植树问题两端都栽和两端都不栽
人教版五上数学《植树问题之一端栽、两端都不栽》教案
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
一 端 栽： 棵 数＝（ ）
两端不栽： 棵 数＝（ ） -1
三、课堂达标
1.小明家门前有一m栽一棵树（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵？
2.一条走廊长32m，每隔4m摆放一盆植物（两端不放）。一共要放多少盆植物？
3. 一根木头长10m，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟。锯完一共要花多少分钟？
总长（ ）=（ ）
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。两 端 栽： 棵 数＝（ ） +1
三年级应用题植树问题
三年级应用题植树问题一、两端都种树的情况（8题）1. 在一条长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽），一共要栽多少棵树？- 解析：首先计算间隔数，间隔数 = 总长度÷间隔长度，即20÷5 = 4个间隔。
因为两端都要栽树，所以树的棵数比间隔数多1，即4 + 1=5棵树。
2. 同学们在全长100米的小路一边植树，每隔10米栽一棵（两端都要栽）。
一共需要多少棵树苗？- 解析：间隔数为100÷10 = 10个。
两端都栽树，树的棵数 = 间隔数+1，所以共需要10 + 1 = 11棵树苗。
3. 一条路长180米，在路的一侧从头到尾每隔6米栽一棵树，一共要栽多少棵树？- 解析：间隔数是180÷6=30个。
由于两端都栽，树的棵数为30 + 1 = 31棵。
4. 园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。
从第1棵到最后一棵的距离有多远？- 解析：因为两端都种树，间隔数 = 棵数 - 1，即36 - 1 = 35个间隔。
每个间隔6米，所以距离为35×6 = 210米。
5. 在一条长300米的公路两边种树，每隔5米种一棵（两端都种），一共种多少棵树？- 解析：先计算一边的情况，间隔数为300÷5 = 60个，两端都种时树的棵数为60+1 = 61棵。
两边种树，则一共种61×2 = 122棵树。
6. 学校要在长120米的直跑道的一侧插彩旗，每隔6米插一面（两端都插），一共需要多少面彩旗？- 解析：间隔数为120÷6 = 20个，两端都插彩旗，彩旗数 = 间隔数 + 1，所以需要20+1 = 21面彩旗。
7. 有一条长400米的公路，在公路的一侧从头到尾每隔8米栽一棵杨树，一共需要多少棵杨树苗？- 解析：间隔数为400÷8 = 50个，两端都栽树，所以需要50 + 1 = 51棵杨树苗。
8. 要在一条长50米的街道两旁安装路灯，每隔10米安装一盏（两端都要安装），一共需要安装多少盏路灯？- 解析：先算一边，间隔数为50÷10 = 5个，两端都安装时路灯数为5+1 = 6盏。
五年级上册数学植树问题公式
五年级上册数学植树问题公式一、植树问题公式1. 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1 ，间隔数 = 棵数 1 ，距离= 间隔数×间距2. 两端不栽：棵数 = 间隔数 1 ，间隔数 = 棵数 + 1 ，距离= 间隔数×间距3. 一端栽一端不栽：棵数 = 间隔数，距离 = 间隔数×间距二、30 题解析1. 在一条长 200 米的小路一旁植树，每隔 5 米栽一棵，两端都栽，一共要栽多少棵树？间隔数：200÷5 = 40（个）棵数：40 + 1 = 41（棵）2. 一条公路长 300 米，在路的一侧从头到尾每隔 6 米栽一棵柳树，一共要栽多少棵柳树？间隔数：300÷6 = 50（个）棵数：50 + 1 = 51（棵）3. 在一条 480 米长的公路两侧每隔 8 米栽一棵树（两端都栽），一共要栽多少棵树？一侧间隔数：480÷8 = 60（个）一侧棵数：60 + 1 = 61（棵）两侧棵数：61×2 = 122（棵）4. 从一楼到二楼有 20 个台阶，小明从一楼走到三楼，一共要走多少个台阶？从一楼到三楼有：3 1 = 2（层）一共台阶数：20×2 = 40（个）5. 一条走廊长 36 米，每隔 4 米放一盆花，两端都不放，一共要放多少盆花？间隔数：36÷4 = 9（个）盆数：9 1 = 8（盆）6. 一根木头长 10 米，要把它平均分成 5 段。
每锯下一段需要8 分钟，锯完一共要花多少分钟？锯的次数：5 1 = 4（次）总时间：4×8 = 32（分钟）7. 在周长为 400 米的圆形池塘边每隔 10 米栽一棵柳树，一共能栽多少棵柳树？间隔数 = 棵数= 400÷10 = 40（棵）8. 一条长 80 米的道路两旁，每隔 5 米种一棵树（两端都种），一共种多少棵树？一侧间隔数：80÷5 = 16（个）一侧棵数：16 + 1 = 17（棵）两侧棵数：17×2 = 34（棵）9. 时钟 4 点钟敲 4 下，6 秒钟敲完，那么 12 点钟敲 12 下，多少秒钟敲完？敲 4 下，间隔数：4 1 = 3（个）每个间隔时间：6÷3 = 2（秒）敲 12 下，间隔数：12 1 = 11（个）总时间：11×2 = 22（秒）10. 小明从 1 楼走到 5 楼用了 80 秒，照这样计算，他从 1 楼走到 9 楼需要多少秒？从 1 楼到 5 楼走的层数：5 1 = 4（层）走一层用时：80÷4 = 20（秒）从 1 楼到 9 楼走的层数：9 1 = 8（层）总时间：20×8 = 160（秒）11. 一条公路的一旁连两端在内共植树 91 棵，每两棵之间的距离是 5 米，这条公路长多少米？间隔数：91 1 = 90（个）公路长：90×5 = 450（米）12. 在一条长 50 米的跑道两旁，从头到尾每隔 5 米插一面彩旗，一共插多少面彩旗？一侧间隔数：50÷5 = 10（个）一侧彩旗数：10 + 1 = 11（面）两侧彩旗数：11×2 = 22（面）13. 有一个圆形花坛，周长是 30 米，每隔 3 米摆一盆菊花，一共需要多少盆菊花？间隔数 = 盆数= 30÷3 = 10（盆）14. 一条林荫道长 18 米，在路的一旁从一端到另一端每隔 2 米放一盆花，一共安放多少盆花？间隔数：18÷2 = 9（个）盆数：9 + 1 = 10（盆）15. 两栋楼之间相距 30 米，每隔 2 米种一棵树，一共能种多少棵树？棵数：15 1 = 14（棵）16. 一根木料锯成 4 段要 12 分钟，如果每锯一段所用的时间相同，那么锯成 8 段要多少分钟？锯成 4 段锯的次数：4 1 = 3（次）锯一次用时：12÷3 = 4（分钟）锯成 8 段锯的次数：8 1 = 7（次）总时间：7×4 = 28（分钟）17. 在一条 100 米长的小路一边植树，每隔 4 米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？间隔数：100÷4 = 25（个）棵数：25 + 1 = 26（棵）18. 一条路长 25 米，少先队员在路的两旁栽树，起点和终点都栽，一共栽了 12 棵树，每两棵树之间相隔多少米？一侧棵数：12÷2 = 6（棵）间隔数：6 1 = 5（个）间距：25÷5 = 5（米）19. 学校门口摆一排菊花，一共 9 盆。
植树问题计算公式
“中点”法思路得出的植树问题计算公式经得起实践的检验：
（1）、把每一棵树栽在每一个间距的中点，每一棵树都享有均等的充足的覆盖半径，享有足够的生长空间。
（2）、用“中点”法思路植树，把树栽在规定栽种的地界内，没有任何矛盾（注3），种者踏实，养者安心。
再拿“只栽一端，植树棵数正好等于间隔数”来说，它看起来很完美，而且计算结果也与“间距中点”法思路得出的相同，其实它也是弊端多多。首先，它是由“加1减1”的思路得来的，假设两端都栽而间隔数上“加1”，而实际只栽一端再减去1，抵消以后，植树棵数刚好等于间隔数。其次，只栽一端，那么肯定有一端是栽在端点上，它必定有半棵树栽在不属于规定栽种的地界内。再次，另一端栽在何处呢？它肯定栽在距另一个端点刚好一个间距的位置上，因此，它浪费了半棵树的植树面积，实际上，这种方法是通过一端“强占半棵树”的植树地盘，另一端“浪费半棵树”的植树地盘，相互抵消后才出现“植树棵数正好等于间隔数”的结果，而且每一棵树都是栽在每一个间距的“端点”上。
第一种剪法，把它当成6个点，也就是把它当成栽6棵树。下文说成“端点”法；第二种剪法，只有5个点，也就是把它当成栽5棵树，作者把它归纳为“中点”法，或“间距中点”法。按“端点”法思路，植树棵数等于间隔数“加1”，得出的植树问题计算公式是：植树总长度÷间距长度+1=植树棵树（注1）；按“中点”法思路，植树棵数等于间隔数，得出的植树问题计算公式是：植树总长度÷间距长度=植树棵树（注2）。
“中点”法与“端点”法都是思维方法，笔者认为用“端点”法思路解答直线植树问题的方法弊端多多，植树问题“加1”（“减1”）的计算方法值得商榷。“间距中点”法思路解答直线植树问题的思路才是正确的，计算直线植树的公式应该是：植树总长度÷间距ห้องสมุดไป่ตู้度=植树棵数。
第7讲数学广角-植树问题(学生版)(知识梳理典例分析举一反三巩固提升)人教版
第7讲数学广角-植树问题知识点一：两端都栽的植树问题1.植树问题基本解决思路：间隔数=总长÷间隔距离。
2.两端都栽：棵数=间隔数＋1。
知识点二：两端都不栽的植树问题两端不栽：棵数=间隔数－1。
知识点三：封闭图形的植树问题在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于线段上一端栽一端不栽的情况。
一端栽一端不栽：棵数=间隔数。
考点一：植树问题【例1】一根绳子长18米，每3米剪成一段，需要剪几次？（1）求这根绳子一共可以剪几段。
（2）画图表示这根绳子被剪成的段数。
从图中可知，需要剪次。
1.在一个正方形的花坛的四周摆放16盆花，怎样摆放可以使每边摆放的花盆数都是5盆？（4分）（1）请画出示意图。
（用O表示花盆）（2）已知花坛的边长是2.4米，平均每盆花之间的距离是多少米？2.史冬鹏是我国著名的男子110米栏运动员，多次代表中国参加奥运会等重要体育赛事。
下面是男子110米栏赛道的示意图。
问：每两栏之间的距离是多少米？3.公路旁每隔2.5米栽一棵树，丽丽从第1棵树跑到第40棵树，妈妈说丽丽跑了100米，丽丽说没有100米。
你认为谁说的对？请说明你的理由。
一．选择题（共5小题）1．小区花园是一个长50米，宽40米的长方形，现在要在花园的四周栽树，四个角都要栽，每相邻两棵间隔5米。
一共要栽（）棵树。
A．18B．36C．37D．402．同学们围着圆桌吃午饭。
每张圆桌的周长是3米，如果每隔50厘米坐一人，一张圆桌一共可以坐（）人。
A．7B．5C．63．在一条环形跑道上，等距离插着8面红旗，这条跑道被平均分成（）段。
A．8B．7C．94．锯一根木头，锯一次需要n分钟，把这根木头锯成7段，需要用（）分钟。
A．7n B．6n C．8n5．在300米长的道路一边种树（两端都种），每20米一棵，一共要种（）棵。
A．15B．16C．17二．填空题（共5小题）6．把6米长的木料锯成每2米一段的短木料，每锯一段需要15分钟，这根木料全部锯完需要分钟。
五年级数学人教版(上册)7.2两端都不栽的植树问题
一根木头长 10 m，要把它平均分成5段。每锯下 一段需要 8 分钟。锯完一共要花多少分钟？
5－1 = 4（次） 4×8 = 32（分） 答：锯完一共要花 32 分钟。
学校门前有一条笔直的小路，在小路的一旁从一 头到另一头每隔 3 m栽一棵树，两端都不栽，一 共栽了 18 棵，这条小路长多少米？
我们也先画图看看。
两端都不栽，栽的 棵数比间隔数少1。
两端都栽： 两端都不栽：
动物园里的大象馆和猴山相距 60 m。绿化队要在 两馆间的小路两旁栽树（两端都不栽），相邻两 棵树之间的距离是 3 m。一共要栽多少棵树？
小路两旁都要栽树， 所以还要×2。
60÷3 = 20 20 -（ 1 ）=（19 ）
7 数学广角
两端都不栽的植树问题
在一条 21 m长的小路一旁栽树，每隔 3 m栽一棵 （两端都栽），一共要栽多少棵树？
21÷3+1=8（棵）
如果两端都不 栽呢？
例题2 动物园里的大象馆和猴山相距 60 m。绿化队 要在两馆间的小路两旁栽树（两端都不栽）， 相邻两棵树之间的距离是 3 m。一共要栽多 少棵树？
100 米
60 米
35 米
棵数＝间隔数＋1 棵数＝间隔数－1 棵数＝间隔数
（ 19 ）× 2 =（ 38 ） 答：一共要栽38棵树。
少的“1”在哪呢？
1 2 3 4 5 18 19
60 m
小组讨论：这两种情况，有什么相同？有什么不同？
两头种
100 米
棵数＝间隔数＋1
Hale Waihona Puke 60 米棵数＝间隔数－1
小组讨论：植树问题有哪几种情况？ 每种情况中棵数与间隔数之间是什么关系？
两头种
小明家门前有一条 35 m的小路，绿化队要在小路 一旁栽一排树，每隔 5m 栽一棵树（一端栽，一端 不栽）。一共要栽多少棵？
1植树问题
29
1、一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部
分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每 根短木条长多少米？
先锯下来1米，木棍还剩19－1=18（米） 锯5次，锯成5＋1=6（段） 每段长 18÷6=3（米）
答：每根短木条长3米。
30
30
1.一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部 分锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每 根短木条长几米?
2.在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个 水池的周长是多少米?
27
3.在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米 种一棵，一共要种多少棵?
类型五：植树问题规律的 变形
锯木头问题
敲钟问题
爬楼梯问题
28
1、一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部 分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每 根短木条长多少米？
2千米=2000米， 2000÷50=40 （个）， （40+1）×2=82（盏）
答∶一共需要准备82盏路灯.
6
两端都植树
2、一条走廊长为32米，每隔四米放一盆花，两端都要放， 一共要放多少盆花？
7
两端都植树
2、一条走廊长为32米，每隔四米放一盆花，两端都要放， 一共要放多少盆花？
32÷4=8，8+1=9（盆） 答∶需要放9盆花.
25
封闭图形植树
3 、 学校举行方阵队列表演，五一班同学排成七行七列去 掉。如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩多少人？
（7-1）×（7-1）=6×6=36（人） 49-36=13（人）
答：要去掉13人，还剩36Fra bibliotek。26
两端都不栽的植树问题
1.在一条长280m的公路一侧栽杨树（两端都不栽），每隔5m栽一棵。
一共需要栽多少棵杨树？
2.一根木头，每锯下一段需要8分钟。
现锯完这根木头共用了40分钟，把这根木头平均锯成了几段？如果每段长6m，这根木头共有多少米长？
3.植树节到了，同学们在一条长240m的小路的一侧栽树，每隔8m栽一棵树。
（1）如果两端都各栽一棵，共需多少棵树？
（2）如果只有一端栽树，需要多少棵树？
（3）如果两端都不栽树，需要多少棵树？
参考答案
1.280÷5－1＝55（棵）
答：一共需要栽55棵杨树。
2.40÷8＋1＝6（段） 6×6＝36（m）
答：把这段木头平均锯成了6段。
如果每段长6m，这根木头共有36m。
3.（1）240÷8＋1＝31（棵）
答：如果两端都各栽一棵，共需31棵树。
（2）240÷8＝30（棵）
答：如果只有一端栽树，需要30棵树。
（3）240÷8－1＝29（棵）
答：如果两端都不栽，需要29棵树。
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5米 5米 5米 5米 20米
20米
在路的一侧栽树（两端都栽）
总长 间 隔 （米） （米）
探究方法 （线段图）
20 20米
25 5
ห้องสมุดไป่ตู้
间隔数 （个）
4
植树棵数 （棵）
5
思考：你发现了什么规律？ 把你发现的规律在四人小组内说一说。
1000米
.......
5米 5米 5米 5米 5米 5米 5米 5米
2000÷50=40 40+1=41（座） 答：一共要安装41 座路灯。
在一条全长2000米的街道两旁安装路灯， （两端都要安装），每隔50米安一座。 一共要安装多少座路灯？
一旁安装路灯
两旁安装路灯
在一条全长2000米的街道两旁安装路灯， （两端都要安装），每隔50米安一座。 一共要安装多少座路灯？
两端都栽： 总长÷间隔=间隔数 棵数=间隔数+1
5米 5米
研究方法： 复杂问题
简单问题
发现规律
解决问题
同学们在全长1000米的小路一边植树， 每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要 多少棵树苗？
在一条全长2000米的街道一旁安装路灯， （两端都要安装），每隔50米安一座。 一共要安装多少座路灯？
大象馆
猩猩馆
60÷3=20 20-1=19（棵） 答：一共要栽19棵树。
要在一条1000米长的公路的两侧安放 垃圾桶（首尾要安装），每100米安放 一个。一共需要多少个垃圾桶？
1000÷100=10
10+1=11（个）
11×2=22（个）
答：一共需要22个垃圾桶。
一根木头长10米，要把它平均分成5段。 每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多 少分钟？
提高练习
园林工人沿公路一侧植树，每隔6 米种一棵，一共种了36棵。从第1 棵到最后一棵的距离有多远？
36－1＝35 6×35＝210（米）
答：从第1棵到最后一棵的距离有210米远。
研究方法： 复杂问题
简单问题
发现规律
解决问题
人教新课标四年级数学下册
间隔 5米
同学们在全长1000米的小路一边植树， 每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要 多少棵树苗？
1000米
.......
5米 5米 5米 5米 5米 5米 5米 5米
好麻烦 啊！
研究方法： 复杂问题
简单问题
发现规律
解决问题
同学们在全长20米的小路一边植树，每 隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多 少棵树苗？
在路的一侧栽树（两端都不栽）
总长 间 隔 （米） （米）
探究方法 （线段图）
间隔数 （个）
植树棵数 （棵）
3
思考：你还有其他的方法验证你的猜想吗？
60米
.......
3米 3米 3米 3米 3米 3米 3米 3米
3米 3米
例2: 动物园的大象馆和猩猩馆相距60米, 绿化队要在两馆间的小路一旁栽树,相邻 两棵树之间的距离是3米,一共要栽几棵树?
2000÷50=40 40+1=41（座） 41×2=82（座） 答：一共要安装82 座路灯。
例2: 动物园的大象馆和猩猩馆相距60米, 绿化队要在两馆间的小路一旁栽树,相邻 两棵树之间的距离是3米,一共要栽几棵树?
大象馆
猩猩馆
猜想一一猜想：：“能两用端“都两不端栽都”栽”的规律解决吗？ 棵为数什和么间？隔数有什么关系？