC ABAD AD ='，即可判断ACB ADD ∆∆'∽；由ACB ADD ∆∆'∽，得出2(ADD ACB S AD S AC∆'∆=，根据等腰三角形三线合一的性质，当BD CD =，则AD BC ⊥时，AD 最小，ADD ∆'的面积取得最小值．【解答】解：由题意可知AC AB =，AD AD ='，CAD BAD ∠=∠'，ACD ABD ∴∆≅∆'，故①正确；AC AB = ，AD AD ='，BAC D AD θ∠=∠'=，∴AC ABAD AD ='，ACB ADD ∴∆∆'∽，故②正确；ACB ADD ∆∆' ∽，∴2(ADD ACB S AD S AC∆'∆=， 当AD BC ⊥时，AD 最小，ADD ∆'的面积取得最小值．而AB AC =，BD CD ∴=，∴当BD CD =时，ADD ∆'的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：011(2022)()|12sin 602π--++-︒．【分析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．【解答】解：原式12122=++-⨯121=++2=．20．（6分）先化简，再求值：324(2)244xxx x x++÷--+，其中x是满足条件2x的合适的非负整数．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．【解答】解：原式23244()22(2) x xx x x-=+÷---223(2)2x xx x-=⋅-2xx-=，x≠且20x-≠，x∴≠且2x≠，1x∴=，则原式1211-==-．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间(:10A h以上，:8~10B h h，:6~8C h h，:6D h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共200名；（2）a=，b=；（3）补全条形统计图．【分析】（1）根据D类人数以及所占的百分比即可求解；（2）根据总数以及A类、B类的人数即可求解；（3）根据C类所占的百分比，求出C类人数，即可补全条形统计图．【解答】解：（1）本次调查的学生共：105%200÷=（名)，故答案为：200；（2）6010030200a=⨯=，10010050200b=⨯=，故答案为：30，50；（3）C类人数为20015%30⨯=，补全条形统计图如图：22．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P 处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm ，即3PQ cm =．开始训练时，将弹簧的端点Q 调在点B 处，此时弹簧长4PB cm =，弹力大小是100N ，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q 调到点C 处，使弹力大小变为300N ，已知120PBC ∠=︒，求BC 的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F k =⋅△x ，k 是劲度系数，△x 是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为0x ，在外力作用下，弹簧的长度为x ，则△0x x x =-．【分析】由题意可以先求出k 的值，然后即可求出PC 的长，再根据勾股定理即可得到PA 和AB 的长，由图可知：BC AC AB =-，代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，03x cm =，100(43)k =-，解得100k =，100F ∴=△x ，当300F =时，300100(3)PC =⨯-，解得6PC cm =，由图可得，90PAB ∠=︒，120PBC ∠=︒，30APB ∴∠=︒，4PB cm = ，2AB cm ∴=，)PA cm ==，5PC cm = ，)AC cm ∴==，2)BC AC AB cm ∴=-=，即BC 的长是2)cm ．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg ，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg ．（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？【分析】（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg ，由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg ，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg ．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由（1）的结果列式计算即可．【解答】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg ，由题意得：6224x y x y +=⎧⎨=-⎩，解得：4022x y =⎧⎨=⎩，答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg ；（2）50000402000000()2mg kg ⨯==，答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．24．（9分）如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O ．设G θ∠=．（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF BC ⊥成立的θ值．（2）当90θ=︒时，试给出tan ABC ∠的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由．【分析】（1）证明四边形DEGF 是平行四边形，可得结论；（2）当tan 2ABC ∠=时，EF 垂直平分线段AC ．证明//OJ AC ，可得结论．【解答】（1）证明： 四边形BCFG ，四边形BCDE 都是菱形，//CF BG ∴，//CD BE ，CB CF CD BG BE ====，D ，C ，F 共线，G ∴，B ，E 共线，//DF EG ∴，DF GE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，EF ∴与BC 互相平分．当EF FG ⊥时，GF BG BE == ，2EG GF ∴=，30GEF ∴∠=︒，903060θ∴=︒-︒=︒；（2）解：当tan 2ABC ∠=时，EF 垂直平分线段AC ．理由：如图（2）中，设AC 交EF 于点J ．四边形BCFG是菱形，90G FCO∴∠=∠=︒，EF与BC互相平分，OC OB∴=，CF BC∴=，2FC OC∴=，tan tanFOC ABC∴∠=∠，ABC FOC∴∠=∠，//OJ AB∴，OC OB=，CJ AJ∴=，BC是直径，90BAC OJC∴∠=∠=︒，EF∴垂直平分线段AC．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，已知BD是Rt ABC∆的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的O经过点D，与OA相交于点E．（1）判定AC与O的位置关系，为什么？（2）若3BC=，32 CD=，①求sin DBC∠、sin ABC∠的值；②试用sin DBC∠和cos DBC∠表示sin ABC∠，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用30α=︒给予验证．∠=∠=︒，再根据圆的切线的判定定ODA COD BC，则90理证明AC是O的切线；（2）①根据三角函数定义可得结论；②计算cos DBC∠⋅∠的值，可得结论：DBC DBC∠的值，并计算2sin cosα=︒可得结论．ABC DBC DBCsin2sin cos∠=∠⋅∠；并用30【解答】解：（1）AC是O切线，理由如下：如图，连接OD，，=OD OBODB OBD∴∠=∠，BD是ABC∆的角平分线，OBD DBC∴∠=∠，∴∠=∠，ODB DBC∴，//OD BC90∴∠=∠=︒，ODA C⊥，OD是O的半径，且AC ODAC ∴是O 的切线；（2）①在Rt DBC ∆中，3BC = ，32CD =，BD ∴===32sin 352CD DBC BD ∴∠===如图2，连接DE ，OD ，过点O 作OG BC ⊥于G，90ODC C CGO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ODCG 是矩形，32OG CD ∴==，BE 是O 的切线，90BDE ∴∠=︒，cos cos DBE CBD ∴∠=∠，∴BC BD BD BE=，∴2BE =，154BE ∴=，11528OB BE ∴==，342sin 1558OG ABC OB ∴∠===；②542sin cos 255352DBC DBC ∠⋅∠=⨯ ，sin 2sin cos ABC DBC DBC ∴∠=∠⋅∠；猜想：sin 22sin cos ααα=，理由如下：当30α=︒时，3sin 2sin 602α=︒=，1332sin cos 2222αα=⨯⨯=，sin 22sin cos ααα∴=．26．（10分）如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点(P m ，)(06)n m <<在抛物线上，当m 取何值时，PBC ∆的面积最大？并求出PBC ∆面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作//FE AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将0x =及0y =代入抛物线21262y x x =--的解析式，进而求得结果；（2）连接OP ，设点21(,26)2P m m m --，分别表示出POC S ∆，BOP S ∆，计算出BOC S ∆，根据PBC BOC PBOC S S S ∆∆=-四边形，从而得出PBC ∆的函数关系式，进一步求得结果；（3）可分为ACFE 和ACEF 的情形．当ACFE 时，点F 和点C 关于抛物线对称轴对称，从而得出F 点坐标；当ACED 时，可推出点F 的纵坐标为6，进一步求得结果．【解答】解：（1）当0x =时，6y =-，(0,6)C ∴-，当0y =时，212602x x --=，16x ∴=，22x =-，(2,0)A ∴-，(6,0)B ；（2）方法一：如图1，连接OP ，设点21(,26)2P m m m --，116322POC P S OC x m m ∆∴=⋅=⨯⋅=，211||3(26)22BOP P S OB y m m ∆=⋅=-++，11661822BOC S OB OC ∆=⋅=⨯⨯= ，PBC BOCPBOC S S S ∆∆∴=-四边形()POC POB BOCS S S ∆∆∆=+-2133(26)182m m m =+-++-2327(3)22m =--+，∴当3m =时，272PBC S ∆=最大；方法二：如图2，作PQ AB ⊥于Q ，交BC 于点D ，(6,0)B ，(0,6)C -，∴直线BC 的解析式为：6y x =-，(,6)D m m ∴-，2211(6)(26)322PD m m m m m ∴=----=-+，221113276(3)(3)22222PBC S PD OB m m m ∆∴=⋅=⨯⋅-+=--+，∴当3m =时，272PBC S ∆=最大；（3）如图3，当ACFE 时，//AE CF ， 抛物线对称轴为直线：2622x -+==，1F ∴点的坐标：(4,6)-，如图4，当ACEF 时，作FG AE ⊥于G ，6FG OC ∴==，当6y =时，212662x x --=，12x ∴=+，22x =-2(2F ∴+，6)，3(2F -，6)，综上所述：(4,6)F -或(2+，6)或(2-，6)．。
2023湖南娄底中考数学试卷
中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1．如图图形中是中心对称图形的为（）A．B． C． D．2.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈3．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝34.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（）A．1B．√22C．√3D．√335．对于反比例函数y=kx(k≠0)，下列所给的四个结论中，正确的是（）A．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A，B，则矩形O APB 的面积为kB．若点(2,4)在其图象上，则(−2,4)也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线y=x和y=−x成轴对称D．当k>0时，y随x的增大而减小二、填空题（共24分）1．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30∘方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60∘方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达（）。
（结果保留根号）2．把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。
3．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是。
4．把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。
5．已知方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是。
三、解答题（共20分）1．如图，把正方形ABCD绕点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H．求证：HG＝HB．2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD ＝21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动（到A点不停），动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）。
2020年湖南省娄底市中考数学试卷(后附答案及详尽解析)
2020年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2020•娄底）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．12020D．−120202．（3分）（2020•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a43．（3分）（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°4．（3分）（2020•娄底）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、115．（3分）（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）（2020•娄底）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C ．1.6959×1010元D ．1.6959×1011元7．（3分）（2020•娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．（3分）（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L 1＝L •cos α，阻力臂L 2＝l •cos β，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定 9．（3分）（2020•娄底）如图，平行于y 轴的直线分别交y =k 1x 与y =k 2x 的图象（部分）于点A 、B ，点C 是y 轴上的动点，则△ABC 的面积为（ ）A ．k 1﹣k 2B ．12（k 1﹣k 2）C ．k 2﹣k 1D ．12（k 2﹣k 1） 10．（3分）（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．18911．（3分）（2020•娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）A ．y ＝x 2+x +2B ．y =√x +1C ．y ＝x +1xD ．y ＝|x |﹣112．（3分）（2020•娄底）二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与x 轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2020•娄底）一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．14．（3分）（2020•娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是．15．（3分）（2020•娄底）若ba=dc=12（a≠c），则b−da−c=．16．（3分）（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝米．17．（3分）（2020•娄底）如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．18．（3分）（2020•娄底）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积（a﹣b）2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0、b＞0且a2+b2为定值，则当a b时，ab取得最大值．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2020•娄底）计算：|√3−1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（12）﹣1． 20．（6分）（2020•娄底）先化简（m m+3−2m m−3）÷m 2，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2020•娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t （h ）：A ．0≤t ≤0.5，B ．0.5＜t ≤1，C ．1＜t ≤1.5，D ．t ＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 人，a ＝ ．（2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t ≤0.5”部分的圆心角是 度．22．（8分）（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E 点距地面5m ，从E 点处测得D 点俯角为30°，斜面ED 长为4m ，水平面DC 长为2m ，斜面BC 的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB 的长．（结果精确到0.1m ，√2≈1.41，√3≈1.73）．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2020•娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？24．（9分）（2020•娄底）如图，▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC、AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF、AE、CF、DE．（1）试判定四边形AECF的形状，并说明理由；（2）求证：AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26．（10分）（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△P AC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）（2020•娄底）﹣2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．12020D．−12020【解答】解：﹣2020的倒数是−1 2020，故选：D．2．（3分）（2020•娄底）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a2+a2＝a4【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，原计算正确，故此选项符合题意；D、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．3．（3分）（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．72°【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故选：A．4．（3分）（2020•娄底）一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11【解答】解：x=7+8+10+12+135=10，从小到大排列处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10，故选：C．5．（3分）（2020•娄底）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选：B．6．（3分）（2020•娄底）2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法表示为（）A．16.959×1010元B．1695.9×108元C．1.6959×1010元D．1.6959×1011元【解答】解：1695.9亿元＝169590000000元＝1.6959×1011元，故选：D．7．（3分）（2020•娄底）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设所求正多边形边数为n，则60°•n＝360°，解得n＝6．故正多边形的边数是6．故选：B．8．（3分）（2020•娄底）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1＝L•cosα，阻力臂L2＝l•cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定【解答】解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，又∵动力臂L1＝L•cosα，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．9．（3分）（2020•娄底）如图，平行于y轴的直线分别交y=k1x与y=k2x的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（）A ．k 1﹣k 2B ．12（k 1﹣k 2） C ．k 2﹣k 1 D ．12（k 2﹣k 1） 【解答】解：由题意可知，AB =k 1x −k 2x ，AB 边上的高为x ，∴S △ABC =12×（k 1x −k 2x ）•x =12（k 1﹣k 2）， 故选：B ． 10．（3分）（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．189【解答】解：根据规律可得，2b ＝18，∴b ＝9，∴a ＝b ﹣1＝8，∴x ＝2b 2+a ＝162+8＝170，故选：C ．11．（3分）（2020•娄底）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）A ．y ＝x 2+x +2B ．y =√x +1C ．y ＝x +1xD ．y ＝|x |﹣1【解答】解：当y ＝0时，方程x 2+x +2＝0无实数根，因此选项A 不符合题意；方程√x +1＝0无实数根，因此选项B 不符合题意；方程x +1x=0无实数根，因此选项C 不符合题意； 方程|x |﹣1＝0的解为x ＝±1，因此选项D 符合题意， 故选：D ．12．（3分）（2020•娄底）二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2（a ＜b ）与x 轴的两个交点的横坐标分别为m 和n ，且m ＜n ，下列结论正确的是（ ） A ．m ＜a ＜n ＜bB ．a ＜m ＜b ＜nC ．m ＜a ＜b ＜nD ．a ＜m ＜n ＜b【解答】解：二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴交点的横坐标为a 、b ，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣2的图象，如图所示． 观察图象，可知：m ＜a ＜b ＜n ． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2020•娄底）一元二次方程x 2﹣2x +c ＝0有两个相等的实数根，则c ＝ 1 ． 【解答】解：∵一元二次方程x 2﹣2x +c ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣2）2﹣4c ＝0， 解得c ＝1． 故答案为1．14．（3分）（2020•娄底）口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是 25．【解答】解：∵袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，∴从中任意摸出一球，有5种等可能结果，其中摸到白色小球的有2种可能， ∴从中任意摸出一球，摸出白色球的概率是25，故答案为：25．15．（3分）（2020•娄底）若b a=d c=12（a ≠c ），则b−d a−c=12．【解答】解：∵b a=d c=12（a ≠c ），∴b−d a−c=12．故答案为：12．16．（3分）（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m （米），某车在标有R ＝300处的弯道上从点A 行驶了100π米到达点B ，则线段AB ＝ 300 米．【解答】解：∵100π=nπR 180=nπ⋅300180， ∴n ＝60°， 又AO ＝BO ，∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝AO ＝BO ＝300（米）， 故答案为：300．17．（3分）（2020•娄底）如图，四边形ABDC 中，AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2，则将它以AD 为轴旋转180°后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 3：2 ．【解答】解：∵两个圆锥的底面圆相同， ∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：12l •AB ，下面圆锥的侧面积为：12l •BD ，∵AB ＝AC ＝3，BD ＝CD ＝2， ∴S 上：S 下＝3：2， 故答案为：3：2．18．（3分）（2020•娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c 2等于小正方形的面积（a ﹣b ）2与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理a 2+b 2＝c 2，还可以用来证明结论：若a ＞0、b ＞0且a 2+b 2为定值，则当a ＝ b 时，ab 取得最大值．【解答】解：如图，作斜边c 上高h ，∵（a ﹣b ）2≥0， ∴a 2+b 2﹣2ab ≥0，又∵a 2+b 2＝c 2，a 2+b 2为定值，∴ab ≤c 22，∴ab 最大值为c 22，∵a ，b 为直角边的直角三角形面积=12a •b =12c •h ， ∴c 22=c •h ，∴h =c2，∵等腰直角三角形斜边上的高是斜边的一半， ∴当a ＝b 时，h =c2，故答案为：＝．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2020•娄底）计算：|√3−1|﹣3tan30°+（3.14﹣π）0+（12）﹣1．【解答】解：原式=√3−1﹣3×√33+1+2=√3−1−√3+1+2 ＝2．20．（6分）（2020•娄底）先化简（mm+3−2mm−3）÷mm 2−9，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值． 【解答】解：原式＝[m(m−3)(m+3)(m−3)−2m(m+3)(m+3)(m−3)]•(m+3)(m−3)m=m[(m−3)−2(m+3)](m+3)(m−3)•(m+3)(m−3)m＝（m ﹣3）﹣2（m +3） ＝m ﹣3﹣2m ﹣6 ＝﹣m ﹣9，当m ＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去； 当m ＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2020•娄底）我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间t （h ）：A ．0≤t ≤0.5，B ．0.5＜t ≤1，C ．1＜t ≤1.5，D ．t ＞1.5，将所得数据绘制成了如图不完整的统计图：（1）本次调查参加义务劳动的学生共 100 人，a ＝ 40 ． （2）补全条形统计图．（3）扇形图中“0≤t ≤0.5”部分的圆心角是 18 度．【解答】解：（1）本次调查参加义务劳动的学生共35÷35%＝100（人），∵100×a%＝40，∴a＝40，故答案为：100，40；（2）如图所示：；（3）∵1﹣20%﹣35%−40100×100%＝5%，∴扇形图中“0≤t≤0.5”部分的圆心角是360°×5%＝18°，故答案为：18．22．（8分）（2020•娄底）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4m，水平面DC长为2m，斜面BC的坡度为1：4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长．（结果精确到0.1m，√2≈1.41，√3≈1.73）．【解答】解：作DF⊥AE于F，DG⊥AB于G，CH⊥AB于H，如图所示：则DF＝GA，DC＝GH＝2，AF＝DG＝CH，由题意得：∠EDF＝30°，∴EF=12DE=12×4＝2，DF=√3EF＝2√3，∵AE＝5，∴CH＝AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵斜面BC的坡度为1：4=CH BH，∴BH＝4CH＝12，∴AB＝AG+GH+BH＝2√3+2+12＝2√3+14≈17.5（m），答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m．五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2020•娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶．求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？【解答】解：（1）设该校购进洗手液x 瓶，该校购进84消毒液y 瓶， 依题意有{x +y =40025x +15y =7200，解得{x =120y =280．故该校购进洗手液120瓶，该校购进84消毒液280瓶； （2）设能购买洗手液a 瓶，则能购买洗手液（150﹣a ）瓶， 依题意有25a +15（150﹣a ）≤2500， 解得a ≤25．故最多能购买洗手液25瓶．24．（9分）（2020•娄底）如图，▱ABCD 中，BC ＝2AB ，AB ⊥AC ，分别在边BC 、AD 上的点E 与点F 关于AC 对称，连接EF 、AE 、CF 、DE ． （1）试判定四边形AECF 的形状，并说明理由； （2）求证：AE ⊥DE ．【解答】（1）解：四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠OAF ＝∠OCE ，∵点E 与点F 关于AC 对称， ∴AE ＝AF ，CE ＝CF ，OE ＝OF ，在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCF∠AOF =∠COE OF =OE，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形；（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ACB＝30°，∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°＝∠B，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∴∠AEC＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝120°，又∵CE＝AE，∴CE＝BE=12BC＝AB＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，∴AE⊥DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB＝∠BED＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴△ABD∽△DBE，∴ABBD =BDBE，∴5BD =BD4，∴BD＝2√5；（3）解：CE＝AB﹣BE，过D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH ＝DE ，在Rt △BED 与Rt △BHD 中，{DE =DHBD =BD ，∴Rt △BED ≌Rt △BHD （HL ）， ∴BH ＝BE ，∵∠DCE ＝∠A ，∠DGA ＝∠DEC ＝90°， ∴△ADH ≌△CDE （AAS ）， ∴AH ＝CE ， ∵AB ＝AH +BH ， ∴AB ＝BE +CE ， ∴CE ＝AB ﹣BE ．26．（10分）（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△P AC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1），把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣3，0），C （0，3）代入得到{0=−3k +b 3=b， 解得{k =1b =3， ∴直线AC 的解析式为y ＝x +3．当﹣3＜m ＜0时，点P （m ，n ）在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则P （m ，﹣m 2﹣2m +3），Q （m ，m +3），∴PQ ＝﹣m 2﹣2m +3﹣（m +3）＝﹣m 2﹣3m ，＝﹣（m +32）2+94，∵﹣3＜m ＜0，∴当m =−32时，PQ 的值最大，此时S △P AC =12•PQ •AO =32PQ 最大，∴m =−32．（3）由A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），可得AB ＝4，OB ＝1，OC ＝3，∵BC 2＝10，∠CAO ＝45°，∴BA 2﹣BC 2＝6，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ．则∠AHB ＝90°，∠DBA ＝∠CAO ＝45°，∴DA 2﹣DC 2＝HA 2﹣HC 2＝AB 2﹣BC 2＝6，∵∠CAO ＝∠DBA ，∴BD ，AC 关于AB 的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称， ∴点D 与点C 关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称，∵C （0，3），∴点D 的坐标为（﹣2，3）．方法二：设D点的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3），然后用两点间的距离公式表示DA和DC，最后会得到关于n的一元二次方程，最后解的n＝1和﹣2，由题意可知，1不符合舍弃最后得到n＝﹣2，所以D的坐标就是（﹣2，3）．。
湖南省娄底市中考数学试题(word版,含答案解析)
娄底市初中毕业学业考试数学试题卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，请把你认为符合题目要求选项填涂在答题卡上相应题号下方框里)1. 2018相反数是（）A. B. 2018 C. -2018 D.【答案】C【解析】【分析】根据只有符号不同两个数互为相反数进行解答即可得.【详解】2018与-2018只有符号不同，由相反数定义可得2018相反数是-2018，故选C.【点睛】本题考查了相反数定义，熟练掌握相反数定义是解题关键.2. 一组数据-3，2，2，0，2，1众数是（）A. -3B. 2C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】一组数据中次数出现最多数据是众数，根据众数定义进行求解即可得.【详解】数据数据-3，2，2，0，2，1中，2出现了3次，出现次数最多，其余都出现了1次，所以这组数据众数是2，故选B.【点睛】本题考查了众数定义，熟练掌握众数定义是解题关键.3. 随着我国综合国力提升，中华文化影响日益增强，学中文外国人越来越多，中文已成为美国居民第二外语，美国常讲中文人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|<10，n为整数、确定n值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n绝对值与小数点移动位数相同、当原数绝对值>1时，n是正数；当原数绝对值<1时，n是负数、【详解】210万=2100000，2100000=2.1×106，故选B、【点睛】本题考查科学记数法表示方法、科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a值以及n值、4. 下列运算正确是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂乘法、积乘方、完全平方公式、多项式乘法法则逐项进行计算即可得.【详解】A. ，故A选项错误，不符合题意；B. ，故B选项错误，不符合题意；C. ，故C选项错误，不符合题意；D. ，正确，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了整式运算，熟练掌握同底数幂乘法、积乘方、完全平方公式、多项式乘法运算法则是解题关键.5. 关于一元二次方程根情况是（）A. 有两不相等实数根B. 有两相等实数根C. 无实数根D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根判别式进行判断即可.【详解】，△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根判别式△=b2-4ac、当△＞0时，方程有两个不相等实数根；当△=0时，方程有两个相等实数根；当△＜0时，方程没有实数根、6. 不等式组最小整数解是（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式解集，然后确定出不等式组解集，即可求出最小整数解. 【详解】，解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x>-1，所以不等式组解集是：-1<x≤2，所以最小整数解为0，故选B.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组整数解，熟练掌握一元一次不等式组解法是关键.7. 下图所示立体图形俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到图形，根据俯视图是从物体上面看得到视图即可、【详解】从物体上面看可看到有两列小正方形，左边一列有1个，右边一列有两个，得到图形如图所示：故选B.【点睛】本题考查了几何体三视图，明确每个视图是从几何体哪一面看得到是解题关键.8. 函数中自变量取值范围是（）A. B. C. 且x≠3 D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义条件、分式有意义条件进行求解即可得.【详解】由题意得：，解得：x≥2且x≠3，故选C.【点睛】本题考查了函数自变量范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负、9. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得直线表达式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”原则进行解答即可、【详解】由“左加右减”原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4，故选A.【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟知函数图象平移法则是解答此题关键、10. 如图，往竖直放置在处由软管连接粗细均匀细管组成“形装置中注入一定量水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱长度约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据旋转后两侧液面高度相等，而且软管中液体总长度与原来是一样，结合已知可知此时AB 中水柱长度为左边水柱长度2倍，据此即可得.【详解】如图，旋转后AB中水柱长度为AD，左侧软管中水柱长度为EF，由题意则有EF+AD=2×6=12cm，∵∠DAM=90°-60°=30°，∠AMD=90°，∴AD=2DM，∵EF=DM，∴AD=8cm，故选C.【点睛】本题主要考查了30度角所对直角边是斜边一半，旋转性质等，解本题关键是明确旋转前后软管中水柱长度是不变.11. 如图，由四个全等直角三角形围成大正方形面积是169，小正方形面积为49，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设直角三角形直角边长分别为x、y（x>y），根据大正方形面积为169，小正方形面积为49可得关于x、y方程组，解方程组求得x、y值，然后利用正弦、余弦定义进行求解即可得.【详解】设直角三角形直角边长分别为x、y（x>y），由题意得，解得：或（舍去），∴直角三角形斜边长为13，∴sinα-cosα=，故选D.【点睛】本题考查了解直角三角形应用，根据题意求出直角三角形三边长是解题关键.12. 已知: 表示不超过最大整数，例: ，令关于函数(是正整数)，例：=1，则下列结论错误．．是（）A. B.C. D. 或1【答案】C【解析】【分析】根据新定义运算逐项进行计算即可做出判断.【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；B. ===，=，所以，故B选项正确，不符合题意；C. =，= ，当k=3时，==0，= =1，此时，故C选项错误，符合题意；D.设n为正整数，当k=4n时，==n-n=0，当k=4n+1时，==n-n=0，当k=4n+2时，==n-n=0，当k=4n+3时，==n+1-n=1，所以或1，故D选项正确，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算法则，运用分类讨论思想是解题关键.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，则面积为___________.【答案】1【解析】【分析】设P点坐标为（m，n），根据三角形面积公式以及点P在反比例函数图象上即可得.【详解】设P点坐标为（m，n），则有mn=2，OA=|m|，PA=|n|，S△POA=OA•PA=|m|•|n|=1，故答案为：1.【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k几何意义，有到知识为：在反比例函数图象上点横纵坐标积等于反比例函数比例系数、14. 如图，是内心，连接，面积分别为，则___________.(填“<”或“=”或“>”)【答案】＜【解析】【分析】根据点P是△ABC内心，可知点P到△ABC三边距离相等，设这个距离为h，根据三角形面积公式表示出S1、S2+S3，然后再根据三角形三边关系进行判断即可.【详解】∵点P是△ABC内心，∴点P到△ABC三边距离相等，设这个距离为h，∴S1=AB•h，S2+S3=BC•h+AC•h，∵AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3，故答案为：＜.【点睛】本题考查了三角形内心性质，三角形三边关系，熟知三角形内心到三角形三边距离相等是解本题关键.15. 从·2018·高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试.学生已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理可能性相等，选化学、生物可能性相等，则选修地理和生物概率为___________.【答案】【解析】【分析】列表格得出所有等可能情况，然后再找出符合题意情况，根据概率公式进行计算即可得. 【详解】列表格：政治历史地理化学化学，政治化学，历史化学，地理生物生物，政治生物，历史生物，地理从表格中可以看出一共有6种等可能情况，选择地理和生物有1种情况，所以选择地理和生物概率是，故答案为：.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比、16. 如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.【答案】6【解析】【分析】由等腰三角形性质可得∠C ＝∠ABC， BD=DC=BC，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证△BED∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例即可求得.【详解】∵AB=AC，∴∠C ＝∠ABC ，又∵AD ⊥BC于D 点，∴ BD=DC=BC，又DE ⊥AB，BF ⊥AC，∴∠BED=∠CFB=90°，∴△BED∽△CFB，∴DE：BF=BD：BC=1：2，∴BF=2DE=2×3=6cm ，故答案为：6.【点睛】本题考查了等腰三角形性质、相似三角形判定与性质，得到△BED∽△CFB是解本题关键.17. 如图，已知半圆与四边形边都相切，切点分别为，半径，则___________.【答案】1【解析】【分析】连接OE，由切线长定理可得∠AOE=∠DOE，∠BOE=∠EOC，再根据∠DOE+∠EOC=180°，可得∠AOB=90°，继而可证△AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得. 【详解】连接OE，∵AD、AB与半圆O 相切，∴ OE⊥AB，OA平分∠DOE，∴∠AOE=∠DOE，同理∠BOE=∠EOC，∵∠DOE+∠EOC=180°，∴∠AOE+∠BOE=90°，即∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠AOE=90°，∴∠ABO=∠AOE，∵∠OEA=∠BEO=90°，∴△AEO∽△OEB，∴AE：OE=OE：BE，∴AE•BE=OE²=1，故答案为：1.【点睛】本题考查了切线长定理、相似三角形判定与性质等，证得△AEO∽△OEB是解题关键. 18. 设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)已知，.则___________.【答案】4035【解析】【分析】整理得，从而可得a n+1-a n=2或a n=-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n表达式，继而可得a2018.【详解】∵，∴，∴，∴a n+1=a n+1-1或a n+1=-a n+1+1，∴a n+1-a n=2或a n=-a n+1，又∵是一列正整数，∴a n=-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n=2，又∵a1=1，∴a2=3，a3=5，……，a n=2n-1，∴a2018=2×2018-1=4035，故答案为：4035.【点睛】本题考查了完全平方公式应用、平方根应用、规律型题，解题关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n=2.三、解答题19. 计算: .【答案】10【解析】【分析】先分别进行0次幂计算、负指数幂计算、二次根式以及绝对值化简、特殊角三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】原式=1+9-+4=10-+=10.【点睛】本题考查了实数混合运算，涉及到0指数幂、负指数幂、特殊角三角函数值等，熟练掌握各运算运算法则是解题关键.20. 先化简，再求值: ，其中.【答案】原式==3+2【详解】原式===，当x=时，原式==3+2.【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键.21. 为了取得扶贫工作胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识培训与测试，随机抽取了部分人员测试成绩作为样本，并将成绩划分为四个不同等级，绘制成不完整统计图如下图，请根据图中信息，解答下列问题；(1)求样本容量；(2)补全条形图，并填空: ；(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为级人数为多少?【答案】(1)60；(2)10；(3)2000【解析】【分析】（1）根据B等级人数为18，占比为30%即可求得样本容量；（2）用样本容量减去A等级、B等级、D等级人数求得C等级人数，补全条形图，用D等级人数除以样本容量再乘以100%即可求得n；（3）用5000乘以A等级所占比即可求得.【详解】（1）样本容量为：18÷30%=60；（2）C等级人数为：60-24-18-6=12，补全条形图如图所示：6÷60×100%=10% ，所以n=10，故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为级人数为：5000×=2000（人）.【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体，能从统计图中得到必要信息是解题关键.22. 如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼高达，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上第二高楼高，为了测量高楼上发射塔高度，在楼底端点测得仰角为α，，在顶端E测得A仰角为，求发射塔高度.【答案】AB高度为28米【解析】【分析】设AB高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，继而可得BF＝112米，从而可得AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，根据等腰直角三角形性质可得EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，由sinａ=，可得tanａ=，再由tanａ＝得到关于x方程，解方程即可求得AB长. 【详解】设AB高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，∴BF＝452－340＝112米，∴AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，∠FAB＝∠AEF＝45°，∴EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，sinａ==，设AC=24k，AD=25k(k>0)，由勾股定理则有CD==7k，∴tanａ==，Rt△ACD中，AC=（452+x）米，tanａ＝=，解得x=28，答：发射塔AB高度是28米..【点睛】此题主要考查了解直角三角形应用，解题关键是从题目中整理出直角三角形并正确利用边角关系求解、23. “绿水青山，就是金山银山”，某旅游景区为了保护环境，需购买两种型号垃圾处理设备共10台，已知每台型设备日处理能力为12吨；每台型设备日处理能力为15吨，购回设备日处理能力不低于140吨.(1)请你为该景区设计购买两种设备方案；(2)已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问:采用(1)设计哪种方案，使购买费用最少，为什么?【答案】（1）共有4种方案，具体方案见解析；（2）购买A型设备2台、B型设备8台时费用最少.（2）针对（1）中方案逐一进行计算即可做出判断.【详解】（1）设该景区购买设计A型设备为x台、则B型设备购买（10-x）台，其中0 ≤x ≤10，由题意得：12x+15（10－x）≥140，解得x≤，∵0 ≤x ≤10，且x是整数，∴x＝3，2，1，0，∴B型相应台数分别为7，8，9，10，∴共有4种方案：方案一：A型设备3 台、B型设备7 台；方案二：A型设备2 台、B型设备8 台；方案三：A型设备1 台、B型设备9 台；方案四：A型设备0 台、B型设备10 台.（2）方案二费用最少，理由如下：方案一购买费用: 3 ×3+4.4 ×7=39.8 （万元）＜40 （万元）∴费用为39.8（万元），方案二购买费用: 2 ×3+4.4 ×8=41.2 （万元）＞40 （万元）∴费用为41.2 ×90%=37.08（万元）方案三购买费用：3 ×1+4.4 ×9=42.6 （万元）＞40 （万元）∴费用为42.6 ×90%=38.34（万元）方案四购买费用：4.4 ×10=44 （万元）＞40 （万元）∴费用为44 ×90%=39.6（万元）∴方案二费用最少，即A型设备2台、B型设备8台时费用最少.【点睛】本题考查了一元一次不等式应用、最优购买方案，弄清题意，找到不等关系列出不等式是解题关键.24. 如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.(1)求证: ；(2)判断四边形形状，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BED是菱形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分四边形是平行四边形，由已知可得四边形ABCD是平行四边形，继而可根据ASA证明ΔAOE≌ΔCOF；（2）由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF，再根据OB=OD可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.【详解】（1）∵OA=OC、OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：∵△AOE≌△COF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴平行四边形DEBF是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质、菱形判定，熟记平行四边形判定与性质定理、菱形判定定理是解本题关键.25. 如图，是以为直径上点，，弦交于点.(1)当是切线时，求证: ；(2)求证: ；(3)已知，是半径中点，求线段长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE＝【解析】【分析】（1）由AB是直径，可得∠DAB+∠ABD＝90°，再根据PB是⊙O切线，可得∠ABD+∠PBD＝90°，根据同角余角相等即可证得∠PBD＝∠DAB；（2）证明△BCE∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例可得BC2＝CE•CD，再根据CD=CE+DE 经过推导即可得BC2- CE2= CE•DE；(3) 连接OC，由，AB是直径，可得∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理则有CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO²，再根据OA=4 ，E 是半径OA 中点，继而可得BC=4，CE=2，再根据（2）中BC²-CE²=CE·DE，即可求得DE长.【详解】（1）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠ABD＝90°，又∵ PB是⊙O切线，∴PB⊥AB，∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°，∴∠PBD＝∠DAB；（2）∵，∴∠BDC＝∠EBC，又∵∠BCE＝BCD，∴△BCE∽△DCB，∴BC：CE=CD：BC，∴BC2＝CE•CD，∴BC2＝CE(CE+DE)，∴BC2＝CE2+CE•DE，∴BC2- CE2= CE•DE；(3)连接OC，∵，AB是直径，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO²，∵OA=4 ，E 是半径OA 中点，∴BC=4，CE=2，由（2）中BC²-CE²=CE·DE，所以DE=(BC²-CE²)÷CE=12÷2= ，故DE=.【点睛】本题是综合题，考查了切线性质、相似三角形判定与性质、圆周角定理等，解题关键是正确添加辅助线、熟练应用切线性质、相似三角形判定与性质是解题关键.26. 如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线顶点，是线段中点.(1)求抛物线解析式，并写出点坐标;(2) 是抛物线上动点；①当时，求面积最大值；②当时，求点坐标.【答案】（1）y=-x2+2x+3，D(1,4)； (2) ①当x=2时，S最大值=1；②F（－，－2－２）或（2－，－2+2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线解析式，然后再配方成顶点式即可得点D坐标；（2）①由x＞1，y＞0，可以确定点F是直线BD上方抛物线上动点，F（x, -x2+2x+3），过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，由B、D坐标易得y BD=-2x+6，继而得M（x，-2x+6），从而得到FM=-(x-2)2+1，再根据S△BDF=S△DFM+S△BFM，从而可得S△BDF=-(x-2)2+1，根据二次函数性质即可得；②分点F在x轴上方抛物线上，点F在x轴下方、y轴左侧抛物线上两种情况进行讨论即可得. 【详解】（1）抛物线与两坐标轴相交于点由题意得：，解得：，所以抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，配方得y=-(x-1)2+4，∴抛物线顶点D坐标为（1，4）；（2）①∵x＞1，y＞0，∴点F是直线BD上方抛物线上动点，则F（x, -x2+2x+3），过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，∵B（3，0）， D（1，4），∴y BD=-2x+6，则M（x，-2x+6），∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1，∵S△BDF=S△DFM+S△BFM，∴S△BDF=FM•（x-1|）+FM•（3-x）=FM•(x-1+3-x)=FM =-(x-2)2+1，∴当x=2时，S最大值＝1；②当FE∥BD，且点F在x轴上方抛物线上时，设FE解析式为y=-2x+b，∵直线FE过点E（1，0），∴b=2，y FE=-2x+2，联立y=-2x+2与y=-x2+2x+3，解得F（2－，－2+2）；当F在x轴下方、y轴左侧抛物线上时，设直线EF与直线BD交于点N，∵∠AEF=∠NEB，又∵∠AEF＝∠DBE，∴∠NEB＝∠DBE，∴NE=NB，∴点N横坐标为2，又∵点N在直线y BD=-2x+6上，∴N（2，2），∴yＥN＝2x-2，联立y=2x-2与y=-x2+2x+3，解得F（－，－2－2），综上所述F（－，－2－2）或（2－，－2+2）.【点睛】本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法、二次函数最值、解方程组、分类讨论等，解题关键是正确添加辅助线.。
湖南省娄底市中考数学试卷含答案解析版
2017年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）2017的倒数是（ ）A ．12017B ．2017C ．﹣2017D ．﹣120172．（3分）十八大以来，以习近平同志为核心的党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的突出位置，2013﹣2017年这5年约有6600万人将脱贫，相当于一个法国的人口，将“6600万”这个数用科学记数法表示是（ ）A ．×103B ．×107C ．×108D ．×10113．（3分）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（3分）在射击训练中，小强哥哥射击了五次，成绩（单位：环）分别为：8，9，7，10，9，这五次成绩的众数和中位数分别是（ ）A ．9，9B ．7，9C ．9，7D ．8，95．（3分）“珍爱生命，拒绝毒品”，学校举行的2017年禁毒知识竞赛共有60道题，曾浩同学答对了x 道题，答错了y 道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，那么下面列出的方程组中正确的是（ ） A ．{x +y =60x −7y =4 B ．{x +y =60y −7x =4C ．{x =60−y x =7y −4D ．{y =60−x y =7x −46．（3分）如图的几何体中，主视图是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k=4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤48．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=kx与一次函数y=kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（）A．（5，0）B．（8，0）C．（0，5）D．（0，8）11．（3分）湖南省2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩=笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是86分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（）A．分B．4分C．5分D．6分12．（3分）已知x2a﹣y2b=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，若x2m+3+y22m−4=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）要使二次根式√x−2有意义，则x的取值范围是．14．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．15．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是．16．（3分）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是厘米，则我国南北的实际距离大约是千米（结果精确到1千米）17．（3分）刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第个．18．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是（用含m的代数式表示）三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：√8﹣（13）﹣1﹣4cos45°+（π﹣√3）0．20．（6分）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议，教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查，要求被抽查的学生从物理、化学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中，挑选出一科作为自己的首选科目，将调查数据汇总整理后，绘制出了如图的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）被抽查的学生共有多少人？（2）将折线统计图补充完整；（3）我市现有九年级学生约40000人，请你估计首选科目是物理的人数．22．（8分）数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角∠BAC为°，再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1：，请你求出仙女峰的高度（参考数据：°≈）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）坐火车从上海到娄底，高铁G1329次列车比快车K575次列车少需要9小时，已知上海到娄底的铁路长约1260千米，G1329的平均速度是K575的倍．（1）求K575的平均速度；（2）高铁G1329从上海到娄底只需几小时？24．（9分）如图，在?ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．（1）求证：△ABG≌△CDE；（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：2CE2=AB?EF．26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE 沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．2017年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2017?娄底）2017的倒数是（）A．12017B．2017 C．﹣2017 D．﹣12017【考点】17：倒数．【分析】依据倒数的定义求解即可．【解答】解：2017的倒数是1 2017．故选：A．【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．2．（3分）（2017?娄底）十八大以来，以习近平同志为核心的党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的突出位置，2013﹣2017年这5年约有6600万人将脱贫，相当于一个法国的人口，将“6600万”这个数用科学记数法表示是（）A．×103B．×107C．×108D．×1011【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将6600万用科学记数法表示为×107．故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2017?娄底）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（）A． B． C．D．【考点】P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．（3分）（2017?娄底）在射击训练中，小强哥哥射击了五次，成绩（单位：环）分别为：8，9，7，10，9，这五次成绩的众数和中位数分别是（）A．9，9 B．7，9 C．9，7 D．8，9【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】出现次数最多的数据叫做众数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间一个数字就是这组数据的中位数．【解答】解：出现次数最多的是9，故众数是9；将这组数据按照从小到大的顺序排列为：7、8、9、9、10．故中位数为9．故选：A．【点评】本题主要考查的是众数、中位数的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．5．（3分）（2017?娄底）“珍爱生命，拒绝毒品”，学校举行的2017年禁毒知识竞赛共有60道题，曾浩同学答对了x 道题，答错了y 道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）A ．{x +y =60x −7y =4B ．{x +y =60y −7x =4C ．{x =60−y x =7y −4D ．{y =60−x y =7x −4【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，{x +y =60x −7y =4， 故选A ，【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．6．（3分）（2017?娄底）如图的几何体中，主视图是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】U1：简单几何体的三视图；R5：中心对称图形．【分析】球是主视图是圆，圆是中心对称图形．【解答】解：球是主视图是圆，圆是中心对称图形，故选C ．【点评】本题考查三视图、中心对称图形等知识，解题的关键是熟练掌握三视图、中心对称图形的概念，属于中考常考题型．7．（3分）（2017?娄底）若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k=4B ．k ＞4C ．k ≤4且k ≠0D ．k ≤4【考点】AA ：根的判别式．【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+1=0有实数根，∴{k ≠0△=(−4)2−4k ≥0， 解得：k ≤4且k ≠0．故选C ．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．8．（3分）（2017?娄底）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=k x 与一次函数y=kx ﹣1（k 为常数，且k ＞0）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象．【分析】先根据k 的符号，得到反比例函数y=k x与一次函数y=kx ﹣1都经过第一、三象限或第二、四象限，再根据一次函数y=kx ﹣1与y 轴交于负半轴，即可得出结果．【解答】解：当k ＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A 、C 选项错误；∵一次函数y=kx ﹣1与y 轴交于负半轴，∴D 选项错误，B 选项正确，故选：B ．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k 的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．9．（3分）（2017?娄底）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【考点】JA：平行线的性质．【分析】根据平行线的性质可得∠C=∠2=60°，再根据三角形内角与外角的性质可得∠1的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠2=60°，∵∠A=45°，∴∠1=60°﹣45°=15°，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．10．（3分）（2017?娄底）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A （3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（）A．（5，0）B．（8，0）C．（0，5）D．（0，8）【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用旋转的性质得出OB′的长，进而得出答案．【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），∴AO=3，BO=4，∴AB=√32+42=5，∴AB=AB′=5，故OB′=8，∴点B′的坐标是（8，0）．故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理以及坐标与图形的性质，正确得出AB′的长是解题关键．11．（3分）（2017?娄底）湖南省2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩=笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是86分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（）A．分B．4分C．5分D．6分【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，她的面试成绩必须比竞争对手多x分，根据小红姐姐的笔试成绩×60%+多出的面试成绩×40%=竞争对手的笔试成绩×60%，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，她的面试成绩必须比竞争对手多x分，根据题意得：82×60%+40%x=86×60%，解得：x=6．答：小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多6分．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据小红姐姐的笔试成绩×60%+多出的面试成绩×40%=竞争对手的笔试成绩×60%，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．12．（3分）（2017?娄底）已知x2a﹣y2b=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，若x2m+3+y22m−4=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】根据解不等式组的方法解答即可．【解答】解：∵x2m+3+y22m−4=1表示焦点在x轴上的双曲线，∴{m+3＞02m−4＜0，解得：﹣3＜m＜2，故选D．【点评】本题考查了不等式组的解集，正确的解答不等式组是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2017?娄底）要使二次根式√x−2有意义，则x的取值范围是x≥2 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．（3分）（2017?娄底）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是AB=DC ．【考点】KC：直角三角形全等的判定．【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt △DCB，添加的条件是：AB=DC．【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB=DC．故答案为：AB=DC．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．15．（3分）（2017?娄底）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是13．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L 1发光的有2种情况，∴能让灯泡L 1发光的概率为：26=13． 故答案为：13． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比16．（3分）（2017?娄底）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是厘米，则我国南北的实际距离大约是 5500 千米（结果精确到1千米）【考点】S2：比例线段．【分析】由比例尺的定义计算可得．【解答】解：我国南北的实际距离大约是×=0（cm ）≈5500（km ），故答案为：5500．【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握比例尺的定义是解题的关键．17．（3分）（2017?娄底）刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第 2017 个．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】仔细观察发现每增加一个正六边形其火柴根数增加5根，将此规律用代数式表示出来即可，然后代入10086求解即可．【解答】解：由图可知：第1个图形的火柴棒根数为6；第2个图形的火柴棒根数为11；第3个图形的火柴棒根数为16；…由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，火柴棒的个数增加5， 所以可以得出规律：搭第n 个图形需要火柴根数为：6+5（n ﹣1）=5n+1， 令5n+1=10086，解得：n=2017．故答案为：2017．【点评】本题考查了图形的变化类问题，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可．18．（3分）（2017?娄底）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D 为AC 的中点，点E ，F 分别是线段AB ，CB 上的动点，且∠EDF=90°，若ED 的长为m ，则△BEF 的周长是 （√2m+2） （用含m 的代数式表示）【考点】KD ：全等三角形的判定与性质；KW ：等腰直角三角形．【分析】先判断出∠ADE=∠BDF ，进而判断出△ADE ≌△BDF 得出AE=BF ，DE=DF ，利用勾股定理求出EF 即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD ，在等腰Rt △ABC 中，点D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD=AD=CD ，∠DBC=∠A=45°，∠ADB=90°，∵∠EDF=90°，∴∠ADE=∠BDF ，在△ADE 和△BDF 中，{∠A =∠DBFAD =BD ∠ADE =∠BDF，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE=BF，DE=DF，在Rt△DEF中，DF=DE=m．∴EF=√2DE=√2m，∴△BEF的周长为BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+√2m，故答案为：（√2m+2）【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是判断出DF=DE．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2017?娄底）计算：√8﹣（13）﹣1﹣4cos45°+（π﹣√3）0．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】分别根据二次根式的化简、负指数幂的运算、特殊三角函数值和零次幂的计算分别求值，再求和即可．【解答】解：√8﹣（13）﹣1﹣4cos45°+（π﹣√3）0=2√2﹣3﹣4×√2 2+1=2√2﹣3﹣2√2+1=﹣2．【点评】本题主要考查实数的有关计算，掌握二次根式的化简、负指数幂和零次幂的计算是解题的关键．20．（6分）（2017?娄底）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】化简整式得原式=﹣ab，根据韦达定理可得ab=﹣2，即可得出答案．【解答】解：原式=a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+ab=﹣ab，∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2．【点评】本题主要考查整式的化简求值和韦达定理，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及韦达定理是解题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2017?娄底）为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议，教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查，要求被抽查的学生从物理、化学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中，挑选出一科作为自己的首选科目，将调查数据汇总整理后，绘制出了如图的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）被抽查的学生共有多少人？（2）将折线统计图补充完整；（3）我市现有九年级学生约40000人，请你估计首选科目是物理的人数．【考点】VD：折线统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】（1）根据政治科目的人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数乘以历史科目的百分比可得其人数，从而补全折线图；（3）总人数乘以样本中物理科目人数所占比例即可得．【解答】解：（1）由图知把政治作为首选的324人，占全校总人数的百分比为36%，全校总人数为：324÷36%=900人，答：被抽查的学生共有900人．（2）本次调查中，首选历史科目的人数为900×6%=54，补全折线图如下：（3）40000×180900=8000，答：估计首选科目是物理的人数为8000人．【点评】此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）（2017?娄底）数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A 处测得山顶B 的仰角∠BAC 为°，再由A 沿水平方向前进377米到达山脚C 处，测得山坡BC 的坡度为1：，请你求出仙女峰的高度（参考数据：°≈）【考点】TA ：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，通过解直角△ABD 和坡度的定义来求BD 的长度即可．【解答】解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，∵山坡BC 的坡度为1：，∴BD CD =10.6， 则CD=．∵∠BAC 为°，∴°=BD AD =BD AC+CD ．∵AC=377米，°≈，∴BD 377+0.6BD≈， 解得BD=725（米）．答：仙女峰的高度约为725米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2017?娄底）坐火车从上海到娄底，高铁G1329次列车比快车K575次列车少需要9小时，已知上海到娄底的铁路长约1260千米，G1329的平均速度是K575的倍．（1）求K575的平均速度；（2）高铁G1329从上海到娄底只需几小时？【考点】B7：分式方程的应用．【分析】（1）设K575的平均速度为x 千米/小时，根据高铁G1329次列车比快车K575次列车少需要9小时列出分式方程，解方程即可；（2）求出G1329的平均速度，计算即可．【解答】解：（1）设K575的平均速度为x 千米/小时，则G1329的平均速度是千米/小时，由题意得，1260x =12602.5x+9， 解得，x=84，答：K575的平均速度为84千米/小时；（2）高铁G1329从上海到娄底需要：126084×2.5=6（小时）， 答：高铁G1329从上海到娄底只需6小时．【点评】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24．（9分）（2017?娄底）如图，在?ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．（1）求证：△ABG ≌△CDE ；（2）猜一猜：四边形EFGH 是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH 的面积．【考点】L5：平行四边形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到AB=CD ，∠BAG=∠DCE ，∠ABG=∠CDE ，进而判定△ABG ≌△CDE ；（2）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG ，进而判定四边形EFGH 是矩形；（3）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG=12AB=3，AG=3√3=CE ，BF=12BC=2，CF=2√3，进而得出EF 和GF 的长，可得四边形EFGH 的面积．【解答】解：（1）∵GA 平分∠BAD ，EC 平分∠BCD ，∴∠BAG=12∠BAD ，∠DCE=12∠DCB ， ∵?ABCD 中，∠BAD=∠DCB ，AB=CD ，∴∠BAG=∠DCE ，同理可得，∠ABG=∠CDE ，∵在△ABG 和△CDE 中，{∠BAG =∠DCEAB =CD ∠ABG =∠CDE，∴△ABG ≌△CDE （ASA ）；（2）四边形EFGH 是矩形．证明：∵GA 平分∠BAD ，GB 平分∠ABC ，∴∠GAB=12∠BAD ，∠GBA=12∠ABC ， ∵?ABCD 中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA=12（∠DAB+∠ABC ）=90°，即∠AGB=90°，同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；（3）依题意得，∠BAG=12∠BAD=30°，∵AB=6，∴BG=12AB=3，AG=3√3=CE，∵BC=4，∠BCF=12∠BCD=30°，∴BF=12BC=2，CF=2√3，∴EF=3√3﹣2√3=√3，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF=√3．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2017?娄底）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）求证：2CE2=AB?EF．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MB ：直线与圆的位置关系．【分析】（1）在Rt △BCD 中，解直角三角形即可；（2）欲证明DE 是切线，只要证明OD ⊥DE 即可；（3）首先证明EF 是△ADC 的中位线，再证明△ACD ∽△ABC 即可解决问题；【解答】解：（1）∵BC 是直径，∴∠BDC=90°，在Rt △BCD 中，∵BC=10，∠BCD=36°，∴BD=BC?sin36°=10?sin36°≈．（2）连接OD ．∵AE=EC ，OB=OC ，∴OE ∥AB ，∵CD ⊥AB ，∴OE ⊥CD ，∵OD=OC ，∴∠DOE=∠COE ，在△EOD 和△EOC 中，{OD =OC∠DOE =∠COE OE =OE，∴△EOD ≌△EOC ，∴∠EDO=∠ECO=90°，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线．（3）∵OE⊥CD，∴DF=CF，∵AE=EC，∴AD=2EF，∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AC2=AD?AB，∵AC=2CE，∴4CE2=2EF?AB，∴2CE2=EF?AB．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）（2017?娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．【考点】HF ：二次函数综合题．【分析】（1）把A （﹣4，0），B （1，0），点C （0，2）即可得到结论；（2）由题意得AD=2t ，DF=AD=2t ，OF=4﹣4t ，由于直线AC 的解析式为：y=12x+2，得到E （2t ﹣4，t ），①当∠EFC=90°，则△DEF ∽△OFC ，根据相似三角形的性质得到结论；②当∠FEC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；③当∠ACF=90°，根据勾股定理得到结论；（3）求得直线BC 的解析式为：y=﹣2x+2，当D 在y 轴的左侧时，当D 在y 轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0），点C （0，2）代入y=ax 2+bx+c 得，{16a −4b +c =0a +b +c =0c =2，∴{a =−12b =−32c =2，∴抛物线的解析式为：y=﹣12x 2﹣32bx+2， 对称轴为：直线x=﹣32； （2）存在，∵AD=2t ，∴DF=AD=2t ，∴OF=4﹣4t ，∴D （2t ﹣4，0），∵直线AC 的解析式为：y=12x+2， ∴E （2t ﹣4，t ），∵△EFC 为直角三角形，①当∠EFC=90°，则△DEF ∽△OFC ，∴DE OF =DF OC ，即t 4−4t =2t 2， 解得：t=34， ②当∠FEC=90°，∴∠AEF=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴DE=12AF ，即t=2t ， ∴t=0，（舍去），③当∠ACF=90°，则AC 2+CF 2=AF 2，即（42+22）+[22+（4t ﹣4）2]=（4t ）2，解得：t=54， ∴存在某一时刻t ，使得△EFC 为直角三角形，此时，t=34或54； （3）∵B （1，0），C （0，2），∴直线BC 的解析式为：y=﹣2x+2，当D 在y 轴的左侧时，S=12（DE+OC ）?OD=12（t+2）?（4﹣2t ）=﹣t 2+4 （0＜t ＜2），当D 在y 轴的右侧时，如图2，∵OD=4t ﹣4，DE=﹣8t+10，S=12（DE+OC ）?OD=12（﹣8t+10+2）?（4t ﹣4）=﹣16t 2+40t ﹣24 （2＜t ＜52）．。
2022年湖南省娄底市中考数学试卷和答案
2022年湖南省娄底市中考数学试卷和答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2022的倒数是（）A．2022B．﹣2022C．D．﹣2．（3分）下列式子正确的是（）A．a3•a2＝a5B．（a2）3＝a5C．（ab）2＝ab2D．a3+a2＝a5 3．（3分）一个小组10名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：编号12345678910月份26861047887这组数据（月份）的众数是（）A．10B．8C．7D．64．（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨（）A．50×1010B．5×1011C．0.5×1012D．5×1012 6．（3分）一条古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2＝（）A．20°B．80°C．100°D．120°7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．（3分）将直线y＝2x+1向上平移2个单位，相当于（）A．向左平移2个单位B．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向右平移1个单位9．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一（）A．1335天B．516天C．435天D．54天10．（3分）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称（）A．B．C．D．11．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P（m，1）（1，m）（m＞0且m≠1），过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接OP、OQ（）①点P、Q在反比例函数y＝的图象上；②△AOB为等腰直角三角形；③0°＜∠POQ＜90°；④∠POQ的值随m的增大而增大．A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③12．（3分）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是．14．（3分）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝．15．（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1～15号台球共15个，搅拌均匀后，则摸出的球编号为偶数的概率是．16．（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观（如图）、测量、计算发现点E 是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G DE．（精确到0.001）17．（3分）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点．18．（3分）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D 为边BC上的动点（与B、C不重合），连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．三、答案题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（2022﹣π）0+（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．20．（6分）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．四、答案题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10h以上，B：8h～10h，C：6h～8h，D：6h以下），将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息（1）本次调查的学生共名；（2）a＝，b＝；（3）补全条形统计图．22．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，弹簧的长度为3cm，即PQ＝3cm．开始训练时，此时弹簧长PB＝4cm，弹力大小是100N，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，使弹力大小变为300N，已知∠PBC＝120°注：弹簧的弹力与形变成正比，即F＝k•Δx，k是劲度系数，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx＝x﹣x0．五、答案题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？24．（9分）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？（2）若BC＝3，CD＝，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用α＝30°给予验证．26．（10分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．【知识点】倒数．【答案】解：2022的倒数是．故选：C．2．【知识点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【答案】解：A、a3•a2＝a2，故A符合题意；B、（a2）3＝a3，故B不符合题意；C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；D、a3与a2不能合并，故D不符合题意；故选：A．3．【知识点】众数．【答案】解：这10名同学的出生月份出现次数最多的是8，共出现3次，故选：B．4．【知识点】中心对称图形．【答案】解：A．不是中心对称图形；B．不是中心对称图形；C．不是中心对称图形；D．是中心对称图形；故选：D．5．【知识点】科学记数法—表示较大的数．【答案】解：∵5000亿＝500000000000＝5×1011，故选：B．6．【知识点】平行线的性质．【答案】解：如图，由平行线的性质得：∠3＝∠1＝80°，∵∠4+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°．故选：C．7．【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【答案】解：，解①，得x≤2，解②，得x＞﹣6．所以原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．故符合条件的选项是C．故选：C．8．【知识点】一次函数图象与几何变换．【答案】解：将直线y＝2x+1向上平移4个单位后得到新直线解析式为：y＝2x+1+5，即y＝2x+3．由于y＝3x+3＝2（x+2）+1，所以将直线y＝2x+7向左平移1个单位即可得到直线y＝2x+2．所以将直线y＝2x+1向上平移2个单位，相当于将直线y＝2x+1向左平移2个单位．故选：B．9．【知识点】用数字表示事件．【答案】解：孩子自出生后的天数是：1×7×5×7+3×7×7+3×5+5＝343+147+21+5＝516，答：那么孩子已经出生了516天．故选：B．10．【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；中心对称；等边三角形的性质．【答案】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，如图所示，设AB＝2a，则BD＝a，∵∠ADB＝90°，∴AD＝＝a，∴OD＝AD＝a，∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是：＝，故选：A．11．【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．【答案】解：∵点P（m，1），m）（m＞0且m≠7），∴点P、Q在反比例函数y＝，故①正确；设直线PQ为y＝kx+b，则，解得，∴直线PQ为y＝﹣x+m+1，当y＝0时，x＝m+5，y＝m+1，∴A（m+1，4），m+1），∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，故②正确；∵点P（m，1），m）（m＞8且m≠1），∴P、Q都在第一象限，∴0°＜∠POQ＜90°，故③正确；∵直线OP为y＝x，直线OQ为y＝mx，∴当0＜m＜1时，∠POQ的值随m的增大而减小，∠POQ的值随m的增大而增大，故④错误；故选：D．12．【知识点】零指数幂；有理数的乘方．【答案】解：原式＝lg5（lg5+lg7）+lg2＝lg5×lg（4×2）+lg2＝lg2lg10+lg2＝lg5+lg3＝lg10＝1．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【知识点】函数自变量的取值范围．【答案】解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞5，故答案为：x＞1．14．【知识点】根与系数的关系．【答案】解：∵方程x2+x﹣1＝7中的a＝b＝1，c＝﹣1，∴x7x2＝＝﹣1．故答案是：﹣7．15．【知识点】概率公式．【答案】解：由题意可得，从袋中随机摸出1个球，一共有15种可能性，故摸出的球编号为偶数的概率是，故答案为：．16．【知识点】黄金分割；近似数和有效数字．【答案】解：∵点E是AD的黄金分割点，且DE≈0.618AD，∴＝≈0.618，由题意得：EG＝AE，∴≈6.618，∴EG≈0.618DE，故答案为：0.618．17．【知识点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【答案】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ，∴当点A、Q、P共线，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AH＝，∴CQ+PQ的最小值为，故答案为：．18．【知识点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．【答案】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵当AD⊥BC时，AD最小．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值；故答案为：①②③．三、答案题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【答案】解：原式＝1+2+﹣1﹣2×＝1+5+﹣1﹣＝2．20．【知识点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．【答案】解：原式＝（+）÷＝•＝，∵x≠3且x﹣2≠0，∴x≠4且x≠2，∴x＝1，则原式＝＝﹣2．四、答案题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【知识点】条形统计图；扇形统计图．【答案】解：（1）本次调查的学生共：10÷5%＝200（名），故答案为：200；（2）a＝×100＝30×100＝50，故答案为：30，50；（3）C类人数为200×15%＝30，补全条形统计图如图：22．【知识点】解直角三角形的应用；常量与变量．【答案】解：由题意可得，x0＝3cm，100＝k（4﹣3），解得k＝100，∴F＝100Δx，当F＝300时，300＝100×（PC﹣3），解得PC＝8cm，由图可得，∠PAB＝90°，∠PBC＝120°，∴∠APB＝30°，∵PB＝4cm，∴AB＝2cm，PA＝（cm），∵PC＝6cm，∴AC＝＝5，∴BC＝AC﹣AB＝（2﹣2）cm，即BC的长是（2﹣2）cm．五、答案题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【知识点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．【答案】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg，由题意得：，解得：，答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg；（2）50000×40＝2000000（mg）＝7kg，答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．24．【知识点】圆周角定理；解直角三角形；线段垂直平分线的性质；菱形的性质．【答案】（1）证明：∵四边形BCFG，四边形BCDE都是菱形，∴CF∥BG，CD∥BE，∵D，C，F共线，∴G，B，E共线，∴DF∥EG，DF＝GE，∴四边形DEGF是平行四边形，∴EF与BC互相平分．当EF⊥FG时，∵GF＝BG＝BE，∴EG＝2GF，∴∠GEF＝30°，∴θ＝90°﹣30°＝60°；（2）解：当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．理由：如图（2）中，设AC交EF于点J．∵四边形BCFG是菱形，∴∠G＝∠FCO＝90°，∵EF与BC互相平分，∴OC＝OB，∴CF＝BC，∴FC＝4OC，∴tan∠FOC＝tan∠ABC，∴∠ABC＝∠FOC，∴OJ∥AB，∵OC＝OB，∴CJ＝AJ，∵BC是直径，∴∠BAC＝∠OJC＝90°，∴EF垂直平分线段AC．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【知识点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；角平分线的定义；勾股定理；圆周角定理．【答案】解：（1）AC是⊙O切线，理由如下：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵OD是⊙O的半径，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线；（2）①在Rt△DBC中，∵BC＝3，∴BD＝＝＝，∴sin∠DBC＝＝＝，如图7，连接DE，过点O作OG⊥BC于G，∴∠ODC＝∠C＝∠CGO＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∴OG＝CD＝，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴cos∠DBE＝cos∠CBD，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴OB＝BE＝，∴sin∠ABC＝＝＝；②∵2sin∠DBC•cos∠DBC＝2××＝，∴sin∠ABC＝2sin∠DBC•cos∠DBC；猜想：sin8α＝2sinαcosα，理由如下：当α＝30°时，sin2α＝sin60°＝，2sinαcosα＝5××＝，∴sin2α＝2sinαcosα．26．【知识点】二次函数综合题．【答案】解：（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（6，﹣6），当y＝0时，x2﹣3x﹣6＝0，∴x3＝6，x2＝﹣8，∴A（﹣2，0），2）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣3），∴S△POC＝x P＝＝3m，S△BOP＝|y P|＝+2m+6），∵S△BOC＝＝18，∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝6m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣5）2+，∴当m＝7时，S△PBC最大＝；方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣5m﹣6）＝﹣，∴S△PBC＝＝＝﹣2+，∴当m＝5时，S△PBC最大＝；（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝5，∴F1点的坐标：（4，﹣7），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x7﹣2x﹣6＝7，∴x1＝2+7，x2＝7﹣2，∴F7（2+2，6），F3（4﹣2，7），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）．。
精品解析：2022年湖南省娄底市中考数学真题(解析版)
故选：D．
【点睛】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2.下列式子正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据幂的乘方可判断B，根据积的乘方可判断C，根据合并同类项可判断D，从而可得答案．
【详解】解： ，故A符合题意；
C.向右平移2个单位D.向右平移1个单位
【答案】B
【解析】
【分析】函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案．
【详解】解：将直线 向上平移2个单位，可得函数解析式为：
直线 向左平移2个单位，可得 故A不符合题意；
直线 向左平移1个单位，可得 故B符合题意；
直线 向右平移2个单位，可得 故C不符合题意；
【答案】D
【解析】
【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．
【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD= ，同时在Rt△BOD中，OD= ，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案．
【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
【详解】解： 实数 是方程 的两根，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“ ”是解本题的关键．
娄底中考数学试题及答案
娄底中考数学试题及答案一、选择题1. 在下列四个数中，哪一个数的小数部分最大？A) 0.78 B) 0.25 C) 0.45 D) 0.63答案：A) 0.78解析：选择题给出了四个数，我们需要比较它们的小数部分大小。
通过观察可以看出，0.78的小数部分为0.78，其他数的小数部分均小于0.78，因此答案选A。
2. 如图所示，长方体ABCD-EFGH的体积为240 cm³，AB=4 cm，BC=6 cm。
那么，AD的长度是多少？图略A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 16 cm答案：B) 10 cm解析：根据题意可知，长方体ABCD-EFGH的体积为240 cm³，AB=4 cm，BC=6 cm。
由体积公式 V = lwh，可以得出 AD = 240 / (4 * 6) = 10 cm，因此答案选B。
二、填空题1. 小明参加马拉松比赛，他以每小时4.8km的速度前进，比赛持续8小时，他一共跑了_________km。
答案：38.4解析：小明以每小时4.8km的速度前进，比赛持续8小时，总共跑的距离为 4.8 * 8 = 38.4 km。
2. 在一个几何体中，若一共有9个顶点，15条棱，6个面，则该几何体的欧拉公式中的V是_________。
答案：6解析：根据欧拉公式 V - E + F = 2，其中 V 表示顶点数，E 表示棱数，F 表示面数。
题目中给出了 V = 9，E = 15，F = 6，将这些值带入公式可得 V - 15 + 6 = 2，整理得 V = 6。
三、解答题1. 若函数 f(x) = 3x² - 2x + 1，求 f(2) 的值。
答案：11解析：将 x = 2 代入函数 f(x) = 3x² - 2x + 1，计算得到 f(2) = 3(2)² - 2(2) + 1 = 12 - 4 + 1 = 11。
2. 如图所示，等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 6 cm，D为BC的中点。
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20XX年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（20XX•娄底）20XX的倒数为（）
A．﹣20XX B．20XX C．﹣D．
2．（3分）（20XX•娄底）若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（）
A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1
3．（3分）（20XX•娄底）下列运算正确的是（）
A．a6÷a3=a2 B．5a2﹣3a2=2a C．（a3）3=a9 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
4．（3分）（20XX•娄底）一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）（20XX•娄底）下列命题中错误的是（）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．同旁内角互补
D．矩形的对角线相等
6．（3分）（20XX•娄底）某中学女子足球队15名队员的年龄情况如下表：
年龄（岁）13 14 15 16
队员（人）2 3 6 4
这支球队队员的年龄的众数和中位数分别是（）
A．14，15 B．14，14.5 C．15，15 D．15，14
7．（3分）（20XX•娄底）已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a﹣1的值为（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
8．（3分）（20XX•娄底）如图，正三棱柱的主视图为（）
A．B．C．D．
9．（3分）（20XX•娄底）反比例函数y=﹣的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）
A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2 C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2
10．（3分）（20XX•娄底）如图，挂在弹簧称上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧称匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧称的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（20XX•娄底）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为10.8万千米，10.8万用科学记数法表示为．
12．（3分）（20XX•娄底）从﹣1、0、、0.3、π、这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概
率为．
13．（3分）（20XX•娄底）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）
14．（3分）（20XX•娄底）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是．
15．（3分）（20XX•娄底）下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为．
16．（3分）（20XX•娄底）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．17．（3分）（20XX•娄底）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=度．
18．（3分）（20XX•娄底）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为（0，1），直角顶点C
的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B的坐标为．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）（20XX•娄底）计算：（﹣1.414）0+（）﹣1﹣+2cos30°．
20．（6分）（20XX•娄底）先化简，再求值：•+，其中x是从﹣1、0、1、2
中选取的一个合适的数．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
21．（8分）（20XX•娄底）今年5月，某校为了了解九年级学生的体育备考情况，随机抽取了部分学生进行模拟测试，现将学生按模拟测试成绩m分成A、B、C、D四等（A等：90≤m≤100，B等：80≤m ＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图：
（1）本次模拟测试共抽取了多少个学生？
（2）将图乙中条形统计图补充完整；
（3）如果该校今年有九年级学生1000人，试估计其中D等学生的人数．
22．（8分）（20XX•娄底）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23．（9分）（20XX•娄底）假如娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．
小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．”
小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．”
问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？
24．（9分）（20XX•娄底）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作A B的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
六、解答题（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）（20XX•娄底）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．
26．（10分）（20XX•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于
点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20XX年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（20XX•娄底）20XX的倒数为（）
A．﹣20XX B．20XX C．﹣D．
考点：倒数．
分析：利用倒数的定义求解即可．
解答：解：20XX的倒数为．
故选：D．
点评：本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记倒数的定义．
2．（3分）（20XX•娄底）若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（）
A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1
考点：绝对值．
分析：根据|a|=a时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，即可求得a的取值范围．
解答：解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，
解得：a≥1，
故选A
点评：此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
3．（3分）（20XX•娄底）下列运算正确的是（）
A．a6÷a3=a2 B．5a2﹣3a2=2a C．（a3）3=a9 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
专题：计算题．
分析：A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
解答：解：A、原式=a3，错误；
B、原式=2a2，错误；
C、原式=a9，正确；
D、原式=a2+b2﹣2ab，错误，
故选C．
点评：此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）（20XX•娄底）一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）
A．B．C．D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
专题：计算题．。