三角函数培优
高考数学一轮复习三角函数的图像与性质培优课件
π
3
5π
2kπ6
5π
π
, 2π +
6
6
,∴函数的递增区间为
π
0, 6
.
π
≤x≤2kπ+ (k∈Z).
6
(k∈Z).
考向2.由单调性求参数
典例突破
例 4.已知 ω>0,函数 f(x)=sin
是
.
π
+4
在
π
,π
2
上是减少的,则 ω 的取值范围
答案:
1 5
,
2 4
π
π
解析:由2 <x<π,ω>0,得 2
3π ∴0<a≤ π ,∴a 的最大值为π .
≤ 4 ,
4
4
> 0,
π 3π
−4, 4
,
(2)由题意可知,[a,2]⊆
π
π
− ,
π
2π + 4
, 2π +
5π
4
(k∈Z).
突破技巧1.三角函数定义域的求法
将求复杂函数的定义域问题转化为求解简单的三角函数不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图像求解.
1
y=tan -1的定义域为
.
(2)函数 y=lg(sin 2x)+ 9- 2 的定义域为
π
3
的递减区间是函数 y=sin 2 −
的递增区间.
由
π
2kπ-2
π
≤2x-3
π
≤2kπ+ 2 ,k∈Z,得
故所给函数的递减区间为 π −
三角函数专题培优提升训练
三角函数专题培优提升训练【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用,三角函数与平面向量结合的基本问题及其应用．【例题解析】题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ） A ．1- BC．12-+ D．12+例2．已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126f f π==．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值． (3)求函数f(x)在[－4π，4π]上的值域题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位例4 （2008高考江西文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是( )-例5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+,将()f x 的图像向右平移8π个单位得到函数()g x 的图像，求()g x 在[0,]π上的零点。
题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例6（2008高考山东卷理5）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是A ．5- B ．5C ．45-D ．45例7（2008高考浙江理8）若cos 2sin αα+=则tan α= A ．21B ．2C ．21-D ．2-题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．例8已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ωωω==，（0>ω），令b a x f ⋅=)(，且)(x f 的周期为π． (1) 求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)写出()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间．例9已知向量()3sin ,cos a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b ⊥． （1）求tan α的值； （2）求cos 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．题型6 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题．例9. 如图，已知点G 是ABO ∆的重心，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，且PQ 过ABO ∆ 的重心G ，OP mOA =，OQ nOB =，试证明11m n+为常数，并求出这个常数．题型7三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．例10. 设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，已知不论α，β为何实数，恒有(sin )0f α≥和(2cos )0f β+≤．（1）求证：1b c +=- ； （2）求证：3c ≥；（3）若函数(sin )f α的最大值为8，求b ，c 的值．【专题课后提高训练】 1．若[0,2)απ∈，且221cos 1sin sin cos αααα-+-=-，则α的取值范围是（ ）A ．[0,]2πB ．[,]2ππC ．3[,]2ππ D ．3[,2)2ππ 2．设α是锐角，且lg(1cos )m α-=，1lg 1cos n α=+，则lgsin α=（ ）A ．m n -B ．11()2m n -C ．2m n -D ．11()2n m-3．已知f(x)=cos 2x －l ，g(x)=f(x+m)+n ，则使g(x)为奇函数的实数m ，n 的可能取值为( ) A ．m=2π，n =－1 B ．m =－2π，n=1 C ．m=－4π，n=－l D ．m=－4π，n=1 4．函数x x y sin cos 2-=的值域是 ( ) A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,15．（2007全国理12）函数2cos 2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是（ ） A. )32,3(ππ B. )2,6(ππ C. )3,0(π D. )6,6(ππ- 6．如图，圆O 过正方体六条棱的中点A ，(1,2,3,4,5,6)i =，此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧1+i i A A 在圆O 中所对的圆心角为)5,4,3,2,1(=i a i ，弧16A A 所对的圆心角为6,a 则354612sincos cos sin 4444a a a a a a++-等于（ ）A 62-B 26-C 62+ D ．62+7．6622sin cos 3sin cos x x x x ++的化简结果是__________．8．设)cos()sin()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若(2005)1,f = 则(2006)f =9．函数1sin 3)(++=x x x f ()x ∈R ，若2)(=t f ，则)(t f -的值为 ．10．(江苏08高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角αβ，，它们的终边分别交单位圆于A B ，两点.已知A B ，225.（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值.。
三角函数培优专练题及参考答案(精品)
三角函数培优专练题类型一：三角函数最值与值域【例1】【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+． 类型二：三角函数图象与性质的综合应用【例2-1】【解析】解法一：（Ⅰ）5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+ 2cos (sin cos )444πππ=---2= （Ⅱ）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++． 所以22T ππ==． 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（Ⅰ）511()112444f πππ=+=+=． （Ⅱ）22T ππ==． 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．【例2-2】【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x = 又[0,]x π∈，所以56x π=．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值- 【例2-3】【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 22f x x x x ωωω=--3cos 22x x ωω=-13(sin )2x x ωω=)3x πω=- 由题设知()06f π=， 所以63k ωπππ-=，k Z ∈．故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-． 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-， 当123x ππ-=-， 即4x π=-时，()g x 取得最小值32-． 类型三：三角函数的实际应用【例3】【解析】（Ⅰ）因为1()10sin )102sin()12212123f t t t t ππππ--+--+， 又240<≤t ，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt ， 当2=t 时，1)312sin(=+ππt ；当14=t 时，1)312sin(-=+ππt ； 于是)(t f 在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒（Ⅱ）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温． 由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，所以11)312sin(210>+-ππt ，即1sin()1232t ππ+<-， 又240<≤t ，因此61131267ππππ<+<t ，即1810<<t ，故在10时至18时实验室需要降温．类型四：已知边角关系利用正余弦定理解三角形【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==△的面积1sin 2S ac B ==． （2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin(30)22C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒．类型五：利用正弦定理、余弦定理解平面图形【例5】【解析】（1）90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．∴由正弦定理得：sin sin AB BD ADB A =∠∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，2sin 45sin 5ADB ︒∴∠==， AB BD <，ADB A ∴∠<∠，cos ADB ∴∠==（2）90ADC ∠=︒，cos sin BDC ADB ∴∠=∠， 2DC =BC ∴=5=．巩固练习1.【解析】（Ⅰ）因为()sin cos )22f x x x =--sin()42x π=+- 所以()f x 的最小正周期为2π．（Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤． 当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值．所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142f π-=--． 2．解：(1)由题意得f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ， ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z).∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z). (2)由(1)和条件可得f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1， 则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1. ∵角C 是三角形内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6. ∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32， 又c ＝1，ab ＝23，∴a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4， ∴a ＝3或2，b ＝2或3，∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.。
三角函数培优提高训练
三角函数培优提高训练一．选择题(共２0小题）１.已知函教f(x)=Asin（ωx＋φ）（A＞0,ω＞0）的图象与直线ｙ＝b(０<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是２,4,8,则f(ｘ)的单调递增区间是(）Ａ．[6kπ,6kπ+３］,ｋ∈ZﻩB.［６k﹣３，6k],k∈ZC．[6k，6ｋ+3]，ｋ∈ZﻩD.[6kπ﹣3，６ｋπ]，k∈Z2．关于函数,有下列命题:①其表达式可写成;②直线图象的一条对称轴;③f(x)的图象可由g(x)=siｎ２ｘ的图象向右平移个单位得到;④存在α∈（0，π）,使f（x+α）=f(ｘ+3α)恒成立则其中真命题为( ）Ａ.②③ﻩB．①②ﻩＣ.②④ﻩD.③④3.给出下列四个命题:①的对称轴为;②函数的最大值为２;③函数f(x）＝sｉｎx•ｃｏsｘ﹣1的周期为2π;④函数上的值域为.其中正确命题的个数是（)A．1个Ｂ．2个ﻩC．3个ﻩＤ．4个4．已知奇函数ｆ(x)在［﹣１,0］上为单调减函数,又α,β为锐角三角形内角，则（) A.f(cｏsα)>f（cｏｓβ)ﻩB.f(siｎα）>f(sinβ）ﻩC.ｆ（sinα)<f(cosβ）ﻩD.f(siｎα)＞f(cosβ)5.函数f（x)=(0≤x≤π)的最大值为( ）Ａ.1 B.ﻩC.D．２6.对于函数f（x),若存在区间M＝［a,b］，(a<b）,使得｛y｜ｙ＝f(x)，x∈M}=Ｍ，则称区间M为函数f(x）的一个“稳定区间”现有四个函数:①f（x)＝e x②f（x）＝ｘ3③④f(ｘ)=lnx，其中存在“稳定区间”的函数有()A.①②ﻩB．②③ﻩC.③④Ｄ.②④7.对于函数f(ｘ),若存在区间Ｍ=[a，b]（其中a<b)，使得{ｙ|ｙ=ｆ(x）,x∈M｝=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”．给出下列4个函数:①ｆ（ｘ）＝（x﹣1)2；②f(x)＝｜2ｘ﹣1|;③;④f(x)＝e x．其中存在“稳定区间”的函数有（)A．①③ﻩＢ．①②③④ﻩＣ.②④ﻩD．①②③8．设x∈(0，π),关于ｘ的方程=a有2个不同的实数解,则实数ａ的取值范围是()Ａ．(﹣,２)ﻩＢ．(﹣,)ﻩＣ．(,2)ﻩＤ.(﹣2,）９.已知函数f(x)=sinx,对于满足0<ｘ1＜ｘ2<π的任意ｘ1,x２,给出下列结论:①(x２﹣x1）[f(ｘ2）﹣ｆ(x1）]>0；②x2f（ｘ1）>x1ｆ(x２)；③f（x2）﹣ｆ(x1）<x2﹣x1;④.其中正确结论的个数为（）A.1ﻩB.2ﻩC.3D.４１0．定义域在R上的周期函数f (x),周期T=２，直线ｘ＝2是它的图象的一条对称轴,且f （x）在[﹣3,﹣2]上是减函数，如果A，Ｂ是锐角三角形的两个锐角,则( ）A.ｆ(ｓｉnA)＞f(cｏsＢ）ﻩB.f(sｉnA）＜f(cosB) Ｃ.ｆ(sinA）＞f（sinＢ)ﻩＤ．f（coｓA)<f(ｃｏｓB)１1．把函数y=﹣３cｏs的图象向右平移m(ｍ>0)个单位，设所得图象的解析式为y=ｆ(x)，则当ｙ=f(x)是偶函数时，ｍ的值可以是（)Ａ.ﻩB．ﻩＣ.ﻩD.12.定义一种运算ａ⊕b＝,令ｆ(x）=（ｃｏs２x+sinx）⊕,且ｘ∈[0,］,则函数f（x﹣)的最大值是( ）A．ﻩB.１ﻩC.﹣1 D.﹣13．已知函数给出函数f（ｘ)的下列五个结论：①最小值为; ②一个单增区间是(,);③其图象关于直线(ｋ∈Z)对称；④最小正周期为2π；⑤将其图象向左平移后所得的函数是奇函数. 其中正确结论的个数是（)Ａ.1ﻩB.2 Ｃ.３ﻩD．41４．已知ω为正实数,函数ｆ(x）=2ｓinωx在区间上递增,那么( ）Ａ.ﻩＢ.0<ω≤2ﻩＣ．ﻩD.１5.已知函数(ω>０),，且f(x）在区间单调递减,则ω的值为()A．2 Ｂ.C.ﻩＤ.16．如果函数y＝sin2x＋acos2ｘ的图象关于直线x＝对称,那么a=（）Ａ.ﻩB．C．１ﻩD.﹣117．已知函数ｆ(x)＝asiｎx﹣ｂcoｓx（a、ｂ为常数，ａ≠０，ｘ∈R)在ｘ=处取得最小值，则函数ｙ＝f(﹣x)是(）Ａ.偶函数且它的图象关于点(π,０)对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点（π,0)对称18.函数，则集合{ｘ｜f(f(x）)=0}元素的个数有( )Ａ.、2个ﻩＢ.3个ﻩC.４个ﻩD.５个19.若函数f（x）＝sｉn(ωx＋φ)的图象(部分）如图所示,则ω和φ的取值是( )A．ω=1,φ=ﻩB.ω=1,φ=﹣ C.ω=,φ=ﻩＤ.ω=,φ＝﹣20.对任意θ∈(０,)都有（）Ａ．sｉn(sinθ)＜cosθ＜cｏｓ（cosθ)ﻩB．ｓin（sinθ)＞ｃoｓθ>cos(coｓθ）C．sin（ｃosθ）＜ｃos（sinθ)<cｏｓθﻩＤ.sｉｎ(cosθ）<cosθ<ｃos(ｓinθ)二.填空题（共８小题)21.设函数的图象为Ｃ,有下列四个命题:①图象Ｃ关于直线对称:②图象C的一个对称中心是；③函数f(x)在区间上是增函数；④图象C可由y=﹣3sin2x的图象左平移得到.其中真命题的序号是.22.已知函数f(x)＝Acｏｓ(ωx+α)(A>０,ω＞0,0<α<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示，△EＦG是边长为２的等边三角形，则f（1）的值为．23．函数ｙ=cｏｓ(2x＋φ)(﹣π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数ｙ=siｎ（2x＋)的图象重合，则φ= ．24.已知α,β,γ∈R,则的最大值为．2５．函数f（x）在Ｒ上既是奇函数又是减函数,且当θ∈(０，）时,ｆ（cos2θ+2msiｎθ)＋ｆ(﹣2ｍ﹣2)＞0恒成立，则实数ｍ的取值范围是．２6．设ｆ(x）=asｉn2ｘ＋bｃoｓ2x，其中ａ,b∈R,ab≠0.若f（x)≤|f(）｜对一切ｘ∈Ｒ恒成立,则①ｆ()=0；②|f()|<｜f()|;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④ｆ（x)的单调递增区间是[kπ＋,kπ+]（ｋ∈Z)；⑤经过点(a，b)的所有直线均与函数f(x)的图象相交.以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号）.27．函数f(x）=cosx﹣|ｌｇｘ|零点的个数为.28.函数的一个零点为，且，对于下列结论:①；②;③④f(x)的单调减区间是;⑤f(ｘ)的单调增区间是. 其中正确的结论是 .(填写所有正确的结论编号)。
备战中考数学 锐角三角函数 培优练习(含答案)及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10cos B =. (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10BF B == （2）连接DG ，∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3，∴FG=13，∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10=10；3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∵AD=AD，CD=ND，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AB=AC，∴AB=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．4．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结（1）求证：（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，或【解析】（1）证明：∵四边形为正方形，∴∵三角板是等腰直角三角形，∴又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分（2）存在.································· 4分∵∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和此时，点分别在点和点，满足·························· 7分当切点在第二象限时，点在第一象限，在直角三角形中，∴∴∴点的横坐标为：点的纵坐标为：∴点的坐标为··························· 9分当切点在第一象限时，点在第四象限，同理可求：点的坐标为综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或································ 11分（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．5．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．【答案】（1）详见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°333在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°×AE=32×33=92.【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.6．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥； （2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠,所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HNBH HN HM ===︒.由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】 （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。
高三复习——基本三角函数培优专题
高三复习——基本三角函数培优专题导言高三是学生们备战高考的重要阶段，掌握基本的三角函数知识对于数学成绩的提升非常关键。
本文档将为高三学生提供一个基本三角函数培优专题，帮助学生们巩固和提高对基本三角函数的理解和运用能力。
一、正弦函数1. 正弦函数图像正弦函数图像是一条波动曲线，我们来了解一下如何绘制正弦函数图像的方法：- 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。
- 在[0, 2π]的范围内选取若干个特定点，计算这些点对应的纵坐标值。
- 将这些点连成曲线即可得到正弦函数的图像。
2. 正弦函数性质正弦函数具有以下性质：- 周期性：正弦函数的图像在每个周期内重复。
- 奇函数性质：f(x) = -f(-x)，即正弦函数关于原点对称。
3. 正弦函数的应用正弦函数在实际生活中有广泛的应用，比如：- 研究天体运动：正弦函数可以描述天体在运动过程中的周期性变化。
- 声音和音乐：音调的高低可以通过正弦函数的频率表示。
- 电流和电压的变化：交流电的电流和电压变化符合正弦函数的规律。
二、余弦函数1. 余弦函数图像余弦函数图像也是一条波动曲线，与正弦函数图像相似，但有一些区别：- 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。
- 在[0, 2π]的范围内选取若干个特定点，计算这些点对应的纵坐标值。
- 将这些点连成曲线即可得到余弦函数的图像。
2. 余弦函数性质余弦函数具有以下性质：- 周期性：余弦函数的图像在每个周期内重复。
- 偶函数性质：f(x) = f(-x)，即余弦函数关于y轴对称。
3. 余弦函数的应用余弦函数在实际生活中也有广泛的应用，比如：- 振动和波动现象：余弦函数可以描述物体振动和波动的变化规律。
- 交流电的电流和电压：交流电的电流和电压变化符合余弦函数的规律。
三、切线函数1. 切线函数图像切线函数是正弦函数的导数，它的图像与正弦函数有一定的关联，但也有一些不同：- 设定一个周期为2π，即一个完整的波动周期的横坐标范围为[0, 2π]。
三角函数图像变换培优题目8个有答案
三角函数图像变换培优题目8个有答案1．将函数f (x )=2sin x cos x 的图像向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到g (x )的图像.若f (x 1)g (x 2)=2，则|2x 1+x 2|的最小值为（） A. π6 B. π3 C. π2 D.2π32．若直线y =1与函数f (x )=2sin2x 的图象相交于点P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，且|x 1−x 2|=2π3，则线段PQ 与函数f (x )的图象所围成的图形面积是 A.2π3+ 3 B. π3+ 3 C.2π3+ 3−2 D. π3+ 3−23．已知ω>0，在函数y =4sin ωx 与y =4cos ωx 的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为（） A. π6B. π4C. π3D. π24．已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)−1(ω>0,|φ|<π)的一个零点是x =π3，x =−π6是y =f (x )的图像的一条对称轴，则ω取最小值时，f (x )的单调增区间是（）A. −73π+3kπ,−16π+3kπ ,k ∈Z B. [−53π+3kπ,−16π+3kπ],k ∈Z C. [−23π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈Z D. [−13π+2kπ,−16π+2kπ],k ∈Z5．将函数f (x )=3sin(2x +θ)(−π2<θ<π2)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x ),g (x )的图象都经过点P (0,3 22)，则φ的值不可能是（）A.3π4B. πC.7π4D. 5π46．已知f (x )= 3sin x cos x −sin 2x ，把f (x )的图象向右平移π12个单位，再向上平移2个单位，得到y =g (x )的图象；若对任意实数x ，都有g (a −x )=g (a +x )成立，则g (a +π4)+g (π4)=（）A. 4B. 3C. 2D. 327．设函数f （x ）=cos 2x ﹣2sinxcosx ﹣sin 2x ，g （x ）=2cos 2x+2sinxcosx ﹣1，把f （x ）的图象向右平移m 个单位后，图象恰好为函数g （x ）的图象，则m 的值可以是（） A ．π B ．C ．D ．8．设α，[]0,βπ∈，且满足sin cos cos sin 1αβαβ-=，则()()sin 2sin 2αβαβ-+-的取值范围为（）A ．[1,1]-D参考答案1．B【解析】由f(x)=2sin x cos x=sin2x图像向左平移π12个单位得y=sin2(x+π12)=sin(2x+π6)，再向上平移一个单位得g(x)=sin(2x+π6)+1，因f(x1)g(x2)=2所以f(x1)=1，f(x2)=2或f(x1)=−1，f(x2)=−2，所以f(x1)=1，f(x2)=2时，|2x1+x2|=|2kπ+π2+k′π+π6|=|(2k+k′)π+2π3|，其中k,k′∈Z,所以当2k+k′=−1时，最小值为π3，f(x1)=−1，f(x2)=−2时，|2x1+x2|=|2kπ−π2+k′π−π3|=|(2k+k′)π−5π6|，其中k,k′∈Z,所以当2k+k′=1时，最小值为π6，综上知，选B．2．A【解析】线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积如图阴影部分所示，其面积为S=2π3×1−2sin2x−π2=2π3+3，选A3．D【解析】函数y=4sinωx与y=4cosωx的图象有交点，所以根据三角函数线可得出交点(1ϖ(k1π+π4),22),(1ϖ(k2π+5π4),−22),k1,k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为6，∴这两个交点在同一个周期内，∴36=1ϖ(5π4−π4)2+(−22−22)2,ϖ=π2，故选：D．点睛：本题属于易错题，距离最近的两个交点的距离为6需要用两点间距离公式，不是横轴距离；通过联立求得横坐标的值，利用数形结合得到最近时横坐标的差，构建ϖ的方程即可.4．B【解析】由条件得，sin(ωπ3+φ)=12,sin(−ωπ6+φ)=±1⇒ω=2(2k−t)±23，又因为ω>0,k,t∈Z⇒ωmin=23，此时2π9+φ=2kπ+5π6,t=2k⇒φ=2kπ+11π18，又因为|φ|<π⇒φ=11π18⇒f(x)=2sin(23x+11π18)−1，由−π2+2kπ≤23x+11π18≤π2+2kπ⇒−5π3+3kπ≤x≤−π6+3kπ(k∈Z),故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，解答的关键是由题意求出φ,ω的值，进而确定三角函数的解析式，考查了与正弦函数有关的复合函数的单调性，属于中档题，解决本题的关键就是根据三角函数的图象和性质确定三角函数的解析式.5．D【解析】函数f(x)=3sin(2x+θ)(−π2<θ<π2)向右平移φ(φ>0)个单位，得到g（x）=3sin（2x+θ−2φ），因为两个函数都经过P(0,322)，所以sinθ=22，又因为−π2<θ<π2，所以θ=π4，所以g（x）=3sin（2x+π4−2φ），由题意sin（2x+π4−2φ）=22，所以π4−2φ=2kπ+π4，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，或π4−2φ=2kπ+3π4，k∈Z，此时φ=kπ−π4，k∈Z，故选D．点睛：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，属中档题.解题时要注意−π2<θ<π2，否则容易引起错误6．A 【解析】将f x=x cos x−sin2x=32sin2x−1−cos2x2=sin2x+π6−12的图象向右平移π12个单位，再向上平移2个单位，得到y=g x=sin[2(x−π12)+π6]−12+2=sin2x+32的图象，令2x=π2+2kπ,k∈Z，即x=π4+kπ,k∈Z，因为对任意实数x，都有g(a−x)=g(a+x)成立，所以a=π4+kπ,k∈Z，则g a+π4+gπ4=sinπ+2kπ+32+sinπ2+2kπ =0+1+3=4.故选A.点睛：本题的易错之处有：1.要正确区分f(a−x)=f(a+x)和f(x−a)=f(x+a)的区别：若y=f(x)对任意实数x，都有f(a−x)=f(a+x)或f(2a−x)=f(x)成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；若y=f(x)对任意实数x，都有f(x−a)=f(x+a)或f(x−2a)=f(x)成立，则y=f(x)的一个周期为2a；2.在处理三角函数的图象变换时，要注意变换顺序的不同：如：若f x=sin x的图象先向右平移π6个单位再横坐标变为原来的2倍得到y=sin(12x−π6)的图象；若f x=sin x的图象先横坐标变为原来的2倍再向右平移π6个单位得到y=sin(12x−π12)的图象.7．D【解析】试题分析：利用二倍角公式、两角和差的余弦函数化简函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．解：由于函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），函数g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=cos2x+sin2x=cos（2x﹣），由于将y=f（x）的图象向左平移m个单位长度，即可得到g（x）的图象，可得：cos[2（x﹣m）+]=cos（2x﹣2m+）=cos（2x﹣），可得：2x﹣2m+=2x﹣+2kπ，或2x﹣2m+=2π﹣（2x﹣）+2kπ，k∈Z，解得：m=﹣kπ，k∈Z．则m 的值可以是．故选：D ．考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 8．C ． 【解析】试题分析：∵sin cos cos sin 1sin()1αβαβαβ-=⇒-=，α，[0,]βπ∈，即取值范围是[1,1]-，故选C ． 考点：三角恒等变形．。
中考数学三角函数培优练习含答案
三角函数阅读与思考三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：1．理解同角三角函数间的关系． （1）平方关系：1cos sin 22=+αα； （2）商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =； （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα．2．善于解直角三角形．从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形， 关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：例题与求解【例1】在△ABC 中，BC ＝1992，AC ＝1993，AB ＝19931992+，则=C A cos sin ．解题思路：通过计算，寻找BC 2，AC 2，AB 2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A ＝600，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB ＝200m ，CD ＝100m ． 求AD ，BC 的长．（精确到1m ，732.13≈）图2图1AE AABDD解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A ，所以连结AC 不行．延长AD 和BC 交于一点E （如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A ；或过点D 作矩形ABEF （如图2）来求解．【例3】如图，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN ．若31tan =∠AEN ，DC ＋CE ＝10． （1）求△ANE 的面积； （2）求ENB ∠sin 的值．解题思路：将31tan =∠AEN 与DC ＋CE ＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．【例4】如图，客轮沿折线A —B —C 从A 出发经B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A —B —C 上的某点E 处．已知AB ＝BC ＝200海里，∠ABC ＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（ ）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（南京市中考试题）解题思路：对于（2），过D 作DF ⊥CB 于F ，设DE =x ，建立关于x 的方程．【例5】若直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦是方程02=++q px x 的两个根． （1）那么，实数p ，q 应满足哪些条件？（2）如果p ，q 满足这些条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于直角三角形的两个锐角A ，B 的正弦？解题思路：解本例的关键是建立严密约束条件下的含不等式、等式的混合组，需综合运用一元二次方程，三角函数的知识与方法．C【例6】设a ，b ，c 是直角三角形的三边，c 为斜边，整数n≥3．求证：nn n c b a <+．解题思路：由直角三角形的边可以转化为三角函数正余弦来解．其不等关系可以利用正弦、余弦的有界性来证明．能力训练A 级1．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD ＝2AD ，AE ⊥BC 于E ．若BD ＝8，43sin =∠CBD ，则AE ＝ ．2．已知00900≤≤α，则ααsin sin 45+-=y 的最大值是 ，最小值是 ．（上海市理科实验班招生考试试题）3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠BAC ＝300，BC ＝1，D 为BC 边上的一点，ADC ∠tan 是方程 2)1(5)1(322=+-+xx x x 的一个较大的根，则CD ＝ ．东第5题图第1题图第3题图E BAO4．已知△ABC 的两边长a ＝3，c ＝5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，则A sin 的值为 ． （哈尔滨中考试题） 5．如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）在她家北偏东600距离500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A ．250mB ．3250mC ．33500mD ．2250m6．如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠ABC ＝300，D 是AC 的中点，则DBC ∠cot 的值是（ ） A ．3B ．32C ．23D ．43 （大连市中考试题）7．一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行．半小时后到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东150方向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ） （黄冈市中考试题） A ．27海里B ．214海里C ．7海里D ．14海里8．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝600，∠B ＝∠D ＝900，AD ＝8，AB ＝7，则BC ＋CD 等于（ ） A ．36B ．35C ．34D ．33第7题图第6题图第8题图东北BOA9．如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图．已知真空集热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB ＝150厘米，∠BAC ＝300，另一根辅助支架DE ＝76厘米，∠CED ＝600． （1）求垂直支架CD 的长度（结果保留根号）；（2）求水箱半径OD 的长度（结果保留三位有效数字，参考数据：73.13,41.12≈≈）． （扬州市中考试题）图2图1A10．若α为锐角，求证：4cos sin 1cos 1sin 1>⋅++αααα． （宁波市竞赛试题）11．如图，已知AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝900, ∠CBD ＝300，求AC 的长．（加拿大数学奥林匹克竞赛试题）12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝1．若AD ，BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根，且2tan tan =-B A ，求p ，q 的值并解此二次方程．ABCB 级1．若00300<<θ，且31sin +=km θ（k 为常数，k ＜0），则m 的取值范围是 ． 2．设00450<<α，1673cos sin =⋅αα，则=αsin ． （武汉市选拔赛试题） 3．已知在△ABC 中，∠A ，∠B 是锐角，且2tan ,135sin ==B A ，AB ＝29cm ，则△ABC 的面积等于 ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠，则有=∠ABM tan ． （全国初中数学联赛试题） 5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CAB ＝300，AD 平分∠CAB ，则CDACCD AB -的值为（ ） A ．3B ．33C ．33-D ．326-（湖北省选拔赛试题）第4题图第5题图NBAB AMD6．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD 上一点，∠ABE ＝450，则AEB ∠tan 的值等于（ ） （天津市竞赛试题） A ．23B ．2C ．25D ．3 7．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝900, ∠CBD ＝300，则DCAD＝（ ） A ．33 B ．22C ．12-D ．13-（山东省竞赛试题）第7题图第6题图BA BDE8．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道是由两段互相平行并且与地面成370角的楼梯AD ，BE 和一段水平天台DE 构成．已知天桥高度BC ＝4.8米，引桥水平跨度AC ＝8米． （1）求水平天台DE 的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN 的高度为3米，求两段楼梯AD 与BE 的长度之比．（参考数据：取75.037tan ,80.037cos ,60.037sin 000===） （长沙市中考试题）NA9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c ＝35．若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积．（武汉市中考试题）10．如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且BEG ∠与CFH ∠都是锐角．已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 的面积为S ． （1）求证：klS2sin =θ； （2）试用S l k ,,来表示正方形ABCD 的面积．（全国初中数学联赛试题）EGF11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝900，BC ＝CD ＝10，54sin C ． (1) 求梯形ABCD 的面积；（2）点E ，F 分别是BC ，CD 上的动点，点E 从点B 出发向点C 运动，点F 从点C 出发向点D 运动．若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF ，求△EFC 面积的最大值，并说明此时E ，F 的位置．（济宁市中考试题）BA12．如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面．已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为300，此时，求：（1）如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（2）如果甲楼的影子刚好落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少？（山东省竞赛试题）三角函数例1 AC 2－BC 2＝(1993＋1992)(1993－1992)＝1993＋1992＝AB 2，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，得∠B ＝90°，故原式＝(19921993)2.例2 AD ＝227m ，BC ＝146m .解法一:延长AD ，BC 交于点E ，如图1.在Rt △ABE 中，AB ＝200m ，∠A ＝60°，∴BE ＝AB ·tanA ＝200 3 (m )，AE ＝AB cos 60°＝2000.5＝400(m ).在Rt △CDE 中，CD ＝100m .∠E ＝90°－∠A ＝30°，∴CE ＝2CD ＝200(m .∵cot ∠E ＝DECD，DE ＝CD ·cot 30°＝100 3 (m )，∴AD＝AE －DE ＝400－1003≈227(m )，BC ＝BE －CE ＝2003－200≈146(m ).解法二:如图2，过点D 作矩形ABEF .设AD ＝x .在Rt △AFD 中，∠DAF ＝90°－60°＝30°，∴DF ＝12AD ＝12x ，AF ＝32x ，在Rt △CED 中，∠CDE ＝30°，∴CE ＝12CD ＝50(m )，DE ＝32CD ＝503(m )，∵DE ＋DF ＝AB .∴503＋12x ＝200，解得x＝400－100 3.∴AD ＝400－1003≈227(m ).∵BC ＋CE ＝AF ，∴BC ＝AF －CE ＝32(400－1003)－50＝2003－200≈146(m ).例3 ⑴103 ⑵35 提示：tan ∠AEN ＝tan ∠EAB ＝EBAB.例4 ⑴设DE ＝x (海里)，则客轮从A 点出发到相遇之处E 点的距离为2x 海里.若2x <200，则x <100，即DE <12AB ，而从D 点出发，货轮到相遇点E 处的最短距离是100海里，所以x ≥100，即2x ≥200，故相遇处E 点应在CB 上，选B . ⑵设货轮从出发点D 到两船相遇处E 共航行了x 海里，如图，过D 作DF ⊥CB 于F ，连DE ，则DE ＝x ，AB ＋BE ＝2x ，DF ＝100，EF ＝300－2x ，由x 2＝1002＋(300－2x )2，得x ＝200－10063(海里).例5 ⑴p ，q 应满足以下条件：⎩⎪⎨⎪⎧△＝p 2－4q ≥0sinA ＋sinB ＝－p sinA ·sinB ＝q0＜sinA ＜10＜sinB ＜1sin 2A ＋cos 2A ＝1.由此推得⎩⎨⎧p <00<q ≤12p 2－2q ＝1 ,⑵先设方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根为α，β，若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q ≥0 ①0＜α＜1，0＜β＜1②α2＋β2＝1 ③，则α，β必定是直角三角形的两个锐角的正弦;若α，β不满足条件①②③式中任何一个，则结论是否定的.例6 设α为直角三角形一锐角，则sinα＝a c ，cosα＝bc.∵0<sinα<1，0<cosα<1∴当n ≥3时，sin nα<sin 2α，cos n α<cos 2α，于是sin n α＋cos n α<sin 2α＋cos 2α＝1，即(a c )n ＋(b c)n <1，故a n ＋b n <c n ..9 2. 5 1 提示：用换元法. 3.43－213 4.1165.A6.B7.A8.B9.⑴在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76.∵sin ∠CED ＝DC DE，∴DC ＝DE ·sin ∠CED ＝383(厘米).故垂直支架CD 的长度为383厘米.⑵设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝(383＋x )厘米，AO ＝(150＋x )厘米.∵Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°，∴AO ＝2OC ，即150＋x ＝2(383＋x ），解得x ＝150－763≈18.52≈18.5(厘米).故水箱半径OD 的长度为18.5厘米.10.(1sinα－1)＋(1cosα－1)＋(1sinαcosα－2)＝1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋1－2sinαcosαsinαcosα，∵0<sinα<1，0<cosα<1，于是有1－ sinα>0,1－ cosα>0,∴1－sinαsinα＋1－cosαcosα＋(sinα－cosα)2sinαcosα>0，即1sinα＋1cosα＋1sinαcosα>4. 11.过C 作CE ∥AB 交BD 于E ，设AC ＝x ，则CB CE ＝BC ·tan ∠CBE.由△DCE ∽△DAB ，得CD CE A D A B =，即11x =+，化简得（x ＋2）（x 3－2）＝0，解得x 即AC12. P ＝－q ＝1，x 1,21.提示：tan A －tan B ＝()CD CD CD BD AD AD BD AD BD -=-⋅. B 级1. 1163m k k <<-2.3. 145cm 24. 13 提示：延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连接TO ，则△BAM ∽△TOB .5. B6. D7.D8. （1）如图，延长线段BE ，与AC 相交于点F ，∴DE ＝AF ，∠BFC ＝∠A ＝37°.在Rt △BCF 中，tan ∠BFC ＝BF CF ，∴CF ＝ 4.8 6.4tan 370.75BC ==︒（米），∴DE ＝AF ＝AC －CF ＝8－6.4＝1.6（米）.故水平平台DE 的长度为1.6米. （2）延长线段DE ，交BC 于点G .∵DG ∥AC ，∴∠BGM ＝∠C ＝90°，∴四边形MNCG 是矩形，∴CG ＝MN ＝3（米）.∵BC ＝4.8（米），∴BG ＝BC －CG ＝1.8（米）.∵DG ∥AC ，∴ 1.834.88BE BG BF CB ===，∴53EF BE =，而AD ＝EF ，故53AD BE =.9. 18 提示：222a b c +=，3sin 5A =. 10. 提示：（1）S =S △EFG ＋S △FGH ＝1sin 2EG FH θ⋅. （2）过E ，F ，G ，H 分别作正方形ABCD 的垂线，得矩形PQRT .设ABCD 的边长为a ，PQ ＝b ，QR ＝c ，则第8题图b =，c =由S △AEH ＝S △THE ，S △BEF ＝S △PEF ，S △GFC ＝S △QFG ，S △DGH ＝S △RGH ，得S ABCD＋S PQRT ＝2S EFGH ，∴a 2＋bc ＝2S ，即22a S =.∴222222(4)4k l S a k l S +-=-，由（1）知22sin S kl S θ=>，∴2224k l kl S +≥>.故22222244k l S a k l S-=+-. 11. （1）S 梯形ABCD ＝56. （2）E ，F 分别是BC ，DC 的中点，设运动时间为x 秒，则S △EFC ＝22224(5)1055x x x -+=--+，当x ＝5时，S △EFC 面积最大，最大值为10. 12. （1）折冬天太阳最低时，甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，那么图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度.设CE ⊥AB 于点E ，则∠AEC ＝90°，∠ACE ＝30°，EC ＝20米，∴AE ＝EC tan ∠ACE ＝20tan30°≈11.6（米），CD ＝EB ＝AB －AE ＝4.4（米）.（2）设点A 的影子落在地面上某点C ，则∠ACB ＝30°，AB ＝16米，∴BC ＝AB cot30°≈27.7（米），故要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27.7米.。
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三角函数培优
背景介绍
三角函数是数学中的重要概念，它在各个科学领域都有广泛的
应用。
在研究三角函数时，我们常常会遇到一些难题和复杂的计算。
本文档将介绍一些简单的策略和技巧，帮助我们更好地掌握三角函
数并提升计算效率。
培优技巧
1. 熟悉基本三角函数的定义和性质。
三角函数包括正弦、余弦、正切等，我们需要掌握它们的定义、图像和基本性质，比如周期性、对称性等。
通过熟悉这些基本知识，我们可以更好地理解和应用三
角函数。
2. 掌握角度和弧度的转换。
在计算中，经常需要将角度与弧度
进行转换。
我们可以利用如下关系进行转换：
- 弧度 = 角度× π / 180
- 角度 = 弧度× 180 / π
3. 利用特殊角的数值来简化计算。
一些特殊角的三角函数值是可以直接计算得到的，比如30°、45°、60°等。
我们可以利用这些特殊角的数值，简化对应角度的三角函数计算。
同时，还可以利用三角函数的周期性质，将其他角度的三角函数计算转化为特殊角的计算。
4. 利用三角函数的性质简化计算。
三角函数具有一些重要的性质，比如：
- 正弦函数和余弦函数的和差公式
- 正弦函数和余弦函数的倍角公式
- 正切函数的和差公式
我们可以灵活运用这些性质，将复杂的三角函数计算转化为简单的计算。
5. 通过作图辅助计算。
对于一些复杂的三角函数计算，我们可以通过绘制函数图像来辅助计算。
通过观察图像的性质，我们可以更好地理解和计算三角函数的取值。
总结
通过掌握基本概念和性质，灵活运用角度与弧度的转换，利用特殊角和性质简化计算，以及通过作图辅助计算，我们可以更好地掌握三角函数，提升计算效率。
希望以上技巧能对你在三角函数的研究和应用中有所帮助。
注意：在具体计算中，请务必注意准确性，避免因计算错误导致的不准确结果。