【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第十八讲 同余问题 人教版(含答案)
第十八讲同余问题第一部分：趣味数学韩信巧点兵大将军韩信去校场清点兵马。
1000名左右的士兵整整齐齐地排列在操场上。
韩信身披战袍,威风凛凛地挥动令旗,开始指挥军队。
韩信把手中的令旗向左一挥,士兵们的队形立刻开始变化,排成了3列纵队,韩信看到,最后一排不足3人,只有2人。
接着,令旗向右一挥,队形又变化了,这回变成了5列纵队,仍然还有一排人数不足5人,只有3人，韩信又记下了这一排的人数。
最后,令旗向上一扬,士兵们马上又变成了7列纵队,最后一排是两个人。
阅兵结束,韩信叫来值日官,说:“你知道一共有多少士兵吗?”值日胀红了脸,说:“这个,我得先去查查花名册。
”韩信笑道:“不用查了,一共有1073个士兵。
”值日官非常惊讶,说:“大将军真是神人啊,居然可以未卜先知。
”韩信摇摇头,说:“我是根据士兵的队列变化算出来的。
”那么,韩信是怎么算的呢?原来啊,韩信看到,士兵排成3列剩2人,排成5列剩3人,排成7列剩2人,那么,根据余数的性质,总人数除以3余2，除以5余3,除以7余2。
所以,只要求出满足以上条件的1000附近的数就行了。
韩信经过计算,得出这个数是1073。
因此,士兵的总人数就是1073个。
第二部分：习题精讲专题简析：同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。
同余的定义是这样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（mod ｍ）。
读做：ａ同余于ｂ模ｍ。
比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
例题1：求1992×59除以7的余数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。
1.求4217×364除以6的余数。
2.求1339655×12除以13的余数。
3.求879×4376×5283除以11的余数。
例题2：已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几，就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。
但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数。
2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。
因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7）答：2010年的国庆节是星期五。
练习2：1.已知2002年元旦是星期二。
求2008年元旦是星期几？2.已知2002年的“七月一日”是星期一。
求2015年的“十月一日”是星期几？3.今天是星期四，再过365的15次方是星期几？例题3：求2001的2003次方除以13的余数。
2001除以13余12，即2001≡12（mod 13）。
根据同余性质（4），可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。
这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。
经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。
所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。
根据同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13）12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+112的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13）所以2001的2003次方除以13的余数是12。
练习3：1.求16的200次方除以13的余数。
2.求2001的2003次方除以13余几。
3.9个小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒？例题4：自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m最大是多少？自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，换句话说就是16520≡14903≡14177（mod m）。
根据同余性质（3），这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。
要求m最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？因为16520—14903=1617=3×7的平方×1116520—14177=2343=3×11×7114903—14177=726=2×3×11的平方M是这些差的公约数，m最大是3×11=33。
练习4：1.若2836、4582、5164、6522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。
除数是多少？2.一个整数除226、192、141都得到相同的余数，且余数不为0，这个整数是几？3.当1991和1769除以某一个自然数m时，余数分别为2和1，那么m最小是多少？例题5：某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，这个数最小是几？我们可从较大的除数开始尝试。
首先考虑与1模8同余的数，9≡1（mod 8），但9输以7余数不是5，所以某数不是9。
17≡1（mod 8），17除以7的余数也不是5。
25≡1（mod 8），25除以7的余数也不是5。
33≡1（mod 8），33除以7的余数正好是5，而且33除以6余数正好是3，所以这个数最小是33。
上面的方法实际是一种列举法，也可以简化为下面的格式：被8除余1的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除余5的数有：33，89，……这些数中被6除余3的数最小是33。
练习5：1.某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。
这个数最小是几？2.某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。
3.在一个圆圈上有几十个孔（如图38-1），小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。
最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。
问：这个圆圈上共有多少个孔？第三部分：数学史高斯有多伟大同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。
高斯（Gauss, Carl Friedrich, 1777-1855） ,德国数学家，科学家，他幼年时就表现出超人的数学天才。
和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。
高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。
他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。
高斯的数论研究总结在《算术研究》（1801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。
高斯对当代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。
高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，其着作有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》（1840）等。
参考答案：练习1：1、余22、余83、余7练习2：1、星期二2、星期四3、星期五练习3：1、92、123、8粒练习4：1、972、173、最小值是13练习5：1、1412、5313、91。
六年级数学同余定理试题答案及解析
六年级数学同余定理试题答案及解析1.自然数－1的个位数字是多少?【答案】7【解析】我们先计算出的个数数字，再减去1即为所求．(特别的如果是0，那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10，所得的余数即是这个数的个位数字．而积的余数等于余数的积．有2除以10的余数为2，2×2除以10的余数为4，2×2×2除以10的余数为8，2×2×2×2除以10的余数为6；2×2×2×2×2除以10的余数为2，除以10的余数为4，除以10的余数为8，除以10的余数为6；…… ……也就是说，n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4＝16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2，即余数为8，所以－1除以8的余数为7．即－1的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．2.算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是多少?【答案】56【解析】我们只用算出7+7×7+…+的和除以100的余数，即为其末两位数字．7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于×7的余数，即为7，……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1．1990÷4＝497……2，所以7+7×7+…+的和除以100的余数同余与：497×(7+49+43+1)+7+49＝49756，除以100余56．所以算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是56．3.一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3．它除以13，商的第200位(从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【答案】2,7【解析】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13类整除，而1994÷6＝332……2，即＝＝+33，而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有÷13＝25641，而÷13＝25641025641，所以除以13所得的商每6个数一循环，从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6＝33……2，所以除以13所得商的第23位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第23位(从左往右数)数字是5，商的个位数字是2，余数是7．4.己知：a＝．问：a除以13的余数是几？【答案】8【解析】因为199119911991能被13整除，而1991÷3＝663……2．有a＝＝199119911991×+199119911991×+199119911991×++199119911991×+…+199119911991×+19911991．所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．5.甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数．【答案】1000,88【解析】(法1)因为甲乙，所以甲乙乙乙乙；则乙，甲乙．(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数．6.有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？【答案】1968【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．7.一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【答案】84【解析】设这个自然数除以11余，除以9余，则有，即，只有，，所以这个自然数为。
小升初必考专题余数问题(讲义)-2020-2021学年数学六年级下册(含答案)全国通用
余数问题定义：在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数性质：性质1：余数小于除数性质2：被除数＝除数×商＋余数除数＝(被除数－余数)÷商；商＝(被除数－余数)÷除数。
性质3：如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除性质4：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和性质5：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)同余性质：性质1：a≡a(mod m)，(反身性)性质2：若a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)，(对称性)。
性质3：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)，(传递性)。
性质4：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，(可加减性)。
性质5：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)(可乘性)。
性质6：若a≡b(mod m)，那么an≡bn(mod m)，(其中n为自然数)。
性质7：若ac≡bc(mod m)，(c，m)＝1，那么a≡b(mod m)，(记号(c，m)表示c与m的最大公约数)。
例1被3除余2，被4除余3，被5除余4的最小的数是( )测试题1．一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；例7有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25。
这三个余数中最大的一个是多少？例6算式7＋7×7＋…＋1990777...7⨯⨯⨯个计算结果的末两位数字是多少?例5求14389除以7的余数。
例4有一串数：1、3、8、22、60、164、448，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍。
【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第六讲 抽屉原理(一) 人教版(含答案)
第六讲抽屉原理（一）第一部分：趣味数学二桃杀三士“二桃杀三士”是中国古代的一个历史故事,最早记载于《晏子春秋》,后来变成成语,比喻用阴谋杀人。
这是怎样的一个故事呢?你肯定很好奇吧?故事是这样的:在春秋时期齐景公的手下有三员大将,他们分别是田开疆、公孙接和古冶子。
他们力大无比,武功超群,为齐景公立下过汗马功劳,但也因此恃功而骄,极其自负,不把别的官员放在眼里,为此得罪了齐国的宰相晏婴。
晏子便私下劝齐景公杀掉他们,并献上一计:先以齐景公的名义赏赐三名男士两个桃子,让他们自己评功,按功劳的大小来分桃吃。
三勇士都认定自己的功劳最大,应该单独吃个桃。
公孙接抢得先机先讲了自己的打虎功,拿了一个桃;田开疆紧接着讲了自己的杀敌功,拿起了剩下的另一桃。
两人正准备吃桃子,古冶子说出了更大的功劳。
另二人都觉得自己的功劳确实没有古冶子的功劳大,一时羞愧难当,赶忙让出桃子并且觉得自已功劳不如人家,却抢着要吃桃子,暴露了自己的贪婪无耻,实在没有脸再活下去,于是都拔剑自刎了。
古冶子见了,后悔不迭,仰天长叹道:“我们本是朋友,可为了一个桃子,我竟然吹捧自己羞辱朋友,真是太不讲义气了!如今他们都为此而死了,我独自活着,算什么勇士!”说罢,古冶子也拔剑自杀了。
区区两个桃子,顷刻间让三位猛将都倒在血泊之中。
晏子采用借“桃”杀人的办法,不费吹灰之力便达到了事先的目的,汉朝的一位无名氏在一首诗中曾讽刺的写道:“一朝被谗言,二桃杀三士。
谁能为此谋,相国齐晏子!在晏子的权谋之中,包含了一个重要的数学原理—抽屉原理。
你知道是怎么回事吗?第二部分：习题精讲如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
【机构秘籍思维导引】数学六年级第18讲数论综合二(教师版+学生版,含详细解析)全国通用
第18讲数论综合二兴趣篇1、有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数。
要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？【分析】对于2，3同余，对于6同余。
答案：1，7，13，192、已知算式()+++++的结果可表示为()1n n>个连续自然数的和。
请问：共1232007n有多少个满足要求的自然数n？答案：5个【分析】3，9，223，669，20073、有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种。
所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？答案：11【分析】2+9=3+8=5+6=7+44、甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008。
满足上述条件的自然数有几组？答案：4组【分析】甲（甲-乙）=2008=2×2×2×251=2008×1=1004×2=502×4=251×85、两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？答案：170【分析】170=98+726、n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008。
请问：n最小是多少？答案：502【分析】2008=23×251是平均数的倍数。
平均数尽量大，和是平均数的倍数，和为1004，平均数为2。
7、一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如221653=-，16就是一个“智慧数”。
请问：从1开始的自然数数列中，第2008个“智慧数”是多少？答案：2680【分析】所有的奇数均可，a2-b2=(a-b)(a+b)所有4的倍数均可，所有除以4余2的均不行。
2008÷3=669 (1)669×4=26762676+4=26808、将!1005-分别除以2,3,4…，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）。
六年级上册数学讲义-小升初思维训练：同余问题(解析版)全国通用
PE 第03讲同余问题教学目标：1、理解同余问题的意义,掌握并能灵活运用同余问题的相关性质；2、通过解决一般的同余问题，了解同余问题的相关应用；3、培养学员数学推理的思想和探究能力。
教学重点：掌握同余问题的相关性质。
教学难点：对于同余问题相关性质的灵活运用。
教学过程：【温故知新】1、分数加减法应用题：它与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数；2、分数乘法应用题：是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题；特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。
3、分数除法应用题：求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。
“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量，求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。
【巩固作业1】东海渔业队五月份捕鱼2000吨，六月份比五月份多捕14。
六月份捕鱼多少吨？解析部分：六月份比五月份多14，说明这个14是分率，并且是五月份的14，所以六月份完成了五月份的（1＋14）倍。
给予新学员的建议：需要理解题目的具体情景，纸上实际操作尝试找出各个数据之间的关联。
哈佛案例教学法：鼓励孩子积极热情的参加小组内讨论，与课堂互动起来，带动起课堂氛围。
参考答案：2000×（1＋14）=2500（吨）答：六月份捕鱼2500吨。
【巩固作业2】一个数的37是23。
这个数是多少？解析部分：本题中37是分率，而23是实际量，计算时我们应该用实际量除以分率。
给予新学员的建议：认真仔细的审读此题，对于各个数据所指代的具体意义有正确的认识。
哈佛案例教学法：孩子积极主动回答老师提问，参与小组内讨论，并主动表达出自己的思考。
参考答案：2 3÷37=149答：这个数是149。
【预习部分】一个数减去2是4的倍数，加上3是5的倍数，这个数最小是多少？解析部分：这个数“加上3是5的倍数”，那么这个数减去2也是5的倍数，则问题可以转化成“一个数除以4、5都余2，这个数最小是多少？”，也就是说这个数减去2后是4和5的最小公倍数。
六年级下册数学试题-余数问题人教版
余数问题【方法梳理】一、有规律问题的解法口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍加（一）和同加和：如果不同被除数和余数的和相同，那么就把这个和，加到最小公倍数上。
（二）差同减差：如果不同被除数和余数的差相同，那么就把这个差，用最小公倍数减掉。
（三）余同取余：如果余数都相同，直接把余数加到最小公倍数上。
二、无规律问题的解法一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出2个；如果按6个一堆放，最后多3个；如果按7个一堆放，还多出1个。
这筐苹果至少有几个？（一）逐步约束法5余2的最小数字是7，看看7除以6是余1不是3，所以要看看7上面加多少个5才能除以6余3。
通常的做法是，7+5=12，余0，不对；12+5=17，余5，不对；17+5=22，余4，不对；22+5=27，余3，对了！所以是27。
27这个数字出来了，还没结束，下面考虑27除以7余6，不是余1。
要在27上面加多少个30（5和6的最小公倍数）才能余1？同样的思路，要余1，相当于余8（1＋7＝8），由于30除以7余2，问题就转换为，要从余6变成余8，需要多少个2，答案是1个，也就是27上面加1个30即可，最终数字是57。
（二）中国剩余定律先找出6和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以5余1的数字，为42×3＝126，用这个数乘以5的余数。
题目中除以5余2，所以126×3＝252；再找出5和7的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以6余1的数字，为35×5＝175，用这个数乘以6的余数。
题目中除以6余3，所以175×3＝525；再找出5和6的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以7余1的数字，为30×4＝120，用这个数乘以7的余数。
题目中除以7余1，所以120×1＝120；252＋525＋120＝897 ，897除以5、6、7三个数的最小公倍数210的余数，即为最终答案：897－210×4＝57同余定理1 、如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。
【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第四讲 比例(一) 人教版(含答案)
第四讲比例（一）第一部分：趣味数学开心蛙摘桃子开心蛙摘了一筐桃子，第一天吃掉这筐桃子的一半，第二天吃剩下的一半，第三天又吃了再剩下的一半，这时候筐里还有3个桃子，开心蛙一共摘了几个桃子？【答案】24个第二部分：习题精讲例题1：在比例“30:20=48:32”中,从30里减去18,而20、48这两项不变,要使比例成立,应把32加上多少?思路点拨：在比例30:20=48:32中,两个内项没有发生变化,而两个外项都发生了变化,而其中一个外项的变化是已知的,另外一个外项32的变化是未知的,所以,我们可以设32加上的数是x,这样就构成一个新的比例:(30-18):20=48:(32+x),用解比例的知识可求出x的值所以(30-18):20=48:(32+x), 12:20=48:(32+x),12×(32+x)=48×20，(32+x)=48×20，32+x=80,x=48答:应把32加上48.练习1：1.在比例“18:24=27:36”中,从24里减去12,而18、27这两项不变,要使比例成立,应在36上减去多少?2.在比例“4.5:6=5.1:6.8”中,两个外项不变,内项6减去0.6,要使比例成立,另外一个内项5.1应加上多少?3.在比例“：=：”中,两个外项不变,内项加上,要使比例成立,另外一个内项应减去多少？例题2：小明读一本300页的故事书,前2天读了全书的,照这样计算,读完全书还要多少天?思路点拨：这是一道带有分数的比例应用题,我们既可以根据具体的页数列比例式,也可根据相对应的分数列比例式。
解：设读完全书还需要x天：2=（1-）：xX=4答:读完全书还需要4天练习2：1.一辆汽车从A地开往300千米外的B地,前2小时已经行了全程的，照这样计算,行完全程还需要几小时?2.工厂接到生产2000个零件的任务,前3天完成了总任务的45%,剩下的任务还需要多少天才能完成?3.小明计划在6天内读完一本240页的故事书,实际每天多读了原计划的，实际多少天就能读完?例题3：甲、乙两辆汽车分别从两地相向开出,它们的速度比是5:7,在距中点18千米处相遇两地相距多少千米?思路点拨：因为两车同时出发,相遇时间一定,所以,路程与速度成正比,即相遇时甲、乙两车行驶的路程比为5:7.然后由“距中点18千米处相遇”可以知道,相遇时乙车比甲车多行18×2=36(千米)。
【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第七讲 抽屉原理(二) 人教版(含答案)
第七讲抽屉原理（二）第一部分：趣味数学月黑风高穿袜子有一个晚上你房间的电灯忽然坏了,伸手不见五指,这时朋友喊你出去,于是你就摸床底下的袜子。
你有三双颜色分别为红、白、蓝的袜子,可是你平时比较懒,从来就是袜子脱完就乱丢,在黑暗中你不知道哪一双是颜色相同的。
你想拿最少数目的袜子出去,在外面借街灯配成同颜色的一双。
这最少数目应该是多少?【答案】只需拿出来四只袜子就行。
第二部分：习题精讲在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数=商×抽屉数+余数如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。
例题1：幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。
则364=120×3+4，4＜120。
根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。
练习1：1、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。
这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？例题2：布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。
最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。
根据抽屉原理第（2）条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。
即2×4+1=9（个）球。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
【精品】北师大版小学六年级数学下册全册奥数知识点讲解试题附答案(全套共14套)
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第1课《列方程解应用题》试题附答案
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第2课《关于取整计算》试题附答案
答案
六年级奥数下册：第二讲关于取整计算习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第3课《最短路线问题》试题附答案
答案
六年级奥数下册：第三讲最短路线问题习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第4课《奇妙的方格表》试题附答案
答案
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第5课《巧求面积》试题附答案
六年级奥数下册：第五讲巧求面积习题解答
小学六年级下册数学奥数知识点讲解第6课《最大与最小问题》试题附答案
答案。