2020年辽宁省大连市高三双基考试数学(理科)试题及答案
辽宁省大连市2020届高三数学下学期第一次(3月)双基测试试题 文(含解析)
辽宁省大连市2020届高三数学下学期第一次（3月）双基测试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. 1，C. D. 0，1，2，3，【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集的概念得到结果.【详解】∵A={0，1，2，3，4}，B={-1，0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故选：B．【点睛】这个题目考查了集合的交集的概念和运算，属于基础题.2.i（1+i）=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到：原式i（1+i）=i-1．故选：A．【点睛】这个题目考查了复数的乘法运算，题目简单基础.3.已知直线n与平面α，β，若n⊂α，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据课本的面面垂直的判定得到若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，若n⊂α，α⊥β，则n不一定垂直β，进而得到答案.【详解】若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，若n⊂α，α⊥β，则n不一定垂直β，也可能平行，故n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选：A．【点睛】这个题目考查了充分不必要条件的判断，判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的周期公式得到结果.【详解】根据三角函数的周期公式的求法，得到：函数，∵ω=2，∴T=π．故选：B．【点睛】这个题目考查了三角函数的周期公式的应用，题目比较简单.存在周期性，其最小正周期为T=.5.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（）A. 乙班的理科综合成绩强于甲班B. 甲班的文科综合成绩强于乙班C. 两班的英语平均分分差最大D. 两班的语文平均分分差最小【答案】D【解析】【分析】先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果.【详解】由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项正确，甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项正确，两班的英语平均分分差最大，即选项正确，两班地理平均分分差最小，即选项错误，故选D.【点睛】本题考查了对图象数据的处理能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6.已知2，b，8是等比数列，则实数b=（）A. 6B. 4C.D. 4或【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质的得到，进而得到结果.【详解】∵2，b，8成等比数列，根据等比数列的性质得到：∴b=±4．故选：D．【点睛】这个题目考查了等比数列的性质的应用，题目比较简单基础.7.函数y=（x∈R）的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的性质以及反比例函数的图像的性质得到结果.【详解】因为2x＞0，所以由2x+1＞1，再由反比例图象的性质得到：0＜＜1．故选：C．【点睛】这个题目考查了函数值域的求法，以及指数函数的性质的应用题目比较基础.8.已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且满足atanA=bcosC+ccosB，则∠A=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式可得结果.【详解】，，由，根据正弦定理：可得，所以，那么，故选A.【点睛】本题考查正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.已知正实数a、b满足a+b=ab，则ab的最小值为（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】根据a+b≥2，当且仅当a=b=2时取等号，代入计算即可求出ab的最小值．【详解】∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab的最小值为4，故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=2，过点P作抛物线准线的垂线交准线于点Q，则|FQ|=（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），根据抛物线的性质可得x1=，即可求出点P的坐标，则可求出点Q的坐标，根据两点间的距离公式可求出．【详解】不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），∵|PF|=2，∴x1+=2，∴x1=∴y1=，∴Q（-，），∵F（，0），∴|FQ|==2，故选：B．【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的性质，两点间的距离公式，属于基础题．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用,尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.11.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A. 40B. 43C. 46D. 47【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图,利用三视图所给数据，结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可. 【详解】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为,故选C.【点睛】本题考查空间几何体的三视图，求解表面积,属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12.若x=0是函数f（x）=x4-ax3+1的极小值点，则实数a的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据求导公式和法则求出f′（x），由条件转化为：x=0是方程f′（x）=0的实根，通过导函数的符号，求解a的范围．【详解】由题意f（x）=x4-ax3+1得f′（x）=4x3-3ax2，∵x=0是函数f（x）的极小值点，∴x=0是方程f′（x）=0的实根，x＜0时，4x3-3ax2≤0，可得a≥0，x＞0时，4x3-3ax2≥0，可得a≤0，可得a=0．∴实数a的取值集合为{0}．故选：B．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了转化思想和分析问题能力，属于中档题．极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。
2020届辽宁省大连市普通高中高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省大连市普通高中2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}|23A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-，则集合A B 为（ ）A. {}2,1,0,1,2--B. 1,0,1,2C. {}1,0,1,2,3-D. {}2,1,0,1,2,3--【答案】B【解析】【分析】直接判断集合B 有哪些元素在集合A 中即可.【详解】因为集合{}|23A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-， 所以集合{}1012A B ⋂=-，，， 故选：B【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于容易题.2.已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ）A. 1B. 1-C. iD. i -【答案】B【解析】设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（） ，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩1b ⇒=- ，故选B. 3.下列函数中是偶函数，且在()0,∞+是增函数的是（ ） A. ln y x =B. cos y x =C. 2y x =-D. 3y x = 【答案】A【解析】【分析】对于A 选项：函数ln y x =是偶函数且函数ln y x =为增函数；对于B 选项：函数cos y x =是偶函数但当()0,x ∈+∞时不是增函数；对于C 选项：函数2y x =-是偶函数，但当()0,x ∈+∞时为减函数；对于D 选项：函数3y x =是奇函数.【详解】对于A 选项：因为函数ln y x =中自变量x 含有绝对值，所以是偶函数， 当0x >时，函数ln ln y x x ==为增函数，故正确；对于B 选项：根据函数cos y x =的图像可知它是一个偶函数，但当()0,x ∈+∞时有增有减，故错误；对于C 选项：函数2y x =-是开口向下的二次函数是偶函数，但当()0,x ∈+∞时为减函数，故错误；对于D 选项：函数3y x =是奇函数，故错误；故选：A【点睛】本题考查了对函数的奇偶性以及在区间的单调性进行判断，属于较易题.4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4512a a +=，则8S 的值为（ ）A. 14B. 28C. 36D. 48【答案】D【解析】【分析】。
2020届辽宁省大连市高三双基测试试题 数学(理)
2020年大连市高三双基测试卷数学(理科)说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第II 卷第22题～第23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{x|x 2－3x －10<0}，B ＝{x|2x <2}，则A ∩B ＝(A)(－2，1) (B)(－5，1) (C)∅ (D){0}2.设z ＝－1－i ，则在复平面内z 对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.命题“∀x ∈R ，x 2－4≥0”的否定是(A)∀x ∈R ，x 2－4≤0 (B)∀x ∈R ，x 2－4<0(C)∃x ∈R ，x 2－4≥0 (D)∃x ∈R ，x 2－4<04.为了解某商品销售量y(件)与其单价x(元)的关系，统计了的10组值，并画成散点图如图，则由其图得到的回归方程可能是(A)ˆ10198yx =-+ (B)ˆ10198y x =-- (C)ˆ10198yx =+ (D)ˆ10198y x =- 5.已知二面角α－l －β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且b ⊥α，c ⊥β，则b 与c 所成的角的大小为(A)120° (B)90° (C)60° (D)30°6.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(2π，π)上单调递减的是 (A)y ＝cosx (B)y ＝2|sinx| (C)y ＝cos 2x (D)y ＝tanx 7.“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”。
辽宁省大连市第七中学2020年高三数学理联考试卷含解析
辽宁省大连市第七中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量，则（）A.B. C. D.参考答案：C因为，解得可知5，选C2. 下列函数中，在上有零点的函数是A．B．C．D．参考答案：D3. 已知数列的前项和，则数列（）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列，或者是等比数列D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列参考答案：C略4.五个人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有（A）60种（B）48种（C）36种（D）24种参考答案：答案：C5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0.3）内是增函数的是（）A. B. C. D.参考答案：A略6. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）A． B. C. D.参考答案：B7. 已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2）D．（0，2）∪（16，+∞）参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．【解答】解：①当3﹣log2x＜log2x时，即 x＞4时f（x）=3﹣log2x，②当3﹣log2x＞log2x时，即x＜4时f（x）=log2x，∴f（x）＜1；当x＞4时，f（x）=3﹣log2x＜1，此时：x＞16；当x＜4时f（x）=log2x＜1，此时：0＜x＜2；综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+∞）．故选：D．8. 设集合，函数且则的取值范围是 ( )A．() B．[0，] C．() D．()参考答案：C9. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿数为（）A. 1只B. 只C. 只D. 2只参考答案：B【分析】将爵次从高到低分配的猎物数设为等差数列，可知，，从而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得首项，即为所求结果.【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列,则又，即大夫所得鹿数为只本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题. 10. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m?α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m?α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m?α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，且a1=2，a n+1=3S n+2(n∈N*)，则a5=．参考答案：512【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据来推知数列{a n}的通项公式，进而求得a5=512．【解答】解：∵a n+1=3S n+2∴a n=3S n﹣1+2（n≥2），两式相减可得a n+1﹣a n=3a n，∴=4（n≥2），由a1=2，a2=3a1+2=8，由等比数列的通项公式可得：a n=2?4n﹣1．则a5=2?44=512．故答案是：512．12. 已知函数，且，则 .参考答案：2014.为奇数时为偶数，，为偶数时，为奇数，∴，，，，，，…… ，∴，，即.13.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为____________参考答案：14. 设表示关于的不等式的正整数解的个数，则数列的通项公式= ．参考答案：15. 设等差数列的前n项和为，若=1，则其公差为▲．参考答案：616. 已知函数满足，且时，，则函数与的图象交点的个数为____________。
辽宁省大连市2023届高三上学期期末双基测试数学试题解析版
2023年大连市高三双基测试数学注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷━．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，12x B x Z ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{}5 B.{}3,5 C.{}1,3,5 D.{}2,4【答案】C 【解析】【分析】逐一验证集合{}1,2,3,4,5A =中的元素是否也属于集合12x B x Z ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5A =，12x B xZ ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭可得1x =时，11012Z B -=∈⇒∈；2x =时，211222Z B -=∉⇒∉；3x =时，31132Z B -=∈⇒∈；4x =时，413422Z B -=∉⇒∉；5x =时，51252Z B -=∈⇒∈；综上，集合,A B 的公共元素为1,3,5，所以A B = {}1,3,5，故选：C.2.i 是虚数单位，若复数543i z =+，则z 的共轭复数z =（）A.43i 55+ B.43i 55- C.43i 55-+ D.43i 55--【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算可化简得到z ，由共轭复数定义可得结果.【详解】()()()543i 543i 43i 43i 43i 43i 555z --====-++- ，43i 55z ∴=+.故选：A.3.已知命题0:p x ∃∈R ，20010x x -+<，则p ⌝是（）A.0x ∃∈R ，20010x x -+≥ B.0x ∀∈R ，20010x x -+<C.x ∀∈R ，210x x -+≥ D.x ∀∈R ，210x x -+>【答案】C 【解析】【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定可知p 为：x ∀∈R ，20010x x -+≥.故选：C.4.开普勒（Johannes Kepler ，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a ，则金星运行轨道的半长轴约为（）A.0.66aB.0.70aC.0.76aD.0.96a【答案】C 【解析】【分析】设金星运行轨道的半长轴为1a ，金星和地球的公转周期分别为1t ，2t ，根据题意可得1123a a =，进而结合332.512 2.1>>，即可得出结果.【详解】设金星运行轨道的半长轴为1a ，金星和地球的公转周期分别为1t ，2t ，由开普勒定律得3312212a a t t =.因为1223t t =，所以33149a a =，即13a a =.因为函数3y x =在(),-∞+∞上单调递增，且12592611281000>>，且3312592612.5, 2.181000==，所以332.512 2.1>>，因此112 2.50.700.933a a a a <=<<，故选：C.5.若二项式()6210ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A.10B.15C.25D.30【答案】B 【解析】【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解1a =，由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.【详解】令1x =，则所有的项的系数和为()6164a +=，由于0a >，所以1a =，621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6263166C C r r r r rr T x x x ---+==，故当630r -=时，即2r =，此时展开式中的常数项为26C 15=,故选：B6.若ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．则tan α=（）A.B.2C.3D.【答案】C 【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简得21cos 2cos sin 2ααα-=-，进而根据齐次式以及弦切互化即可求解.【详解】由2π1cos cos 222αα⎛⎫++=-⎪⎝⎭得22221cos 2cos sin 1cos 2cos sin 2cos sin 2αααααααα--=-⇒=-+，进而得212tan 11tan 2αα-=-+，化简得：2tan 4tan 30αα-+=，所以tan 3α=或tan 1α=，由于ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 1α>，故tan 3α=，故选：C7.已知()4324ln 32ea -=，1e b =，c =，则（）A.a c b<< B.c<a<b C.a b c<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，其中0x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出()4ln 32e a f -=、()e b f =、()2c f =，比较4ln 32e -、2、e 的大小关系，结合函数()f x 在(]0,e 上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>；当e x >时，()0f x '<.所以，函数()f x 的增区间为()0,e ，减区间为()e,+∞.因为()()4ln3244ln32324ln 324ln 32e e e a f ----==，()e e 1b f ==，()e log 4ln 42ln 2ln 224442c f ======，因为24ln 3242e e e 12648-⎛⎫==< ⎪⎝⎭，则4ln 32e 2e -<<，则()()()4ln 32e 2ef f f -<<，故a c b <<.故选：A.8.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A.21-B.22- C.23- D.24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.将函数()()cos 2πf x x =-图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 图象的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C.()g x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D.()g x 的图象与函数πsin 26⎛⎫=-- ⎪⎝⎭y x 的图象重合【答案】ABC 【解析】【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式可得()πcos 23g x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；根据余弦型函数最小正周期可知A 错误；利用代入检验法可知B 错误；根据余弦型函数单调区间的求法可知C 正确；利用诱导公式化简()g x 解析式可得()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，知D 错误.【详解】由题意知：()πππcos 2πcos 2633g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于A ，()g x 的最小正周期2ππ2T ==，A 正确；对于B ，当7π12x =时，π7ππ3π23632x +=+=，此时()3πcos02g x =-=，7π,012⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心，B 正确；对于C ，令()ππ2π22π3k x k k -+≤+≤∈Z ，解得：()2ππππ36k x k k -+≤≤-+∈Z ，即()π5πππ36k x k k +≤≤+∈Z ，()g x ∴的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，C正确；对于D ，()π2ππππcos 2πcos 2cos 2sin 233266g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()g x ∴与πsin 26⎛⎫=--⎪⎝⎭y x 图象不重合，D 错误.故选：ABC.10.下列结论正确的有（）A.若随机变量()2~1,N ξσ，()40.77P ξ≤=，则()20.23P ξ≤-=B.若随机变量1~10,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3119D X -=C.已知回归直线方程为10.8y bx=+ ，且4x =，50y =，则9.8b = D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC 【解析】【分析】根据正态分布对称性知A 正确，计算()()32920D X D X +==，B 错误，将()x y代入回归直线，计算得到C 正确，讨论三种情况得到可能数据的和为12，D 错误，得到答案.【详解】对于A ，()()2410.770.23P P ξξ≤-=≥=-=，故A 正确；对于B ，()122010339D X =⨯⨯=，所以()220313209D X -=⨯=，故B 不正确；对于C ，回归直线方程经过点(),x y ，将4x =，50y =代入求得9.8b= ，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x ≤时，中位数为3，此时36731x ++=，解得10-；当35x <<时，中位数为x ，此时31327xx ++=，解得4x =；当5x ≥时，中位数为5，此时113073x+=+，解得18x =.所以所有可能x 的值和为1041812-++=，故D 不正确.故选AC.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，11,CC BB 的中点，则（）A .直线1D D 与直线AF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点1A 与点D 到平面AEF 的距离相等【答案】BCD 【解析】【分析】根据棱柱的结构特征，建立以D 为原点，以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -，利用向量法即可判断A ，根据线线平行即可判断B,根据梯形面积即可判断C,根据中点关系即可判断D.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，建立以D 为原点，以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -，如图所示：E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则()0,0,0D ，()10,0,1D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于A,()10,0,1DD = ，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1102DD AF ⋅=≠ ，故A 错误；对于B ：连接1AD ,1D F ，1//AD EF ，A ∴,1D ,E ,F 四点共面，由于11//A D GF ,11=A D GF ,所以四边形11A D FG 为平行四边形，故11//AG D F ，又1AG ⊂/平面AEF ，1D F ⊂平面AEF ，1//A G ∴平面AEF ，故B 正确，对于C ，连接1AD ，1FD ，1//AD EF ，∴四边形1AD FE 为平面AEF截正方体所得的截面，1AD ==2EF =，12D F AE ===，∴四边形1AD FE324=，则四边形1AD FE的面积为192248⎫⨯+⨯=⎪⎪⎭，故C 正确；对于D,连接1A D 交1AD 于点O ，故O 是1A D 的中点，且O 是线段1A D 与平面1AD FE 的交点，因此点1A 和点D 到平面AEF 的距离相等，故D 正确．故选：BCD ．12.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥，直线AB的斜率为k ，且0k >，C ，A 两点在x 轴上方，则（）A.3OC OD ⋅=-B.四边形ABCD 面积最小值为64C.1114AB CD += D.若16AF BF ⋅=，则直线CD 的斜率为【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长||AB ，同理可得||CD 的值，由均值不等式可得四边形的面积的最小值，经过判断可得命题的真假．【详解】由抛物线的方程可得焦点(1F ，0)，由题意可得直线AB ，CD 的斜率存在且不为0，设直线CD 的方程为：1(0)x my m =+<，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y my --=，显然0∆>，124y y m +=，124y y =-，21212()242x x m y y m +=++=+，21212()116y y x x ==，所以12121(4)3OC OD x x y y ⋅=+=+-=-，所以A 正确；由于21244CD x x p m =++=+,1AB CDk k =-,所以将CD 中的m 换成1m -代入CD 中得2144AB m=+,()()22222411114182823222ACBDm S AB CD m m m m +⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯+⋅=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形，当且仅当1m =-时等号成立，所以四边形的最小面积为32，所以B 不正确；设3(A x ,3)y ，4(B x ,4)y ，若||||16AF BF ⋅=，即343434(1)(1)116x x x x x x ++=+++=，整理可得4343()116x x x x +++=，即21411126m ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得213m =，即33m =±，而直线CD 的斜率10k m =<，所以直线CD的斜率为D 正确；可得弦长()2||41CD m =+,21||41AB m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2221111||||4(1)4(1)4m AB CD m m +=+=++，所以C 正确；故选：ACD第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.设向量()(),2,2,1a m b == ，且222||a b a b +=+ ,则m =_________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量模长的坐标公式即可代入求解.【详解】由()(),2,2,1a m b == 得()2,3a b m +=+ ，根据222||a b a b +=+ 得()2222925m m ++=++，解得1m =-，故答案为：1-14.若直线3y ax =-为函数()1ln f x x x=-图像的一条切线，则a 的值是________．【答案】2【解析】【分析】根据切点求解函数()f x 的切线方程，列方程组得02000112,ln 13a x x x x +=--=-，进而可求解0x ，即可得a .【详解】设()1ln f x x x =-的切点为00(,)x y ，其中0001ln y x x =-，由()211f x x x'=+得切线的斜率为()020011k f x x x '==+，所以切线方程为：()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，直线3y ax =-是()f x 的切线，所以2000112ln 13a x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，记()2ln 2,g x x x =-+则()2120g x x x'=+>，所以()g x 在定义域内单调递增，而()10g =，所以方程2ln 20x x-+=的根为1x =，因此01x =，进而得200112a x x =+=，故答案为：215.已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y 轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据重心坐标公式以及内切圆的半径，结合等面积法，得到,a c 的关系，即可求解离心率.【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03y r =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==，()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y S S S S F F y F F PF F P =++⇒⋅=++ ，()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒=，故答案为：1216.已知菱形ABCD 边长为6，2π3ADC ∠=，E 为对角线AC 上一点，3AE =ABD △沿BD 翻折到A BD ' 的位置，E 移动到E '且二面角A BD A '--的大小为π3，则三棱锥A BCD -'的外接球的半径为______；过E '作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为__________．【答案】①.21②.9π【解析】【分析】设AC BD O = ，证明出BD ⊥平面A CO ¢，分析可知π3AOA '∠=，以点O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，平面AOA '内过点O 且垂直于AC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设三棱锥A BCD -'的外接球球心为(),,M x y z ，根据题意可得出关于x 、y 、z 的方程组，可求得球心M 的坐标，即可求出球M 的半径长，求出ME '，可求得截面圆半径的最小值，再利用圆的面积公式可求得截面圆面积的最小值.【详解】设AC BD O = ，翻折前，在菱形ABCD 中，则AC BD ⊥，即AO BD ⊥，CO BD ⊥，翻折后，则有A O BD '⊥，所以，二面角A BD A '--的平面角为π3AOA '∠=，在菱形ABCD 中，2π3ADC ∠=，则π3BAD ∠=，又因为6AB AD ==，所以，ABD △是边长为6的等边三角形，同理可知，BCD △是边长为6的等边三角形，因为A O BD '⊥，CO BD ⊥，A O CO O '⋂=，A O '、CO ⊂平面A CO ¢，BD ∴⊥平面A CO ¢，以点O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，平面AOA '内过点O 且垂直于AC 的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点()0,3,0B、()C 、()0,3,0D -、339,0,22A ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭、()E '，设三棱锥A BCD -'的外接球球心为(),,M x y z ，由MB MDMB MC MB MA ⎧='⎪=⎨⎪=⎩可得()()()(()222222222222222222333339322x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧⎪+-+=+++⎪⎪⎪+-+=-++⎨⎪⎪⎛⎛⎫+-+=+++-⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩，解得03x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，三棱锥A BCD -'的球心为)M，球M的半径为MB =.ME '=，设球心M 到截面α的距离为d ，平面α截球M 的截面圆的半径为r，则d ME '≤=，3r ∴=≥=，过E '作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为2π39π⨯=.；9π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.四、解答题：（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明x 证明过程或演算步骤）17.已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①248S S S 、、成等比数列，②251072a a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，再根据等差数列的求和公式和等比中项的性质，根据条件①②分别列出关于首项1a 与公差d 的方程，解出d 的值，即可计算出数列{}n a 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{}n b 的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n 项和n T ．【小问1详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，方案一：选择条件①41121816,43442822,8S a d a S a d d d S a +=+==+⨯=+，根据248S S S 、、成等比数列得2428S S S =,代入得()()()1121462828a d d a a d +=++，又11a =，化简整理，可得220d d -=，由于0d >，所以2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-，*n ∈N ．方案二：选择条件②由251072a a a -=，可得()()211149(6)2a d a d a d ++-+=，又11a =，解得2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-，*n ∈N 【小问2详解】由（1）可得111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，则12n nT b b b =++⋅⋅⋅+1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭21nn =+．18.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()()()sin sin sin sin b c B C A C a +-=-．（1）求B 的值；（2）若ABC，2b =，求ABC 周长．【答案】（1）π3B =（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得ac 的值，再利用余弦定理可求得a c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：由()()()sin sin sin sin b c B C A C a +-=-，根据正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，所以，222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 22a c b B ac +-==，()0,πB ∈ ，因此，π3B =.【小问2详解】解：因为1sin 24ABC S ac B ac === ，4ac ∴=，由余弦定理可得()()22222222cos 3124b a c ac B a c ac a c ac a c =+-=+-=+-=+-=，4a c ∴+=，因此，ABC 的周长为6a b c ++=.19.如图多面体ABCDEF ，正方形ABCD 的边长为4，AF ⊥平面ABCD ，2AF =，//AF DE ，DE AF <．（1）求证：//CE 平面ABF ；（2）若二面角B CF E --的大小为α，且310cos 10α=，求DE 长．【答案】（1）证明见解析（2）1DE =【解析】【分析】（1）利用线面平行和面面平行的判定可证得平面//CDE 平面ABF ，由面面平行的性质可证得结论；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()02DE t t =<<，利用二面角的向量求法可构造方程求得t 的值，即为DE 的长.【小问1详解】//AF DE ，//AB CD ，DE ⊄平面ABF ，CD ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，//DE ∴平面ABF ，//CD 平面ABF ，CD DE D = ，,CD DE ⊂平面CDE ，∴平面//CDE 平面ABF ，CE ⊂ 平面CDE ，//CE ∴平面ABF .【小问2详解】以A 为坐标原点，,,AB AD AF正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设()02DE t t =<<，则()4,0,0B ，()4,4,0C ，()0,0,2F ，()0,4,E t ，()0,4,0BC ∴= ，()4,4,2CF =-- ，()4,0,CE t =-，设平面BCF 的法向量(),,n x y z =，则404420BC n y CF n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令1x =，解得：0y =，2z =，()1,0,2n ∴= ；设平面CEF 的法向量(),,m a b c =，则442040CF m a b c CE m a tc ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4c =，解得：a t =，2b t =-，(),2,4m t t ∴=- ；cos cos ,10m n m n m n α⋅∴=<>==⋅ ，解得：1t =或134t =（舍），1DE =∴.20.某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有()*N ,2k k k ∈≥份样本，有以下两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验k 次；方案二：混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k 份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k 份样本的阳性样本，则对k 份本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元，且k 份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费．假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为()01p p <<．（1）若()*N ,2k k k ∈≥份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X ，求X 分布列及数学期望；（2）①若5,k p =>性；②若p =，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k 的最大值．参考数据：ln20.7,ln3 1.1,ln7 1.9,ln10 2.3,ln11 2.4=====【答案】（1）见解析（2）①见解析，②k 的最大值为11【解析】【分析】（1）X 的可能值为1和1k +，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解,（2）①结合期望公式，求出方案二的期望，再结合作差法，即可求解．②结合期望公式，以及利用导数研究函数的单调性，即可求解．【小问1详解】X 的可能值为1和1k +，(1)k P X p ==，(1)1k P X k p =+=-，所以随机变量X 的分布列为：所以()1(1)[1]1【小问2详解】①设方案二总费用为Y ，方案一总费用为Z ，则1620Y X =+，所以方案二总费用的数学期望为：()16()2016[1]20k E Y E X k kp =+=+-+，又5k =，所以55()16[65]2080116E Y p p =-+=-+，又方案一的总费用为51680Z =⨯=，所以()55()80801168036Z E Y p p --+=--=，当p >50.451p <<，508036p <-，，所以()>Z E Y ，所以该单位选择方案二合理．②由①方案二总费用的数学期望()16()2016[1]20k E Y E X k kp =+=+-+，当p =79()1612016(e )4k k E Y k k k k -⎡⎤=+-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又方案一的总费用为16Z k =，令()<E Y Z 得：7916e 164kk k k -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，所以79e4kk ->，即79ln e ln 4k k -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以9ln ln 074k k -->，设9()ln ln [2,)74x f x x x =--∈+∞，所以117(),[2,)77-=-=∈+∞'x f x x x x，令()0f x '>得27x <，()0f x '<得7x >，所以()f x 在区间[2，7)上单调递增，在区间(7,)+∞上单调递减，()max ()7f x f =ln712(ln3ln2)0.10=---=>，888(8)3ln22(ln3ln2)5ln22ln3 1.30777f =---=--=->，999(9)2ln32(ln3ln2)2ln2 1.40777f =---=-=->，1010(10)ln102(ln3ln2) 1.5077f =---=->，1111(11)ln112(ln3ln2) 1.6077f =---=->，121212(12)ln122(ln3ln2)4ln2ln3 1.70777f =---=--=-<，所以k 的最大值为11．21.已知双曲线222:1x Q y a-=的离心率为，经过坐标原点O 的直线l 与双曲线Q 交于A ，B 两点，点()11,A x y 位于第一象限，()22,C x y 是双曲线Q 右支上一点，AB AC ⊥，设113,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求双曲线Q 的标准方程；（2）求证：C ，D ，B 三点共线；（3）若ABC 面积为487，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析（3）13y x =【解析】【分析】（1）根据离心率即可求解2a =，（2）利用坐标运算，结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解，（3）根据三角形面积公式，利用联立方程，韦达定理，代入化简即可得到关于k 的方程，【小问1详解】由双曲线222:1x Q y a -=，所以152e a ==，解得2a =，所以双曲线Q 的标准方程为2214x y -=【小问2详解】由()11,A x y 得()11,B x y --,又()22,C x y ，所以()11,OA x y =,()2121,AC x x y y =--，由OA AC ⊥得()()1211210x x x y y y -+-=①，由于()11,A x y ，()22,C x y 在双曲线上，所以222212121,144x x y y -=-=，相减得()221222121212121244y y x x x xy y y y x x -+-=+⇒=--②由①②得1211214x x x y y y =-++③，()2121111,,2,,2BC x x y y BD x y ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭ 由于110,0x y >>，所以()21212121111121222y y x x y y x x x x y y ++++-=+-，将③代入得()()212121112111112012224y y x x y y x x y y x y y y ⎛⎫+-+++-=⎪⎝- ⎭+=，所以//BC BD，因此C ，D ，B 三点共线【小问3详解】设直线l 的方程为()0y kx k =>，联立直线l 与双曲线的方程为：()222214414y kx k x x y =⎧⎪⇒-=⎨-=⎪⎩，故2114002k k ->⇒<<，所以212414x k =-，直线AC 的方程为()111y y x x k -=--，联立()21121111222148144014y y x x x x k x y x y k k k k x y ⎧-=--⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-++-+-=⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-=⎪⎩，所以()111228,04x ky x x k ++=-∆>-由于//AD y 轴，10y >，所以152AD y =，所以()()()()211111111121122281551010224444ABC x y ky x ky x ky S y x x y y k k k+++=⨯+=⨯=⨯=⨯--- ，由于11y kx =，212414x k =-代入得()()()()3232323211122224221440101010401414444174417ABC k k k kx k x k k x k k k k S k k k k k k k ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭-=====----+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，令10k t k+=>，则240484257ABC t S t ==- ，化简得224351500t t --=，由于0t >，所以103t =，因此1103k k +=，解得3k =或13k =由于102k <<，所以13k =，故直线l 方程为13y x =【点睛】方法点睛：解析几何中的弦长以及面积问题以及最值是常见的类型，对于这类问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.22.已知函数()()()22111ln ln ,e 22ex f x x x kx k g x x f x =++-=--，（1）若–1k ≤时，求证：函数()f x ）只有一个零点；（2）对12x x ∀≠时，总有()()12122g x g x x x ->-恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）1e k ≤-【解析】【分析】（1）求导，利用导数确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求解，（2）将问题等价转化为()2g x x -在定义域内单调递增，构造函数()()2F x g x x =-，只需要证明()0F x '≥，进而分离参数，问题转化成21()=e e ln 12x x p x x x----，只()k p x ≤恒成立，利用导数求解最值即可.【小问1详解】由()21ln ln 2f x x x kx k =++-得()ln 1x f x k x x'=++，记()()()2ln 1ln ,x x h x f x k h x x x x -''==++=，则当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<，因此()h x 在01x <<单调递增，在1x >单调递减，故()()11h x h k ≤=+，当1k ≤-时，10k +≤，所以()0h x ≤，因此()0f x '≤，所以()f x 在定义域()0,∞+单调递减，而()10f =，因此函数()f x ）只有一个零点【小问2详解】不妨设12x x <，则由()()12122g x g x x x ->-得()()()()()12121122222g x g x x x g x x g x x <-<-⇒--，故函数()2g x x -在定义域内单调递增，记()()2F x g x x =-，则()0F x '≥，即()()()22112e 2ln 12e e 0e x x F x x k x xg x f x '''=-=-------=≥-，所以21n 2e e l 1x x k x x----≥，记21()=e e ln 12x x p x x x----，只需要()k p x ≤恒成立即可，22222ln ln 2e ()=2e x xx x x x p x x =+'+，记()()22ln ,=2e 0x q x x x x +>，()()21=41e 0x q x x x x'++>，所以()q x 在()0,∞+单调递增，()2221e 112e 0,2e 12e 10e q q -⎛⎫=>=-<-< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00q x =，即022002n 0e l x x x +=，所以0200000l 11ln 2n 1e x x x x x x ==-，由于01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()01ln 0,1x ∈，令()e x t x x =，由于当0x >时，0,e 0x x >>，且函数,e x y x y ==均为单调递增的函数，所以()ex t x x =由020001ln 12e x x x x =得()0012ln t x t x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0012ln x x =，即0201e x x =，当00x x <<时，()0p x '<，()p x 单调递减，当0x x >时，()0p x '>，()p x 单调递增，所以()()()0002min 0000112ln 111e 122e e ex x x x x x p x p x ---==---==---，故1ek ≤-【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.。
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第1题5分2007年高考真题全国卷I理科第2题5分设a是实数，且a1+i +1+i2是实数，则a=（）．A. 12B. 1 C. 32D. 22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第2题5分设集合M={x||x|⩾3，x∈R}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=（）．A. MB. NC. 空集D. R3、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第3题5分2017~2018学年6月广东深圳盐田区盐田高级中学高一下学期月考理科第9题5分已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ⩽π2)，且此函数的图象如图所示，则点P(ω,φ)的坐标是（）．A. (2,π2)B. (2,π4)C. (4,π2)D. (4,π4)4、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第4题5分设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)>1，f(2)=2m−3m+1，则m的取值范围是（）．A. m<23且m≠−1B. m<23C. −1<m<23D. m<−1或m>235、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第5题5分2007年高考真题全国卷I理科第10题5分(x2−1x )n的展开式中，常数项为15，则n=（）．A. 3B. 4C. 5D. 66、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第6题5分2017年江西新余高三二模理科第7题5分在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2−a n=1+(−1)n(n∈N+)，则S100=（）．A. 0B. 1300C. 2600D. 26027、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第7题5分2017~2018学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科平行班第10题5分2017年四川成都双流区双流中学高三一模理科第8题5分如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=√x围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）．A. 12B. 14C. 13D. 168、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第8题5分已知点A(3,√3)，O是坐标原点，点P(x,y)的坐标满足{√3x−y⩽0x−√3y+2⩾0y⩾0，设z为OA→在OP→上的投影，则z的取值范围是（）．A. [−√3,√3]B. [−3,3]C. [−√3,3]D. [−3,√3]9、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第9题5分如图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、⋯、A m[如A2表示身高(单位：cm)在[150,155]内的学生人数]．图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160∼180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）．A. i <9B. i <8C. i <7D. i <610、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第10题5分直线√2ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交于A 、B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为（ ）．A. 0B. √2C. √2−1D. √2+111、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第11题5分|OA →|=1，|OB →|=√3，OA →⋅OB →=0 ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC →=mOA →+nOB →(m,n ∈R)，则m n 等于（ ）．A. 13B. 3C. √33D. √312、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第12题5分2019~2020学年安徽合肥蜀山区合肥一六八中学高二上学期期末理科第10题5分抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB =120°，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M 1，则|MM 1||AB|的最大值为（ ）．A. 4√33B. √3C. 2√33D. √33二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第13题5分甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有 种．（用数字作答）14、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第14题5分2012年北京房山区高三期末已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 cm 3．15、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第15题5分已知a n=log n+1(n+2)(n∈N+)，我们把使乘积a1⋅a2⋅a3⋅⋯⋅a n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为．16、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第16题5分某学生对函数f(x)=xsinx进行研究后，得出如下四个结论：①函数f(x)在[−π2,π2]上单调递增；②存在常数M>0，使|f(x)|⩽M|x|对一切实数x都成立；③函数f(x)在(0,π)上无最小值，但一定有最大值；④点(π,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，其中正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第17题12分如图，在△ABC中，B=π4，AC=2√5，cosC=2√55．(1) 求sinA．(2) 记BC的中点为D，求中线AD的长．18、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第18题12分某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为15，路段CD发生堵车事件的概率为18）．(1) 请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小．(2) 若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．19、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第19题12分在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E（图1），沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（图2）．(1) 若F是AB的中点，求证：CF//平面ADE．(2) P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE．(3) P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P−BE−C的大小．20、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．(1) 求直线ON（O为坐标原点）的斜率K ON．(2) 对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ(θ∈R)使等式：OM→=cosθOA→+sinθOB→成立．21、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ax+lnx，a∈R．(1) 求函数f(x)的极值．(2) 对于曲线上的不同两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如果存在曲线上的点Q(x0,y0)，且x1<x0<x2使得曲线在点Q处的切线l//P1P2，则称l为弦P1P2的伴随直线，特别地，当x0=λx1+(1−λ)x2(0<λ<1)时，又称l为P1P2的λ−伴随直线．① 求证：曲线y =f (x )的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的．② 是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有12−伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第22题10分已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =√22t +m y =√22t（t 是参数）． (1) 将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程．(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，试求实数m 的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第23题10分已知不等式|x −a |<b 的解集是{x |−1<x <5}．(1) 求实数a ，b 的值．(2) 解不等式|a +b |+|a −b |⩾|a |(|x −1|+|x −2|)．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】72;;14 、【答案】4315 、【答案】2026;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) 3√10．10;(2) √5．;18 、【答案】 (1) 路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．;(2) 37．60;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;(3) 45°．;20 、【答案】 (1) −1．3;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 当a⩾0时，f(x)没有极值；)，没有极小值．当a<0时，f(x)的极大值为−1+ln(−1a;(2)①证明见解析．②存在，证明见解析．;22 、【答案】 (1) (x−2)2+y2=4，y=x−m．;(2) m=1或m=3．;23 、【答案】 (1) a=2，b=3．;(2) {x|0⩽x⩽3}．;。
2020届辽宁省大连市高三双基考试数学（理科）试题（解析版）
“连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人”.过去 10 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如 下： 甲地：总体平均数为 3，中位数为 4； 乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0；
丙地：总体平均数为 2，总体方差为 3； 丁地：中位数为 2，众数为 3；
则甲、乙、两、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
2
3
对于 C, y cos 2x 的最小正周期为 4 ,所以 C 错误;
对于 D, y tan x 的最小正周期为 ,在区间 π , π 上单调递增,所以 D 错误.
2
综上可知,B 为正确选项. 故选:B 【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性的应用,根据解析式及函数的图像即可判断,属于基础题.
即 M 的横坐标是 6
故选:C 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,过焦点的直线与弦长关系,中点坐标公式及梯形中位线性质的 应用,属于基础题.
9.一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩 内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形，高 1.8 米，体积 0.5 立方米，其底部是直径为 0.9 米的圆 形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔 0.3 米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米，气体每立方米
代入可得 2
22
4c 16a 4a 2 4a 2a cos120o
化简可得 c2 7a2
c2 所以双曲线的离心率为 e a2 7
故选:D 【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单应用,双曲线中焦点三角形中余弦定理的应用,双曲线离心率的求法, 属于基础题.
11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是
2020届辽宁省大连市高三双基考试数学(理)试题(解析版)
【解析】根据定义域为R的奇函数满足 ,代入即可求得 的值.
【详解】
因为 是定义在R上的奇函数
所以满足
代入可得
解得
故答案为:
【点睛】
本题考查了奇函数的性质与简单应用,注意只有当定义域为R时奇函数才满足 ,属于基础题.
15．我国南宋数学家秦九留撰写的名著《数书九章》第五卷提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长，求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为“海伦—秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足 ， ，则三角形面积的最大值为________.
当 时,满足 ,即
因为 ,所以方程无解.即不存在 时使得 在点A和点B处的切线互相垂直
当 时,满足 ,即 .因为 ,所以
所以 ,所以A、B错误;
对于C,可知 ,令 ,
所以
令 ,得
所以当 时, ,则 在 时单调递减
所以 在 时取得极小值,即最小值为 ,无最大值,所以C错误;
对于D,可知
令 ,
则
令 ,解得
【详解】
设直线 的方向向量 ， ，
所以 分别是平面 的法向量，
二面角 的大小为60°，
的夹角为 或 ，
因为异面直线所的角为锐角或直角，
所以 与 所成的角为 .
故选:C.
【点睛】
本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
6．下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（）
A． B． C． D．
【答案】 . .
【解析】（1）将 代入条件等式，化简可得 ，由 ，
可得 ，结合 的范围，求得 ；