北师大版九年级上册数学：黄金分割
2024年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节探索三角形相似的条件第4课时黄金分割
A )
A. (12－4 )cm
B. (9－4 )cm
C. (4 －4)cm
D. (4 ＋4)cm
1
2
3
4
5
6
7
8
5. 【情境题·体育赛事2023济南期中】 2023年第19届杭州亚
运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融
合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如
−
−
x＝
x .∴ ＝ − ＝
＝
.
−
∴ BE 与 BC 的比是黄金比.
∴剩余的四边形 BCFE 也是一个黄金矩形.
1
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4
.
5
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7
8
3星题
发展素养
8. [教材P96想一想变式]当一个矩形的宽长之比为( －
1)∶2时，称这个矩形是黄金矩形，如图，四边形 ABCD
是黄金矩形且
−
＝
，将矩形 ABCD 剪裁掉一个正方
பைடு நூலகம்
形 ADFE 后，剩余的四边形 BCFE 是否是黄金矩形？请说
明理由.
1
2
3
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7
8
D. 3－ 或 －1
1
2
3
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5
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7
8
7. 【新考向·传统文化2023达州】 如图，乐器上的一根弦 AB
＝80 cm，两个端点 A ， B 固定在乐器板面上，支撑点 C
北师大版九年级上册4.4.4黄金分割课件
?
的塔身，变得丰富多
彩，非常协调、美观
黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
如果 AC AB
BC AC
,
那么称线段AB被点C黄金分割，
点C叫做线段AB的黄金分割点， AC与AB的比称为黄金比.
分析：设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为 x个单位，
则CB为 1x个单位，
AC BC AB AC
２、方法(1)判断黄金分割点的方法 (2)作线段黄金分割点的方法
３、延伸:黄金分割在现实生活中的价值与 意义。
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
尝试பைடு நூலகம்
底BC与腰AB的长度,计算: B C 0.;618
AB
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
再计算: C D 0..(6精1确8 到0.001)
BC
A
黄金三角形
☆顶角为36°的等腰三角形底边
与腰之比约为0.618;
E
D ☆点D是线段AC的黄金分割点. ☆再作∠C的平分线,交BD于E,
《黄金分割》
请你欣赏
活动一：建立黄金分割的概念．
（1）下面的几张图片，哪张构图最美？
活动一：建立黄金分割的概念．
（2）芭蕾舞演 员做相同的动 作，踮脚尖和 不踮脚尖，哪 个更美？
（３）脸型相同，五官基本相同的3张脸，哪个更美？
下列矩形中,哪些比较匀称?
①
③
618,这样的矩形称之为黄金矩形.
B
C △CDE也是黄金三角形,……
如图,正五边形ABCDE的5条边相等,
找一找
5个内角也相等.
⑴找找看,图中是否有黄金三角形?
4.4.4+探索三角形相似的条件——黄金分割+课件++2024-—2025学年北师大版数学九年级上册
（小组讨论）
巩固训练
1．据有关实验测定，当室温与人体正常体温(37℃)
的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约
（
）
(精确到1℃)
C
A.21℃
B.22℃
C.23℃
D.24℃
课堂小结
1.什么是黄金分割
2.如何去确定黄金分割点或黄金比
3.要用数学美去装点和美化生活
测试评价
2.黄金比的理解及黄金点的画法和验
证（难点）
感悟导入
黄金分割与正五角星
正五角星形有庄严雄健之美与黄金分割什
么关系呢？
自主探究
自学课本95-96页
时间：（3分钟）
任务：了解黄金分割定义、黄金分割点、黄金比
一个五角星如图4-18所示。
（1）从图中找出相等的角，相等的线段
K
C
L
A
B
H
D
F
（2）从图中找出两对相似比不同的相似三角形
在人体下半身与身高的比例上，越接近0.6，越
给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞
演员也达不到如此的完美。某女士身高1.65米，
下半身0.9米，她应该选择多高的高跟鞋看起来
更美呢？
• 生活中的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别
是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?
.
A
E
B
∵
=
，且四边形AEFD为正方形
∴BC=AE
��
∴
=
∴点E是AB的黄金分割点
北师大版数学九年级上册.4黄金分割课件
求观光区的高度.(结果精
确到1米)
训练：B本--第30页--第7题
7.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个
端点A.B固定在乐器板面上,支撑点C是靠
近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A
的黄金分割点,求支撑点C,D之间的距离.
阅读：数学书--第97页--随堂练习
采用如下方法找到黄金分割点：
已知线段AB，按照如下方法画图：
(1)过B作BD⊥AB使 = ；
D
E
(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；A
(3)在AB上截取AC＝AE，
则点C即为线段AB的黄金分割点．
C
B
阅读：数学书--第97页--读一读
F
A
G
H
B
E
D
C
小结
黄金分割
C
1.定义以及结论
A
B
2.一条线段有两个黄金分割点.
D
A
C
B
家庭作业
B本---第30页
第四章
图形的类似
第4节 黄金分割
书本第95页
类似三角形
1.定义：
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫
做类似三角形.
2.判定定理：
①两角分别相等的两个三角形类似.
②两边成比例且夹角相等的两个三角形类似
③三边成比例的两个三角形类似.
欣赏图片
黄金分割定义
短
长
A
C
B
短 长
长 全
全
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
BC AC
如果 AC AB 那么称线段AB被点C黄金分割.
探索三角形相似的条件4.4.4+黄金分割+同步练习+2024-2025学年北师大版九年级数学上册
4.4 探索三角形相似的条件课时4 黄金分割题型1 黄金分割的定义1、已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2=AB∙PBB.AP2=AB∙PBC.PB2=AP∙ABD.AP2+ BP2=AB22、如果C是线段AB的黄金分割点，并且AC>CB，AB=1，那么AC的长度为（）A.23 B.12C.√5−12D.3−√523、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（ ）A.(3√5−3)cmB.(9−3√5)cmC.(3√5−3)cm或(9−3√5)cmD. (9−3√5)cm或(6√5−6)cm4、宽与长的比是√5−12（约0.618）的矩形叫黄金矩形，矩形的长与宽分别为a和b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）A.a=4，b=√5+2B.a=4，b=√5−2C.a=2，b=√5+1D.a=2，b=√5−15、定义：如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC⋅AB,则称点C为线段AB的黄金分割点。
如图2,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长。
题型2 黄金分割的应用6、主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体。
如图所示,如果舞台AB的长为12米,一名主持人现在站在A处,则她要到达最理想的位置至少走（ ）A.(18−6√5)米B.(6√5−6)米C. (6√5+6)米D. (18−6√5)米或(6√5−6)米7、某种乐器的弦AB长为120cm,点A、B固定在乐器面板上,弦AB之间有一个支撑点C,且点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为( )A.(120−30√5)cmB.(160−60√5)cmC.(60√5−120)cmD.(60√5−60)cm8、宽与长的比是√5−1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调2和匀称的美感。
黄金分割-北师大版九年级数学上册教案
黄金分割-北师大版九年级数学上册教案一、知识目标1.了解黄金分割的概念和性质；2.能够在数字、几何图形以及艺术设计中应用黄金分割；3.能够通过实际问题的解决，深刻认识黄金分割的美妙。
二、教学重点1.了解黄金分割的概念和性质；2.能够在数字、几何图形以及艺术设计中应用黄金分割。
三、教学难点1.能够通过实际问题的解决，深刻认识黄金分割的美妙；四、教学过程1. 导入通过一些有关黄金分割的图片和设计，同时带入一些问题。
（比如：黄金长方形是怎么形成的？黄金分割是怎么得到的？）2. 概念介绍1.基本定义：设a、b、c三数，满足a:b=b:c，则称b为a、b、c的黄金分割点。
2.基本性质：αβ之比等于βγ之比，且β是αγ之和的一半。
3.金段与黄金比：经过计算，可得黄金比为：(1+√5)/2≈1.6180339887，其倒数为0.6180339887。
3. 实际应用1.数字应用：数列、运算和等比数列题目；2.几何图形应用：黄金长方形、黄金矩形、辛普森（Simpson）线等；3.艺术设计应用：古代建筑、美术设计等。
4. 总结对上述内容进行总结，并布置下节课预习内容。
五、板书设计黄金分割概念问题实际应用1.基本定义a:b:b:c 数列、等比数列2.基本性质a:β=α:γβ=(α+γ)/2几何图形、艺术设计3.黄金比值(1+√5)/2≈1.6181/黄金比≈0.618六、课后作业1.黄金分割的性质都有哪些？2.应用到数字或几何图形中，黄金分割有哪些特点？3.寻找一些艺术作品，了解它们的设计是否采用了黄金分割的原理？七、教学反思此次教学，本着“启发学生自主思考”的原则，采用了丰富多彩的资源和多种教学方法，如图片展示、问题激发、信息整合、课堂讨论等，争取牢固学生的基本概念和思路，调动其积极性，培养其独立分析和解决问题的能力。
通过讲解和实际应用，可以让学生更好地知道黄金分割的概念和性质，并在日常生活和美术品中发现其中的应用。
最新北师大版九年级数学上册《黄金分割》精品ppt教学课件
10.宽与长的比是
5-1
(
2
综合能力提升练
拓展探究突破练
约 0.618 )的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴
藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样
的方法画出黄金矩形:作正方形 ABCD,分别取 AD,BC 的中点 E,F,连
接 EF:以 F 为圆心,以 FD 为半径画弧,交 BC 的延长线于点 G;作 GH
拓展探究突破练
-9-
9.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律,例如在摄影中,人们常依据黄金分割进行构图,使
画面整体和谐.目前,照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版,要拍摄草坪上的小
狗,按照黄金分割的原则,应该使小狗置于图中的位( B )
A.①
B.②
C.③
D.④
第四章
第4课时 黄金分割
知识要点基础练
∴梯形 ABGH 与梯形 GCDH 的上、下底分别相等,高也相等,
1
∴S 梯形 ABGH=S 梯形 GCDH=2S 梯形 ABCD.
∴直线 GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线.
第四章
第4课时 黄金分割
归纳总结、拓展提升
知识要点基础练
综合能力提升练
通过这节课的学习，
你有哪些收获？
拓展探究突破练
扇子比较美观.若取黄金比为0.6,则α为( B )
A.216°B.135°
C.120° D.108°
第四章
第4课时 黄金分割
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-6-
6.自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,点P为AB的黄金分
割点( AP>PB ),如果AB的长度为10 cm,黄金比为0.618,那么PB的长度为 3.82 cm.( 结果
北师大版九年级数学上册《黄金分割》课件
1．(3 分)已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC， 则可得到比例式__AA__CB_＝__AB_C_C___，此时 AC 与 AB 的数量关 系为_A__C_＝____52_－__1_A_B__(或__AA__CB_＝____52_－__1_) __(保留根号)．
2．(3 分)若 P 点是线段 MN 的黄金分割点(MP＞NP)，则
第4课时 黄金分割
一般地，点 C 把线段 ABABCC，那么称线段 AB 被点 C_黄__金__分__割__，点 C 叫做 线 段 AB 的 __黄__金__分__割__点__ ， AC 与 AB 的 比 叫 做 __黄__金__比____．
知识点1 黄金分割及其相关概念
下列比例式成立的是( C )
A. PPNM＝MPNN C.MMNP＝MPNP
B.MPMN＝MPNN D.PPMN ＝MPMN
3．(3 分)已知点 P 将线段 AB 黄金分割，且 AP＞BP，则下列
结论中不正确的是( D )
A.ABPP＝AAPB
B．AP≈0.618AB
C．AP＝
5－1 2 AB
D．BP＝12( 5－1)AB
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
7．(3分)如图所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心 角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按 黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α＝________．
135°
第7题图
第8题图
8．(3分)如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC
＞AC，若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为 AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为 __S_1＝__S_2__．
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黄金矩形：宽与 长的比是 （约0.618）的矩 形称为黄金矩形
巴台农神庙
活动三：学以致用应用美
活动三：学以致用应用美
3.主持人主持节目时，并没有站在舞台的正中央，而是站在靠 边一点，却显得更加自然得体，声音更动听。这是什么原因呢？ 若舞台AB长为1０米，试估算主持人应走到离Ａ点至少多少米 处？如果她向Ｂ点再走多少米也处在比较得体的位置？（精确 到0.1米）
北师大九年级（上）第四章：图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件（4） 郑州经开区实验中学：王继亮
学习目标
目标一
知道黄金 分割点，黄金 矩形的定义； 会判断某一点 是否为一条线 段的黄金分割 点．
目标二
会用尺规 作出一条线段 的黄金分割点， 能作出黄金矩 形．
目标三
通过主动参 与、积极思考、 合作交流体会黄 金分割的文化价 值，感悟到“数 学美” 。
国旗与黄金分割
智利
苏里南
艺术与黄金分割
音乐家发现，二胡演奏 中，“千金”分弦的比符合 0.618∶1时，奏出来的音调 最和谐、最悦耳。
武器装备与黄金分割
步枪的枪把和枪身的比例恰恰符合0.618的比 例。
黄金分割与优选法
20世纪50、60年代数学家华罗庚 在全国推广“0.618法”，在生产中 获得大量应用，特别在工程设计方面 应用最多，成效最佳。
A
B
活动四：欣赏拓展感悟美
植物界也采用黄金分割，很多叶子的主叶脉与整个叶 子长度之比约为0.618。
动物与黄金分割
形体优美的动物形体，鹦鹉螺等动物的螺旋形外壳从内到外 的直径之比也接近0.618,
人体与黄金分割
人的肚脐位于身长的0.618处 咽喉位于肚脐与头顶长度的0.618处 膝关节位于肚脐与足底长度的0.618 肘关节位于肩关节与指头长度的 0.618处
AB AC
线段AB被点C黄金分割,点C叫
做线段AB的黄金分割点，AC与
AB的比叫做黄金比.
AC BC 5 1 ≈0.618
AB AC 2
CB
活动二：动手实践探索美
结合课本P96,P97，探究解决以下任务： 任务一：计算黄金比
任务二：尺规作图： 作一条已知线段的黄金分割点
任务三：探究黄金矩形
活动三：动手实践探索美
华罗庚
活动五：课堂检测思考美
活动五：课堂检测思考美
活动五：课堂检测思考美
活动六：课堂小结收获美
你学到了什么？ 你有哪些震撼？ 你对什么领域更感兴趣了？ 请你与大家共分享！
分层作业
课后寄语
你认为数学就是一种美的科学吗？是的，我们的 数学本来就是美的，美就在我们身边。中学时期 是人生的黄金时期，只要我们善于探索，勇于创新， 就一定能创造美好的未来。
自然界中的神秘数字
在人的生命程序DNA分子中，它的每个双螺旋构中都是由 宽21个埃与长34个埃之比非常接近黄金分割的0.618。
建筑与黄金分割
遍布全球的众多建筑，都有意无意的运用了黄金分割法 则，给人以整体上的和谐与悦目之美。
绘画与黄金分割
著名油画中也都存在着 完美的“黄金矩形”、“黄金 三角”、“黄金五角星”，使 画面看起来和谐。
学习过程
创 设情境发现美 动 手实践探索美 学以致用应用美 欣赏拓展感悟美 课 堂检 测 理 解美 课堂小结收获美
活动一：创设情境发现美
同一建筑物两种设计方法，哪一种更具有美感？
活动一：创设情境发现美
芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？
活动一：创设情境发现美
脸型相同，五官基本相同的三张脸，哪个更美？
活动二：动手实践探索美
B
B
B
C
C
C A
A
A
活动二：动手实践探索美
任务一：测量并填写下表：（结果精确到0.1）
BC(厘米） AC(厘米） AB(厘米）
AC AB
BC AC
建筑图纸
芭蕾演员
美女头像
活动二：动手实践探索美
黄金分割段AB
分成两条线段AC和BC(AC＞
BC)，如果 AC BC , 那么称