2016年高考全国Ⅲ理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞ （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥ 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC+⋅∠===⨯ ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a ·cos a ba b θ=，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3B C A D =，所以AC ，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OB E ∆ CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ． 【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（13）【2016年全国Ⅲ，理13，5分】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为______．【答案】32【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值，即max 13122z =+=． 【点评】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果． （14）【2016年全国Ⅲ，理14，5分】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_________个单位长度得到． 【答案】32π【解析】因为sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，2sin 2sin 2sin 333y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移23π个单位长度得到．【点评】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．（15）【2016年全国Ⅲ，理15，5分】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,3-处的切线方程是______．【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．【点评】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--． （16）【2016年全国Ⅲ，理16，5分】已知直线l：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =CD =_______．【答案】4【解析】因为AB =，所以圆心()0,0到直线30mx y m ++的距离为3=3=，解得m =l的方程，得y =+ 线l 的倾斜角为30︒，由平面集合知识知在梯形ABCD 中，4cos30ABCD ==︒． 【点评】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2016年全国Ⅲ，理17，12分】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）若53132S =，求λ． 解：（1）由题意得1111a S a λ==+，故1λ≠，111a λ=-，10a ≠．由1n n S a λ=+，111n n S a λ++=+得11n n n a a a λλ++=-，即1(1)n n a a λλ+-=．由10a ≠，0λ≠得0n a ≠，所以11n n a a λλ+=-． 因此{}n a 是首项为11λ-，公比为1λλ-的等比数列，于是11()11n n a λλλ-=--． （2）由（1）得1()1n n S λλ=--，由53132S =得5311()132λλ-=-，即5()1λλ=-321，解得1λ=-． 【点评】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1n na q a +=（常数）；（2）中项法，即证明 212n n n a a a ++=．根据数列递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解． （18）【2016年全国Ⅲ，理18，12分】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.552.646≈．参考公式：相关系数()()nii tt y y r --=∑ 回归方程 y a b =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121()()()nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑ ， ay bt =- ． 解：（1）由折线图这数据和附注中参考数据得4t =，721()28i i t t =-=∑0.55，40.1749.32 2.89=-⨯=， 2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯．因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．（2）由9.32 1.3317y =≈及（1）得71721()()2.89ˆ0.10328()i i i ii t t y y b tt ==--==≈-∑∑，ˆˆ 1.3310.10340.92a y bt =-≈-⨯≈． 所以，y 关于t 的回归方程为：ˆ0.920.10yt =+．将2016年对应的9t =代入回归方程得： ˆ0.920.109 1.82y=+⨯=．所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨． 【点评】判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．（19）【2016年全国Ⅲ，理19，12分】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （1）证明//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．解：（1）由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接,AT TN ，由N 为PC 中点知//TN BC ，122TN BC ==． 又//AD BC ，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是//MN AT ．因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB ． （2）取BC 的中点E ，连结AE ，由A B A C =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，且AE= 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，由题意知，(0,0,4)P ，(0,2,0)M，C ，2)N ，(0,2,4)PM =-，2)PN =-，2)AN = ．设(,,)n x y z = 为平面PMN 的法向量，则00n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即24020x z y z -=⎧+-=，可取(0,2,1)n =，于是cos ,n AN n AN n AN ⋅<>== 【点评】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．（20）【2016年全国Ⅲ，理20，12分】已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（2）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题设1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,0),(,),(,),(,),(,)222222a b a bA B b P a Q b R +---．记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=．（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab ．记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=．所以//AR FQ ． （2）设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆∆-=-=--=． 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =（舍去），11x =．设满足条件的AB 的中点为(,)E x y ． 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1y x a b x =≠+-．而2a b y +=，所以21(1)y x x =-≠． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为21y x =-．【点评】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与 从动点．（21）【2016年全国Ⅲ，理21，12分】设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记()f x 的最大值为A ．（1）求()f x '； （2）求A ；（3）证明()2f x A '≤．解：（1）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．（2）当1a ≥时，()()()()()sin 1cos 121320f x a x a x a a a f '=+-+≤+-=-=因此，32A a =-．……4分当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．令2()2(1)1gt a t a t =+--，则A 是()g t在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值，极小值为 ()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭．令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >．（ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，()1g a -=，()123g a =-，()()11g g -<，所以 23A a =-． （ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>．又()1(1)(17)1048a a a g g a a --+⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以216148a a a A g a a -++⎛⎫==⎪⎝⎭． 综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩． （3）由（1）得()()2sin21sin 21f x a x a x a a '=---≤+-．当105a <≤时， ()()1242232f x a a a A '≤+≤-<-=．当115a <<时，131884a A a =++≥，所以()12f x a A '≤+<．当1a ≥时，()31642f x a a A '≤-≤-=，所以()2f x A '≤．【点评】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如sin()y A x B ωϕ=++的形式；（2）结合自变量x 的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解．请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。