广东省学年度深圳市南头中学第一学期期中考试高一数学试卷
则不等式log2x+log2y≤m恒成立，化为：2m≥（xy）max，
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∴2m≥ ． ∴能使得不等式log2x+log2y≤m恒成立的正整数m的最小值为1． 故选：B． 正实数x，y满足log2（x+7y）=0，可得x+7y=1．利用基本不等式的性质可得：xy
≤ ．不等式log2x+log2y≤m恒成立，化为：2m≥（xy）max，即可得出． 本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题． 13.【答案】-2 【解析】
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确； 对于C，若f（x）为奇函数，则f（-2018）=-f（2018），则f（2018）+f（2018）=0，C正确； 对于D，若x＞0时，有f（x）＞0成立，那么x＜0时，f（x）=-f（-x）＜0，C正确； 故选：A． 根据题意，结合函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属 于基础题． 6.【答案】C 【解析】 解：y=x斜率为1，在定义域R上是增函数；
则∁U（A∪B）=（-∞，-1]， 故选：D．
由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关 键． 4.【答案】D 【解析】 解：f（-2）=4 f[f（-2）]=f（4）=4+1=5 故选：D． -2在x＜0这段上代入这段的解析式，将4代入x≥0段的解析式，求出函数值． 本题考查求分段函数的函数值：据自变量所属范围，分段代入求． 5.【答案】A 【解析】 解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若f（x）为奇函数，则f（x）在（-∞，0]和[0，+∞）上的单调性相同，A错误； 对于B，若f（x）为定义在R上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，B正
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20. 某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台．每批都 购入x台（x∈N*），且每批均需付运费400元．贮存购入所有的电视机全 年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系 数为k（k＞0），若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元． （1）求k的值； （2）现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排 每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
广东省深圳市南头中学2018-
2019学年度第一学期期中考试高一数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 下列关系正确的是（ ）
A. ⌀ ⊆ {0}
B. ⌀ ∈ {0}
C. 0 ∈ ⌀
D. {0} ⊆ ⌀
2. 函数f（x）= 1 + x+1x的定义域是（ ）
A. [−1, + ∞)
f（x）=1+log2x为增函数，且经过点（ ，0），排除A； 故选：D． 化简g（x）的解析式，利用函数的单调性和图象的截距进行判断． 本题考查了函数图象的判断，一般从函数的单调性，特殊点等方面去判断， 属于中档题． 9.【答案】B 【解析】 解：根据题意，不等式|x-a|＜1的解集是a-1＜x＜a+1，设此命题为p，
D. {x|x ≤ −1}
{x + 1,x ≥ 0
4. 已知函数f（x）= x2,x < 0，则f[f（-2）]的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
5. 已知函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，则下列结论中不正确的是（
）
A. f(x)在(−∞,0]和[0, + ∞)上的单调性相反
B. 图象过原点，且关于原点对称
解：对于已知函数y=ax+lne（a＞0，且a≠1，常数e=2.71828…为自然对数的底数
）， 令x=0求得y=2，可得函数的图象恒过定点（0，2），∵函数的图象经过定点P（m ，n）， ∴m=0，n=2，则m-n=-2， 故答案为：-2． 令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的象恒过定点P的坐标，从而得出 结论． 本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 14.【答案】12 【解析】 解：根据题意，当x∈（-∞，0）时，f（x）=x（1-x），则f（-3）=（-3）×（1+3）=-12， 又由函数f（x）为奇函数，则f（3）=-f（-3）=12， 故答案为：12． 根据题意，由函数的解析式求出f（3）的值，结合函数的奇偶性可得f（3）的值，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 15.【答案】b＜c＜a 【解析】
解：log0.40.3＞log0.40.4=1，0.40.4＜0.40.3＜0.40=1；
∴b＜c＜a．
故答案为：b＜c＜a．
容易看出，
，从而得出a，b，c的大小关系．
考查对数函数和指数函数的单调性，减函数的定义．
16.【答案】12或32
【解析】
解：当a＞1时，y=ax在[1，2]上单调递增，
故a2-a= ，得a= ； 当0＜a＜1时，y=ax在[1，2]上单调递减，
∴（1+x）11=a，
即1+x= ， 即x= -1， 故选：A． 设月平均增长率为x，建立方程关系，进行求解即可． 本题主要考查指数幂的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键． 12.【答案】B 【解析】
解：正实数x，y满足log2（x+7y）=0，∴x+7y=1．
∴1≥2
，化为：xy≤ ，当且仅当x=7y= 时取等号．
命题
，为q；
则p的充分不必要条件是q，
即q表示的集合是p表示集合的真子集；
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则有
，（等号不同时成立）；
解可得
；
故选：B．
一题意，解不等式|x-
a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得
不等式组 则有
，（等号不同时成立）；，解可得答案．
本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对
C. f(2018) + f(−2018) = f(0)
D. 如果x > 0时，有f(x) > 0成立，那么x < 0时，f(x) < 0也成立
6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. y = x
1
B. y = x
C. y = −x3
D. y = (12)x
7. 命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（ ）
21. 本小题满分12分，已知函数f(x) = 2−x + x12−1，集合A={x|m-2＜x＜2m}．
（1）求函数f（x）的定义域D； （2）若“x∈D”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．
22.
已知a＞0，函数f(x)
=
1
log2(x
+
a)．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0； （2）若命题“∀x∈（0，2），f（x+a）＞f（a2）”为真命题，求实数a 的取值范围； （3）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a5]=0的解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数y=ax+lne（a＞0，且a≠1，常数e=2.71828…为自然对数的底数
）的图象恒过定点P（m，n），则m-n=______．
14. 已知函数f（x）为奇函数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）=x（1-
x），则f（3）=______．
A. ∀n ∈ N * ，f(n) > n
B. ∀n ∉ N * ，f(n) > n
C. ∃n ∈ N * ，f(n) > n
D. ∃n ∉ N * ，f(n) > n
8. 函数f（x）=1+log2x与g（x）=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
9. 如果不等式|x-a|＜1成立的充分不必要条件是12＜x＜32
于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析．
10.【答案】D
【解析】
解：若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时ba＞0，b＞1，即（b-1）（b-a）＞0，
若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b-
a＜0，b＜1，即（b-1）（b-a）＞0， 综上（b-1）（b-a）＞0， 故选：D． 根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可． 本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思 想是解决本题的关键．比较基础． 11.【答案】A 【解析】 解：设月平均增长率为x，一月份的产量为1， ∵一年中12月份的产量是1月份产量的a倍，
故选：C．
由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组求解x的
取值集合即可得到函数的定义域．
本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
3.【答案】D
【解析】
解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），
由x2-2x-3＜0得-1＜x＜3，
即A=（-1，3）， ∵B={x|x≥1}， ∴A∪B=（-1，+∞），
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11. 一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的a倍，那么该玩具厂这一 年中产量的月平均增长率是（ ）
A. 11 a−1
B. 12 a−1
C.
a数x，y满足log2（x+7y）=0，则能使得不等式log2x+log2y≤m恒 成立的整数m的最小值为（ ）
广东省深圳市南头中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)
广东省深圳市南头中学2021-2022度第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空集是任何集合的子集即可判断出选项正确．【详解】空集是任何集合的子集；正确本题正确选项：【点睛】考查集合元素的概念，元素与集合的关系，空集是任何集合的子集．2.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：，解得或，表示为区间为：，故选C. 考点：函数的定义域3.设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B)，由x2−2x−3<0得−1<x<3，即A=(−1,3)，∵B={x|x⩾1}，∴A∪B=(−1,+∞)，则∁U(A∪B)=(−∞,−1]，故选D.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4.已知函数，则的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】D【解析】试题分析：，，故选D.考点：分段函数求值.5.已知函数为定义在上的奇函数，则下列结论中不正确的是（）A. 在和上的单调性相反B. 图象过原点，且关于原点对称C.D. 如果时，有成立，那么时，也成立【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于，若为奇函数，则在和上的单调性相同，错误；对于，若为定义在上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，正确；对于，若为奇函数，则即，正确；对于，若时，有成立，那么时，，正确；本题正确选项：【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：A中函数不是减函数；B中函数在定义域内不是减函数；C中函数既是奇函数又是减函数；D中函数不是奇函数考点：函数奇偶性单调性7.命题“”的否定形式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“”的否定形式“”．故选C．考点：命题的否定．8.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）【答案】选C．【解析】注意的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．9.如果不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是( )A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】解不等式|x-a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组，解这个不等式组可得答案．【详解】根据题意，不等式|x-a|＜1的解集是a-1＜x＜a+1，设此命题为p，命题，为q；则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；则有，（等号不同时成立）；解得．故选 B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析． 10.已知，且，，若，则（ ）A. B. C.D.【答案】 D 【解析】 试题分析：若，则由得即，此时，即，若，则由得即，此时，即，综上，故选D.考点：不等关系与不等式.11.一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【解析】 【分析】设月平均增长率为，建立方程关系，进行求解即可． 【详解】设月平均增长率为，一月份的产量为 一年中月份的产量是月份产量的倍即本题正确选项：【点睛】本题主要考查指数幂的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．12.已知正实数，满足，则能使得不等式恒成立的整数的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】利用，可得．利用基本不等式的性质可得：．不等式恒成立化为：，即可得出结果．【详解】正实数满足，化为：，当且仅当时取等号则不等式恒成立，化为：能使得不等式恒成立的整数的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数（，且，常数为自然对数的底数）的图象恒过定点，则______．【答案】【解析】【分析】令幂指数等于零，求得的值，可得函数的象恒过定点的坐标，从而得出结论．【详解】对于已知函数（且，常数为自然对数的底数）令求得，可得函数的图象恒过定点函数的图象经过定点，，则本题正确结果：【点睛】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.已知函数为奇函数，且当时，，则______．【答案】12【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，当时，则又由函数为奇函数，则本题正确结果：【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.设，，，将，，从小到大依次排列______．【答案】【解析】【分析】，，从而得出的大小关系．【详解】，本题正确结果：【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，减函数的定义，属于基础题.16.若函数在上的最大值比最小值大，则的值为____________. 【答案】【解析】∵，∴函数在区间上单调递减，所以，由题意得，又，故。
2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设全集U ＝R ，集合{}25A x x =<<，{}13B x x =<<，则集合()UA B =（ ）A ．()2,3B ．(]2,3C ．[)3,5D ．()3,5【答案】C 【分析】先求出UB ，由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}13B x x =<<，所以UB ={1x x ≤或}3x ≥，所以A()UB =[)3,5.故选：B.2．已知函数1123f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．则()2f 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B【分析】根据题意，令112x +=可得x 的值，将x 的值代入1(1)23f x x+=+，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数1(1)23f x x+=+，若112x +=，解可得1x =，将1x =代入1123f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，可得()25f =，故选：B ．3．“1n =”是“幂函数()()22333n nf x n n x -=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】由幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，可得2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意，当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立；若幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数，则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n =故必要性不成立因此“1n =”是“幂函数()()22333nnf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A4．已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则2x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．82 C ．9D ．92【答案】C【分析】由已知等式可得211y x +=，根据()2122x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果.【详解】由2x y xy +=，0x >，0y >得：211y x+=， ()212222225529x y x yx y x y y x y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即3x =，3y =时取等号），2x y ∴+的最小值为9.故选：C.5．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数1()xf x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log b g x x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先由22log log 0a b +=求得1b a=，再将()log b g x x =转化为1()log a g x x =，再利用反函数的性质即可得到正确选项B【详解】由22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠）， 可得()2log 0ab =，则1ab =，则1b a= 则1()log log b ag x x x==，又1()xf x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g x 与()f x 互为反函数，则()g x 与()f x 单调性一致，且两图像关于直线y x =轴对称 故选：B6．已知函数(),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -<-0成立，则a 的取值范围是（ ） A ．a ∈(0,1) B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)【答案】C【分析】根据条件知()f x 在R 上单调递减，从而得出012031a a a <<⎧⎪-<⎨⎪≤⎩，求a 的范围即可．【详解】∵()f x 满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -<-0成立，∴()f x 在R 上是减函数，∴00120(2)03a a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-⨯+≤⎩，解得103a <≤，∴a 的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦．故选：C ．7．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e ktc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg/L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈） A ．5.32h B ．6.23h C ．6.93h D ．7.52h【答案】C【分析】利用已知条件()0.100e e 200ktt t c c --==，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为1t ，转化求解即可. 【详解】解：由题意得：()0.100e e 200kt t t c c --==设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为1t()10.1120001000e t t c -=≥10.12e 1t -≥故0.1ln 2t -≥-，ln 26.930.1t ≤≈ 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h 故选：C二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，0c <，则22a c b c < B ．若a b >，0c <，则33a c b c < C ．若0a b <<，则22a ab b >>D．函数2y =2【答案】BC【分析】对于A 选项，取特殊值即可判断正误； 对于B 、C 选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；对于D选项，将函数化简为y[)2,t ∞∈+，然后根据对勾函数的单调性即可判断正误【详解】对于A 选项，取2a =，3b =-，1c =-，则22a c b c >，故A 错误； 对于B 选项，a b >，33a b ∴>，0c <，33a c b c ∴<，故B 正确； 对于C 选项，0a b <<，2a ab ∴>，2ab b >，22a ab b ∴>>，故C 正确；对于D选项，函数221y +==[)2,t ∞=∈+，由函数1y t t =+在[)2,t ∈+∞上单调递增，15222y ∴≥+=，故D 错误.故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“R x ∀∈，21x >-”的否定是“R x ∃∈，21x <-”B ．函数()()log 231a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1C ．()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数D ．函数()225f x x x =-+的单调递增区间为[]1,0-，[)1,+∞【答案】BCD【分析】根据全称量词命题的否定可判断A ，利用对数函数的性质可判断B ，根据奇函数的定义可判断C ，根据二次函数的性质可判断D.【详解】因为命题“R x ∀∈，21x >-”的否定是“R x ∃∈，21x ≤-”，故A 错误；因为()()log 231a f x x =-+，令231x -=，可得2,1x y ==，即函数图象恒过定点()2,1，故B 正确； 因为()1ln 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，可知定义域为()1,1-关于原点对称，又()()11ln ln 11x x f x f x x x +-⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，故函数为奇函数，故C 正确；因为()22225,02525,0x x x f x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨++<⎩，所以函数的单调递增区间为[]1,0-，[)1,+∞，故D 正确.故选：BCD.11．关于函数()41412x x xf x a -=+-⋅，下列结论中正确的是（ ）A ．当0a =时，()f x 是增函数B ．当0a =时，()f x 的值域为()1,-+∞C ．当1a =时，()f x 是奇函数D ．若()f x 的定义域为R ，则2a <【答案】ACD【分析】根据复合函数的单调性可判断A ，根据指数函数的性质及不等式的性质可得函数的值域可判断B ，根据奇函数的定义可判断C ，根据指数函数的性质及基本不等式可判断D.【详解】当0a =时，()41214141x x x f x -==-++，由函数41x y =+单调递增，函数21y u =-在()0,∞+上单调递增， 所以()2141x f x =-+在R 上单调递增，故A 正确； 因为1411,0141xx +><<+，22041x -<-<+， 所以()()41211,14141x xx f x -==-∈-++，故B 错误； 当1a =时，()41412x x xf x -=+-定义域为R ，而()()4114412142x x xx x x f x f x ------===-+-+-， 所以()f x 是奇函数，故C 正确；若()f x 的定义域为R ，则4201x x a -⋅≠+恒成立，即412x xa ≠+， 因为4112222x x x x =+≥+，当且仅当122xx =，即0x =时取等号，所以2a <，故D 正确.故选：ACD.12．已知函数()()2,R f x x ax a b a b =+-+∈，若非空集合(){}0A x f x =≤，()(){}11B x f f x =+≤，A B =，则下列说法中正确的是（ ）A ．b 为常数B ．b 的取值与a 有关C ．0a ≤≤D ．4a -≤-【答案】AC【分析】不妨设()1f x ≤的解集为[,]m n ，可得{|1()1}B x m f x n =-≤≤-，由A B =≠∅，解得0a ≥或4a ≤-，又m ，()n m n ≤为方程()1f x =的两个根，可得1m a =--，进而求出a 的取值范围．【详解】不妨设()1f x ≤的解集为[,]m n ，则有()1m f x n ≤+≤，∴{|[()1]1}{|()1}{|1()1}B x f f x x m f x n x m f x n =+≤=≤+≤=-≤≤-， 由A B =≠∅，得10n -=且min ()1f x m ≥-， 由()f n f =(1)1=得0b =，故A 正确，B 错误； ∴2()f x x ax a =+-， ∵{}()0A x f x =≤≠∅，∴∆240a a =+≥，解得0a ≥或4a ≤-，又m ，()n m n ≤为方程()1f x =的两个根， ∴1m a =--， ∴2min4()24a a f x a --=≥--，解得a -≤∴[0,a ∈，故C 正确，D 错误. 故选：AC.三、填空题13．若23m n k ==，且121+=m n，则实数k 的值为______. 【答案】18【分析】由指对数互化可得2log m k =，3log =n k ，代入题设等式，结合换底公式及对数运算性质即可求k 的值.【详解】由题设，2log m k =，3log =n k ， 所以231212l log log og 2log 9log 181k k k m n k k+=+=+==，则18k =. 故答案为：18.14．已知函数()f x 为R 上奇函数，当0x >时，()223f x x x =+-，则0x <时，()f x =__________.【答案】223x x -++【分析】根据奇函数定义即得.【详解】当0x <时，0x ->，则2()23f x x x -=--， 因为函数为奇函数，所以()2()23f x f x x x -=-=--，即()223f x x x =-++.所以当0x <时，()223f x x x =-++.故答案为：223x x -++.15．方程()2250a x x a --++=的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(),2-∞-【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得．【详解】∵方程 ()2250a x x a --++=的一根大于1，另一根小于1，令()22()5a x x f x a --++=，则()(1)1025a f a --++<=， 解得2a <-. 故答案为：(),2-∞-.16．不等式()222log 2x x x x --<+-的解集为__________.【答案】()0,2【分析】先根据对数函数确定取值范围，在判断()2()log 2f x x x =+-和2()2g x x x =--的单调性以及特殊点点大小，最后根据双方单调性以及临界值得到解集.【详解】根据对数函数性质可知()200,0x x x ∞+>⎧⇒∈+⎨>⎩令()()22222222212()log 2log 2log log log x f x x x x x x x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭根据幂函数单调性可知212x x+在()0,∞+单调递减，所以()f x 在()0,+∞单调递减且(2)0f =，当()0,2x ∈时()0f x >，[)2,x ∞∈+时()0f x ≤令2()2g x x x =--，当()0,2x ∈时()0g x <，[)2,x ∞∈+时()0g x ≥ 因此当()0,2x ∈时，()()g x f x < 故答案为: ()0,2四、解答题17．已知集合{}=02A x x ≤≤，{}=32B x a x a ≤≤-． (1)若()R R A B =，求实数a 的取值范围；(2)若A B B =，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(],0-∞ (2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求出A R，根据题意列出不等式组，求解即可；（2）由A B B =得B A ⊆，分B =∅，B ≠∅两种情况讨论可求得a 的取值范围． 【详解】（1）由集合{}=02A x x ≤≤，所以{}R=<0>2A x x x 或，又{}=32B x a x a ≤≤-，()R R A B =，所以320322a a a a -≥≤-≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得0a ≤；所以实数a 的取值范围是(],0-∞． （2）若A B B =，则B A ⊆， 当B =∅时，32a a -<，解得1a >；当B ≠∅时，有1a ≤，要使B A ⊆，则0322a a ≥-≤⎧⎨⎩，解得112a ≤≤，综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．18．已知函数()221f x x x =-++.(1)画出()f x 的图象；(2)求()4f x >的解集. 【答案】(1)图象见解析； (2){1x x <或7}3x >.【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数()f x ，再画出函数的图象； （2）根据分段函数，分段解不等式即得.【详解】（1）当1x <-时，()()()22133f x x x x =-+--=-+； 当12x -≤≤时，()()2215f x x x x =-++=-+； 当2x >时，()()22133f x x x x =-++=-； 故()33,15,1233,2x x f x x x x x -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-≥⎩，函数图象如图所示：；（2）由题得，当1x <-时，334x -+>，解得13x <-，则1x <-；当12x -≤≤时，54x -+>，解得1x <，则1<1x -≤； 当2x >时，334x ->，解得73x >，则73x >； 综上，()4f x >的解集为{1x x <或7}3x >.19．设0a >且1a ≠，函数()()()log 1log 3a a f x x x =++-的图象过点()1,2. (1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间和最大值.【答案】(1)2a =，()1,3-(2)单调增区间为[]0,1，单调减区间为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；最大值为2【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.【详解】（1）∵函数()()()log 1log 3a a f x x x =++-的图象过点()1,2，∴()()log 11log 312a a ++-=，∴log 42a =，即24a =，又0a >且1a ≠，∴2a =，要使()()()22log 1log 3f x x x =++-有意义，则101330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩， ∴()f x 的定义域为()1,3-；（2）()()()2log 13f x x x =+-，令()()()21314t x x x =+-=--+ ∵302x ≤≤，∴()214t x =--+的最大值为4，此时1x =，且t 在[]0,1单调递增，单调递减31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ∴()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为[]0,1，单调减区间为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为2. 20．已知函数()331x x a f x -=+为奇函数. (1)求实数a 的值；(2)判断()f x 在R 上的单调性（不必证明）；(3)解关于t 的不等式()()222210f t t f t -+-<.【答案】(1)1a =(2)单调递增 (3)113t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据(0)0f =求出1a =，再由奇函数的定义验证即得；（2）根据指数函数的单调性即得；（3）根据函数的奇偶性及单调性可得22212t t t -<-，解不等式即得.【详解】（1）因为()f x 定义在R 上的奇函数，可得R x ∀∈，都有()()f x f x -=-，令0x =，可得()003100312a a f --===+，解得1a =， 所以()3131-=+x x f x ，此时满足()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++， 所以函数()f x 是奇函数，所以1a =；（2）()f x 在R 上单调递增；理由如下：因为()31213131x x x f x -==-++， 函数31x y =+单调递增，函数21y u=-在()0,∞+上单调递增， 所以()2131x f x =-+在R 上单调递增； （3）因为()f x 为奇函数，可得()()()22222112f t t f t f t -<--=-，又()f x 在R 上单调递增，所以22212t t t -<-， 解得113t -<<， 所以原不等式的解集为113t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 21．（1）若0m >，求关于x 的不等式()2110mx m x -++<的解集；（2）若对任意[]1,2x ∈，()2110mx m x -+-≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）分01m <<，1m >，1m =讨论，利用二次不等式的解法即得；（2）法一，利用参变分离可得21x m x x +≤-对任意(]1,2x ∈恒成立，然后利用对勾函数的性质及反比例函数的性质可得21x y x x+=-的最值即得；法二，利用二次函数的性质分类讨论即得. 【详解】（1）令()()()()21111mx m x f mx x x =-++=--，当01m <<时，11m >，所以()0f x <的解集为11x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当1m >时，11m <，所以()0f x <的解集为11x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1m =时，11m=，所以()0f x <的解集为∅； 综上，当01m <<时，不等式()2110mx m x -++<的解集为11x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 当1m =时，不等式()2110mx m x -++<的解集为∅，当1m >时，不等式()2110mx m x -++<的解集为11x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）法一：当1x =时，20-<，成立；当(]1,2x ∈时，由题可得21x m x x +≤-对任意(]1,2x ∈恒成立， 令21x y x x+=-，则有min m y ≤，(]1,2x ∈， ()()21121312131x y x x x x +==+-++++-+， 令211t x x =+++，(]12,3x +∈，根据对勾函数的性质可得113,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以13,32y t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢-⎣⎭， 所以当2x =时，min 32y =， 故实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦； 法二：令()()211f x mx m x =-+-，①当0m =时，()1f x x =--，对任意[]1,2x ∈，()()120f x f ≤=-<恒成立；②当0m >时，函数()f x 图象开口向上，若对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立，只需()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩， 解得32m ≤， 故当302m <≤时，对任意[]1,2x ∈，()0f x ≤恒成立； ③当0m <时，对任意[]1,2x ∈，10x -≥，10mx -<，()()()11220f x mx x =---≤-<恒成立；综上可知，实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 22．已知函数()f x 满足如下条件：①对任意0x >，()0f x >；②()11f =；③对任意0x >，0y >，总有()()()f x f y f x y +≤+.(1)写出一个符合上述条件的函数（写出即可，无需证明）；(2)证明：满足题干条件的函数()f x 在()0,∞+上单调递增；(3)①证明：对任意的0s >，()()22k k f s f s ≥，其中*N k ∈； ②证明：对任意的()()1*2,2N k k x k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 【答案】(1)()()1a f x x a =>（答案不唯一）(2)证明见解析(3)①证明见解析；②证明见解析【分析】(1)根据条件设计一个函数即可；(2)根据条件，运用函数单调性的定义推导即可；(3)运用递推的方法先证明①，在根据①的结论，考虑的x 的区间即可证明.【详解】（1）()f x x =，()2f x x =，()3f x x =等.()()1f x x αα=>均可；（2）任取0x y >>，()()()()f x f y f x y y f y -=-+-.因为0x y ->，故()()()f x y y f x y f y -+≥-+且()0f x y ->.故()()()()()0f x f y f x y y f y f x y -=-+-≥->.故()f x 在()0,∞+上单调递增.（3）①由题意可知：对任意正数s ，都有()0f s >，且()()()f s f t f s t +≤+，在③中令x y s ==，可得()()22f s f s ≥，即()()22f s f s ≥； 故对任意正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥；②由①可知：对任意正整数k 与正数s ，都有()()22k k f s f s ≥，故对任意正整数k 与正数s ，都有()()1122k k f s f s --≥， 令12k s -=，则()()1112212k k k f f ---≤=；对任意()()1*2,2k k x k -∈∈N ，可得()112,2k k x --∈，并且2122,2k k x --<< 12222k k x --<< ， 又因为()11f =，所以由（2）中已经证明的单调性可知：()()()11122122k k k x f x f f --->≥=>，()111222k k f f x x --⎛⎫<≤< ⎪⎝⎭， 所以()122x f x f x x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 【点睛】对于第二问，如何巧妙运用()()()f x f y f x y +≤+ 要学习，抽象函数中经常会用到这个方法；对于第三问，可以把2k s 看作2k s s s s ++++ ，再运用()()()f x f y f x y +≤+ 可以证明①，再利用①的结论推出()2x f x > ，12f x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ .。
2020-2021学年深圳市高一上学期期中考试数学试卷及答案解析
2，当 x∈[0，3）时，f（x）＝x，则 f（1）+f（2）+…+f（2021）＝（ ）
A．809
B．811
C．1011
D．1013
7．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x2，g（x）＝（x+1）2
B．f（x），源自C．t t，D．，
8．已知函数 f（x）＝ln（
x）+x3﹣2，则 f（2020）+f（﹣2020）＝（ ）
20．某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为 x（万元）时，销售量 t（万
件）满足 h
（其中 0≤x≤k，k≥l）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产
品 t 万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为
元
/件． （1）将该产品的利润 y（万元）表示为促销费用 x（万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
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21．对于任意的实数 a，b，min{a，b}表示 a，b 中较小的那个数，即 min ，
已知函数 f（x）＝3﹣x2，g（x）＝1﹣x． （1）求函数 f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值； （2）设 h（x）＝min{f（x），g（x）}，x∈R，求函数 h（x）的最大值．
B．a＜ ＜ ＜b
C．a＜ ＜b＜ 【解答】解：取 a＝1 且 b＝4，计算可得
D． ＜a＜ ＜b
h
2，
，
选项 A、B、D 均矛盾，B 符合题意， 故选：B． 3．集合 A＝{1，2，3，4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，若集合 A∩B＝{2，3}，则实数 a 的范围是（ ）
广东省深圳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年高一年级第一学期中考试数学试卷考试时长：120分钟 卷面总分：150分本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷为1-11题，共58分，第Ⅱ卷为12-19题，共92分.全卷共计100分.考试时间为120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.命题“”的否定是（ ）A. B.C.D.3.已知幂函数图象过点，则等于（ ）A.12B.19C.24D.364.已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（）A.B.1C.17D.255.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.6.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（ ）A. B.或C.或 D.或7.若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D.{}1,0,1,2,3,{12}A B xx =-=-<∣…A B ⋂={}1,0-{}1,0,1-{}0,1{}0,1,22,12x x x ∀∈>-R 2,12x x x ∀∈<-R 2,12x x x ∀∈-R …2,12x x x ∃∈-R …2,12x x x∃∈<-R ()fx )2P ()6f ()245f x x mx =-+[)2,∞-+(,2]∞--()1f 7-x ∃∈R ()()22210m x m x -+-+...m 6m >26m <<26m < (2)m …()f x [)0,∞+()21f -=()1f x >{22}x x -<<∣{2xx <-∣2}x >{2xx <-∣02}x <<{2xx >∣20}x -<<()21f x -[]3,1-y ={}131,2⎛⎤ ⎥⎝⎦35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦51,2⎛⎤⎥⎝⎦8.若，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.当时，的最小值为C.若不等式的解集为，则D.“”是“”的充分不必要条件10.下列说法正确的是（ ）A.与B.命题，则C.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D.函数的值域为11.已知函数，则下列判断中正确的有（ ）A.存在，函数有4个根B.存在常数，使为奇函数C.若在区间上最大值为，则的取值范围为或D.存在常数，使在上单调递减三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，集合，若，则__________.13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.a b >2ab =22(1)(1)a b ab-++-24-4-2-0x ∀>21x x >-0x ∃…21x x -…1x >121x x +-2+220ax x c ++>{12}xx -<<∣2a c +=1a >11a<y =y =:,01x p x x ∀∈>-R :,01x p x x ⌝∃∈≤-R ()()()2511x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩R a []3,1--1y x =-+1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(),f x x x a a =-∈R k ∈R ()y f x k =-a ()f x ()f x []0,1()1f a 2a ≤-2a ≥a ()f x []1,3{}1,3,2A m =-{}23,B m =B A ⊆m =()1ax f x x a-=-()2,∞+a14.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.（1）若，求；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.16.（15分）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元.（1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少.17.（15分）已知满足.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围.18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在（上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式.19.（17分）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.()()()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>⎪=⎨≤⎪⎩()1,32a a --a p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x -≤-B 1a =A B ⋂p q a x ()R x ()()225,(05)20100,(520),90061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-≤<⎨⎪⎪+-≥⎩()W x x ,0x y >6x y +=3y x y+()2244x y m x y +≥+m ()24ax b f x x +=+()2,2-()115f =()f x ()f x 2,2)-()()210f t f t +->R ()f x ,x y ∀∈R ()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+0x >()0f x >x ∈R ()1f x =（1）求证：为奇函数；（2）求证：在上单调递增；2024-2025学年第一学期期中考试高一年级数学试卷答案一､选择题（共小题）题号1234567891011()f x ()f x R 11选项B C D D C B D D BCD AD BC三､填空题（共3小题）12.13.14.四､解答题（共5小题）15.解：（1）：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.当时，，解得，所以，又，所以，解得，所以，所以；（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集，由（1）知时，集合，所以，则，又时，，符合是的真子集，时，，符合是的真子集，所以，综上，实数的取值范围为.16.解：（1）某开发商计划2024年全年投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为60元，则，又，2-(,1)(1,2]∞--⋃[)0,1p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x --…B 1a =2430x x -+…13x ……{}13A xx =∣ (5)02x x --…()()52020x x x ⎧--⎨-≠⎩…25x <…{25}B xx =<∣…{23}A B xx ⋂=<∣…p q B A ()22{25},4300B xx x ax a a =<-+>∣……0a >{}3A xa x a =∣……235a a ⎧⎨⎩ (5)23a ……2a ={}26A xx =∣……B A 53a =553A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭……B A 523a ……a 523aa ⎧⎫⎨⎬⎩⎭……x ()R x ()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……()()60300W x x R x =--()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……所以，即W ；（2）当时，单调递增，且当时，所以，当时，，则在上单调递增，所以，当时，，当且仅当即时等号成立，故，，综上，游客为30万人时利润最大，最大为205万.17.解：（1），当且仅当，即时取等号，即取得最小值.（2）由，得，即，不等式恒成立，即恒成立，()()26030025,056030020100,5209006030061565,20x x W x x x x x x x x x ⎧⎪--<<⎪⎪=--+-<⎨⎪⎛⎫⎪--+- ⎪⎪⎝⎭⎩……()260325,0540200,520900265,20x x x x x x x x x ⎧⎪-<<⎪=-+-<⎨⎪⎪--+⎩……05x <<60325y x =-5x =25y =-()25W x <-520x <…()2240200(20)200W x x x x =-+-=--+()W x ()5,20()200W x <20x …()900900265265265205W x x x x x ⎛⎫=--+=-++-+= ⎪⎝⎭ (900)x x=30x =()max 205W x =20520025>>- ()33211211213113122y y x y x x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-=+-=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122⎛+-=+ ⎝…2y xx y=()62,61x y =-=3y x y +12+0,0,6x y x y >>+=60x y =->06y <<()2244x y m x y ++…2244x y m x y++…，当且仅当，即时取等号，因此当时，取得最小值，则，所以的取值范围.18.解：（1）函数是定义在上的奇函数，则，即，因为，解得，则，经检验，是奇函数.（2）在（上为增函数，证明如下：设，则，由于，则，即，又，则有，则在上是增函数.（3）由题意可得，在上为单调递增的奇函数，由可得，所以，解得，，故的范围为.19.解：（1）证明：的定义域为，关于原点对称，令，得，解得或，又不存在，使得，故，令，得，故，即，因此为奇函数；()()()2222225(2)322804(6)4512364363232y y x y y y y y x y y y y +-+++-+-+===++++()5163253282323333y y ⎡⎤=++-⋅=⎢⎥+⎣⎦…1622y y +=+2y =4,2x y ==2244x y x y ++8383m …m 83m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ (2)4ax bx ++()2,2-()004bf ==0b =()11145a f ==+1a =()24xf x x =+()f x ()f x 2,2)-22m n -<<<()()()()()()222244444m n mn m nf m f n m n m n ---=-=++++22m n -<<<0,4m n mn -<<40mn ->()()22440m n++>()()0f m f n -<()f x ()2,2-()f x ()2,2-()()210f t f t +->()()()211f t f t f t >--=-2212t t >>->-131t <<t 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x R 0x y ==()()()220010f f f =+()00f =()01f =±x ∈R ()1f x =()00f =y x =-()()()()()()001f x f x f x x f f x f x +--===+-()()0f x f x +-=()()f x f x -=-()f x（2）证明：时，，则，当且仅当，等号成立，又不存在，使得，则，于是时，，又为奇函数，则时，，于是对，任取，则，而，又，则，于是，故，因此在上单调递增；0x >0,022x x f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭()22212212x f x x f x f x f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭…12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭x ∈R ()1f x =12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭0x >()01f x <<()f x 0x <()()()1,0f x f x =--∈-(),11x f x ∀∈-<<R 12x x <()21210,0x x f x x ->->()()()()()()()()()()212121212121011f x f x f x f x f x x f x x f x f x f x f x +--⎡⎤-=+-==>⎣⎦+--()()()12,1,1f x f x ∈-()()()121,1f x f x ∈-()()1210f x f x ->()()()()21210,f x f x f x f x ->>()f x R。
广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学考试用时：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{3P x x =∈≥N 或0}x ≤，{}2,4Q =，则()P Q =N （ ）A. {}1B. {}2C. {}1,2D. {}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =， 所以(){}1,2,4P Q =N ， 故选：D ．2. 命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（ ）A. ()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+B. ()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∉+C. ()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∈+D. ()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∈+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是“()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+.故选：A. 3.函数()f x =） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞【答案】D 【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】()f x =的定义域满足1020x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞C. ()2,∞+D. [2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】对x 的范围分类，把()f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．【详解】()32,1121,1223,2x x f x x x x x x −≤=−+−=<< −≥，作出函数()f x 的图像如图所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞， 故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()af x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以23a =，所以()23f x x ==，因为2013<<， 因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢， 故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .6. 函数31()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数81ln y x =与31803x y − =−−在()0,∞+上均为增函数，所以()f x 在()0,∞+上为增函数．因为()281ln 2830f =−<，()381ln 3810f =−>， 所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内． 故选：B7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（ ）A. 11,2 −B. 1,12−C. 1,12D. ()2,1−【答案】A 【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则221,2b a a−+=−−=，解得1,1a b =−=−， 故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,2x ∈−. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −. 故选：A .8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则(1)(1)f g =（ ） A. 22e 1e 1+− B. 22e 1e 1−+C. 221e 1e −+ D. 221e 1e+− 【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()111e g f −−−−=有()()111e g f −+=， 又()()11e g f −=，所以()121e e g −=+，()121e e f −=−，所以()()12121e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()1f x x =+与21()1x g x x −=−B. ()1f t t =−与()1g x x =−C. ()ln e x f x =与()g x =D. ln ()e x f x =与()g x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；对于C ，函数()()f x x x =∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；对于D ，()()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误． 故选：BC10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数1y x x=+的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m ab m b+<+ D. “11a b>”是“a b <”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误， 对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0， 由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；对于C ，()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m ab m b+<+，故C 正确， 对于D ，①若11a b>，则当0a >，0b >时，则0a b <<， 当0a <，0b <时，则0a b <<， 当a ，b 异号时，0a b >>．的②若a b <，则当a ，b 同号时，则11a b >， 当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b<， 所以“11a b>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．故选：BC11. 下列命题正确的是（ ）A. 函数212log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1x xy −=+在R 上单调递增C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减D. 函数13xy =与3log y x =−的图像关于直线y x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()21e 1xf x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >， 故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错； 对于B ，()21e 1x f x =−+， 由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>， 所以1e 1x y =+在R 上单调递减，2e 1xy =−+在R 上单调递增， 因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增， 又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；对于D ，由于函数13xy =与13log y x =（即3log y x =−）互为反函数．所以两函数图象关于y x =对称，D 正确． 故选：BCD.12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ） A. ()D x 的解析式为()R 1,,0,.x Q D x x Q ∈ = ∈B. ()D x 的值域为[]0,1C. ()D x 的图像关于直线1x =对称D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确． 对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =，所以()()1D D x =，所以D 正确． 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.110.752356416(4)−−−++++=________．【答案】414##1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：11111430.752364353355426416(4)[()](2)(2)22233−−−−+++=+−+++⋅ 221141821033444=−+++==． 故答案：414. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________． 【答案】52##2.5 【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =，b =，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x −+=的两个实数根， 由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=， 则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a ba b b a b a a ba ba ba b++−⋅++=+===−=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或12t =， 不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=．故答案为：52.15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=，则2x y +的最小值是__________． 【答案】8 【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号.所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．【答案】3,32 −+ ． 【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222T t =−− ，t ≤≤次函数的性质即可求解.【详解】()124T x y xy =−++，设x y t +=，则212t xy −=， 所以221124212t T t t t −=−+⋅=−．因为22x y xy + ≤，所以22124t t −≤．所以t ≤≤．又213222T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+故答案为：3,32 −+四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}(,)|1Ax y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m ==++．（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；（2）若1a =+，且A B ∩≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）11,22A B=−（2）[]2,1−． 【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若1a =，0m =，则(){},|Bx y y x ==． 由1y x y x =−=− ，得1212x y= =−． 所以11,22A B =−． 【小问2详解】由()211x y y mx x m −==+++消去y，得210mx m +++=①． 因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．当0m =时，方程①可化为1=−，解得x =，所以1y −， 所以0m =符合要求．当0m ≠时，要使方程①有解，必须(()2Δ410m m =−+≥，即220m m +−≤，解得21m −≤≤， 所以21m −≤≤，且0m ≠． 综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式2514x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ． （1）求集合A ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,4（2）[)1,4．【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.【小问1详解】 解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044x x x x −−−=≤−−， 即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．【小问2详解】解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，由不等式()2220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤， 当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问1详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−+−=−， 因为()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =−−=−+， 所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>． 【小问2详解】易如()()200f f −==，当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()22f a a a =+； 当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与的隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．（1）求k 的值；（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.【答案】（1）1k =（2）18万元．【解析】【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.【小问1详解】由题知()116h =，所以3232161k −=+， 解得1k =；【小问2详解】由（1）知，()()32320201h x x x =−≤≤+， 所以()()323220201f x x x x =−−≤≤+， 所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++， 因为()3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211x x =++，即3x =时取等号， 所以()341618f x ≤−=， 所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．21. 已知23()21x x a f x −−=+， （1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．的【答案】（1）13− （2）41,3【解析】【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=，得出方程，进而求得实数a 的值； （2）令()0h x =，得到()23210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞上有两个不相等的根， 方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞，即可求解. 【小问1详解】 解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++， 可得232312121x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立， 因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13a =−． 【小问2详解】 解：由232()()1x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+， 所以()23210x x a a −−++=， 两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=． 令2x t =，因为1x >−，所以12t >， 于是方程可化为2210at at −+=，（*） 问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞上有两个不相等的根，显然0a ≠， 方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意； 若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>， 故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<． 综上可得，实数a 的取值范围是41,3． 方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=， 所以10a a−>，即a<0或1a >，①此时，1t −=，即1t =，其中11,2 ++∞ ，则112>12<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：①()()()4f x y f x f y +=+−；②(2)6f =；③当0x >时，()4f x >．（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析 （2）[]1,3【解析】的【分析】（1）令2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．【小问1详解】解：令2x =，0y =，可得()04f =．函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，令1x y x +=，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−， 因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>， 所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R【小问2详解】解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，即()()ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ， 又由()26f =，所以()()()ln 3e 122ln 32xf a x a f −++−−≤ ， 因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立， 根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，则13e 0x a a <+ > ，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤， 可得1334ex <+≤，所以03a <≤ ①， 又由（*）式可化为()()2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+=， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x xa a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()()3e 1e 10x x a +−≥成立， 因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立， 即max1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②． 由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。
广东省深圳市名校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题
(2)利用单调性的定义证明： f (x) 在 (0, ) 上单调递增．
(3)若函数 g(x)
af (x) x
a x2
2x 2 (a 0)在[2, 4] 上是增函数，求 a 的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
A． (1,1)
B．{(1,1)}
C． (1, 1)
D．{(1, 1), (1,1)}
4．设 a，b，c 为 ABC 的三条边长，则“ a b ”是“ ABC 为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知函数
f
x 的定义域为2,8 ，则函数 y
A．220 元
B．240 元
C．250 元
D．280 元
试卷第 1页，共 4页
二、多选题 9．下列命题中，不正确的有（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若 x y ，则 x2 y2
C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若 m>2 ，则方程 x2 mx 1 0 有实根 10．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
2．命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（ ）
A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相
等
C．锐角三角形的三个内角都不相等
D．锐角三角形的三个内角不都相等
3．已知集合 A {(x, y∣) y x}, B {(x, y∣) y 5 4x}，则 A B （ ）
f
x 2 的定义域为（
x5
）
A． 4,10
B．0, 6
C．4,5 5,10
2019-2020学年广东省深圳市南山区南头中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年广东省深圳市南山区南头中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列表示方法正确的是()A. 0∈⌀B. ⌀∈{0}C. ⌀∉{0}D. 0∈{0}2.函数f(x)=1√1−x+√x+3−1的定义域是()A. (−1,3]B. (−1,3)C. [−3,1)D.[−3,1]3.设全集I是实数集R，M={x|x≥3}, N={x|(x−5)(x−2)≤0}都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为()A. {x|2<x<3}B. {x|2≤x<3}C. {x|2<x≤3}D.{x|2≤x≤5}4.若函数f(x)={10x−1,x≤1lgx,x>1,则f(f(10))=()A. 9B. 1C. 110D. 05.下列函数为奇函数的是()A. x2+2xB. 2cosx+1C. x3sinxD. 2x−12x6.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是()A. f(x)=−1xB. f(x)=3x−1C. f(x)=x3+xD. f(x)=log3|x|7.命题“∀x∈R，∃n∈N∗，使得n≥x2”的否定形式是()A. ∀x∈R，∃x∈N∗，使得n<x2B. ∀x∈R，∀n∈N∗，使得n<x2C. ∃x∈R，∃n∈N∗，使得n<x2D. ∃x∈R，∀n∈N∗，使得n<x28.函数f(x)=12x2−2ln(x+1)的图象大致是()A. B. C. D.9.使不等式x2−x−6<0成立的一个充分不必要条件是()A. −2<x<0B. −3<x<2C. −2<x<3D. −2<x<410.已知log a13>log b13>0，则a,b的取值范围是()A. 1<b<aB. 1<a<bC. 0<b<a<1D. 0<a<b<111. 某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y =f (x )的图象大致为( ) A. B. C. D.12. 已知lnx +lny =a ，则lnx 3+lny 3=( )A. a 2B. aC. 3a 2D. 3a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=a 2x+4+1图象所过定点坐标为___________14. 设函数f(x) (x ∈R)为奇函数，f(3)=32，f(x +2)=f(x)+f(2)，则f(1)=__________．15. 若a >b >0，0<c <1，给出下列关系式：①log a c <log b c ；②log c a <log c b ；③a c <b c ；④c a >c b ．其中正确的关系式是________(填序号)． 16. 已知指数函数y =a x (a >1)在区间[−1,1]上的最大值比最小值大1，则实数a 的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 计算下列各式：(1)(0.027)23+(27125)−13−(279)0.5； (2)lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18.设集合A={x|−1≤x<3}，B={x|x−a≥0}．(1)当a=2时，求A∪B；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．+ax是偶函数．19.已知函数f(x)=1x2(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．20.某粮食店经销小麦，年销售量为6000千克，每千克小麦进货价为2.8元，销售价为3.4元，全年进货若干次，每次的进货量均为x千克(1000≤x≤600000)，运费为100元/次，并且全年小麦的总存储费用为1.5x元．(1)用x(千克)表示该粮食店经销小麦的年利润y(元)；(2)每次进货量为多少千克时，能使年利润y最大？21.已知函数f(x)=x2−3x+4,g(x)=log3(x2−4x−5)，若函数g(x)的定义域为集合A，则当x∈A时，求函数f(x)的值域．22.若全称命题“对任意x∈[−1,+∞),x2−2ax+2>a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：⌀表示不含有元素的集合，∴A.0∈⌀表示错误，B .⌀⊆{0}，∴B 错误．C ..⌀⊆{0}，∴C 表示错误．D .0∈{O}，∴D 正确．故选：D ．根据元素和集合之间的关系进行判断即可．本题主要考查元素和集合关系的表示，正确理解空集的意义是解决本题的关键，比较基础． 2.答案：C解析：解：由{1−x >0x +3≥0， 解得−3≤x <1．∴函数f(x)=√1−x √x +3−1的定义域是：[−3,1)．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，联立不等式组，求解即可得答案． 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题． 3.答案：B解析：【分析】本题主要考查Venn 图的综合判读，同时理解阴影部分表示的集合的含义，属于较易题． 根据集合的交、补运算即可求解．【解答】解：根据题意，由于全集U 是实数集R ，M ={x|x ⩾3},N ={x|(x −5)(x −2)⩽0}={x|2≤x ⩽5}因此可知C I M ={x|x <3}，那么阴影部分表示的为(C I M )∩N ={x|2≤x <3}，故选B ．解析：【分析】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.直接代入即可求解．【解答】解：由题意得：f(f(10))=f(lg10)=f(1)=101−1=1．故答案为B．5.答案：D解析：解：A.f(−1)=1+12，f(1)=2，则f(−1)≠−f(1)，B.f(x)=2cosx+1为偶函数．C.f(x)=x3sinx为偶函数，D.f(−x)=(2−x−12−x )=12x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数为奇函数，故选：D根据函数奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据定义是解决本题的关键．6.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．根据题意，依次分析函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=−1x，是奇函数但在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，f(x)=3x−1，不是奇函数，不符合题意；对于C，f(x)=x3+x，既是奇函数又在定义域内递增，符合题意；对于D，f(x)=log3|x|，不是奇函数，不符合题意．故选C．7.答案：D解析：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈R ，∃n ∈N ∗，使得n ≥x 2”的否定形式是：∃x ∈R ，∀n ∈N ∗，使得n <x 2． 故选D ．8.答案：A解析：解：当x =0可得：f(0)=0，排除B ，D ，当x =12时，f(12)=18−2ln 32=ln 4e 189<ln1=0，排除C ．故选：A ．利用特殊点的位置判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，特殊点的位置是判断函数图象的常用方法．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键． 求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为真子集关系进行求解即可．【解答】解：由x 2−x −6<0得(x +2)(x −3)<0，得−2<x <3，则−2<x <0是x 2−x −6<0成立的一个充分不必要条件，故选A ．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了对数与对数运算，属于基础题．先判断出log a3<logb3<0，继而依据对数的性质得到1log3a <1log3b<0，即可推出结论．【解答】解：由log a13>log b13>0，得−log a3>−logb3>0，得log a3<logb3<0，得1log3a <1log3b<0，得log3b<log3a<0，得0<b<a<1．故选C．11.答案：D解析：设山区第一年绿色植被面积为a，则y=a1.104xa=1.104x,∴y=1.104x，由此可知图象为D．12.答案：D解析：【分析】本题考查对数运算，属于基础题．根据lnx+lny=a得到xy=e a，则lnx3+lny3=ln(xy)3=lne3a=3a，即可得到答案．【解答】解：lnx+lny=a，则xy=e a，lnx3+lny3=ln(xy)3=lne3a=3a．故选D．13.答案：(−2,2)解析：【分析】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．对于指数函数，令幂指数等于零，求得x，y的值，可得它的图象所过的定点坐标．【解答】解：对于函数f(x)=a2x+4+1(a>0且a≠1)，令2x+4=0，求得x=−2，所以f(−2)=a0+1=2，即y=2，可得它的图象所过的定点坐标是(−2,2)，故答案为(−2,2)．14.答案：12解析：由题意可得{f(3)=f(1)+f(2)f(1)=f(−1)+f(2)又因为f(x)为奇函数，所以f(−1)=−f(1)，代入可解得f(1)=12. 15.答案：②解析：【分析】本题考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于基础题．利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可．【解答】解：∵a >b >0，0<c <1，∴log c a <log c b ，∴log a c >log b c ，故①错误，②正确；∵a >b >0，0<c <1，∴a c >b c ，c a <c b ，故③④错误．故答案为②．16.答案：√5+12解析：【分析】本题考查了指数函数的单调性，属于基础题．根据函数的单调性得到关于a 的方程，解出即可．【解答】解：当a >1时，y =a x 在[−1,1]上单调递增，∴当x =−1时，y 取到最小值a −1，当x =1时，y 取到最大值a ，∴a −a −1=1，解得：a =√5+12， 故答案为：√5+12．17.答案：解：(1)原式=0.09+53−53=0.09；(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2+lg2⋅lg5+(lg5)2+lg2⋅lg5+(lg2)2=2+lg5⋅(lg2+lg5)+lg2⋅(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3．解析：考查分数指数幂和对数的运算，为基础题．(1)进行分数指数幂的运算即可；(2)进行对数式的运算即可．18.答案：解：(1)A ={x|−1≤x <3}，当a =2时，B ={x|x ≥2}，所以A ∪B ={x|x ≥−1}．(2)因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ，所以a ≤−1．即实数以的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查了集合的交集运算，并集及其运算，集合关系中的参数取值问题，属于中档题．(1)根据a =2，得到集合B ，结合集合A ，即可求得其并集；(2)根据A ∩B =A ，得到A ⊆B ，由集合间的包含关系得到不等式组，解答出结果即可． 19.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)．由f(−x)=f(x)得1x 2−ax =1x 2+ax ．所以ax =0．因为ax =0对于定义域中任意的x 都成立，所以a =0．(Ⅱ)函数f(x)=1x 2在区间(0,+∞)上是减函数．证明：在(0,+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=1x 12−1x 22=(x 1+x 2)(x 2−x 1)x 12x 22，由0<x 1<x 2，得x 1+x 2>0，x 2−x 1>0，x 12x 22>0，第11页，共11页 于是f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2).所以函数f(x)=1x 2在区间(0,+∞)上是减函数．解析：(Ⅰ)根据函数的奇偶性求出a 的值即可；(Ⅱ)根据函数的单调性的定义证明即可．本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查函数单调性的定义，是一道中档题．20.答案：解：(1)由题意可知：一年总共需要进货6000x (x ∈N ∗且1000≤x ≤6000)次， ∴y =3.4×6000−2.8×6000−6000x ⋅100−1.5x ， 整理得：y =3600−600000x −1.5x(x ∈N ∗且1000≤x ≤6000)． (2)y =3600−600000x −1.5x ，当且仅当x =1000时，年利润y 最大．解析：(1)由年销售总量为6000包，每次进货均为x 包，可得进货次数，进而根据每包进价为2.8元，销售价为3.4元，计算出收入，由运费为100元/次，全年保管费为1.5x 元计算出成本，相减可得利润的表达式；(2)由(1)中函数的解析式，由函数的单调性，结合x 的实际意义，可得使利润最大，每次进货量． 本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据已知条件计算出利润y(元)元表示为每次进货量x(千克)的函数表达式是解答本题的关键．21.答案：解：依题意由x 2−4x −5>0，得A ={x|x >5或x <−1}，则可得函数f(x)在(−∞,−1)为减函数，(5,+∞)为增函数，∴f(x)的值域为{y|y >8}．解析：本题主要考查了函数的定义域和值域，属于基础题．先求出g(x)的定义域，即为集合A ，从而可求得f(x)的值域．22.答案：[−3,1]解析：由题意，对任意x ∈[−1,+∞)，令f (x )=x 2−2ax +2>a 恒成立，函数f (x )=x 2−2ax +2配方得f (x )=(x −a )2+2−a2.则命题可转化为对任意x ∈[−1,+∞),f(x)min >a 恒成立，即对任意x ∈[−1,+∞),f (x )min ={2−a 2,a ≥−1(1+a )2+2−a 2,a <−1，由f(x)min >a ，可得a ∈(−3,1)．。
2021-2022年广东省学年度深圳市南头中学第一学期期中考试高一数学试卷
第1页，共13页广东省深圳市南头中学2021学年度第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 下列关系正确的是（ ）A. ⌀⊆{0}B. ⌀∈{0}C. 0∈⌀D. {0}⊆⌀ 2. 函数f （x ）=√1+x +1x 的定义域是（ ） A. [−1,+∞)B. (−∞,0)∪(0,+∞)C. [−1,0)∪(0,+∞)D. R3. 设全集U =R ，集合A ={x |x 2-2x -3＜0}，B ={x |x -1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {x|x ≤−1或x ≥3}B. {x|x <1或x ≥3}C. {x|x ≤1}D. {x|x ≤−1}4. 已知函数f （x ）={x 2,x <0x+1,x≥0，则f [f （-2）]的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 55. 已知函数y =f （x ）为定义在R 上的奇函数，则下列结论中不正确的是（ ）A. f(x)在(−∞,0]和[0,+∞)上的单调性相反B. 图象过原点，且关于原点对称C. f(2018)+f(−2018)=f(0)D. 如果x >0时，有f(x)>0成立，那么x <0时，f(x)<0也成立6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. y =xB. y =1xC. y =−x 3D. y =(12)x 7. 命题“∀n ∈N *，f （n ）≤n ”的否定形式是（ ）A. ∀n ∈N ∗，f(n)>nB. ∀n ∉N ∗，f(n)>nC. ∃n ∈N ∗，f(n)>nD. ∃n ∉N ∗，f(n)>n8. 函数f （x ）=1+log 2x 与g （x ）=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A. B. C. D.9. 如果不等式|x -a |＜1成立的充分不必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是（ ） A. 12<a <32 B. 12≤a ≤32 C. a >32或a <12 D. a ≥32或a ≤1210. 已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则（ ） A. (a −1)(b −1)<0 B. (a −1)(a −b)>0C. (b −1)(b −a)<0D. (b −1)(b −a)>0。
2020-2021学年广东省深圳市高一(上)期中数学试卷(学生版+解析版)
2020-2021学年广东省深圳市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）：1．（5分）已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁U B）＝{1，3，5，7}，则集合B ＝（）A．{0，2，4，6，8，10}B．{0，2，4，6，8，9，10}C．{2，4，6，8，9，10}D．{2，4，6，8，10}2．（5分）下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．y=1x B．y＝﹣x3C．y＝x2D．y＝|x+2|3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．a2＞b2C．1a ＜1bD．﹣2a＜﹣2b4．（5分）如图，将水注入下面四种容器中，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么容器的形状是（）A．B．C．D．5．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，且f（x）满足f(−1)=12，则（）A ．f(−12)＜f(2) B ．f(−12)＞f(2)C ．f(−12)=f(2)D ．f(12)=−16．（5分）设函数f(x)={12x −1(x ≥0)1x(x ＜0)，若f （a ）＝a ，则实数a 的值为（ ）A ．±1B ．﹣1C ．﹣2或﹣1D ．±1或﹣27．（5分）已知关于x 的一元二次不等式kx 2﹣x +1＜0的解集为（a ，b ），则2a +b 的最小值是（ ） A ．6B ．5+2√6C ．3+2√2D ．38．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．a+b 2≥√ab （a ＞0，b ＞0）B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）C ．2ab a+b ≤√ab （a ＞0，b ＞0）D ．a+b 2≤√a 2+b 22（a ＞0，b ＞0）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
深圳市2022-2023学年第一学期期中考试高一数学试题(试题含答案)
深圳市2022-2023学年第一学期期中考试高一数学试题 2022.11一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A ∪B = CA. {|23}x x <≤B. {|23}x x ≤≤C. {|14}x x ≤<D. {|14}x x << 2. 若幂函数()y f x =的图象经过点（2，2）， 则()5f 的值是 A A.5 B.55 C. 15D. 25 3. 函数1()3(01)x f x a a a -=+>≠且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为 AA. (1,4)B. (0,4)C. (0,3)D. (1,3) 4. 新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除。
为了做好校园防疫工作，某学校决定每天对教室进行消毒。
已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y （单位：mg/m 3）与时间t （单位：小时）成正比102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭。
药物释放完毕后，y t 与的函数关系式为1=4t ay -⎛⎫ ⎪⎝⎭（a 为常数，12t ≥）。
按照规定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5mg/m 3以下时，学生方可进入教室。
因此，每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒？ B A. 30分钟 B. 60分钟 C. 90分钟 D. 120分钟5. “对所有(]1 4x ∈，，不等式²+>0x mx m -恒成立”的一个充分不必要条件可以是 DA ．4m <B ．4m >C ．3m ≥D ．3m ≤6. 定义在(1,1)-上的函数3()3f x x x =+，如果有2(1)(1)0f a f a -+->，则a 的取值范围为 CA ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(0,1)D ．(02)，7. 已知函数212,1(),1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-≥⎩，若存在12,x x R ∈，12x x ≠，使12()()f x f x =成立， 则实数a 的取值范围是 DA ．[0,2)B ．(,0]-∞C ．(,0][2)-∞+∞，D ．(,0](2)-∞+∞，8. 若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(10)xf x -≥的x 的 取值范围是 B A. [ 1，1][3，+∞) B. [ 1，0][1，3] C. [ 1，0][1，+∞) D. [ 3， 1][0，1]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。