全同费米子问题
全同粒子的散射
σ (θ ) =
s +1 s σ S (θ ) + σ A (θ ) （8.6.18） 2s + 1 2s + 1 1 2 2 f (θ ) f * (π − θ ) + f * (θ ) f (π − θ ) = f (θ ) + f (π − θ ) + 2s + 1
同理，全同玻色子的微分散射截面
s1 1 s2 2 s2 1 s1 2
（8.6.12）
综上所述，在总的 (2s+1)2个自旋波函数中，自旋对称的 波函数的数目是： (2 s + 1) + s (2 s + 1) = ( s + 1)(2 s + 1) （8.6.13）
8.6
全同粒子的散射
s (2 s + 1)
（8.6.14）
自旋反对称的波函数的数目是
v v ψ ( r1 s2 , r2 s2 ) = ψ ( r1 , r2 ) χ ( s1 , s2 )
（8.6.8）
8.6
全同粒子的散射
v 在质心坐标系，要使ψ ( r )反对称，可以由两种情况：一 v v ψ (r )对称， 反对称；另一种是ψ ( r )反对称， 对称 χ χ 种是 两个电子组成的自旋态，反对称态是 χ A ，对应的 s = 0 是单态。对称态 χ s ，是三重态，对应于 s = 1 。于是有 2 σ 空间对称，s (θ) = f (θ) + f (π −θ) ，自旋态反对称，对应于 s = 0 的单态。或者空间反对称 σA(θ) = f (θ)− f (π −θ)2 ，自旋 态对称，对应于 s = 1 的三重态。如果入射电子束和靶 的电子都不极化，即它们的自旋取向都是无规则的，从 统计的结果上看，有 1 / 4 的几率处于单态，有 3 / 4 的 几率出于三重态，因此，总的微分散射截面是
什么是全同粒子
| 1 , 1 现在的问题是
22
j1
s1
1, 2
j2
s2
1 2
22
，故耦合后的
总角动量
j
j1
j1
j2
j2
s1
s1
s2 s2
1 2
1 2
1 2
1 2
1,
m 0,
1,0,1 m0
• 可见，对应 j 1 的耦合态矢有三个：
| 1 , 1 ,1,1 22
| 1 , 1 ,1,0 22
n1 n2 nl N
C C C n1 n2 N N n1
nl N n1 nl 1
N! n1!(N
n1 )!
n2
(N n1 )! !(N n1 n2
)!
nl
(N n1 nl1 )! !(N n1 nl1 nl
)!
所以n1N!n个2N!!玻n色l ! 子体Nl n!系l ! 的对称波函数为
A (q1, q2 )
1 2
[
i
(q1
)
j
(q2
)
i
(q
2
)
j
(q1
)]
1 i (q1 ) i (q2 ) 2 j (q1 ) j (q2 )
（15）
由上式可以看出，当 i j时，则 A 0 ，所以两个费米子 处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能
有两个或两个以上的费米子处于同一状态
www.sys m www.hzdi
• 1.2 全同性原理：
由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系
中，任意两个可观测的物理效应，该论断称
三大规则
3 保里不相容原理在一个原子中没有两个或两个以上电子具有完全相同的四个量子数(在主量子数n、角量子数l、磁量子数ml、自旋磁量子数ms表象中的表达)。
或者说一个原子轨道上（主量子数n、角量子数l、磁量子数ml 相同时）最多只能排两个电子，而且这两个电子自旋方向必须相反。
因此一个s轨道最多只能有2个电子，p轨道最多可以容纳6个电子。
按照这个原理，表1-1归纳了各个原子轨道上可容纳最多的电子数，从表中可得出第n电子层能容纳的电子总数为2n2个。
泡利不相容原理：指在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子。
又称泡利原子、不相容原理。
一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子。
如氦原子的两个电子，都在第一层（K 层），电子云形状是球形对称、只有一种完全相同伸展的方向，自旋方向必然相反。
每一轨道中只能客纳自旋相反的两个电子，每个电子层中可能容纳轨道数是n2个、每层最多容纳电子数是2n2。
核外电子排布遵循泡利不相容原理、能量最低原理和洪特规则．能量最低原理就是在不违背泡利不相容原理的前提下，核外电子总是尽先占有能量最低的轨道，只有当能量最低的轨道占满后，电子才依次进入能量较高的轨道，也就是尽可能使体系能量最低．洪特规则是在等价轨道(相同电子层、电子亚层上的各个轨道)上排布的电子将尽可能分占不同的轨道，且自旋方向相同．后来量子力学证明，电子这样排布可使能量最低，所以洪特规则可以包括在能量最低原理中，作为能量最低原理的一个补充．自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理。
简称泡利原理。
它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态。
电子的自旋，电子遵从泡利原理。
1925年W.E.泡利为说明化学元素周期律提出来的。
原子中电子的状态由主量子数n、角量子数l、磁量子数ml以及自旋磁量子数ms所描述，因此泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n、l 、ml 、ms 。
量子力学复习题及答案
量子力学复习题及答案填空题1、量子力学体系中，任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ 展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()()*n n a x x dx ψψ=⎰。
2、不考虑电子的自旋，氢原子能级的简并度是 n 2___。
3、测量一自由电子的自旋角动量的X 分量，其测量值为2/ ，接着测量其Z 分量，则得到的值为2/ 的概率为 1/2 。
4、坐标表象中，动量的本征函数是__()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=⎪⎝⎭_；动量表象中，坐标的本征函数是_____()()3/21exp 2i r p r ψπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭____。
5、由两个全同粒子组成的体系，一个处在单粒子态1ϕ，另一个处在单粒子态2ϕ。
若粒子是波色子，则体系的波函数是_______)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ+______；若粒子是费米子，则体系的波函数是____)]1()2()2()1([212121ϕϕϕϕ-____。
6、波函数满足的三个基本条件是： _单值 _； _有限__；__连续__。
7、设粒子的波函数为),(t r ψ，则相应的概率密度 ρ =_______ ()2,r t ψ ____；概率流密度j =__ ()()()()()**,,,,2i r t r t r t r t m ψψψψ-∇-∇_______。
8、角动量ˆx L 与ˆy L 的海森堡不确定关系为_____()()22224x y z L L L ∆∆≥______。
9、对于两电子体系的总自旋S 及其各分量有2,x S S ⎡⎤⎣⎦= 0 ，,x y S S ⎡⎤⎣⎦= z i S 。
10、全同玻色子的波函数应为 对称化 波函数，全同费米子的波函数应为 反对称化 波函数，全同费米子满足 泡利不相容 原理。
11、在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的 概率是_____⎰⎰]sin |),,(|22ϕθθϕθψd d r dr r ___；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找。
专题讲座9-全同粒子
专题讲座9-全同粒子全同粒子: 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的粒子称为全同粒子。
在一个微观体系中，全同粒子是不可区分的。
费米子：自旋为1/2, 3/2, 5/2……, 体系的波函数是反对称的, 两个全同费米子不能处于同一个状态.波色子: 自旋为0, 1, 2, 3, 体系的波函数是反对称的, 两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态.交换力假设我们有一个两粒子体系, 一个粒子处于()a x ψ,另一个处于()b x ψ态.(简单起见,先不考虑自旋)如果两个粒子是可以区分的,粒子1处于()a x ψ,粒子2处于()b x ψ态,那么体系的波函数为1212(,)()()a b x x x x ψψψ=如果是全同玻色子, 波函数必须是对称的]1212211(,)()()()()a b a b x x x x x x ψψψψψ+=+ 如果两个态相同 a b =1212(,)()()a a x x x x ψψψ=对于费米子, 波函数必须是反对称的]1212211(,)()()()()a b a bx x x x x xψψψψψ-=-两个费米子的状态不能相同,否则波函数为零.我们来求两个粒子坐标差平方的期待值222121212()2x x x x x x-=+-1.可区分粒子222 2222 111122111()()()a b a a x x x dx x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2222222 211222222()()()a b b b x x dx x x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2212111222()()a b a bx x x x dx x x dx x xψψ==⎰⎰所以22212()2a bd a bx x x x x x-=+-2.对全同粒子()22211122112221()()()()212a b a ba bx x x x x x dx dxx xψψψψ=±=+⎰同样有其中显然有：同可分辨粒子情况相比较,两者差别在最后一项和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同波色子（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而全同费米子（取下面的-号项）更趋向于相互远离。
§5.5 全同粒子系统
既然所有Pij都是守恒量，所以其对称性不 随时间变化,即全同粒子的统计性质(Bose 或Fermi统计)是不变的。
结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是 5对2 称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。10
④全同粒子的分类 所有的基本粒子可分为两类：
玻色子Fermion和费米子Boson
1）玻色子：
凡自旋为整数倍，波函数满足交换对称，
遵从Bose-Einstein统计的粒子。 如π介子（s=0）、光子（ s=1 ）等。
52
11
引力子(Graviton)
引力子(Graviton)，又称重力子，在物理学中是一个传 递引力的假想粒子。为了传递引力，引力子必须永远 相吸、作用范围无限远及以无限多的型态出现。在量 子力学中，引力子被定义为一个自旋为2、质量为零的 玻色子。
52
16
2、两个全同粒子组成的体系 ①简介
忽略相互作用，Hamiltonian可表为
Hˆ h(q1) h(q2 )
q1 q2 Hˆ 不变
故
[P12, Hˆ ] 0
设h(q)的单粒子本征态为
k
(q)，本征能为
，
k
则有
h(q)k (q) kk (q)
其中k为力学量（包含Hˆ）的一组完备量子数
(q1, q2,, qi ,q j ,)
来描述。其中 qi (i 1,2,N) 表示第i个
粒子的全部坐标（空间和自旋）。
若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
Pij (q1, q2,, qi ,q j ,, qN )
52
(q1, q2,, q j ,qi ,, qN ) 5
量子力学简答题题库 (1)
处的几率密度；
d 3r (r, ) 2
2
表示电子自旋向下（s z
) 的几率。 2
19、何谓正常塞曼效应？正常塞曼效应的本质是什么？何谓斯塔克效应？ 在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。原 子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。 20、何谓反常塞曼效应，有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 答：在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为（2j+1）条（偶数）的现象称 为反常塞曼效应。对简单的塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂 为三条。 21、简述定态微扰论的基本思想，对哈密顿量 H 有什么样的要求？ 答：微扰方法的基本物理思想：在简化系统的解的基础上，把真实系统的哈密顿 算符中没有考虑的因素加进来，得到真实系统的近似解。
3
因此用算符表示力学量是适当的。 力学量必须用线性厄米算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何
力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学 量必须由厄米算符来表示。 10、简述量子力学的五个基本假设。 （1）微观体系的运动状态由相应的归一化波函数描述； （2）微观体系的运动状态波函数随时间变化的规律遵从薛定谔方程； （3）力学量由相应的线性算符表示； （4）力学量算符之间有想确定的対易关系，称为量子条件；坐标算符的三个直 角坐标系分量之间的対易关系称为基本量子条件；力学量算符由其相应的量子条 件决定。 （5）全同的多粒子体系的波函数对于任意一对粒子交换而言具有对称性：波色 子系的波函数是对称的，费米子系的波函数是反对称的。 11、简并、简并度。 答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简 并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。 12、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t 和能量 E 的测不准关系。 答：某一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置 与动量、力；位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源 于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。测不准关系有 两种形式，一种是动量-坐标的关系，另一种是能量-时间的关系。
量子力学--第九章 全同粒子体系
注：交换简并显然存在： ) j ( )k ( ) 中填 粒子交换只不过是 i ( 入不同的排列，它们仍是 H 的属于 E 的本征函数。 2、对称化波函数与泡利原理 描述全同粒子体系的波函数必须是对称化的波函数。 交换简并的存在使我们有可能把波函数进行线性组合。
可以证明下面两个函数是H的属于能级E的本征函数 (q1 , q 2 ) i (q1 ) j (q 2 ) ( 7 .7 2 ) (q 2 , q1 ) i (q 2 ) j (q1 )
ˆ (q , q ) [ H ˆ (q ) H ˆ (q )] (q ) (q ) 证明： H 1 2 0 1 0 2 i 1 j 2
ˆ ， 则称 A 若P 为交换反对称波函数。 ij A A 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的 固有的性质，因此也是(微观)粒子的特殊的、固有的性质。 它决定了粒子所服从的统计。
也就是说，描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或 反对称的，它们的对称性不随时间改变。 这一点可以从全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换下不变 的这点出发,很易得到证明. 全同粒子体系的哈密顿算符是粒子交换不变的
其中
ˆ ( s s s ) ( s s s ) E ( s s s ) H 1 1 N 1 1 N s 1 1 N
对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：
(q1q2 q N ) (r1 r2 rN ) ( s1 s2 s N ) ˆ H (r1 r2 rN ) (r1 r2 rN ) Er (r1 r2 rN )
2 2 2 ˆ [ H 1 U (q1 )] [ 2 2 U (q 2 )] 2 2 ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H
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质心坐标和相对坐标下
两电子（费密子）之间的库仑能和交换能只和相对坐标有关系，与质心坐标以及电子自旋无关，但是总的波函数必须是反对称的，满足L+S 为偶数，因此电子的自旋会影响库仑能以及交换能的表达形式。
假定)(r n φ是它们的相对坐标本征函数，
L 为偶数时，空间波函数是对称的，记为S φ;自旋波函数是反对称的，A X ， L 为奇数时，空间波函数是反对称的，记为A φ；自旋波函数是对称的，S X
总波函数 ⎩⎨⎧=ψS
A A S A X X φφ 考虑到电子是费米子，总的波函数要求交换反对称，考虑到当n m ≠时，有
0)()(12*==r H r E m n ψψ假如)(1r n ψ是电子1的本征函数，)(2r m ψ是电子2的本征函
数, 考虑电子自旋波函数后，两电子的归一化对称本征函数为
)()(),(2121)0(r r r r m n S ψψψ= )]()()()([2
1),(122121)0(r r r r r r m n m n S ψψψψψ+= （2） 归一化的反对称本征函数为 )]()()()([2
1),(122121)0(r r r r r r m n m n A ψψψψψ-= （3） 两电子能级)(m n ≠的情况0)()(12*==r H r E m n
ψψ J K r r r r H r r r r E m n m n m n m n ±=±±=
)()()()()()()()(2
11221121*2*2*1* ψψψψψψψψ （4）式中
⎰⎰=21122221)()(ττψψd d H r r K m n (两个电子相互作用的库仑能) ⎰⎰=2112122*1*)()()()(ττψψψψd d H r r r r J m n m n (两电子的交换能，没有经典对应)
两电子能级可表示为
⎩⎨⎧-=+=J K E J
K E A
S （5） 尊敬的曾老师：
您好！非常感谢您的答复，您的答复对我非常有帮助，回答非常中肯。
你的答复里面隐藏着下面问题
L为偶数时，因为要满足L+S=偶数；空间波函数F(S)是对称的，自旋波函数X(A)必须是反对称的，f(总)=F(S)X(A)(反对称)，因此只要有L为偶数时，必有空间波函数对称，自旋波函数反对称，总波函数反对称。
同样的道理
L为奇数时，空间波函数F(A)必须反对称的，自旋波函数X(S)必须是对称的，f(总)=F(A)X(S) (必须反对称)
L的奇偶性已经把自旋波函数的部分容纳到里面去了，交换能和库仑能由L的奇偶性判断。
谢谢您曾老师，祝福您身体健康，注意身体，多多休息。
王建华敬上。