数学培优教材第一讲函数的性质

高一年段数学培优教材第一讲 函数的基本性质1

一、基本性质：

1. 函数图像的对称性

（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有

()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。 若某一函数与

其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。 若函数满足()(2)f x f a x =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足 f (x) + f (2a －x) = 2b ，则()f x 的图像就关于点(a ,b)对称。

（3） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。

2．函数的单调性

函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采

用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性） 特别提示：函数(0)a

y x a x

=+

>的图像和单调区间。 3．函数的周期性

对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，

都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。

（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为

T

a

的周期函数。 （3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函

数。

（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。 4.几种特殊的抽象函数的周期：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()

1

f x a f x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

⑥1()

()1()

f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑦1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为

4T a =，

若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.

⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数；

⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是 以()4b a -为周期的周期函数；

二、范例讲解

3. (原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2 015)＝________． 答案：1

解析：由条件，f(2 015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.

例3 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0，2]时，f(x)＝2x －x 2.

(1) 求证：f(x)是周期函数；

(2) 当x ∈[2，4]时，求f(x)的解析式；

(3) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)的值．

(1) 证明：因为f(x ＋2)＝－f(x)， 所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2) 解：因为x ∈[2，4]，

所以－x ∈[－4，－2]，4－x ∈[0，2]， 所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x 2＋6x －8.

又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x 2＋6x －8，即f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，4]． (3) 解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1， 又f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝ 0

所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.

4. 【2014届高三原创预测卷理科数学试卷2（安徽版）】定义在R 上的偶函数()f x 满足

33,22f x f x ⎛⎫⎛⎫

+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

且()()11,02,f f -==-则()()()()1232014f f f f +++

+的值为

( )

A ．1

B ．2-

C ．2

D ．0 【答案】A ．

例1：设()f x 是R 上的奇函数，(2)(),01(),f x f x x f x x +=-≤≤=当时，求(7.5)f 的值。 例2：设(),()f x g x 都是定义在R 上的奇函数，()()()2F x a f x b g x =++在区间(0,)+∞上的最大值为5，求()(,0)F x -∞在上的最小值。

例6：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0()0x f x <<时，(1)2f =；

（1） 求证：()f x 为奇函数； （2）求()f x 在[3,3]-上的最值；（3）当2t >时,不等式

2222(log )(log log 2)0f k t f t t +--<恒成立，求实数k 的取值范围。

例8：设()f x 是定义在Z 上的一个实值函数，()f x 满足()()2()()

(1)0

f x y f x y f x f y f ++-=⎧⎨

=⎩①②

，求证：()f x 是周期为4的周期函数。 例9：给定实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）

[]0[]1

()[]()[]x x x x f x x x f x x x -≥-<=-=-①②③是周期函数

④是偶函数

三、

强化训练：

6．【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，

21

()22

f x x x =-+

，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .