人教版初中八年级数学上册11.2_与三角形有关的角——三角形的角ppt课件
因为∠B C A +∠A C E +∠E C D =180°﹙平角定义﹚
所以∠B C A +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚
证法二
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
A E
证明：延长B C至点D ，过点C 作C E∥BA.
B
C
D
则∠ A =∠A C E ﹙两直线平行，内错角相等﹚
∴ ∠B C A +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
E 证明：在△A B C的外部以C A 为边 作∠A C E =∠A. 延长BC至点D 。
B
C
D
则 C E∥B A ﹙内错角相等，两直线平行﹚
所以∠D C E =∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
﹙一﹚什么是三角形？三角形的表示方法是什么？
﹙二﹚三角形中的主要线段。 ﹙三﹚三角形三边的关系。
人教版八年级上册
11.2 与三角形有关的角
请同学们自己任意画一个三角形,三个内角的度数是 多少度？小组交流。
如何证明这个结论的正确性？
结论：三角形的内角和等于180 °
A 已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C =180°。
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
ห้องสมุดไป่ตู้
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法一
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
E
A
F 证明：过点A 作E F∥B C.
则∠E A B =∠B，
B
C
∠F A C = ∠C ﹙两直线平行，内错角相等。 ﹚
因为∠E A B +∠B A C +∠C A F =180°，
所以∠B +∠B A C +∠C= 180° 。﹙ 等量代换﹚
钝角三角形 直角三角形 锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
1、一个三角形最多有 个直角1，最多有 个
钝角。
2、在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，则∠C= 。
3、若一个三角形的三个内角之比为2：3：4，则
这三个内角的度数为
400，60。0，800
4、如图：∠α=
。280
α
1 600
480
320
仅做学习交流，谢谢！
小结
1.三角形内角和定理的证明。
2.三角形内角和定理与推论。
3.三角形内角和定理与推论的 运用。
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
B
C
证法三
A
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°。
E 证明：在△A B C的外部以C A 为边 作∠A C E =∠A. 延长BC至点D 。
B
C
D
则 C E∥B A ﹙内错角相等，两直线平行﹚
∴ ∠D C E =∠B ﹙两直线平行，同位角相等﹚
∵ ∠B C A +∠A C E +∠E C D =180°﹙平角定义﹚
440
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
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人教版八年级数学上册第11.2.2三角形的外角 教学课件(共28张PPT)
外角
归纳：
1、每一个三角形都有_6___个外角; 2、每一个顶点相对应的外角都有_2__个。 3、这6个外角中有_3____对外角相等。
4、一个三角形的每一个外角对应一个
_相___邻__的___内__角__和两个__不___相__邻___的__内__.角
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.8.1021.8.10T uesday, August 10, 2021
底角为_3_0__或__7_5_°_.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则 ∠BDC=_1__2_0_外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠ 1， ∠ 2，∠ 3）， 那么回到原来位置时，一共转了几度？
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
∠1= 90º ∠1= 85º ∠1= 95º
2. 如图所示, ∠A=37°, ∠CBE=155°,
求∠1, ∠2, ∠3的度数.
D
C 3
2
A 37°
155°
1B
E
∠1=25°, ∠2=62°, ∠3=118°
3.图中∠1与 ∠A、 ∠B 、∠C度 数有什么关系？
课堂巩固:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这
•
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
11.2与三角形有关的角 课件 2024—2025学年人教版八年级数学上册
E
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
FD
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
B
C ∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°
∴ ∠BFC=88°.
1. 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B =75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:沿长BC到D点,过点C作AB的平行线
CE.
方 法
A E
二
B
CD
三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°.
证明:过A作AE∥BC， ∴∠C=∠CAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠BAC+∠B=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) BFra bibliotek例题讲解
例1.已知: 在△ ABC中，∠BAC=40°， ∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB 的度数。
例题讲解
例2.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛 在B 岛的北偏西40°方向,从C岛看A、 B两岛的视角∠ACB是多少度?
二、三角形的外角的概念
定义 如图，把△ABC的一边BC延长， 得到∠ACD，像这样，三角形的一 边与另一边的延长线组成的角，叫 做三角形的外角.
A
B
CD
∠ACD是△ABC的一个外角
画一画：画出△ABC的所有外角，请 指出来有哪几个.
有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
5 B2
《三角形的内角》三角形PPT优秀课件(第2课时)
A．40°
B．50° C．60° D．70°
5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ D ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A–∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
课堂检测
能力提升题
如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
CD⊥AB，与∠1互余的角有（ C ）
课堂小结
性 质 直角三角形的两个锐角互余
直角三角形的 性质与判定
判定
有两个角互余的三角形是直角 三角形
巩固练习
如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°， ∠C＝70°.试判断△ABD的形状．
解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C ＝180°–80°–70°＝30°.
∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°. 在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°， ∴△ABD是直角三角形．
人教版 数学 八年级 上册
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角 第2课时
导入新知
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二 的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因 而是不可能的.
在这个家里，我 是永远的老大.
素养目标
3. 会运用直角三角形的性质和判定进行相 关计算. 2. 掌握直角三角形的判定.
o
C
D
图
探究新知
（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与
∠C有什么关系？请说明理由.
解：∠A=∠C. 理由如下：
A
B
o D
∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. C 图
人教版数学八年级上册11.2.2 三角形的外角课件(共28张PPT)
外角
小试牛刀
下列各图中，∠1 是△ABC 的外角的是( D )
1 C
A
B
A
C
1 AB B
C 1
A
B
C
B
1
A
C
D
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
探究 要知道传球传给谁，就要知道外角∠ACD，内角∠B的度数
大小，你能比较外角∠ACD，内角∠B的度数大小吗？
解法二：延长BD交AC于点E.
A
(
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
51 °
F
E
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD 方法总结
=51° +20°+30°=101°.
20 ° D B
30 ° C
解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
课堂小结
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须 是三角形另一边的延长线
三角形 的外角
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和
三角形的 外角和
三角形的外角和等于360 °
下节课，再见！
∠2 +∠CBF = 180°，
E
∠3 +∠ACD = 180°，
A
得∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540°， 1
由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
11《三角形的内角》PPT课件人教版数学八年级上册
A
证明：∵AD是BC边上的高，
∴∠DMC+∠DCM=90°.
∵∠DMC=∠AME，∠DCM=∠MAE，
E ∴∠AME+∠MAE=90°. ∴∠AEC =90°.
∴△ACE是直角三角形.
B
M ┌ DC
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1=∠B. 求证：
△ABC是直角三角形.
A
证明：∵AD⊥BC，
1.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点
D作DE//BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则
∠CDE的大小是（ C ）
A.44°
B.40°
C.39°
D.38° A
解析：∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°-54°-48°=78°.
∵CD平分∠ACB，
D
E
∴∠DCB=39°.
答：从B岛看A，C两岛的视角 ∠ABC是60度，从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB是90度.
北
北
D
CE
B A
例3 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处 观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测A，B两处的视 角∠ACB是多少度？
解：∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，
C
∴∠ACD=60°.
直∴∠角AC三B角=∠形AC的D-性∠B质C与D=判15定°. 求则证∠B：AC△+A∠BBC+是∠直C=角18三0°.角形.
与△ABC的边BC有什么关系？由这个图， 两解岛：的 ∠A视CD角与∠∠ABC大B是小9相0度等..
∴∠C∠=C9D0B°=，90即°，△A∠BBC+是∠直BC角D=三90角°. 形.
数学人教版八年级上册11.2 与三角形有关的角(2).2 与三角形有关的角(第2课时)课件 (新版)新人教版
1
B
6
4
C
结论：三角形的外 角和等于360°
练一练
1、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,
∠BAC=70°.
70°
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
A
80°
B
D
C
练一练
2、如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
B A
∵∠A+∠B=∠1， ∠C+∠D=∠2， ∠E+∠F=∠3 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+
B
C
D
位置关系：外角与它相邻的内角互为邻补角。 数量关系：三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
三角形的一个外角与它不相邻的两 个内角之间 有何关系？ A
∠ ACD+ ∠ ACB=180° ∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
思考：如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ A A
C
P
1
N
3
F
∠E+∠F=∠1+∠2+∠3
2
M
∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
D
E
∠E+∠F= 360°
课堂小结
(一)三角形的外角的定义:三角形的一边与 另一边的延长线组成的角. (二)三角形的外角与内角的关系： 1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和；
A D
B
6
4
C
结论：三角形的外 角和等于360°
练一练
1、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,
∠BAC=70°.
70°
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
A
80°
B
D
C
练一练
2、如图,∠A＋∠B＋∠B＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
B A
∵∠A+∠B=∠1， ∠C+∠D=∠2， ∠E+∠F=∠3 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+
B
C
D
位置关系：外角与它相邻的内角互为邻补角。 数量关系：三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
三角形的一个外角与它不相邻的两 个内角之间 有何关系？ A
∠ ACD+ ∠ ACB=180° ∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
思考：如何说明∠ACD= ∠B+ ∠ A A
C
P
1
N
3
F
∠E+∠F=∠1+∠2+∠3
2
M
∵∠1+∠2+∠3=360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+
D
E
∠E+∠F= 360°
课堂小结
(一)三角形的外角的定义:三角形的一边与 另一边的延长线组成的角. (二)三角形的外角与内角的关系： 1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和；
A D
新人教八年级数学上册教学课件：11.2 与三角形有关的角 (共61张PPT)
例3 如图11-2-1，BD是△ABC的高，AE是角平分线，
∠BAE=26°，求∠BFE的度数.
图11-2-1
解：∵AE是角平分线，∠BAE=26°， ∴∠FAD=∠BAE=26°. ∵BD是△ABC的高，∴∠AFD=90°-∠FAD=90°26°=64°. ∴∠BFE=∠AFD=64°.
(1)在直角三角形中，如果已知一个锐角，那么可以由直
1 2 1 2
∴ PEF BEF，PFE DFE ，
1 ∴ PEF PFE BEF DFE 90 . 2
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°,∴∠P=90°. ∴△EFP是直角三角形.
三角形的外角及三角形内角和定理的推论 文字叙述 几何语言
三角形
的外角 三角形 内角和
问题，还要注意，可将其与内角和定理的推论综合运用.
混淆方位角 例6 如图11-2-4，A点在B处的北偏东40°方向，C 点在B处的北偏东85°方向，A点在C处的北偏西45°方 向，求∠BAC及∠BCA的度数.
图11-2-4
解：由题意，得∠DBA=40°，∠DBC=85°，
BD∥CE，
∴∠ECB=180°-∠DBC=180°-85°=95°， ∠ABC=∠DBC-∠DBA=85°-40°=45°. ∵∠ECA=45°，∴∠BCA=∠ECB-∠ECA=95°45°=50°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°45°=85°.
例1 已知一个三角形的三个内角的度数之比为
2∶3∶4，则该三角形最大角的度数是________. 80° 解析：设这个三角形的三个内角的度数分别为2x，
3x,4x.由三角形内角和定理，得2x+3x+4x=180°，解得
[初中数+学++] 与三角形有关的角+课件++人教版数学八年级上册
解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
总结归纳
A
基本图形
A
A D1
D1 2E
3
4
A E
F
想一想：同学们还有其他的证法吗？B
D
C
知识要点 辅助线
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅 助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结 为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角
互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
三角形的内角和定理的运用
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是 △ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
(2) 你能直接写出∠BPC 与∠A 之间的数量关系吗？
解：∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， 1
∴∠PBC +∠PCB = 2 (∠ABC +∠ACB)． ∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180°， ∴∠BPC = 180° - 1 (∠ABC +∠ACB)
2
= 180° - 1 (180° - ∠A）
解：∵∠B = 42°，∠C = 78°， ∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 60°. ∵ AD 平分∠BAC，
∴∠CAD = ∠1 BAC = 30°. ∴∠ADC = 1820° - ∠C - ∠CAD = 72°.
拓展提升
例5.如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB. （1）若∠A = 60°，求∠BPC 的度数．
总结归纳
A
基本图形
A
A D1
D1 2E
3
4
A E
F
想一想：同学们还有其他的证法吗？B
D
C
知识要点 辅助线
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅 助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结 为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角
互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
三角形的内角和定理的运用
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是 △ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数.
(2) 你能直接写出∠BPC 与∠A 之间的数量关系吗？
解：∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， 1
∴∠PBC +∠PCB = 2 (∠ABC +∠ACB)． ∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180°， ∴∠BPC = 180° - 1 (∠ABC +∠ACB)
2
= 180° - 1 (180° - ∠A）
解：∵∠B = 42°，∠C = 78°， ∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 60°. ∵ AD 平分∠BAC，
∴∠CAD = ∠1 BAC = 30°. ∴∠ADC = 1820° - ∠C - ∠CAD = 72°.
拓展提升
例5.如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB. （1）若∠A = 60°，求∠BPC 的度数．
11.2与三角形有关的角的课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册
45°
50°
∠1=90°
120°
35°
1
∠1=85°
60°
1
60°
2
２0°
∠1=80°, ∠2=40°
例题讲解
如图，在△ABC的每个顶点处各取一个外角∠1、
∠2 、∠3 ，你能求出∠1＋∠2 ＋∠3 的度数吗
?
∵∠1+∠4=180°,
∠2+∠5=180°,
A
∠3+∠6=180°
22
∴∠1+∠4+∠2+∠5+∠3+∠6=540°
D
B
C A
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）
课时导入
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度(∠1，∠2，∠3)，那么回到 原来位置时(方向与出发时相同)，一共转了多少度？
2
6
B5
3C
2
B
∠1+∠2+∠3 就是△ABC的外角和。
A 1
C 3
∠1+∠2+∠3=
度
填空：与三角形的每个内角相邻的外角分别有 两 个，
这两个外角是 对顶角 ，他们的大小 相等
。
探索： 猜一猜 ∠1+∠2+∠3= 360 度
数学说理： ∠1+∠BAC=180°，
A1
2
C
B
3
∠2+∠ABC=180° ∠3+ ∠BCA =180°， 三式相加可得：
B
A ∵∠A+∠B=∠1，
人教版八年级上册数学第十一章11.2.2三角形的外角课件 (共24张PPT)
第十一章
11.2 与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角
1.掌握三角形外角的定义和三角形
外角定理； 2.运用三角形外角定理解决问题。
三角形的外角：三角形的一边与另一边的反 向延长线组成的角,叫做三角形的外角。 A
B
C
D
三角形的一个顶点位置有两个外角，这两个 外角是对顶角。
C
5 3 6 1 2 9 4
＝ ∠EFG+∠EGF+∠E =180°.
B
F
E
C
D
问题探究
已知：如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC
的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. 证明：∵∠BAE=∠2+∠3， E A
1
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠2+∠1， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD =2(∠1+∠2+∠3) ， F B
E
A
> ∠ACB. > ∠BAC；∠FBC____ (3)∠FBC____
讨论归纳
三角形外角的性质：
三角形的一个外角大于与它不相
邻的任何一个内角。
1.已知，∠BAC=55°，∠B=60 °.
试求∠ACB、 ∠ACD、 ∠CAE. A
55°
E
解：在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠ACB=180 °， ∴∠ACB=180 °-∠B-∠BAC ∵∠BAC=55°，∠B=60 °. ∴∠ACB=65°.
数. 解：根据三角形外角的性质可得： ∠ 1=∠A+ ∠B ， ∠2=∠C+ ∠D ， ∠3= ∠E+ ∠F， 1 C 3 F B A
11.2 与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角
1.掌握三角形外角的定义和三角形
外角定理； 2.运用三角形外角定理解决问题。
三角形的外角：三角形的一边与另一边的反 向延长线组成的角,叫做三角形的外角。 A
B
C
D
三角形的一个顶点位置有两个外角，这两个 外角是对顶角。
C
5 3 6 1 2 9 4
＝ ∠EFG+∠EGF+∠E =180°.
B
F
E
C
D
问题探究
已知：如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC
的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. 证明：∵∠BAE=∠2+∠3， E A
1
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠2+∠1， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD =2(∠1+∠2+∠3) ， F B
E
A
> ∠ACB. > ∠BAC；∠FBC____ (3)∠FBC____
讨论归纳
三角形外角的性质：
三角形的一个外角大于与它不相
邻的任何一个内角。
1.已知，∠BAC=55°，∠B=60 °.
试求∠ACB、 ∠ACD、 ∠CAE. A
55°
E
解：在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠ACB=180 °， ∴∠ACB=180 °-∠B-∠BAC ∵∠BAC=55°，∠B=60 °. ∴∠ACB=65°.
数. 解：根据三角形外角的性质可得： ∠ 1=∠A+ ∠B ， ∠2=∠C+ ∠D ， ∠3= ∠E+ ∠F， 1 C 3 F B A