成都市届第一次诊断性测试理科数学含答案
四川省成都市成华区初2017届九年级上学期第一次诊断性测试题数学
成华区初2017届第一次诊断性测试题九年级数学注意事项：1．全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟.2．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、学籍号和座位号，无误后将本人姓名、学籍号和座位号填写在答题卡相应位置.3．第Ⅰ卷为选择题，必须使用2B 铅笔在答题卡上填涂作答；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整，笔记清楚.注有“▲”的地方，是需要考生在答题卡上作答的内容或问题，请按照题号在答题卡上各题目相对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等.A 卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.计算 30tan 的值等于（ ）A.3B.33C.33 D.23 2.从棱长为a 2的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a 的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（ ）.第2题图A.B.C. D.3.若92=y x ，则=+yy x （ ） A.911 B.97 C.119 D.97-4.在ABC △Rt 中，︒=∠90C ，3=a ，5=c ，则A cos 的值是（ ） A.34 B.53 C.43 D.54 5.下列一元二次方程没有实数根的是（ ）A.0122=++x xB.022=++x xC.012=-xD.0122=--x x6.二次函数2212-=x y 的顶点坐标是（ ） A.)2,1(-B.)2,1(C.)2,0(-D.)2,0(7.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A.四条边都相等 B.四个角都相等C.对角线互相平分D.对角线相等且互相平分8.已知关于x 的一元二次方程022=--k x x 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A.1≥kB.1>kC.1-≥kD.1->k9.某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x ，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（ ） A.()x +1100 B.()21100x +C.()21100x +D.()x 21100+10.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先绕它的定点旋转︒180，再向上平移3个单位长度，得到抛物线652++=x x y ，则原抛物线的解析式是（ ） A.413252-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x yB.411252-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x yC.413252-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x yD.411252-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x y第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡上）11.关于x 的一元二次方程04222=-++a x x 的一个根是0，则a 的值为.12.若函数()221--=mx m y 为反比例函数，则m 的值等于.13.如图在平行四边形ABCD 中，E 在AB 上，BD CE 、交于点F ，若3:4:=BE AE ，且2=BF ，则=DF .第13题图 第14题图14.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，8=AC ，6=BD ，BC OE ⊥，垂足为E ，则=OE .三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15（本小题满分12分，每题6分）（1）计算：()260tan 60sin 220163102-︒+︒+-+⎪⎭⎫⎝⎛--π（2）解方程：1232+=x x16.（本小题满分6分）先化简，再求值：122132++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ，其中x 满足022=-+x x .17.（本小题满分8分）如图，海上有一灯塔P ，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A 点处测得灯塔P 在它的北偏东︒60的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东︒45方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?第17题图18.（本小题满分8分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A.篮球、B.乒乓球、C.跳绳、D.踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图1、图2），请回答下列问题：第18题图（1）这次被调查的学生共有人？（2）被调查的学生中跳绳项目的学生有多少人？（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）.19.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数b ax y +=的图象与反比例函数xky =的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标是)4,(-m ，连接AO ，5=AO ，53sin =∠AOC . （1）求反比例函数和一次函数的解析式. （2）连接OB ，求AOB △的面积.第19题图20.（本小题满分10分）（1）已知：如图1，点D B A 、、在同一直线上，ABC △和BDE △都是等边三角形，且在AB 同侧，连接CD AE 、.①求证：CD AE =；②如图2，连接CE ，分别取EC DE AD CA 、、、的中点P H G F 、、、，求证：四边形FGHP 是菱形；（2）若（1）中ABC △和BDE △都变成直角三角形，直角顶点重合于点B ，且1≠=DBEBCB AB ，点D B A 、、不在同一直线上，如备用图，其他条件不变，猜想四边形FGHP 的形状（直接写结论，不必证明）.图1 图2 备用图第20题图B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21.如图，在正方形ABCD 外作等腰直角CDE △，CE DE =，连接BE ，则=∠EBC tan .第21题图 第22题图22.如图，在AOB Rt △中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将AOB △绕点B 逆时针旋转︒90后得到A'O'B △．若反比例函数xky =的图象恰好经过斜边A'B 的中点C ，4=ABO S △，2tan =∠BAO ，则k 的值为.23.若t 为实数，关于x 的方程0242=-+-t x x 有两个非负实数根b a 、，且()()0112=--b a ，则t 的值是.24.如图，矩形ABCD 的边长3=AD ，2=AB ，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且FC BF 2=，AF 分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为.25.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的部分图象如图所示，图象过点)0,1(-，对称轴为直线2=x ，下列结论：①04=+b a ；②b c a 39>+；③0278>++c b a ；④若方程()()351-=-+x x a 的两根为1x 和2x ，且21x x <，则2151x x <<-<（5）若点()1,3y A -、点),21(2y B -、点),27(3y C 在该函数图像上，则231y y y <<.其中正确的结论是.（填番号）第24题图第25题图二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）26.（本小题满分8分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当增种果树多少棵时，果园的总产量（w千克）最大？最大产量是多少？（3）若果园主人希望总产量不低于6750千克，借助（1）、（2）中函数的图像，请你帮助果园主人确定增种棵树的取值范围，在此情况下，要是单棵树的产量最大，你认为增种棵树应定为多少棵？第27题图27.（本小题满分10分）在ABC △中，ACB ∠为锐角，4=AC ，6=AB ，点D 为边AB 上一点，且ABC ACD ∠≤∠.（1）如图1，当ABC ACD ∠=∠时，求BD 的长；（2）当ABC ACD ∠<∠时，在CD 上取点E ，使ACD ABE ∠=∠.①如图2，若点E 恰好为CD 的中点，求BD 的长；②在①的条件下，若︒=∠30ABC ，如图3，求BCD △的面积.图1 图2 图3第27题图28.（本小题满分12分）已知抛物线c bx x y ++=231经过点()0,1A ，点()0,5-C ，直线n x y +-=经过点A ，交抛物线于点B ，点D 为x 轴下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点D 作y 轴的平行线DE ，与x AB 、轴分别交于点F E 、，当四边形AECD 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）如图2，当点D 为抛物线的顶点时，在x 轴上是否存在点Q ，使得以Q D C 、、为顶点的三角形与ABC △相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图2第28题图。
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}23100,{33}A xx x B x x =+-<=-<<∣∣，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}x x -<<∣C.{33}x x -<<∣D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i + C.1i-+ D.1i --3.设函数()()()121log 2(1)31x x x f x x +⎧-<⎪=⎨⎪⎩，则()()32log 8f f -+=（）A.8B.9C.22D.264.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中x 的系数为（）A.560B.35C.－35D.－5605.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.76.华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G 功能.某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为2ˆ0.4ˆyx a =+，则下列说法不正确的是（）A.样本中心点为()3,1.0 B.由表中数据可知，变量y 与x 呈正相关C.ˆ0.28a =D.预测7x =时华为手机销量约为1.86（万部）7.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，112n n S a +=，则（）A.数列{}n a 是等比数列B.数列{}n a 是等差数列C.数列{}n S 是等比数列D.数列{}n S 是等差数列8.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）9.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11310.某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）A.12 B.715C.713D.111511.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()(),f x g x 的定义域为()R,g x 的图像关于1x =对称，且()22g x +为奇函数，()()()11,31g f x g x ==-+，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.14.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.15.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.16.正方体1111ABCD A B C D -的校长为1，点P 为线段1CC 的中点，则三棱锥1P BDD -外接球的表面积为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值.19.（12分）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：（1）若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布(65,100)X N ~，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y ，求随机变量Y 的分布列及数学期望.附参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()6827.0≈+<<-σμσμX P ，()9545.022≈+<<-σμσμX P ，()9973.033≈+<<-σμσμX P .20.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21.（12分）已知()ln 1f x x x x =--，记()f x 在1ex =处的切线方程为()g x .（1）证明：()()g x f x（2）若方程()f x m =有两个不相等的实根()1212,x x x x <，证明：12122x x m e e->+--.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：∵{}{}2501032<<-=<-+=x x x x x A ，∴{}23<<-=x x B A .2.B解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.C 解析：()()[]222log 221-=--=-f .∵18log 3>，∴()243338log 24log 3log 8log 18log 33333====++f ，∴()()222428log 23=+-=+-f f .4.D 解析：由题意知712⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式()()rr r r rr rr xC x x C T 27777712112---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令127=-r ，得3=r ，∴x 的系数为()5602137373-=--C .5.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .6.D解析：由表格数据可以计算出3554321=++++=x ，0.155.12.10.18.05.0=++++=y ，则样本中心点为()0.1,3，即A 说法正确；从表格数据可得：y 随着x 的增加而增加，∴变量y 与x 正相关，即B 说法正确；将样本中心点为()0.1,3代入a x yˆ24.0ˆ+=，可得28.0ˆ=a ，即C 说法正确；由C 可知线性回归方程为28.024.0ˆ+=x y，将7=x 代入可得96.128.0724.0ˆ=+⨯=y，则D 说法不正确.7.C解析：因121+=n n a S ①可得，当2≥n 时，n n a S 211=-②，①－②得：n n n n a a S S 212111-=-+-，即n n n a a a 21211-=+，可得31=+n n a a ，因11=a ，在121+=n n a S 中，取1=n ，可得2212==S a ，即3212≠=a a ，故数列{}n a 不是等比数列，选项A ，B 错误；又因当*∈N n 时，都有n n n S S a -=++11，代入121+=n n a S 中，可得()n n n S S S -=+121，整理得：31=+nn S S ，故数列{}n S 是等比数列，即选项C 正确，D 错误.8.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xexx x f ，故排除B.9.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.10.B解析：用A 表示事件“代表队既有男生又有女生”，B 表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为()A B P .∴()30333437=--=C C C A n ，()1468241412=+=+=C C C AB n ，∴()()()1573014===A n AB n A B P .11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()22+x g 为奇函数，∴()()2222+-=+-x g x g ，则()()22+-=+-x g x g ，∴()x g 对称中心为()0,2，又∵()x g 对的图象关于1=x 对称，则()()x g x g =+-2，∴()()x g x g =+-2，则()()()x g x g x g =+-=+24，∴()x g 的周期4=T ，①()()()5833g g g =+-=-，∴①正确；②∵()11=g ，()()x g x g =+-2，()x g 对称中心为()0,2，∴()()020==g g ，∴()()002024==g g ，∴②正确；③∵()()13+-=x g x f ，∴()()2112=+=g f ，∵()()x g x g =+-2，∴()()11g g -=-，则()()()011114=+-=+-=g g f ，∴()()242=+f f ，∴③错误；④∵()()13+-=x g x f 且()x g 周期4=T ，∴()()()()x f x g x g x f =+-=++-=+131434，则()x f 的周期为4=T ，∵()()1121=+=g f ，()22=f ，()()1103=+=g f ，()04=f ，∴()()()()44321=+++f f f f ，∴()()()()()[]20244506432150620241=⨯=+++=∑=f f f f n f n ，∴④正确.二、选择题13.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .14.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .15.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .16.825π解析：以D 为坐标原点，DA ,DC ,1DD 方向分别为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系.则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛21101000110001，，，，，，，，，，，P D B D ，M 为线段1BD 的中点，则⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21M ，显然点M 为1BDD ∆的外接圆圆心.则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-===0,21,210111001PM DB DD ，，，，，，，∴，，0212101=-=⋅=⋅DB PM DD PM 即PM 为平面1BDD 的一个法向量，即⊥PM 平面1BDD .则三棱锥1BDD P -外接球的球心O 在直线PM 行，连接OD ，则设R OP OD ==.设⎪⎭⎫⎝⎛-==0,2,2λλλPM OP ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=21,21,20,2,22110λλλλ，，OP DP DO .=，即222222121222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ，解得45-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,83,85DO ，∴32252183852222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=R .则三棱锥1BDD P -外接球的表面积为82542ππ=R .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+nn n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）延长ED 、AC 相交于点N ，连接BN ，则BN 为平面BDE 与平面ABC 的交线.∵AE ∥CD ，CD AE 2=，则DC 为ABC ∆的中位线，∴42==AC AN ，即BC CN AC ==，∴BN AB ⊥，∴3222=-=AB AN BN .而5222=+=AN AE EN ，2222=+=AB AE BE ，∴222EN BNBE =+，即BNBE ⊥∴EBA ∠即为平面BDE 与平面ABC 所成二面角的平面角.∴22222sin ===∠BE AE EBA 故平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值为22.19.解：（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ,设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为190110C C ,∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()1122100190110==C C C A P 故抽取的两名学生中锋恰有一名学生获一等奖的概率为112.（2）（i ）∵852=+σμ，∴()02275.029545.0185=-≈>X P ,∴参赛学生中成绩超过85分的学生数约为22802275.010000≈⨯人.（ii ）由65=μ，得()2165=>X P ，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在65分以上的概率为21，∴随机变量Y 服从二项分布Y ~⎪⎭⎫ ⎝⎛214，B ，∴()161210404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41211414=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()83212424=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41213434=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()161214444=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P .∴随机变量Y 的分布列为：∴期望为()216144138324111610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E.20.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，m y y 421=+，b y y 421-=，∴()b m b y y m x x 24222121+=++=+，()22212116b y y x x ==，∵()4,411--=y x P A ，()4,422--=y x PB ，()()324421212121++-++-=⋅y y y y x x x x PB P A ()32161216324442442222=+---=+⨯--+-=m b m b m b b m b ∴41616361222++=+-m m b b ，即()()22246+=-m b ，当6-b 与24+m 同号时，246+=-m b ，即84+=m b ，此时()04284222>++=++=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()8484++=++=y m m my x 过定点()48-，，当6-b 与24+m 异号时，246+=-m b ，即44+-=m b ，此时()0244222≥-=+-=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()4444+-=--=y m m my x 过定点()44，，则此时与点B A P ,,中任意两点不重合矛盾，故直线AB 过定点，定点坐标为()48-，.21.解：（1）证明：()1ln --=x x x x f 的定义域为()∞+，0，∵()()x x x f ln 1ln 1-=+-='，∴11=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e f ，121111-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e ef ，∴()e x e xg 112-=⎪⎭⎫⎝⎛--，即()11-+=e x x g .令()()()()x x ex x e x x f x g x F ln 11ln 11+=----+=-=，()+∞∈,0x ，()x x F ln 1+='，令()0='x F ，解得ex 1=，∴当e x 10<<时，()0<'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛e 10，单调递减，当e x 1>时，()0>'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 单调递增，∴()01min =⎪⎭⎫⎝⎛=e F x F ，∴()0≥x F 恒成立，即()()x f x g ≥.（2）由（1）知()x x f ln -='，令()0='x f ，得1=x .∴当10<<x 时，()0>'x f ，()x f 在()1,0单调递增，当1>x 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+，1单调递减，∴()()01max ==f x f ，当0→x 时，()1-→x f ；当e x >时，()()1-=<e f x f ，∵方程()m x f =有两个不相等的实根()2121,x x x x <，∴01<<-m 且e x x <<<<2110，∵()1-='e f ，()1-=e f ，∴函数()x f 在e x =处的切线方程为()()e x y --=--1，即1-+-=e x y .下证：()1-+-≤e x x f 令()()e x x x x f e x x h ++-=--+-=ln 21，()+∞∈,0x ∵()x x x h ln 11ln 2+-=++-='，令()0='x h ，解得e x =，∴当e x <<0时，()0<'x h ，()x h 在()e ,0单调递减，当e x >时，()0>'x h ，()x h 在()∞+，e 单调递增，∴()()0min ==e h x h ∴()0≥x h 恒成立，即()1-+-≤e x x f ，当且仅当e x =时等号成立.∵e x <<21，∴()122-+-<=e x x f m ，即12+->-e m x ，由（1）知，()()11-+=≤e x x g x f ，∵101<<x ，∴()1111-+≤=e x x f m ，即111+-≥em x ，∴ee m x x 12221--+>-.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。
中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学试卷
中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学试卷一、单选题1．已知集合1244xA x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A ．{1,0,1}-B ．{2,1,0,1,2}--C ．{0,1}D ．{1,1}-2．若1i 1z z +=-，则||z =（）AB．2C ．1D ．123．已知单位向量a和b ，若()2a a b ⊥+ ，则+= a b （）A ．2B ．1CD4．已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（）A ．1：2B ．1：1C ．3：4D ．2：35．已知1sin()3αβ+=，tan 2tan αβ=，则sin()αβ-=（）A ．13-B ．19-C ．13D ．196．已知函数2,01()1(1),12x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()()g x f x x=-的零点个数为（）A ．2B ．0C ．3D ．无穷7．将sin y x =的图象变换为πsin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，下列变换正确的是（）A ．将图象上点的横坐标变为原来的13倍，再将图象向右平移π6个单位B ．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移π18个单位C ．将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的13倍D ．将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍8．定义在R 上的函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x -+---=，且(1)(1)0f x f x ++-=，当[1,1]x ∈-时，()2f x ax =-，则()f x 的最小值为（）A ．6-B ．4-C ．3-D ．2-二、多选题9．从{1,2,3}中随机取一个数记为a ，从{4,5,6}中随机取一个数记为b ，则下列说法正确的是（）A ．事件“a b +为偶数”的概率为49B ．事件“ab 为偶数”的概率为79C ．设X a b =+，则X 的数学期望为()6E X =D ．设Y ab =，则在Y 的所有可能的取值中最有可能取到的值是1210．在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD为正方形，1CD ==P 为线段1B C 上动点，E ，F 分别为11A D 和BC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．若1103CP CB λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭ ，则经过P ，E ，F 三点的直棱柱的截面为四边形B ．直线1BC 与11A CC ．三棱锥11P A DC -的体积为定值D ．1A P BP +11．一条动直线1l 与圆221x y +=相切，并与圆2225x y +=相交于点A ，B ，点P 为定直线2:100l x y +-=上动点，则下列说法正确的是（）A ．存在直线1l ，使得以A 为直径的圆与2l 相切B ．22||||PA PB +的最小值为150-C ．AP PB ⋅的最大值为27-+D ．||||PA PB +的最小值为三、填空题12．若m的展开式中存在2x 项，则由满足条件的所有正整数m 从小到大排列构成的数列{}n a 的通项公式为．13．设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右顶点为F ，且F 是抛物线2:4y x Γ=的焦点．过点F 的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点，满足2AF FB =，若点A 也在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为．14．已知()|ln ln 2||1|af x a x x=--+-，则()f x 的最小值为．四、解答题15．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()2222321a b c ++=．(1)若b c =，3cos 4A =，求ABC V 的面积；(2)记BC 边的中点为D ，AD x =，若A 为钝角，求x 的取值范围．16．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，2PA AC ==，1BC =，AB =(1)若AD ⊥平面PAB ，证明：//AD 平面PBC ；(2)若PA ⊥底面ABCD ，AD CD ⊥，二面角A CP D --的正弦值为63，求AD 的长．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的下顶点为B ，左、右焦点分别为1F 和2F ，离心率为12，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点．若直线l 垂直于1BF ，则BDE V 的周长为8．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与坐标轴不垂直，点E 关于x 轴的对称点为G ，试判断直线DG 是否过定点，并说明理由．18．已知函数()sin f x ax x =+，[0,π]x ∈．(1)若1a =-，证明：()0f x ≤；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围；(3)若0a ≠，记1()()ln(1)g x f x x a=-+，讨论函数()g x 的零点个数．19．乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利．(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人共进行了()*m m ∈N 场比赛，请根据小概率值0.010α=的2K 独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响．(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p ，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为A ，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为B ，试证明：()()P A P B =．(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是(0.5)p p >，没有平局．若采用“赛满21n -局，胜方至少取得n 局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为()P n ．若采用“赛满21n +局，胜方至少取得1n +局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为(1)P n +，试比较()P n 与(1)P n +的大小．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635。
四川省成都市2024届高三下学期5月高考适应性考试(一)理科数学试题含答案
成都高2024届高考适应性考试（一）理科数学（答案在最后）（全卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,20A B xax =-=+=∣，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为（）A.{}2-B.{}2 C.{}2,2- D.{}2,0,2-2.复数2i1ia z -+=-在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a 的值为（）A.1B.2C.-1D.-23.已知,a b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个必要不充分条件为（）A.11a b> B.()()ln 1ln 1a b +>+C.330a b >>>4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（）A.33B.34C.35D.365.函数()()1ln 1f x x x =+-的大致图象是（）A. B.C. D.6.在区间[]2,4-上随机地取一个数x ，使2sin x x 恒成立的概率是（）A.13B.12C.23D.347.设抛物线24y x =的焦点为F ，过抛物线上一点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠= ，则PQ =（）A.23B.233C.438.变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩则目标函数3z x y =+-的取值范围是（）A.3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]1,69.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为()0146V h S S S =+'+，其中,S S '分别是上､下底面的面积，0S 是中截面的面积，h 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米､宽10米，堆高1米，上底面的长､宽比下底面的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A.51车B.52车C.54车D.56车10.设锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2c B C ==，则a b +的取值范围为（）A.()2,10 B.()2+ C.(24++ D.()4+11.已知菱形ABCD 中，π3A =，现将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，当AC =时，三棱锥A BCD -的体积为92，则此时三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.28πB.7πC.3D.40π12.在同一平面直角坐标系中，,M N 分别是函数()f x =()()e ln xg x ax ax =-图象上的动点，对任意0,a MN >的最小值为（）A.2B.12-1 D.1+第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为__________.14.若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线π6x =-对称，则a =__________.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为左支上一点，12122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为I ，直线PI 与x 轴交于点Q ，若双曲线的离心率为54，则PI IQ=__________.16.已知数列{}n a 满足1ln 1n n a a +=+，函数()ln 1xf x x =+在0x x =处取得最大值，若()420ln 1a a x =+，则12a a +=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，4,5,3PA BC AC PB AB =====，异面直线PA 与BC 所成角为60 ，点,M N 分别是线段,PA BC 的中点.（1）求线段PC 的长度；（2）求直线PC 与平面BMN 所成角的余弦值.18.（本小题满分12分）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.（1）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率；（2）已知5个问题回答完后乙获胜，设在前三个问题中乙回答问题的个数为X ，求X 的分布列和期望.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足121,1a a ==，当3n 时，122,,21,.n n n n a a n a a n ---+⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）求4a 和6a ，并证明当n 为偶数时{}1n a +是等比数列；（2）求13529a a a a ++++ .20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(1)E x py p =>的焦点为F ，过点()1,1P -作抛物线E 的两条切线，切点分别为,,5M N FM FN +=.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点P 作两条倾斜角互补的直线12,l l ，直线1l 交抛物线E 于,A B 两点，直线2l 交抛物线E 于,C D 两点，连接,,,AD BC AC BD .①设,,AC AB BD 的斜率分别为,,AC AB BD k k k ，问：AC AB BD AB k k k k +是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由；②设DBC DAC ∠λ∠=，求λ的值.21.（本小题满分12分）设()()21e sin 3xf x a x =-+-.（1）当a =时，求函数()f x 的零点个数；（2）函数()()2sin 22h x f x x x ax =--++，若对任意0x ，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线22:1C mx ny +=的渐近线方程为(),3,0y x D =±-，直线l 过点()1,0B ，且倾斜角为60 .以点D 为极点，以从点D 出发与x 轴正方向同方向的射线为极轴，建立极坐标系，点5π6,3A ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线C 上.（1）写出曲线C 在第二象限的一个参数方程和直线l 的极坐标方程；（2）曲线C 与直线l 相交于点,M N ，线段MN 的中点为Q ，求DBQ 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设()22123f x x x =---.（1）解不等式：()4f x >-；（2）设()f x 的最大值为M ，已知正数a 和b 满足a b M +=，令2222a bZ a b b a=+++，求Z 的最小值.答案及解析1.【答案】D 【解析】当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，2a =±.故选D.2.【答案】D【解析】因为()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a z -++--+--+===--+在复平面上对应的点位于虚轴上，所以20,20,a a --=⎧⎨-≠⎩即2a =-.故选D.3.【答案】B【解析】对于A ，若11a b >，则不能推出0a b >>；若0a b >>，则必定有11a b<，所以既不是充分条件也不是必要条件，故A 错误.对于B ，若()()ln 1ln 1a b +>+，则根据对数函数的单调性可知1101a b a b +>+>⇒>>-，但不能推出0a b >>，但是01a b a b >>⇒>>-，故B 正确.对于C ，因为330a b >>等价于0a b >>，所以是充分必要条件，故C 错误.对于D>，则必有10a b >> ，所以是充分不必要条件，故D 错误.故选B.4.【答案】B【解析】据条件可得，符号为“”表示的二进制数为100010，则其表示的十进制数是01234502120202021234⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选B.5.【答案】B 【解析】因为()()1ln 1f x x x =+-，所以113ln 0222f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，故排除C ，D ；当2x >时，()()()1ln 10f x x x =+->恒成立，排除A.故选B.6.【答案】A 【解析】设函数()2sin f x x x =-，则()2cos 0f x x =->'，所以()f x 为递增函数，且()0f =0，所以当0x >时，()()00f x f >=；当0x 时，()()00f x f = ，所以不等式2sin x x 的解集为(],0∞-.又因为[]2,4x ∈-，所以不等式2sin x x 的解集为[]2,0-.由长度比的几何概型的概率计算可得，使2sin x x 恒成立的概率是()()021423P --==--.故选A.7.【答案】C 【解析】由题易知，PF 的倾斜角为120 ，从而2411cos120312p PQ PF ====-+ .故选C.8.【答案】B 【解析】不等式组22,24,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，三个交点的坐标分别为()()10,1,,3,2,02⎛⎫⎪⎝⎭，目标函数33z x y x y =+-=-+，即3y x z =+-，当目标函数过点()2,0时z 取得最大值为5，过点1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭时z 取得最小值为12，所以目标函数3z x y =+-的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.9.【答案】B 【解析】由条件可知，上底面长18米､宽8米，中截面长19米､宽9米，则上底面面积188144S =⨯=（平方米），中截面面积0199171S =⨯=（平方米），下底面面积2010200S =⨯='（平方米），所以这堆建筑材料的体积()15141144417120063V =⨯⨯+⨯+=（立方米），所以这堆建筑材料约重5141.52573⨯=（吨），需要的卡车次为257551.4÷=，所以至少需要运52车.故选B.10.【答案】C【解析】在ABC 中，由2,ππ3,2B C A B C C c ==--=-=及正弦定理，得()()22sin3sin224cos 2cos 1sin C C a b C C C++==+-.又ABC 为锐角三角形，所以ππ0,022B A <<<<，即ππ02,0π322C C <<<-<，所以ππ64C <<，则(24a b +∈++.故选C.11.【答案】A 【解析】如图1，连接AC 交BD 于点E ，不妨设菱形ABCD 的边长为a ，则32AE CE a ==.将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，如图2所示，12,O O 分别为正,ABD CBD 的中心，过点12,O O 分别作平面ABD 和平面CBD 的垂线交于点O ，则121233,63O E O E a AO CO ====.在等腰AEC 中，,2AE CE a AC ===BD ⊥平面AEC ，则11193322A BCDAEC V S BD a -=⋅=⨯⨯= ，所以429360a a --=，即212a =（23a =-舍去），得a =.在AEC 中，由余弦定理，得2π3AEC ∠=，则在直角1OO E 中，1π6O OE ∠=，所以11OO E ==设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ，则222117R OO AO =+=，故外接球的表面积为24π28πR =.故选A.12.【答案】B【解析】令()y f x ==，整理得()22(2)10x y y -+= ，即点M 在圆心为()2,0，半径为1的半圆上.()()()ln e1ln 11x ax g x x ax x x +⎡⎤=-+++++⎣⎦ ，当且仅当()ln 0x ax +=时等号成立，所以曲线()g x 的一条切线为1y x =+.通过数形结合可知，当,M N 分别为对应切点，且.MN 与两切线垂直时，MN 取得最小值，即MN 的最小值为圆心()2,0到直线1y x =+的距离减去半径，即MN112=-.过圆心()2,0与1y x =+垂直的直线方程为2y x =-+，与直线1y x =+平行的函数()f x的切线方程为2y x =-+.设()(),,,M M N N M x y N x y，所以当且仅当()2,2ln 021,M M M MN N N N N N y x y x x ax y x y x ⎧⎪⎪=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎪=-+⎪=+⎩即121,22,32,,2,22eN M N M x x y y a -⎧⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩时，MN 取到最小值.综上所述，12MN - .故选B.13.【答案】-160【解析】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66621661C (2)2C (1)(06kk k k kk k k T x x k x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭且)k ∈N .令620k -=，解得3k =，故常数项为333462C (1)T =⨯⨯-=-160.14.【答案】3-【解析】因为()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+的周期2πT =且直线π6x =-为对称轴，所以点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，所以π310322f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得3a =-.15.【答案】2【解析】设PI IQλ=，则1212PF PF F QF Q λ==，所以1122PF F Q PF F Q λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又因为21122,2,PF PF a F Q F Q c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩所以12,.PF c a PF c a λλ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在12PF F 中，由余弦定理，得2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+-⋅⋅，即()2221()()(2)222c a c a c c a c λλλ⎛⎫+=-+--⋅⋅-⎪⎝⎭，所以()()24242e e λλ+=+，即()212e λλ+=+.又因为54e =，所以2λ=.16.【答案】-2【解析】因为()21ln (1)x x x f x x '+-=+，所以令()11ln 1ln x u x x x x x +=-=+-，则()u x 在()0,∞+上单调递减，且()()22312ln20,e 102eu u =->=-<.由零点存在定理可知，存在唯一的()202,e x ∈，使得()00u x =，即0001ln x x x +=，即()0000ln 11x f x x x ==+①，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减.由1ln 1n n a a +=+，得433221ln 1,ln 1,ln 1a a a a a a =+=+=+.又()420ln 1a a x =+，得()323043ln 11ln 1a a f a x a a +===+②.由①②可知，()()0301f x f a x ==，则30a x =，所以2301ln ln a a x +==，即2001ln 1a x x =-=，所以1201ln ln a a x +==-，所以()()2111a a +++=0，即122a a +=-.17.解：（1）如图1，过点A 作AD BC ∥，连接,PD CD .因为AD ∥BC ，异面直线PA 与BC 所成角为60 ，所以60PAD ∠= .又因为4AD BC PA ===，所以PAD 为正三角形，所以4PD =.因为在ABC 中，222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以AB AD ⊥.因为在ABP 中，222AB AP BP +=，所以AB AP ⊥.又因为,,AD AP A AD AP ⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .因为AD BC ∥，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以3,CD AB AB ==∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥，所以222222435PC PD CD =+=+=，所以5PC =.（2）如图2，将三棱锥P ABC -补形到长方体中，以点A 为坐标原点，,AB AD 所在直线为,x y 轴，以过点A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(()()(0,2,,3,0,0,3,4,0,P B C M ，所以(()(,0,4,0,3,2,BM BC PC =-==-.连接MC ，则平面BMN 即为平面BMC .设平面BMC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30,40,x y y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩取z =1,0x y ==，所以(n =.设直线PC 与平面BMN 所成角为θ，易得θ为锐角，所以3sin cos ,10PC n PC n PC n θ⋅=== ，所以直线PC 与平面BMN所成角的余弦值为10=.18.解：（1）设“甲回答问题且得分”为事件A ，“甲回答问题但对方得分”为事件A ，“乙回答问题且得分”为事件B ，“乙回答问题但对方得分”为事件B .记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件C ，则()()()()11178163232P C P AAA P AAAB P AAABB =++=++=，即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为732.（2）X 的所有可能取值为0,1,2.已知5个问题回答完后乙获胜，则由（1）可知，这5个问题回答的情况有六种：,,,,,AAABB AABBA AABAB ABBAA ABAAB ABABA ，其中()()()111,,323232P AAABB P AABBA P AABAB ===，()()()111,,323232P ABBAA P ABAAB P ABABA ===，所以()()()11646212163260,1,2661636323232P X P X P X =========，所以X 的分布列为：X012P 162316则()1210121636E X =⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）由已知，得4264213,217a a a a =+==+=.当3n 且n 为偶数时，221n n a a -=+，即()2121n n a a -+=+.又212a +=，所以当n 为偶数时，数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，当n 为偶数时，12122n n a -+=⋅，即221nn a =-.当n 为奇数时，设()*21n k k =+∈N，则21221k k k a a a +-=+2121k k a -=-+222321k k k a a --=-++1232121k k k a --=-+-+=111212121k k a -=-+-++-+ ()121212kk a ⋅-=-+-121k k +=--所以当n 为奇数时，12122n n n a ++=-，所以()()()()1231513529212223215a a a a ++++=-+-+-++- ()()1521211515122⨯-+⨯=--162122.=-20.解：（1）设切点221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以M 为切点的切线方程为()21112x x y x x p p-=-.因为切线过点()1,1P -，所以211220x x p --=.同理，222220x x p --=，所以12122,2x x x x p +==-.又因为()2221212122522222x x x x x x p p FM FN p p p p +-+=+++=+=，所以2320p p -+=，即()()120p p --=.又因为1p >，所以2p =，所以抛物线E 的方程为24x y =.（2）①设直线1l 的方程为()11y k x +=-.联立直线1l 和抛物线E 的方程，得()21,4,y kx k x y ⎧=-+⎨=⎩所以()24410x kx k -++=.设()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，则4A B x x k +=.同理，4C D x x k +=-，所以C A D B AC BD C A D By y y y k k x x x x --+=+--22224444C A D B C A D Bx x x x x x x x --=+--44C AD B x x x x ++=+()()4A B C D x x x x +++=0=所以()0AC AB RD AB AC BD AB k k k k k k k +=+⋅=，所以AC AB BD AB k k k k +等于定值0.②由①可得，11A B PA PB x ⋅=-⋅-()1A B A B x x x =-++()141k k =+-+=同理，()141PC PD k k ⋅=-+++=，所以PA PB PC PD ⋅=⋅，所以点,,,A B C D 共圆，所以DBC DAC ∠∠=，所以1λ=.21.解：（1）当a =()()e sin 3,e cos x x f x x f x x =+-=+'.①当(),0x ∞∈-时，()[]e 0,1,sin 1,1x x ∈∈-，则()0f x <，所以()f x 在(),0∞-上无零点.②当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>，则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增.又因为()πln 22π020,e 2e 202f f ⎛⎫=-<=->-= ⎪⎝⎭，所以()00π0,,02x f x ⎡⎤∃∈=⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有一个零点.③当π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()πln42e 13e 40f x >-->-=，所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无零点.综上所述，当a =()f x 在(),∞∞-+上只有一个零点.（2）对任意0x ，恒有()0h x >，即()221e 210x a x ax --+->恒成立，即22211ex x ax a -+<-恒成立，即()222110e x x ax a -+--<恒成立.设()()[)22211,0,e x x ax g x a x ∞-+=--∈+，则()()()()21212221e e x x x x a x a x a g x '⎡⎤---+-++--⎣⎦==.①当12a - 时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()2max 22()110e a g x g a -==--<，即()()e e 210,a a ++->解得()e 2,1,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭.又因为12a - ，所以e 2,e a ∞+⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.②当102a -<<时，()g x 在()0,21a +上单调递减，在()21,1a +上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()00,10.g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩由()()()2222110,020e a g a g a -=--<=-<，解得)e 2,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭，这与102a -<<矛盾，舍去.③当0a =时，()g x 在()0,∞+上单调递减，所以只需()00g <，得22a >，这与0a =矛盾，舍去.④当0a >时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,21a +上单调递增，在()21,a ∞++上单调递减，所以只需()()210,00.g a g ⎧+<⎪⎨<⎪⎩因为()()()()2222121(21)22112221110e e a a a a a a g a a a +++-++++=--=--<，且10a +>，所以2121e a a +->.又()2020,0g a a <=->，所以a >所以212110.4e a a +->->>，所以)a ∞∈+满足条件.综上所述，实数a的取值范围是)e 2,e ∞∞+⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.22.解：（1）设曲线C 的方程为221x y λλ-=.点5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(0,-.将点A 的直角坐标代入曲线C的方程，得2201λλ-=，所以27λ=-，所以曲线C 的普通方程为2212727y x -=，所以曲线C在第二象限的一个参数方程为,33,cos x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩参数π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（参数方程不唯一）设在x 轴上方直线l 上任意一点E 的极坐标为(),ρθ，连接ED .在BED 中，4DB =，由正弦定理，得sin sin DB ED BED EBD∠∠=，即()()4sin 60sin 18060ρθ=-- ，所以()4sin60sin 60ρθ=-，所以()sin 60ρθ-= 经验证，在x 轴上及x 轴下方直线l 上的点也满足上式，所以直线l 的极坐标方程为()sin 60ρθ-=（2）设直线l的参数方程为11,22x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程，得22560t t --=.设,BM BN 对应的参数为12,t t ，则1212t t +=.，所以1BQ =.在DBQ中，11sin 41sin12022DBQ S DB BQ DBQ ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= .23.解：（1）因为()f x 是偶函数，所以只需针对0x 时()f x 的情况展开讨论.当[)0,1x ∈时，()()2221235f x x x x=---=-，此时不等式化为254x ->-，得21x >，舍去；当x ⎡∈⎣时，()()22212337f x x x x =---=-，此时不等式化为2374x ->-，，所以(;x ∈当)x ∞∈+时，()()2221235f x x x x =---=-+，此时不等式化为254x -+>-，得29x <，所以)x ∈.综上所述，所求不等式的解集为()()1,33,1⋃--.（2）由（1）可知，当[)0,1x ∈时，()f x 的值域为[)5,4--；当(),x f x ⎡∈⎣的值域为[)4,2-；当)(),x f x ∞∈+的值域为(],2∞-.因此，当x ∈R 时，()f x 的值域为(],2∞-，所以()f x 的最大值为2，则2a b +=，所以()()222233222221111()2222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即22211()4222a b a b b a ++=⨯= ①，当且仅当1a b ==时等号成立.因为2a b =+ 1ab ，所以222()2422a b a b ab ab +=+-=- ，即222a b + ②，当且仅当1a b ==时等号成立.由①+②，得22224a b a b b a+++ ，当且仅当1a b ==时等号成立，所以Z 的最小值为4.。
四川省2017级高中毕业班诊断性测试理科数学答案
2k
2k
1
1
为定值,此题得证.
(11 分)
(12 分) (1 分) (2 分) (3 分) (4 分)
(5 分) (6 分) (7 分) (9 分)
(10 分) (12 分)
第2页,共5页
20．解:（1）由表格数据得,
x
5
3 15
25
9
,
y 0.13 0.23 0.31 0.41 0.52 0.32 . 5
又因为 a2=b2+c2,所以 a2 1 3a2 ,解得 a=2. 4
故椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 . 4
（2）因为直线 BC 过点 P(2,1),且与轨迹 E 有两个不同交点,
所以直线 BC 的斜率一定存在且大于零.
于是可设直线 BC 的方程为 y=k(x-2)+1(k>0).
代入 x2+4y2=4 并整理得(3k2+1)x2-8k(2k-1)x+16k(k-1)=0(Δ>0).
因为 tan A tan B sin A sin B sin Acos B cos A sin B
பைடு நூலகம்
cos A cos B
cos Acos B
sinA B sin C .
cos Acos B cos Acos B
又 tan B sin B ,所以 b sin C 2c sin B ,即 b sin C 2c sin B .
设
B(x1,y1)、C(x2,y2),则
x1
x2
8k2k 1
3k 2 1
,
x1 x2
16kk 1
3k 2 1
.
设直线 AB 和 AC 的斜率分别为 k1 和 k2,则
四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题(含答案解析)
四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≤，{}2|1B y y x ==+，则A B ⋃等于（）A ．(1,)+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,3]D ．(1,)-+∞2．在复平面内，复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A S 和B S ，样本极差分别为A y 和B y ，则（）A ．>AB x x ，A B S S >，A B y y <B ．<A B x x ，A B S S >，A B y y >C ．>A B x x ，A B S S <，A B y y >D ．<A B x x ，A B S S <，A B y y <4．若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．655．若直线():430R l mx y m m --+=∈与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则m 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭6．如图，C ，D 为以AB 的直径的半圆的两个三等分点，E 为线段CD 的中点，F 为BE的中点，设AB a=，AC b = ，则AF = （）A ．5182a b+ B ．5142a b+C ．5184a b+D ．5144a b+7．下列命题中，不正确的是（）A ．“若11a b<，则a b >”的否命题为假命题B ．在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 必是等腰直角三角形D ．在ABC 中，若2π,3B b ac ==，则ABC 必是等边三角形8．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<，其部分图像如图所示，下列说法正确的有（）①2ω=；②56π=-ϕ；③3x π=是函数()f x 的极值点；④函数()f x 在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；⑤函数()f x 的振幅为1．A ．①②④B ．②③④C ．①②⑤D ．③④⑤9．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()*1121,2n n S a n N a +=+∈=，则下列式子正确的是（）A ．20212022202032a =B ．20212022202232a =C ．202120212019342S =-+D ．202020212020312S =+10．设1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（a >0，b >0）的左､右焦点，若双曲线上存在一点P使得12PF PF +=，且12PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（）A ．2BCD11．已知函数()2,1x f x x e =++若正实数,m n 满足(9)(2)2f m f n -+=，则21m n+的最小值为（）A ．8B ．4C ．83D ．8912．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H P 、、、、均为所在棱的中点，则下列结论正确的有（）①棱AB 上一定存在点Q ，使得1QC D Q ⊥②三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π③过点E F G ，，作正方体的截面，则截面面积为④设点M 在平面11BB C C 内，且1//A M 平面AGH ，则1A M 与AB 所成角的余弦值的最大值为3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．已知实数x ，y 满足01,0,2,x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则32x y +的最大值为_______．14．已知平面向量()2,0a = ，()1,2b =-r ，若向量()c a a b b =+⋅ ，则c = ______．（其中c用坐标形式表示）15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ．若3A π=，4c =，△ABC的面积为ABC 的外接圆的半径为________．16．已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M 为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题：①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为24y x =；②若AM l ⊥于M ，则抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠；③若3MF FA =，则抛物线C 方程为26y x =；④若OM MA +的最小值为C 方程为28y x =．其中所有正确的命题序号是________．三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1222(2)n n a a a n -=+-≥．(1)证明：{}1n a +为等比数列；(2)求{}n a 的通项公式，并判断,,n n n a S 是否成等差数列？18．某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．19．如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE V 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE ．(1)设F 为1CD 的中点，若M 为线段AB 上的一点，满足14AM AB =．求证：MF ∥平面1D AE ；(2)求点B 到平面1CD E 的距离．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且122B B =，过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1k =时，求OMN 的面积；(3)求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．21．已知函数()ln f x x kx =-（R k ∈），()()2xg x x e =-.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()1g x f x -≥恒成立，求k 的取值范围.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为x 轴，建立极坐标系，曲线1C 是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆，曲线2C 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为[]()1sin 0,2ρθθπ=-∈.(1)求曲线1C 的极坐标方程，并求曲线1C 和曲线2C 交点（异于极点）的极径；(2)曲线3C 的参数方程为cos 3sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）.若曲线3C 和曲线2C 相交于除极点以外的M ，N 两点，求线段MN 的长度.23．设函数()45f x x x =-+-的最小值为m .（1）求m ；（2）设123,,x x x R +∈，且123x x x m ++=，求证：22231212311114x x x x x x ++≥+++.参考答案：1．B【分析】根据集合的运算的定义求解.【详解】由(3)(1)0x x -+≤解得13x -≤≤,所以13{|}A x x =-≤≤,又因为211y x =+≥,所以{}|1B y y =≥,所以[1,)A B =-+∞ .故选:B.2．D【分析】先求出复数z ，即可求出答案.【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，复数z 对应的点为()1,1-则复数z 对应的点位于第四象限故选：D.3．B【分析】观察图形可知，样本A 的数据均在[]2.5,10之间，样本B 的数据均在[]10,15之间，利用平均数，标准差，极差的定义可得解.【详解】观察图形可知，样本A 的数据均在[]2.5,10之间，样本B 的数据均在[]10,15之间，由平均数的计算可知<A B x x ，样本极差A B y y >样本B 的数据波动较小，故A B S S >，故选：B 4．C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．5．C【分析】根据直线与圆相交，结合点到直线的距离公式可得出关于实数m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围.【详解】曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，由题意可知，圆心()2,3到直线l 的距离应小于等于半径1，1=≤，解得m ≤≤故选：C.6．A【分析】直接利用向量的线性运算计算即可.【详解】因为C ，D 为以AB 的直径的半圆的两个三等分点则AB //CD ，且2AB CD=又E 为线段CD 的中点，F 为BE 的中点()()1111111122222242AF AE AB AE AB AC CE AB AC CD AB=+=+=++=∴++25111152828182AC AB AB AC AB a b =++==++故选：A.7．C【分析】根据不等式的性质和正弦定理，余弦定理即可判断求解.【详解】对于A ，原命题的否命题为“若11a b≥，则a b ≤”，由11a b ≥得，110b a a b ab--=≥，得0b a ≥>或0a b ≤<或0b a <<，所以该否命题为假命题，故A 正确；对于B ，在锐角ABC 中，因为ππ()2C A B =-+<,所以π2A B >-,因为π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以π2sin sin A B >-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即sin cos A B >，故B 正确；对于C ，在ABC 中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B∴=,(0,π),22A B A B ∈∴= 或2π2A B =-，得A B =或π2A B +=，ABC ∴ 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误;对于D ，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得222b a c ac =+-，又因为2b ac =，所以22220,()0a c ac a c +-=-=，所以a c =，又因为π3B =，所以ABC 是等边三角形，故D 正确，故选:C.8．C【分析】根据函数()f x 的部分图像求出函数的解析式，即可判断①②⑤是否正确；若=3x π是函数()f x 的极值点则=03f π⎛⎫⎪⎭'⎝，可判断③是否正确；求出()f x 的单调增、减区间，即可验证④是否正确；【详解】设()f x 的最小正周期为T ，根据函数()f x 的部分图像可知，512π，1112π是函数()f x 的两个相邻的零点，115212122T πππ∴=-=，T π∴=，222T ππωπ∴===，故①正确；根据函数()f x 的部分图像可知，1A =,故⑤正确；1A = ，2ω=，()()sin f x A x =+ωϕ，()()sin 2f x x ϕ∴=+，将5012π⎛⎫⎪⎝⎭，代入()()sin 2f x x ϕ=+中，5sin 2=012πϕ⎛⎫∴⨯+ ⎪⎝⎭，5=26k πϕπ∴+，56=2k πϕπ∴-，0πϕ-<< ，∴当0k =时，56π=-ϕ，故②正确；()5sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()562cos 2f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭'，若=3x π是函数()f x 的极值点则必有=03f π⎛⎫ ⎪⎭'⎝，而52cos 2=2cos 03636f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎝⎭，3x π∴=不是函数()f x 的极值点，故③错误；由5222262k x k πππππ-≤-≤+，得263k x k ππππ+≤≤+，()f x \的单调递增区间为2[]63k k ππππ++，，由53222262k x k πππππ+≤-≤+得，2736k x k ππππ+≤≤+，()f x \的单调递减区间为27[]36k k ππππ++，()f x \在126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在7612ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，()f x \在71212ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，故④错误.故选：C 9．D【分析】由已知得()*121n n S a n N +=+∈，+1221n n S a +=+，两式作差得+2132n n a a +=，再求得212a =，2132a a ≠，得数列{}n a 从第2项起构成以32为公比的等比数列，求得2n ≥时，n a ，n S ，代入判断可得选项.【详解】解：因为()*121n n S a n N +=+∈，所以+1221n n S a +=+，两式作差得()()+1+212+121n n n n S S a a +-=-+，即+1+2122n n n a a a +=-，所以+2132n n a a +=，又12a =，1221a a =+，解得212a =，211132242aa ==≠，所以数列{}n a 从第2项起构成以32为公比的等比数列，所以12a =，()22113,32222n n n n n a ---⎛⎫⨯=≥ ⎪⎝⎭=，()2111221333132+1++++2+22312++++1,23122222n n n n n a n S a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⨯⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=≥ ⎪⎭-⎦⎝ ，所以20222202020222022120213322a --==，故A 不正确，B 不正确；2021120012022+1+13322S -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎭=，所以202020212020312S =+，故C 不正确，D 正确，故选：D.10．B【分析】由双曲线的定义得到122PF PF a -=，再由题意知12PF PF +=，12PF PF ab ⋅=，三个式子组合即可得到22484ab b a =-，解出ba的值，在由双曲线的离心率为c e a =.【详解】()221212=8PF PF PF PF b+=∴+ ，，即222121228PF PF PF PF b ++⋅=①.根据双曲线的定义可得()2212122=4PF PF a PF PF a-=∴-，，即222121224PF PF PF PF a +-⋅=②，①减去②得2212484PF PF b a ⋅=-.12PF PF ab ⋅= ，故222222484221210bb b b ab b a ab b a aa a a ⎛⎫⎛⎫=-⇒=-⇒-⇒--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1b a =或12b a -=（舍）.双曲线的离心率为c e a ==故选：B.11．D【分析】构造函数()()1g x f x =-，由导数结合奇偶性得出()g x 在R 上单调递增，进而得出29m n +=，最后由基本不等式得出答案.【详解】函数()f x 定义域为R ，令()()2111xg x f x x e =-=+-+21()111x x x e h x e e -=-=++，111()()1x x x x e e h x h x e e -----===-++易知y x =和2()11xh x e =-+均奇函数，所以()g x 为奇函数()()22101+xx e g x e +'=>，所以()g x 在R 上单调递增由()()922f m f n -+=得()()91210f m f n --+-=即()()()922g m g n g n -=-=-，所以920m n -+=，即29m n +=则()()211211418222449999m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当33,2m n ==时，取等号故选：D【点睛】关键点睛：本题考查点较为综合，解决时关键在于利用导数得出29m n +=，进而由基本不等式得出最值.12．C【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设出Q 点坐标，求出满足题意的位置即可，经计算可知Q 点不存在，故①错误；根据三棱锥F EPH -的几何特征，可计算出其外接球半径，所以②正确；由图可知，过点E F G ，，的截面为边长是的正六边形，即可计算其面积，所以③正确；利用空间向量写出1A M 与AB 所成角的余弦值的表达式求其最值即可，所以④正确.【详解】建立如图空间直角坐标系，设(2,,0)Q a ，其中102,(0,2,0),(0,0,2)a C D ≤≤，所以1(2,2,0),(2,,2)QC a D Q a =--=-，若棱AB 上存在点Q ，使得1QC D Q ⊥，则10QC D Q =，整理得2(1)30a -+=，此方程无解，①不正确;设AB 的中点为K ，则四边形PHKE 其外接圆的半径为1r =，又FK ⊥底面ABCD ，所以三棱锥F EPH -的外接球的半径为R ==所以其表面积为8π，②正确;过点E F G ，，作正方体的截面，截面如图中六边形所示，因为边长均为，且对边平行，所以截面六边形为正六边形，其面积为16sin 602S =⨯=③正确;点M 在平面11BB C C 内，设(,2,)M m n ，则1(2,0,2),(2,0,0),(0,2,1),(1,2,0),(2,2,0)A A G H B ，1(2,2,2),(2,2,1),(1,0,1),(0,2,0)A M m n AG GH AB =--=-=-=设()n x y z = ，，是平面AGH 的一个法向量，则·0·0n AG n GH ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，令1z =可得112x y ==，，即1(1,,1)2n = ，因为1//A M 平面AGH ，所以10A M n =，即3m n +=，设1A M 与AB 所成角为θ，则11cos A M ABA M ABθ==，当32m =时，2269y m m =-+取最小值92，所以1A M 与AB所成角的余弦值的最大值为3，故④正确;故选：C.13．5【分析】本题考查简单的线性规划，属基础题，根据约束条件画出可行域，将目标函数看成直线，直线经过可行域内的点，观察可得何时目标值取得要求的最值，进而得解.【详解】解：根据方程组画出可行域如图所示，可以求得B (1,1),当直线32x y z +=经过点B 时取得最大值为5，故答案为：5.14．()4,4-【分析】根据向量的线性坐标运算，以及向量数量积的坐标运算可求得答案.【详解】解：因为平面向量()2,0a = ，()1,2b =-r ，所以()21+022a b ⋅=⨯-⨯=-，所以()()()()()22021244c a a b b a b =+⋅=+-=--=- ，，，，故答案为：()4,4-.15．2【分析】利用三角形面积公式求解2b =,再利用余弦定理求得a =,进而得到外接圆半径.【详解】由14sin 23b π⨯⋅=，解得2b =．22224224cos 123a π∴=+-⨯⨯=．解得a =．24sin3R π∴==，解得2R =．故答案为:2．16．①②③④【分析】根据抛物线的标准方程及抛物线的几何性质依次判断即可.【详解】①若△MAF 为正三角形时，122p AM ==，故①正确；②若AM l ⊥于M ，设()00,A x y ，过A 的切线m 方程为:00x ty ty x =-+，代入22y px =得2002220y pty pty x -+-=，()()20024220pt pty x ∆=---=，又202y px =Q ，()200tp y ∴-=，y t p =，所以过A 点的切线的斜率为0p k y =，因为00022MF y yk p p p -==---，所以过A 的切线m MF ⊥，又AM AF =,故抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠，②正确③若3MF FA =，则A M F 、、三点共线，4,12AF MF ==，由三角形的相似比得12,3164pp ==，故③正确；④设(),0B p -则14,2A p ⎛- ⎝，O B 、关于准线l 对称，OM BM =，O M BM MA A M B A =+≥==+1402p ->Q ,解得4p =，故④正确.故答案为:①②③④17．(1)证明见解析(2)21nn a =-，n ，n a ，n S 成等差数列【分析】（1）由已知可得：37a =，3232a a =-，解得23a =，可得1121,21n n n n a a a a -+=+=+，可得()111212n n a n a ++=+ ，即可证明；（2）由（1）知，12nn a +=，可得n S ，n a ．只要计算20n n n S a +-=即可．【详解】（1）证明：37a = ，3232a a =-，23a ∴=，1121,21n n n n a a a a -+∴=+=+，11a ∴=，()111121222n n n n a a n a a +++==++ ，112a +=，{1}n a ∴+是首项为2公比为2的等比数列．（2）由（1）知，12n n a +=，∴21nn a =-，∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴12222(21)0n n n n n S a n n ++-=+----=，2n n n S a ∴+=，即n ，n a ，n S 成等差数列．18．（1）男30人，女45人（2）710【分析】（1）根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可；（2）求出样本中的男生和女生的人数，写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数，从而求出满足条件的概率即可．【详解】（1）由题可得，男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人，女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人；（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是51304515=+，所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为145315⨯=人．设两名男生为1A ，2A ，三名女生为1B ，2B 3B ．则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个，记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个．所以()710P C =．【点睛】本题考查了频率分布问题，考查了古典概型概率问题，是一道中档题．19．(1)证明见解析(2)d =【分析】（1）取1D E 的中点N ，证明AMFN 是平行四边形，得到AN MF ∥，再利用线面平行的判定定理证明；（2）取AE 的中点O ，BC 的中点Q ，连接EF ，1D O ，由平面1D AE ⊥平面AECB ，得到1D O ⊥平面AECB ，设点B 到平面1CD E 的距离为d ，由11D BCE B CED V V --=求解.【详解】（1）证明：如图所示：取1D E 的中点N ，连AN 、NF ，则12NF EC =，//NF EC ，∵122EC AB ==，当114AM AB ==时，12AM EC =，//AM EC ，是NF AM =且//NF AM ，所以AMFN 是平行四边形，则//AN MF ．又MF ⊄平面1D AE ，AN ⊂平面1D AE ，所以//MF 平面1D AE ；（2）如图所示：取AE 的中点O ，BC 的中点Q ，连接EF ，1D O ．易知1EF D C ⊥，OQ CB ⊥．因为11D A D E =，AO EO =，所以1D O AE ⊥，平面1D AE 平面AECB AE =，平面1D AE ⊥平面AECB ，1D O ⊂平面1AD E ，所以1D O ⊥平面AECB ．设点B 到平面1CD E 的距离为d ．在1Rt D OC △中，OC 1D O =，所以1D C ==．在1D EC △中，因为12EC D E ==，1D C =所以1EF ==．由11D BCE B CED V V --=，得1111113232CB CE D O CD EF d ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅．即11112213232d ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅解得d =20．(1)2212x y +=；(2)面积不存在；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意求出1b =，再由离心率为2和222c a b =-，求出a =1c =，即可得到椭圆方程.（2）把直线与椭圆进行联立，得到Δ0<，直线与椭圆无交点，故OMN 的面积不存在．（3）设直线l 的方程并和椭圆进行联立，由直线和椭圆有两个交点，232k >，再由1B ，T ，M 在同一条直线上，得111111313y kx n k m x x x +++===+；2B ，T ，N 在同一条直线上，222221111y kx n k m x x x -+-===+.化简得12n =，故交点T 的纵坐标为定值12.【详解】（1）因为122B B =，所以22b =，即1b =，因为离心率为2，所以2c a =，设c m =，则a =，0m >，又222c a b =-，即2222m m b =-，解得1m =或1-（舍去），所以a =1b =，1c =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）由22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222220x x ++-=23860x x ++=，284360∆=-⨯⨯<所以直线与椭圆无交点，故OMN 的面积不存在．（3）由题意知，直线l 的方程为2y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221860k x kx +++=，则()()22122122Δ846120821621k k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩，因为直线和椭圆有两个交点，所以()()22824210∆=-+>k k ，则232k >，设(),T m n ，因为1B ，T ，M 在同一条直线上，则111111313y kx n k m x x x +++===+，因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则222221111y kx n k m x x x -+-===+，由于()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+，所以12n =，则交点T 恒在一条直线12y =上，故交点T 的纵坐标为定值12.21．（1）当0k ≤时，()f x 无极值点，当0k >时，()f x 有极大值点1k，无极小值点，（2）[1,)+∞【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求出导函数，通过判断导函数的正负来判断函数的极点；（2）将不等式恒成立转化为1ln 2xx k e x+≥-+对0x >恒成立，构造函数1ln ()2xx m x e x+=-+，利用导数研究函数()m x 的性质，求解()m x 的最值，即可得到k 的取值范围【详解】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，由()ln f x x kx =-，得'11()kx f x k x x-=-=，当0k ≤时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，函数无极值点，当0k >时，由'()0f x =，得1x k=，当10x k <<时，'()0f x >，当1x k >时，'()0f x <，所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 有极大值点1k，无极小值点，综上，当0k ≤时，()f x 无极值点，当0k >时，()f x 有极大值点1k，无极小值点，（2）因为()()1g x f x -≥恒成立，即(2)(ln )1x x e x kx ---≥恒成立，所以1ln 2xx k e x+≥-+对0x >恒成立，令1ln ()2x x m x e x+=-+，则2'221(1ln )ln ()x x x x x x e x m x e x x ⋅-+--=-=，令2()ln x n x x x e =--，则'22l l ()(2)(2)0(0)x x x n x xe x e e x x x x x=--+=--+<>，所以()n x 在(0,)+∞上单调递减，因为12110,(1)0e n e n e e -⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00n x =，即0200ln xx x e -=，两边取对数可得000ln(ln )2ln x x x -=+，即0000ln(ln )(ln )ln x x x x -+-=+，因为函数ln y x x =+在(0,)+∞上单调递增，所以00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0n x >，当0x x >时，()0n x <，所以()m x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以00000001ln 11()()221x x x m x m x e x x x +-≤=-+=-+=，所以0()1k m x ≥=，所以k 的取值范围为[1,)+∞【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是()()1g x f x -≥恒成立，转化为1ln 2x x k e x +≥-+对0x >恒成立，然后构造函数1ln ()2x x m x e x+=-+，利用导数求出()m x 的最大值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．(1)极坐标方程为2cos ρθ=，[)0,2θ∈π，极径为85(2)2【分析】（1）先求出曲线1C 的直角坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线1C 的极坐标方程；联立曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程，消去θ可得结果；（2）将曲线3C 的参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程，联立曲线3C 和曲线2C 的极坐标方程，消去θ得到,M N 两点的极径后相加即可得解.【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入并化简得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[)0,2θ∈π.由2cos 1sin ρθρθ=⎧⎨=-⎩消去θ，并整理得2580ρρ-=，∴10ρ=或285ρ=.∴所求异于极点的交点的极径为85ρ=.（2）由cos 3sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 得曲线3C的普通方程为y =，∴曲线3C 的极坐标方程为()03πθρ=≥和()403πθρ=≥由31sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩和431sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得曲线3C 与曲线2C两交点的极坐标为1,23M π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，413N π⎛⎫ ⎝⎭，∴112MN OM ON ⎛⎛=+=+= ⎝⎭⎝⎭(O 为极点).23．（1）1m =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用“零点讨论法”将绝对值函数表示为分段函数的形式，求分段函数的最值即可；（2）由（1）易构造出1231114x x x +++++=，利用柯西不等式即可得结果.【详解】（1）∵()29,41,4529,5x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，∴4x <时，()1f x >，且5x >时，()1f x >，∴()min 1f x =，∴1m =；（2）由（1）知1231x x x ++=，∴1231114x x x +++++=，∵()()()2222223312121231231234111111111x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++⨯=+++++++≥⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭()21231x x x ++=，∴22231212311114x x x x x x ++≥+++，当且仅当12313x x x ===取等号.【点睛】关键点点睛：得出1231114x x x +++++=，构造柯西不等式的形式.。
高三数学诊断性测试(一).doc
高三数学诊断性测试（一）一、选择题：本大题共8小题；每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）复数z ＝1+i ，z 为z 的共轭复数，则z z -z -1＝（A ）-2i （B ）-i （C ）i （D ）2i （2）若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C.冲要条件 C.既不充分又不必要条件 （3）l 1,l 2,l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A ）l 1⊥l 2, l 2⊥l 3⇒ l 1∥l 3 (B) l 1⊥l 2, l 2∥l 3⇒ l 1⊥l 3（C ）l 1∥l 2 ∥l 3 ⇒ l 1,l 2,l 3 共面 (D) l 1,l 2,l 3 共点⇒ l 1,l 2,l 3 共面 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12（C ）23（D ）34（5）在A B C ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π （B ）[,)6ππ （C ）(0,]3π （D ）[,)3ππ（6）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x 2(1)x x =-，则5()2f -=（A ）12- （B ）14- （C ）14 （D ）12 （7）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b+的最小值是（A ）72（B ）4 (C) 92(D) 5（8）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 13二、填空题.本大题共有2个小题，每小题6分，共12分.把正确答案填在答题卡的相应位置.（9）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 。
高三九月诊断数学理试卷及答案
成都市玉林中学—（上期）九月诊断性评价高三 （理科数学）（时间：120 分钟，总分：150 分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则()u M N A.{5} B.{0，3}C.{0，2，3，5}D.{0，1，3，4，5}22=A.1-+B.12+C.12-+D.1 3.=-)320cos(πA ．21B ．23 C ．-21D ．-23 4．已知定义域为R 的函数()f x 在),8(+∞上为减函数，且(8)y f x =+函数为偶函数，则 A ．(6)(7)f f > B ．(6)(9)f f > C. (7)(9)f f > D. (7)(10)f f >5．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为 A.(1,2)(2,3) B.(,1)(3,)-∞+∞C.（1，3）D.[1，3] 6．已知直线m 、n ，平面γβα、、，则βα⊥的一个充分不必要条件为 A.γβγα⊥⊥， B.ββα⊂⊥=n m n m ，， C.βα⊥m m ，//D.βα////m m ，7．设0a >，不等式||ax b c +<的解集是{|21}x x -<<，则::a b c 等于 A.1:2:3 B. 2:1:3 C.3:1:2 D.3:2:1 8．等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则10921a a -的值为： A.10 B.11 C.12 D.14 9．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象是： A.关于原点成中心对称 B.关于y 轴成轴对称C.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D.关于直线12x π=成轴对称10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y =x (1－y ).若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则A ．11a -<<B ．02a <<C ．2321<<-a D ．2123<<-a11．在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A.124414128C A A B.124414128C C C C .12441412833C C C A D.12443141283C C C A 12. 定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 A .(sin )(cos )f f αβ> B.(cos )(cos )f f αβ< C .(cos )(cos )f f αβ> D.(sin )(cos )f f αβ<第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
成都市届第一次诊断性测试理科数学含答案
Newly compiled on November 23, 2020
成都市2012届一诊数学含答案
一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
(1) 某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收人家庭.现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为
(A)70 户（B)17 户（C)56 户（D)25户
(2) 复数z=(1-2i)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于
(A)第一象限（B)第二象限（C)第三象限（D)第四象限
(3) 若首项为1的等比数列的前3项和为13,则公比q为
(A) 3(B)–4(C)3或—4 (D)—3或 4
(4) 已知向量i与j不共线,且，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是
(A) m+n=1 (B)m+n=-1 (C) mn = 1 (D)mn =- 1
(5) “0<m<l”是“关于x的方程有两个异号实数根”的(
A)充分不必要条件（B)必要不充分条件
(C)充要条件（D)既不充分也不必要条件
(6) 若展开式的各项系数和为，则展开式中常数项是
(A)-7 (B)7 (C) (D)
(7) 在用数学归纳法证明的过程中：假设
当时，不等式成立，则需证当n=k+1时，也成立.若.，则g(k) =
(A) (B)
(C) (D)
(8) 设电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数
的图象如图所示，则
(A) (B)
(C) (D)
(9) 已知函数，，当x=a时，取得最小值b，则函数
的图象为
(10) 设正方体的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z>0),则下列结论中错误的是
(A) EF中真命题的个数有
(A)1个（B)2个（C)3个（D)4个
(12) 设集合S={1，2,3，4,5，6}，定义集合对(A，B)::，A中含有3个元素，B 中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素.记满足的集
合对(A，B)的总个数为m，满足的集合对(A，B)的总个数为n，则的值为
(A) (B) (C) (D)
第II卷(非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分.答案填在答题卡上.
(13) 的值为.____________
(14) 若函数在点处连续，则实数a=_________.
(15) 已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB丄平面BCD，BC丄CD，若AB= 6，
AC=,CD=，则B、C两点在此球面上的球面距离是____________.
(16) 已知函数在[a,b]上连续，定义；其中
表示f()在D上的最小值，表示f(x)在D上的最大值.若
存在最小正整数k使得对任意的成立，则称函数f(x)
为[a，b]上的“k阶收缩函数”.有下列命题：
①若，则；
②若，则
③为[1，2]上的1阶收缩函数；
④为[1，4]上的5阶收缩函数
.其中你认为正确的所有命题的序号为__________________.
三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分12分）
已知函数的周期为，其中.
(I)求的值及函数f(x)的单调递增区间；
(I I)在中，设内角A、B、C所对边的长分别为a、b,c若a=，c=2，f(A)=，求b的值.
(18) (本小题满分12分）
如图甲，是边长为6的等边三角形，，点G为BC边的中点，线段AG交线段ED于点F.将沿ED翻折，使平面AED丄平面BCDE，连结AB,AC ,AG,形成如图乙的几何体.
(I)求证:BC丄平面ATG
(II)求二面角B—AE—D的大小.
19 (本小题满分12分）
某社区为丰富居民的业余文化生活，准备召开一次趣味运动会.在“射击气球”这项比赛活动中,制定的比赛规则如下：每人只参加一场比赛，每场比赛每人都依次射击完编号为①、②、③、④、⑤的5个气球，每次射击一个气球；若这5次射击中，④、⑤号气球都被击中，且①、②、③号气球至少有1个被击中，则此人获奖;否则不获奖.已知甲每次射击击中气球的概率都为，且各次射击结果互不影响.
(I)求甲在比赛中获奖的概率；
(I I)设甲在5次射击中击中气球的总个数为随机变量，求的分布列及数学期望
(20) (本小题满分12分）
已知函数.
(I)若不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围；
(II)记，且，求实数m的最大值.
(21) (本小题满分12分）
巳知各项均为正数的等差数列前三项的和为27，且满足.数列{b n}的前n项和为S n，且对一切正整数n,点(n，S n)都在函数的图象上.
(I) 求数列和的通项公式；
(II)设，求数列的前n项和；
(III)设，若对恒成立,试证明：(22) (本小题满分14分）
已知函数.
(I)当m =-1时,求函数的单调区间；
(II)已知（其中e是自然对数的底数），若存在实数，使成立，证明：2m+e+l<0;
(III)证明：.。