数学培优教材第一讲函数的性质

高一年段数学培优教材第一讲 函数的基本性质1一、基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。

（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。

若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。

若函数满足()(2)f x f a x =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足 f (x) + f (2a －x) = 2b ，则()f x 的图像就关于点(a ,b)对称。

（3） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。

2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。

判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性） 特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。

3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。

若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。

（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。

（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。

（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。

4.几种特殊的抽象函数的周期：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）, ① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是 以()4b a -为周期的周期函数；二、范例讲解3. (原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2 015)＝________． 答案：1解析：由条件，f(2 015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.例3 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0，2]时，f(x)＝2x －x 2.(1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 当x ∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)的值．(1) 证明：因为f(x ＋2)＝－f(x)， 所以f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2) 解：因为x ∈[2，4]，所以－x ∈[－4，－2]，4－x ∈[0，2]， 所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x 2＋6x －8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x 2＋6x －8，即f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，4]． (3) 解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1， 又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝ 0所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.4. 【2014届高三原创预测卷理科数学试卷2（安徽版）】定义在R 上的偶函数()f x 满足33,22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()()11,02,f f -==-则()()()()1232014f f f f ++++的值为( )A ．1B ．2-C ．2D ．0 【答案】A ．例1：设()f x 是R 上的奇函数，(2)(),01(),f x f x x f x x +=-≤≤=当时，求(7.5)f 的值。

例2：设(),()f x g x 都是定义在R 上的奇函数，()()()2F x a f x b g x =++在区间(0,)+∞上的最大值为5，求()(,0)F x -∞在上的最小值。

例6：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0()0x f x <<时，(1)2f =；（1） 求证：()f x 为奇函数； （2）求()f x 在[3,3]-上的最值；（3）当2t >时,不等式2222(log )(log log 2)0f k t f t t +--<恒成立，求实数k 的取值范围。

例8：设()f x 是定义在Z 上的一个实值函数，()f x 满足()()2()()(1)0f x y f x y f x f y f ++-=⎧⎨=⎩①②，求证：()f x 是周期为4的周期函数。

例9：给定实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数，则下列结论中不正确的序号是 （ ）[]0[]1()[]()[]x x x x f x x x f x x x -≥-<=-=-①②③是周期函数④是偶函数三、强化训练：6．【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .7. 【2014全国1高考理第3题】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数11．【2014四川高考理第12题】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = .【答案】112．【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =14．【2014大纲高考理第12题】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 21. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为______. 【答案】87a ≤-1. 【浙江省建人高复2014届高三上学期第二次月考】已知函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ． (0,)+∞B ． 1(0,]2 C ． 1(0,]4D ． 11[,]432. 【黄冈市2013年秋季高三年级期末考试理科数学】定义在R 上的偶函数，)(x f 满足R ∈∀x ，都有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上有三个零点，则a 的取值范围是 .【答案】53<<x2. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】(x)f 是R 上的奇函数，当0x ≥时，3(x)x ln(1x)f =++，则当0x <时，()f x =（ ）A ．3x ln(1x)--- B ．3x ln(1x)+- C ．3x ln(1x)-- D ．3x ln(1x)-+-7. 【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已知()y f x =是定义在R 上周期为4的奇函数，且02x ≤≤时，2()2f x x x =-则1012x ≤≤时，()f x =_________________ 9. 【福建长乐二中等五校2014届高三上期中联考数学（理）】定义在R 上的函数()f x 满足)()3(x f x f -=+，当31x -≤<-时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =．则)2013()3()2()1(f f f f +++=（ ）A ． 338B ．337C ．1678D ．201311. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当[0,1)x ∈时，()21xf x =-，则12(log 6)f 的值为（ ）A ．52-B ．5-C ．12- D ．6- 【答案】C【解析】∵123log 62-<<-，∴121log 620-<+<即1231log 02-<< ∵f(x)是周期为2的奇函数∴23log 211122223331(log 6)(log )(log )(log )(21)2222f f f f ==--=-=--=-5. 【2014年高考原创预测卷（浙江版）】已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．187.（2013·重庆高考文科·Ｔ3）函数21log (2)y x =-的定义域为 ( )A.(,2)-∞B.(2,)+∞C.(2,3)(3,)+∞D.(2,4)(4,)+∞6.（2013·天津高考理科·Ｔ8）已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 （ ）A. 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ D.5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 【解题指南】将原函数转化为分段函数脱去绝对值号，再分情况讨论求解.【解析】选A. 因为22,()(1||),⎧+≥=+=⎨-<⎩x ax x f x x a x x ax x ，当a ≥0时,函数f(x)是增函数,由于x+a ≥x,所以不等式f(x+a)<f(x)无解,即a ≥0时无意义;当a<0时,若x<0,由f(x+a)<f(x)得x+a-a(x+a)2<x-ax 2,解得212->a x a.又因为函数f(x)是奇函数,不等式f(x+a)<f(x)的解集2211,22⎛⎫--=- ⎪⎝⎭a a A a a ，由11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦得，21122-<-a a ，解得150.-<<a 1. （2013·辽宁高考文科·Ｔ7）已知函数2()ln(193)1f x x x =+-+，则1(lg 2)(lg )2f f +=（ ）.1..1.2A B C D -1.(2013·福建高考文科·T5)函数()()2ln 1=+f x x 的图像大致是 ( )2.（2013·辽宁高考理科·Ｔ11）已知函数2222()2(2),()2(2)8,f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设{}{}12()max (),(),()min (),()H x f x g x H x f x g x ==（{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记1()H x 的最小值为A , 2()H x 的最大值为B ,则A B -=（ ）22.16.16.216.216A B C a a D a a ---+-11. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ13）()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时，2-x ，则=-)1(f .12.（2013·北京高考文科·Ｔ13）函数f （x ）=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________.【解题指南】分别求出每段的值域，再取并集。