2019湖南省娄底市中考数学试题(含解析)(真题)
2019年湖南省娄底市中考数学试卷
2019年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 2019的相反数是（）A.−2019B.2019C.12019D.−120192. 下列计算正确的是（）A.(−2)3＝8B.(a2)3＝a6C.a2⋅a3＝a6D.4x2−2x＝2x3. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形4. 一组数据−2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（）A.−2、0B.1、0C.1、1D.2、15. 2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm(1nm＝10−9m)手机芯片．7nm用科学记数法表示为（）A.7×10−8mB.7×10−9mC.0.7×10−8mD.7×10−10m6. 下列命题是假命题的是（）A.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B.等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.n边形(n≥3)的内角和是180∘n−360∘D.旋转不改变图形的形状和大小7. 如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y=1x y=−1x，则阴影部分的面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π8. 如图，边长为2√3的等边△ABC的内切圆的半径为（）A.1B.√3C.2D.2√39. 将y=1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所x得图象的解析式为（）+1A.y=1x+1−1B.y=1x+1+1C.y=1x−1−1D.y=1x−110. 如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A(−2, 0)，点B(3, 0)，则{x+b>0解集为（）kx+2>0A.x<−2B.x>3C.x<−2或x>3D.−2<x<311. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc<0②b2−4ac<0③2a>b④(a+c)2<b2A.1个B.2个C.3个D.4个12. 如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为π120∘的AB^多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒23米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A.−2B.−1C.0D.1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）函数y=√x−3的自变量x的取值范围是________．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是________．如图，AB // CD，AC // BD，∠1＝28∘，则∠2的度数为________．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30∘，则AD＝________．已知方程________．已知点________（________．计算：(√2019−1)0−(12)−1+|−√3|−2sin60∘先化简，再求值：a2−2ab+b2a−b ÷(1b−1a)．其中a=√2−1，b=√2+1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制作了如下统计图表：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为________，________＝________，________＝________．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1:1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD⋅BE＝AD⋅DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≅△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(−1, 0)，点B(3, 0)，与y轴交于点C，且过点D(2, −3)．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．参考答案与试题解析2019年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.【答案】A【考点】相反数【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】2019的相反数是：−2019．2.【答案】B【考点】同底数幂的乘法幂的乘方与积的乘方【解析】分别根据幂的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．【解答】B．(a2)3＝a6，故选项B符合题意（1）C．a2⋅a3＝a5，故选项C不合题意（2）D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3.【答案】C【考点】平行四边形的判定中点四边形矩形的判定菱形的判定与性质正方形的判定【解析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．【解答】如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF // AC且EF=1AC，2AC，同理，GH // AC且GH=12∴EF // GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF // AC，FG // BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．4.【答案】C【考点】众数中位数【解析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数进行分析即可．【解答】这组数据的众数为1，从小到大排列：−2，0，1，1，1，2，中位数是1，5.【答案】B【考点】科学记数法–表示较小的数【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】7nm用科学记数法表示为7×10−9m．6.【答案】B【考点】命题与定理【解析】利用垂直平分线的判定、等边三角形的性质、多边形的内角和及旋转的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形(n≥3)的内角和是180∘n−360∘，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，7.【答案】C【考点】扇形面积的计算反比例函数系数k的几何意义【解析】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．【解答】解：双曲线y=1x y=−1x的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180∘，半径为2，所以：S阴影=180π×22360=2π．故选C.8.【答案】A【考点】等边三角形的性质三角形的内切圆与内心【解析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB＝60∘，CH⊥AB，则∠OAH＝30∘，AH＝BH=12AB＝3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【解答】设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60∘，CH⊥AB，∴∠OAH＝30∘，AH＝BH=12AB=√3，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH=OHAH=tan30∘，∴OH=√33×√3=1，即△ABC内切圆的半径为1．9.【答案】C【考点】反比例函数的图象【解析】直接根据函数图象的变换规律进行解答即可．【解答】由“左加右减”的原则可知，y =1x 的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y =1x−1； 由“上加下减”的原则可知，函数y =1x−1的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y =1x−1+1． 10.【答案】D【考点】一次函数与一元一次不等式【解析】根据两条直线与x 轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．【解答】∵ 直线y ＝x +b 和y ＝kx +2与x 轴分别交于点A(−2, 0)，点B(3, 0)，∴ {x +b >0kx +2>0解集为−2<x <3， 11.【答案】A【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】由函数图象可知a <0，对称轴−1<x <0，图象与y 轴的交点c >0，函数与x 轴有两个不同的交点；即可得出b −2a >0，b <0；△＝b 2−4ac >0；再由图象可知当x ＝1时，y <0，即a +b +c <0；当x ＝−1时，y >0，即a −b +c >0；即可求解．【解答】由函数图象可知a <0，对称轴−1<x <0，图象与y 轴的交点c >0，函数与x 轴有两个不同的交点，∴ b −2a >0，b <0；△＝b 2−4ac >0；abc >0；当x ＝1时，y <0，即a +b +c <0；当x ＝−1时，y >0，即a −b +c >0；∴ (a +b +c)(a −b +c)<0，即(a +c)2<b 2；∴ 只有④是正确的；12.【答案】B【考点】坐标与图形性质【解析】先计算点P 走一个AB^的时间，得到点P 纵坐标的规律：以1，0，−1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4＝504...3，得出在第2019秒时点P 的纵坐标为是−1．【解答】点运动一个AB ^用时为120π×2180÷23π＝2秒． 如图，作CD ⊥AB 于D ，与AB^交于点E ．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90∘，∠ACD=12∠ACB＝60∘，∴∠CAD＝30∘，∴CD=12AC=12×2＝1，∴DE＝CE−CD＝2−1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为−1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，−1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504...3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是−1．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）【答案】x≥3【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】根据题意得，x−3≥0，解得x≥3．【答案】23【考点】列表法与树状图法【解析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率．【解答】用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P=46=23，故答案为：23.28∘【考点】平行线的性质【解析】由平行线的性质得出∠1＝∠A，再由平行线的性质得出∠2＝∠A，即可得出结果．【解答】∵AC // BD，∴∠1＝∠A，∵AB // CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28∘，【答案】1【考点】圆周角定理【解析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90∘，∠B＝∠ACD＝30∘，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】∵AB为直径，∴∠ADB＝90∘，∵∠B＝∠ACD＝30∘，∴AD=12AB=12×2＝1．【答案】x2+bx+3＝0的一根为√5+√2，则方程的另一根为√5−√2【考点】一元二次方程的解根与系数的关系【解析】设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】设方程的另一个根为c，∵(√5+√2)c＝3，∴c=√5−√2．【答案】P,x0，y0)到直线y＝kx+b的距离可表示为d=00√1+k2，例如：点(0, 1)到直线y＝2x+6的距离d=√1+22=√5．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x−4之间的距离为2√2【考点】两直线相交非垂直问题一次函数的性质两直线平行问题两直线垂直问题利用两平行线间的距离定义，在直线y＝x上任意取一点，然后计算这个点到直线y＝x−4的距离即可．【解答】当x＝0时，y＝x＝0，即点(0, 0)在直线y＝x上，因为点(0, 0)到直线y＝x−4的距离为：d=√1+12=√2=2√2，因为直线y＝x和y＝x−4平行，所以这两条平行线之间的距离为2√2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）【答案】原式＝1−2+√3−2×√32＝1−2+√3−√3＝−1．【考点】零指数幂实数的运算特殊角的三角函数值零指数幂、负整数指数幂【解析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】原式＝1−2+√3−2×√32＝1−2+√3−√3＝−1．【答案】a2−2ab+b2a−b ÷(1b−1a)=(a−b)2a−b÷a−bab=a−b⋅ab＝ab，当a=√2−1，b=√2+1时，原式＝(√2−1)×(√2+1)＝1．【考点】分式的化简求值分母有理化【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】a2−2ab+b2a−b ÷(1b−1a)(a−b)2a−b=a−b1⋅aba−b＝ab，当a=√2−1，b=√2+1时，原式＝(√2−1)×(√2+1)＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）【答案】200,m,80,n,0.1补全图中的条形统计图高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．【考点】用样本估计总体频数（率）分布表条形统计图【解析】（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1−0.4−0.5＝0.1；（2）据上信息补全图中的条形统计图；（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人）．【解答】根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1−0.4−0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；补全图中的条形统计图高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．【答案】如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1:1，∴BE＝AE＝x米．∴BC=CDtanβ=964=24（米），∴EC＝EB+BC＝(x+24)米，∴AF＝EC＝(x+24)米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90∘，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF⋅tanα＝2(x+24)米，∵DF＝DC−CF＝DC−AE＝(96−x)米，∴2(x+24)＝96−x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】作AF⊥CD于F．设AE＝x米．由斜坡AB的坡度为i＝1:1，得出BE＝AE＝x米．解Rt△BDC，求得BC=CDtanβ=24米，则AF＝EC＝(x+24)米．解Rt△ADF，得出DF＝AF⋅tanα＝2(x+24)米，又DF＝DC−CF＝DC−AE＝(96−x)米，列出方程2(x+ 24)＝96−x，求出x即可．【解答】如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1:1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90∘，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC=CDtanβ=964=24（米），∴EC＝EB+BC＝(x+24)米，∴AF＝EC＝(x+24)米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90∘，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF⋅tanα＝2(x+24)米，∵DF＝DC−CF＝DC−AE＝(96−x)米，∴2(x+24)＝96−x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）【答案】购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元【考点】二元一次方程组的应用——行程问题【解析】（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论．【解答】设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，依题意，得：{x +y =50025x +35y =14500， 解得：{x =300y =200． 答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．(35−25)×300+(48−35)×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．【答案】连接OD ，∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠CAD ＝∠BAD ，∵ OA ＝OB ，∴ ∠BAD ＝∠ADO ，∴ ∠CAD ＝∠ADO ，∴ AC // OD ，∵ CD ⊥AC ，∴ CD ⊥OD ，∴ 直线CD 是⊙O 的切线；连接BD ，∵ BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ABE ＝∠BDE ＝90∘，∵ CD ⊥AC ，∴ ∠C ＝∠BDE ＝90∘，∵ ∠CAD ＝∠BAE ＝∠DBE ，∴ △ACD ∽△BDE ，∴CD⋅BE＝AD⋅DE．【考点】圆周角定理角平分线的性质切线的判定与性质相似三角形的性质与判定【解析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ADO，求得∠CAD＝∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE＝∠BDE＝90∘，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC // OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90∘，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90∘，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴CDDE =ADBE，∴CD⋅BE＝AD⋅DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）【答案】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，{AE=CG∠A=∠C AH=CF，∴△AEH≅△CGF(SAS)；∵由知，△AEH≅△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≅△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（1）四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G 关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB // CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．【考点】四边形综合题【解析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH＝GF，同理可得FE＝HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；（3）由轴对称–最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，{AE=CG∠A=∠C AH=CF，∴△AEH≅△CGF(SAS)；知，△AEH ≅△CGF ，则EH ＝GF ，同理证得△EBF ≅△GDH ，则EF ＝GH ， ∴ 四边形EFGH 是平行四边形；（1）四边形EFGH 的周长一半大于或等于矩形ABCD 一条对角线长度．理由如下：作G 关于BC 的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF +FG 的最小值．连接AC ，∵ CG′＝CG ＝AE ，AB // CG′，∴ 四边形AEG′C 为平行四边形，∴ EG′＝AC ．在△EFG′中，∵ EF +FG′≥EG′＝AC ，∴ 四边形EFGH 的周长一半大于或等于矩形ABCD 一条对角线长度．【答案】函数的表达式为：y ＝a(x +1)(x −3)，将点D 坐标代入上式并解得：a ＝1， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2−2x −3…①；设直线PD 与y 轴交于点G ，设点P(m, m 2−2m −3)，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝sx +t 并解得：直线PD 的表达式为：y ＝mx −3−2m ，则OG ＝3+2m ，S △POD =12×OG(x D −x P )=12(3+2m)(2−m)＝−m 2+12m +3，∵ −1<0，故S △POD 有最大值，当m =14时，其最大值为4916；∵ OB ＝OC ＝3，∴ ∠OCB ＝∠OBC ＝45∘，∵ ∠ABC ＝∠OBE ，故△OBE 与△ABC 相似时，分为两种情况：①当∠ACB ＝∠BOQ 时，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC=12×AH×BC=12AB×OC，解得：AH＝2√2，则sin∠ACB=AHAC =√5tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝−2x…②，联立①②并解得：x=±√3，故点Q1(√3, −2√3)，Q2(−√3, 2√3)，②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC=OCOA =31=3＝tan∠BOQ，则点Q(n, −3n)，则直线OQ的表达式为：y＝−3x…③，联立①③并解得：x=−1±√132，故点Q3(−1+√132, 3−3√132)，Q4(−1−√132, 3+3√132)；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：(√3, −2√3)或(−1+√132, 3−3√132)或(−√3, 2√3)或(−1−√132, 3+3√132)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）函数的表达式为：y＝a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式，即可求解；（2）S△POD=12×OG(x D−x P)=12(3+2m)(2−m)＝−m2+12m+3，即可求解；（3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【解答】函数的表达式为：y＝a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2−2x−3…①；设直线PD与y轴交于点G，设点P(m, m2−2m−3)，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝sx +t 并解得： 直线PD 的表达式为：y ＝mx −3−2m ，则OG ＝3+2m ， S △POD =12×OG(x D −x P )=12(3+2m)(2−m)＝−m 2+12m +3， ∵ −1<0，故S △POD 有最大值，当m =14时，其最大值为4916； ∵ OB ＝OC ＝3，∴ ∠OCB ＝∠OBC ＝45∘，∵ ∠ABC ＝∠OBE ，故△OBE 与△ABC 相似时，分为两种情况： ①当∠ACB ＝∠BOQ 时，AB ＝4，BC ＝3√2，AC =√10，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，S △ABC =12×AH ×BC =12AB ×OC ，解得：AH ＝2√2， 则sin∠ACB =AH AC =√5tan∠ACB ＝2，则直线OQ 的表达式为：y ＝−2x …②，联立①②并解得：x =±√3，故点Q 1(√3, −2√3)，Q 2(−√3, 2√3)，②∠BAC ＝∠BOQ 时， tan∠BAC =OC OA =31=3＝tan∠BOQ ，则点Q(n, −3n)，则直线OQ 的表达式为：y ＝−3x …③，联立①③并解得：x =−1±√132， 故点Q 3(−1+√132, 3−3√132)，Q 4(−1−√132, 3+3√132)；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：(√3, −2√3)或(−1+√132, 3−3√132)或(−√3, 2√3)或(−1−√132, 3+3√132)．。
2019年初中毕业升学考试(湖南娄底卷)数学【含答案及解析】
6
名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，
那么还需知道所有参赛学生成绩的（
）
A．平的自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥０且 x≠2 B ．x≥0 C ．x≠2 D ． x＞ 2
9. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式
四、单选题
5. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（
）
A.
B.
C.
D.
6. 如图，已知 AB 是⊙Ｏ的直径，∠ CAB =50 °，则∠的Ｄ度数为（
）
A. 20 ° B. 40 ° C. 50 ° D. 70 °
五、选择题
7. 11 名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前
第 16 题【答案】
第 17 题【答案】 第 18 题【答案】 第 19 题【答案】
第 20 题【答案】 第 21 题【答案】
第 22 题【答案】
第 23 题【答案】
第 24 题【答案】
第 25 题【答案】
第 26 题【答案】
（1）求证：△ BCF≌△ BA1D． （2）当∠ C=α 度时，判定四边形 A1BCE的形状并说明理由． 26. 如图所示，在 Rt △ ABC与 Rt △ OCD中，∠ ACB=∠ DCO=90°O，为 AB 的中点．
（1）求证：∠ B=∠ACD． （2）已知点 E 在 AB上，且 BC2=AB?B．E （i ）若 tan ∠ACD= ， BC=10，求 CE的长； （ii ）试判定 CD与以 A 为圆心、 AE为半径的⊙Ａ 的位置关系，并请说明理由． 27. 如图 , 抛物线 y=ax2+bx+c(a ≠ 0) 经过点经过点 A（﹣ 1， 0）， B（ 5，﹣ 6）， C（ 6， 0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在直线 AB 下方的抛物线上是否存在点 P 使四边形 PACB的面积最大？若存在， 请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△ QAB 为等腰三角形的点 Q一共有几 个？并请求出其中某一个点 Q的坐标 .
2019年湖南省娄底市中考数学试卷(原卷+解析)
2019年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．2．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．4．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．5．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．6．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：C．7．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．8．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．9．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．10．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．11．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．12．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．14．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．15．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．16．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．17．【解答】解：设方程的另一个根为c，∴c＝﹣．故答案为：﹣．18．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．20．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∵E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD．同理，FG＝BD，EF＝HG＝AC．∴（EH+HG+GF+EF）＝（AC+BD）＝AC．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．。
2019年湖南娄底中考数学试题(解析版)_最新修正版
{来源}娄底市2019年初中毕业学业考试{适用范围:3．九年级}娄底市2019年初中毕业学业考试试题题卷数学温馨提示：1、本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量120分钟，满分120分。
2、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上。
3、请你在答题卡规定区域内作答，答在本试卷上无效。
{题型:1-选择题}一、选择题（本大题共12小题，第小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）{题目}1．2019的相反数是（）A．−2019 B．2019 C．12019D．12019{答案}A{解析}本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是-a，是解决本题的关键．2019的相反数是-2019，因此本题选A．{分值}3{章节:[1-1-2-3]相反数}{考点:相反数的定义}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．下列计算正确的是A．（−2）3=8 B．（a2）3=a6C．a2∙a3=a6D．4x2−2x=2x{答案}B{解析}本题考查了整式运算法则的掌握，选项A．根据乘方意义，表示3个−2相乘，结果为−8，所以该项不正确；选项B．仍然幂的乘方法则，底数a不变，指数2与3相乘，指数为6，结果应该为a6，所以该项正确；选项C．根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，得a2×a3 =a5，所以该项不正确；选项D．根据整式减法法则，这两项不是同类项，故结果是4x2−2x，所以该项不正确；因此本题选B．{分值}3{章节:[1-2-2]整式的加减}{章节:[1-14-1]整式的乘法}{章节:[1-1-5-1]乘方}{考点:有理数乘方的定义}{考点:乘方运算法则}{考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的乘法}{考点:整式加减}{考点:单项式乘以单项式}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}3．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形{答案}C{解析}本题考查了中点四边形的有关内容。
娄底市2019年中考数学试卷及答案(Word解析版)
湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）3．（3分）（2019•娄底）函数y=中自变量x的取值范围为（）4．（3分）（2019•娄底）方程组的解是（）B，∴原方程组的解B．（3分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置67．（3分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学9．（3分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）B二、细心填一填，一锤定音（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分）11．（3分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000个，75100000用科学记数法表示为7.51×107．12．（3分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为55．13．（3分）（2019•娄底）已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为1．14．（3分）（2019•娄底）不等式组的解集为2＜x≤5．，由①得，15．（3分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．16．（3分）（2019•娄底）如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为4．的几何意义得到=|k|=2y=17．（3分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9m．=，=，18．（3分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．∴该卡片上的数字是负数的概率是：故答案为：．19．（3分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由3n+1个▲组成．20．（3分）（2019•娄底）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是9．AD=BC BD OE=DE+OE+DO=（AD=BC DO=CDDE+OE+DO==BC BD DC三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3道小题，每小题8分，满分24分）21．（8分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．÷=•=22．（8分）（2019•娄底）如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）BP=CP=45，=，+4523．（8分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数．×四、综合用一用，马到成功（本大题共1道小题，满分8分）24．（8分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？﹣=1五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分）25．（8分）（2019•娄底）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分）26．（10分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B （x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．，﹣的纵坐标应是﹣，解得，，﹣（），，27．（10分）（2019•娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？，得出==，得出t AQ PH=t﹣，=t+4QE=得出﹣﹣t+3t+4PQ=，=t，即=5=，=，﹣×PH=×﹣﹣），秒时，最大值为cm=，==t+4═﹣t+4QC=（﹣t+4=t+2t=，＜的值是t+3t+4PQ===，；=t，即=5；s s s。
2019年湖南省娄底市中考数学真题及答案
湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（）A．﹣2019 B．- C．2019 D．解答：解：2019 的相反数是﹣2019，故选：A．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6 B．（x3）3=x9 C．x2+x2=x4 D．x6÷x3=x2解答：解：A、x2•x3=x5，故原题计算错误；B、（x3）3=x9，故原题计算正确；C、x2+x2=2x2，故原题计算错误；D、x6÷x3=x3，故原题计算错误；故选：B．3．（3 分）（2019•娄底）函数y=中自变量x 的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣2解答：解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选C．4．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（）A．B．C．D．解答：解：，（1）+（2）得，3x=6，x=2，把x=2 代入（1）得，y=﹣1，∴原方程组的解．故选D．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解答：解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm 和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．外离解答：解：根据题意，得：R+r=8cm，即R+r=d，∴两圆外切．故选A．7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：“分值”这组数据的中位数和众数分别是（）A．89，90 B．90，90 C．88，95 D．90，95解答：解：把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96，最中间的数是90，则中位数是90；90 出现了3 次，出现的次数最多，则众数是90；故选B．8．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A 选项的说法正确；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B 选项的说法正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C 选项的说法错误；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D 选项的说法正确．故选C．9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A．40°B．45°C．50°D．60°解答：解：∵∠∠1+∠3=90°，∠1=40°，∴∠3=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．故选：C．10．（3 分）（2019•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．解答：解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k 的图象经过第一、二、四象限，故选：A．二、细心填一填，一锤定音（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000 个，75100000 用科学记数法表示为7．51×107 ．解答：解：将75100000 用科学记数法表示为7．51×107．故答案为：7．51×107．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为55 ．解答：解：由图可知，输入的值为 3 时，（32+2）×5=（9+2）×5=55．故答案为：55．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于x 的方程2x+a﹣5=0 的解是x=2，则a 的值为 1 ．解答：解：把x=2 代入方程，得：4+a﹣5=0，解得：a=1．故答案是：1．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为2＜x≤5 ．考点：解一元一次不等式组解答：解：，由①得，x＞2，由②得x≤5，故此不等式组的解集为：2＜x≤5．故答案为：2＜x≤5．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数y=的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A，△ MAO 的面积为2，则k 的值为4 ．解答：解：∵MA 垂直y 轴，∴S△AOM= |k|，∴|k|=2，即|k|=4，而k＞0，∴k=4．故答案为4．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为9 m．解答：解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．解答：解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），∴该卡片上的数字是负数的概率是：．故答案为：．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个▲组成，第2 个图案由7 个▲组成，第3 个图案由10 个▲组成，第4 个图案由13 个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由3n+1个▲ 组成．解答：解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4 个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7 个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10 个三角形；…第n 个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1 个三角形；故答案为：3n+1．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9．解答：解：∵E 为AD 中点，四边形ABCD 是平行四边形，∴DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，∴OE= CD，∵△BCD 的周长为18，∴BD+DC+B=18，∴△DEO 的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）= ×18=9，故答案为：9．三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3 道小题，每小题8 分，满分24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．解答：解：原式=÷=•=，不等式2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x=1 时，原式=．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛A 和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C 向东航行，在C 处测得A 的方位角为北偏东60°，测得B 的方位角为南偏东45°，轮船航行2 小时后到达小岛B 处，在B 处测得小岛A 在小岛B 的正北方向．求小岛A 与小岛B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）解答：解：过点C 作CP⊥AB 于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2 小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45 ，∵∠CAP=60°，∴tan60°= =，∴AP=15 ，∴AB=AP+PB=15+45=15×2．45+45×1．41≈100（km）．答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100km．23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B 等级所占圆心角的度数．解答：解：（1）10÷20%=50，所以抽取了50 个学生进行调查；（2）B 等级的人数=50﹣15﹣10﹣5=20（人），画折线统计图；（3）图乙中B 等级所占圆心角的度数=360°×=144°．四．综合用一用，马到成功（本大题共1 道小题，满分8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？解答：解：（1）设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1．5xkm/h，由题意得解得x=60，则1．5x=90，答：大货车速度为60km/h，则小轿车的速度为90km/h．（2）180﹣60×1=120km答：当小刘出发时，小张离长沙还有120km．五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1 道小题，满分8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD 是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在△ABD 和△CDB 中，，∴△ABD 和△CDB（HL）；（2）解：∵BE 是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC 的度数为37°．六、探究试一试，超越自我（本大题共2 道小题，每小题10 分，满分20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x 轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y 轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．解答：解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，∵x1+x2+x1x2=7，∴（x1+x2）2﹣x1x2=7，∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，即m2﹣m﹣6=0，解得m1=﹣2，m2=3，∵c=m﹣1＜0，∴m=3 不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）能如图，设p 是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D．若∠POC=∠PCO则PD 应是线段OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（。
2019年湖南省娄底市中考数学试卷解析
2019年湖南省娄底市中考数学试卷解析一、选择题（共10小题）1．（2018娄底）2018的倒数是（）A．B．﹣ C． 2018 D．﹣考点：倒数。
专题：计算题。
分析：根据倒数的定义直接解答即可．解答：解：∵2018×=1，∴2018的倒数是．故选A．点评：本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（2018娄底）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题：常规题型。
分析：先求出两个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可进行选择．解答：解：，解不等式①得，x≤1，解不等式②得，x＞﹣2，在数轴上表示如下：故选B．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＞”，“＜”要用空心圆点表示．3．（2018娄底）娄底市针对城区中小学日益突出的“大班额”问题，决定自2018年起启动《中心城区化解大班额四年（2018年～2018年）行动计划》，计划投入资金8.71亿元，力争新增学位3.29万个．3.29万用科学记数法表示为（）A．3.29×105B．3.29×106C．3.29×104D．3.29×103考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：应用题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：3.29万=3.29×104，故选C．点评：本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2018娄底）下列命题中，假命题是（）A．平行四边形是中心对称图形B．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C．对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D．若x2=y2，则x=y考点：命题与定理；有理数的乘方；线段垂直平分线的性质；中心对称图形；用样本估计总体。
2019年湖南省娄底市中考数学试卷(原卷+解析)含答案
2019年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3分）2019的相反数是（）A．﹣2019 B．2019 C．D．﹣2．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣2）3＝8 B．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a6D．4x2﹣2x＝2x3．（3分）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形4．（3分）一组数据﹣2、1、1、0、2、1．这组数据的众数和中位数分别是（）A．﹣2、0 B．1、0 C．1、1 D．2、15．（3分）2018年8月31日，华为正式发布了全新一代自研手机SoC麒麟980，这款号称六项全球第一的芯片，随着华为Mate20系列、荣耀Magic2相继搭载上市，它的强劲性能、出色能效比、卓越智慧、顶尖通信能力，以及为手机用户带来的更强大、更丰富、更智慧的使用体用，再次被市场和消费者所认可．麒麟980是全球首颗7nm（1nm＝10﹣9m）手机芯片．7nm用科学记数法表示为（）A．7×10﹣8m B．7×10﹣9m C．0.7×10﹣8m D．7×10﹣10m6．（3分）下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°D．旋转不改变图形的形状和大小7．（3分）如图，⊙O的半径为2，双曲线的解析式分别为y＝，则阴影部分的面积是（）A．4πB．3πC．2πD．π8．（3分）如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．29．（3分）将y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为（）A．y＝+1 B．y＝﹣1 C．y＝+1 D．y＝﹣110．（3分）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜311．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个12．（3分）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数的自变量x的取值范围是．14．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是．15．（3分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．17．（3分）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．18．（3分）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（﹣1）0﹣（）﹣1+|﹣|﹣2sin60°20．（6分）先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．深化高考综合改革，承载着广大考生的美好期盼，事关千家万户的切身利益，社会关注度高．为了了解我市某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了如统计图表：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为，m＝，n＝．（2）根据以上信息补全图中的条形统计图．（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？22．（8分）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？24．（9分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．2019年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．2．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．4．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．5．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．6．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：C．7．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．8．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．9．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．10．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．11．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．12．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∵2019÷4＝504…3，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．14．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．15．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．16．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．17．【解答】解：设方程的另一个根为c，∵（+）c＝3，∴c＝﹣．故答案为：﹣．18．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．20．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∵E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD．同理，FG＝BD，EF＝HG＝AC．∴（EH+HG+GF+EF）＝（AC+BD）＝AC．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，△POD∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB ＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，△ABC则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．。
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湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（）A．﹣2019 B．- C．2019 D．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6 B．（x3）3=x9 C．x2+x2=x4 D．x6÷x3=x23．（3 分）（2019•娄底）函数y=中自变量x 的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣24．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（）A ．B ．C．D ．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm 和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．外离7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：组别一二三四五六七分值90 96 89 90 91 85 90“分值”这组数据的中位数和众数分别是（）A．89，90 B．90，90 C．88，95 D．90，958．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A．40°B．45°C．50°D．60°10．（3 分）（2019•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．二、细心填一填，一锤定音（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000 个，75100000 用科学记数法表示为．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于x 的方程2x+a﹣5=0 的解是x=2，则a 的值为．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是或（添加一个条件即可）．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数y=的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A，△ MAO 的面积为2，则k 的值为．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为m．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个▲组成，第2 个图案由7 个▲组成，第3 个图案由10 个▲组成，第4 个图案由13 个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由个▲ 组成．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是．三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3 道小题，每小题8 分，满分24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛A 和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C 向东航行，在C 处测得A 的方位角为北偏东60°，测得B 的方位角为南偏东45°，轮船航行2 小时后到达小岛B 处，在B 处测得小岛A 在小岛B 的正北方向．求小岛A 与小岛B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B 等级所占圆心角的度数．四．综合用一用，马到成功（本大题共1 道小题，满分8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1 道小题，满分8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．六、探究试一试，超越自我（本大题共2 道小题，每小题10 分，满分20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x 轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y 轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．27．（10 分）（2019•娄底）如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C 为菱形时，求t的值；′（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（）A．﹣2019 B．- C．2019 D．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：2019 的相反数是﹣2019，故选：A．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6 B．（x3）3=x9 C．x2+x2=x4 D．x6÷x3=x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案．解答：解：A、x2•x3=x5，故原题计算错误；B、（x3）3=x9，故原题计算正确；C、x2+x2=2x2，故原题计算错误；D、x6÷x3=x3，故原题计算错误；故选：B．点评：此题主要考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，以及合并同类项的法则，关键是掌握各种计算法则，不要混淆．3．（3 分）（2019•娄底）函数y=中自变量x 的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣2考点：函数自变量的取值范围．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．解答：解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选C．点评：考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（）A．B．C．D．考点：解二元一次方程组．分析：用加减法解方程组即可．解答：解：，（1）+（2）得，3x=6，x=2，把x=2 代入（1）得，y=﹣1，∴原方程组的解．故选D．点评：此题考查二元一次方程组的解法．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm 和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R 和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．解答：解：根据题意，得：R+r=8cm，即R+r=d，∴两圆外切．故选A．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系，属于基础题．7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：组别一二三四五六七分值90 96 89 90 91 85 90“分值”这组数据的中位数和众数分别是（）A．89，90 B．90，90考点：众数；中位数C．88，95 D．90，95分析：根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．解答：解：把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96，最中间的数是90，则中位数是90；90 出现了3 次，出现的次数最多，则众数是90；故选B．点评：此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．8．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等考点：命题与定理．分析：根据平行四边形的性质对A 进行判断；根据菱形的性质对B 进行判断；根据矩形的性质对C 进行判断；根据角平分线的性质对D 进行判断．解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A 选项的说法正确；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B 选项的说法正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C 选项的说法错误；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D 选项的说法正确．故选C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A．40°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．分析：由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3 的度数，又由AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2 的度数．解答：解：∵∠∠1+∠3=90°，∠1=40°，∴∠3=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．故选：C．点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．10．（3 分）（2019•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：一次函数的图象．分析：首先根据k 的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．解答：解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k 的图象经过第一、二、四象限，故选：A．点评：此题主要考查了一次函数图象，直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx 平移|b|个单位而得到．当b ＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．二、细心填一填，一锤定音（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000 个，75100000 用科学记数法表示为7．51×107 ．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将75100000 用科学记数法表示为7．51×107．故答案为：7．51×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为55 ．考点：代数式求值专题：图表型．分析：根据运算程序列式计算即可得解．解答：解：由图可知，输入的值为 3 时，（32+2）×5=（9+2）×5=55．故答案为：55．点评：本题考查了代数式求值，读懂题目运算程序是解题的关键．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于x 的方程2x+a﹣5=0 的解是x=2，则a 的值为 1 ．考点：一元一次方程的解分析：把x=2 代入方程即可得到一个关于a 的方程，解方程即可求解解答：解：把x=2 代入方程，得：4+a﹣5=0，解得：a=1．故答案是：1．点评：本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为2＜x≤5 ．考点：解一元一次不等式组分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞2，由②得x≤5，故此不等式组的解集为：2＜x≤5．故答案为：2＜x≤5．点评：本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．考点：矩形的判定；平行四边形的性质专题：开放型．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．点评：本题主要应用的知识点为：矩形的判定．①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90 度的平行四边形是矩形．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数y=的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A，△ MAO 的面积为2，则k 的值为4 ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．专题：计算题．分析：根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．解答：解：∵MA 垂直y 轴，∴S△AOM= |k|，∴|k|=2，即|k|=4，而k＞0，∴k=4．故答案为4．点评：本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=的图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为9 m．考点：相似三角形的应用．分析：根据△OCD 和△OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是．考点：概率公式．分析：由五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），∴该卡片上的数字是负数的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个▲组成，第2 个图案由7 个▲组成，第3 个图案由10 个▲组成，第4 个图案由13 个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由3n+1个▲ 组成．考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．解答：解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4 个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7 个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10 个三角形；…第n 个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1 个三角形；故答案为：3n+1．点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：根据平行四边形的性质得出DE=AD= BC，DO= BD，AO=CO，求出OE=CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD），代入求出即可．解答：解：∵E 为AD 中点，四边形ABCD 是平行四边形，∴DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，∴OE= CD，∵△BCD 的周长为18，∴BD+DC+B=18，∴△DEO 的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）= ×18=9，故答案为：9．点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE=BC，DO= BD，OE= DC．三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3 道小题，每小题8 分，满分24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，不等式2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛A 和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C 向东航行，在C 处测得A 的方位角为北偏东60°，测得B 的方位角为南偏东45°，轮船航行2 小时后到达小岛B 处，在B 处测得小岛A 在小岛B 的正北方向．求小岛A 与小岛B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：先过点C 作CP⊥AB 于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC 的值，在Rt△PCB 中，根据勾股定理求出BP=CP 的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP 的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：过点C 作CP⊥AB 于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h，轮船航行 2 小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45 ，∵∠CAP=60°，∴tan60°= =，∴AP=15 ，∴AB=AP+PB=15+45=15×2．45+45×1．41≈100（km）．答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100km．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B 等级所占圆心角的度数．考点：折线统计图；扇形统计图专题：数形结合．分析：（1）用C 等级的人数除以C 等级所占的百分比即可得到抽取的总人数；（2）先用总数50 分别减去A、C、D 等级的人数得到B 等级的人数，然后画出折线统计图；（3）用360°乘以B 等级所占的百分比即可得到B 等级所占圆心角的度数．解答：解：（1）10÷20%=50，所以抽取了50 个学生进行调查；（2）B 等级的人数=50﹣15﹣10﹣5=20（人），画折线统计图；（3）图乙中B 等级所占圆心角的度数=360°×=144°．点评：本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．四．综合用一用，马到成功（本大题共1 道小题，满分8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？考点：分式方程的应用．分析：（1）由题意，设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1．5xkm/h，根据“小刘比张晚出发1 小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．解答：解：（1）设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1．5xkm/h，由题意得解得x=60，则1．5x=90，答：大货车速度为60km/h，则小轿车的速度为90km/h．（2）180﹣60×1=120km答：当小刘出发时，小张离长沙还有120km．点评：此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1 道小题，满分8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据AB，CD 是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL 定理得出△ABD≌△CDB；（2）由BE 是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC 的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD 是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在△ABD 和△CDB 中，，∴△ABD 和△CDB（HL）；（2）解：∵BE 是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC 的度数为37°．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．六、探究试一试，超越自我（本大题共2 道小题，每小题10 分，满分20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x 轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y 轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．1 2 1 2考点：二次函数综合题．分析：（1）利用根与系数的关系，等式 x 2+x 2+x x =7．由一元二次方程根与系数的关系， 得 x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1．代入等式，即可求得 m 的值，从而求得解析式．（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得 P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．解答：解（1）依题意：x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1，∵x 1+x 2+x 1x 2=7，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=7，∴（﹣m ）2﹣（m ﹣1）=7， 即 m 2﹣m ﹣6=0，解得 m 1=﹣2，m 2=3，∵c=m ﹣1＜0，∴m=3 不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是 y=x 2﹣2x ﹣3；（2）能如图，设 p 是抛物线上的一点，连接 PO ，PC ，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D ． 若∠POC=∠PCO 则 PD 应是线段 OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（。