谢惠民数学分析习题课讲义部分题目解答
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数学分析习题课讲义问题解答
第一章引论
1.3.2
练习题
1.关于Bernoulli 不等式的推广:
(1)证明:当12-≤≤-h 时Bernoulli 不等式nh h n
+≥+1)1(仍成立;
(2)证明:当0≥h 时成立不等式2
)1()1(2
h n n h n
-≥+,并推广之;
(3)证明:若),,2,1(1n i a i =->且同号,则成立不等式
∑∏==+≥+n
i i
n i i
a
a 1
1
1)1(.
2.阶乘!n 在数学分析以及其他课程中经常出现,以下是几个有关的不等式,它们都可以从平均不等式得到:
(1)证明:当1>n 时成立n
n n )2
1(!+<;【证明】利用平均值不等式,有
n n
k n
k k
k n ∏∑==≥1
1
1所以
n
n n )2
1(
!+≤因为1>n ,所以取等号的条件n === 21不满足,故n
n n 2
1(
!+<.(2)利用)1(]2)1)[(1()!(2
n n n n ⋅⋅-⋅= 证明:当1>n 时成立
n
n n 6
2(
!+<;【证明】利用平均值不等式,有
n n
k n
k k n k k n k n ∏∑==-+≥-+1
1
)
1()1(1所以
n
n n n n n 6
2(
]6
)
2)(1([
!+<++≤(3)比较(1)和(2)中两个不等式的优劣,并说明原因;
(4)证明:对任意实数r 成立n
n k r n r
k n n )(1)!(1
∑=≤.
【证明】利用平均值不等式,有
n n
k r
n k r
k
k n ∏∑==≥1
1
1所以
n
n k r n r
k n n )
(1)!(1
∑=≤3.证明几何平均值-调和平均值不等式:若0>k a ,n k ,,2,1 =,则有
∑∏==≥
n
k k
n
n
k k a n a 111
1)(【证明】利用平均值不等式,有
n n
k k
n k k
a a n ∏∑==≥11111所以
∑∏==≥
n
k k
n
n
k k a n a 111
1)(4.证明:当c b a ,,为非负数时成立3
33c
b a ca b
c ab abc ++≤
++≤.【证明】由于
ca
bc ab c b a a c c b b a ++≥++⇒≥-+-+-2222220)()()(所以
3
3)(3)(2ca
bc ab c
b a ca b
c ab c b a ++≥++⇒
++≥++利用平均值不等式,有
3
23)
(33abc ca bc ab ca bc ab =⋅⋅≥++所以
3
3
abc ca bc ab ≥++5.证明下列不等式:
(1)b a b a -≥-和b a b a -≥-;【证明】利用三点不等式,有
a
b b a b b a =+-≥+-)(由对称性知b
a b a ≥+-所以
b
a a
b b a b a -=--≥-),max(
(2)∑∑∑===≤≤
-
n k k n
k k
n
k k
a a
a
a 1
1
2
1;有问:左边可否为∑=-n
k k a a 2
1?
【证明】利用(1)的结论,有
∑∑∑====
-≤
-
n
k k
n
k k
n
k k
a
a a
a
a 2
11
1
1反复利用三点不等式,有
∑∑∑∑∑=====≤≤+
+≤+
≤+=n
k k
n
k k
n
k k
n
k k n
k k
a a
a a a
a a a a
1
3
212
12
11
再利用这个结论,有
∑∑∑===≤≤
-
n
k k
n
k k
n
k k
a a
a
a 2
2
1
1(3)
b
b a
a b
a b a ++
+≤
+++111;
【证明】显然函数x x x x f +-
=+=
11
11)(是单调增加的,所以有b
b a
a b
a b b
a a b
a b a b
a b a ++
+≤
+++
++=
+++≤
+++111111(4)n
n
n
n
a b a a b a -+≤-+)()(.【证明】利用三点不等式,有
n
n
n n n n n n n b a b a b a a a b a a a b a )()()()(+≤+=+≤+-+=+-+第二章数列极限
2.7.3
参考题第一组参考题
1.设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 分别收敛于数c b a ,,.
取}{12-k a 的一个子列}{36-k a ,它收敛于数a ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以
c a =.取}{2k a 的一个子列}{6k a ,它收敛于数b ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c b =.于是有b a =.
对任给的0>ε,存在正整数1N 与2N ,当1N n >时有εa a n <--12,当2N n >时有εa a n <-2.现取),max(221N N N =,当N n >时有εa a n <-,故}{n a 收敛于a .