不规则物体的质心计算与展示
质心物理竞赛讲义
质心物理竞赛讲义一、质心的概念及基本原理质心，又称质点的几何中心或重心，是一个物体在力学中重要的概念。
质心的位置可以简化物体受力分析，并在物体的运动中发挥重要作用。
质心的定义：质心是一个物体所有质点的平均位置，根据物体质量和质点的位置来计算。
在一个均匀分布的物体中，质心位于几何中心。
质心的基本原理：- 物体质心位于物体的对称轴上，若物体是各向同性的，则质心位于物体的中心。
- 质心是物体重心的一种特殊情况，仅在重力场中才与物体重心重合。
- 质心是物体的一个特殊点，对物体运动的描述具有重要意义。
二、质心的计算方法质心的位置可以通过物体的质量分布以及质点位置的加权平均来计算。
具体的计算方法取决于物体的几何形状和质量分布。
1. 均匀物体的质心对于均匀物体，质心的计算相对简单。
可以通过以下公式计算质心的位置：质心的x坐标：x = (m₁x₁ + m₂x₂ + … + mₙxₙ) / (m₁ + m₂ + … + mₙ)质心的y坐标：y = (m₁y₁ + m₂y₂ + … + mₙyₙ) / (m₁ + m₂ + … + mₙ)其中，m₁, m₂, ..., mₙ是物体分布的质量，x₁，x₂，…，xₙ和y₁，y₂，…，yₙ是对应质点的坐标。
2. 不规则物体的质心对于不规则形状的物体，可以通过近似方法计算质心。
常见的方法有：- 使用几何图形的质心公式，如矩形、三角形、圆形等。
- 分割不规则物体为规则形状，计算各部分的质心，最后取加权平均。
三、质心在物体运动中的应用质心在物体运动中有广泛的应用，以下是一些典型的例子：1. 系统的位移和速度质心可以作为系统的参考点，用于描述物体的位移和速度。
通过跟踪质心的运动，可以了解系统整体的运动情况。
2. 系统的动量和力质心也可以用来分析物体系统的动量和力学问题。
由于质心是物体的一个特殊点，可以简化受力分析，直接用力对质心产生的效果来计算系统的动量和力。
3. 轨迹和旋转对于旋转运动的物体，质心可以帮助我们分析物体的轨迹和旋转情况。
高数质心公式[001]
![高数质心公式[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/eb33ac3d17fc700abb68a98271fe910ef12dae18.png)
高数质心公式
在微积分中，质心是一个重要的概念，它代表了一个形状的平均
位置。
对于一个平面图形而言，质心指的是该图形上所有点的平均位
置的坐标。
而对于一个立体图形而言，质心指的是该图形上所有点的
平均位置的坐标，重量的中心。
在高等数学中，有一个重要的概念叫做质心公式。
质心公式是用
来计算平面图形的质心坐标的公式。
这个公式不仅可以被用来计算平
面图形的质心，而且还可以用来计算一些相对复杂的曲面图形的质心。
具体来讲，对于一个具有有限面积的平面图形而言，它的质心可
以用以下的公式计算：
x_bar = (1/A) * ∫∫x f(x,y) dxdy
y_bar = (1/A) * ∫∫y f(x,y) dxdy
其中，x_bar和y_bar分别是该平面图形的质心在x和y轴上的坐标，A是该图形的面积，f(x,y)是该图形在某个点(x,y)处的密度或者
是某种性质的大小。
注意，这个公式只适用于有限平面图形，对于无
限图形需要进行相应修正。
这个公式非常的简单易懂。
它的核心思想就是将平面图形分成若
干个小的面积，然后分别计算每个小面积的中心，再用这些小面积上
各自的中心的加权平均值来得到整个图形的质心坐标。
这样即使是非
常复杂的图形，我们也能够用积分的方法来求出它的质心坐标。
总之，质心公式是高等数学中非常重要的一个工具，它可以用来计算各种复杂图形的质心坐标。
对于学习微积分和数学建模的同学而言，掌握这个公式的思想和应用方法，将会使他们在未来的学习和工作中更加得心应手。
质心计算-质点计算公式
1 / 2质心计算:由力学可知，位于平面上点（x i ,y i ）处的质量为m i （i=1,2,3,…）的几个质点所构成的质点系的c c x c =M y m ，y c =M xm其中:m =∑m i n i=1 质点系中全部质点的质量之和 M y =∑m i ∙x i n i=1 质点系各质点中关于y 轴的静力矩mixi 之和 M x =∑m i ∙y i n i=1 质点系各质点中关于x 轴的静力矩miyi 之和由此可见，质点系m i(i=1,2,3,…)的质心坐标（xc,yc ）满足：质量为m =∑m i n i=1，坐标为（xc,yc ）的质点M ，关于y 轴和x 轴的静力矩分别与质点系关于y 轴和x 轴的静力矩相等。
利用如上所述的质点系和质心的概念和关系，用定积分微元法讨论均匀薄片的质心。
例：设均匀薄片由曲线y=f(x)(f(x)≥0)，直线x=a,x=b 及x 轴所围成，其面密度μ为常数，求其质心坐标（xc,yc ）为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成若干个小部分，每一部分近似看成一个质点，于是该薄片就可以近似看成质点系，具体做法如下：将[a,b]区间分成若干个小区间代表小区间[x,x+dx]所对应的窄的长条薄片的质量微元：dm =μydx =μf(x)dx由于d x 很小，这个窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条左面一边上，由于质量是均匀的故该条窄带的质心位于点（x,f(x)/2）处，所以相当的这条窄带关于x 轴以及y 轴的静力矩微元dMx 于dMy 分别为：dM x =12∙f(x)∙μ∙f(x)dxdM y=x∙μ∙f(x)dx 把它们分别在[a,b]上作定积分，便得到静力矩M x=μ2∫f2(x)dxbaM x=μ∫xf(x)dxba又因为均匀薄片的总质量为：m=∫dmba =∫μf(x)dxba所以该薄片的质心坐标为：x c=M ym=∫xf(x)dxba∫f(x)dxbay c=M ym=12∫f2(x)dxba∫f(x)dxba温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
求物体或系统质心的方法总结
徐慎⾏编号032015年4⽉25⽇物理学探究案求物体或系统质⼼的⽅法总结⼀、质⼼的概念物体的质⼼即质量中⼼，可以表⽰物体的位置。
质⼼的运动状态可以表⽰物体或整个系统的运动状态。
我们可以定义质⼼为系统内各物体位置关于质量的加权平均值，即其中和分别表⽰质⼼和各个物体的位置⽮量，m i 代表各个物体的质量，M 表⽰整个系统的质量，即显然，对于单个物体，其质⼼也可以由积分给出其中和分别是关于 t 的参数⽅程。
当然，⼀般我们使⽤分量表达式来求取质⼼。
此时不需要参数，对应的变量即可⽤来表⽰坐标位置。
⼆、求取质⼼的⽅法①微元法求质⼼r C !"=1Mm i r i!i =1n ∑r C !"r i !M =m ii =1n∑r C !"=1Mm t ()r !t ()d tt 1t 2∫m t ()=m x (),m y (),m z ()()r !t ()=x t ()y t ()z t ()⎡⎣⎤⎦T微元法应⽤于求取质⼼位置，需要⽤到由积分给出的质⼼公式来求解。
通常我们会将物体看成由⽆穷个微元构成，然后逐个求取。
这是定义法的⼀种。
1 R解 要求半圆环的质⼼，⾸先要求总质量。
设半圆环质量线密度为 λ，则如图所⽰，由对称可以看出质⼼⼀定在 x 轴上，故只需考虑其横坐标位置。
即⽽对圆的⽅程求导可得故得到故物体质⼼。
②组合法将系统各个质量已知、位置已知的部分求取关于质量的加权平均位置，这也是定义法的⼀种。
本⽅法直接套⽤定义式即可，这⾥不再展开。
M =λπR 2x C =1Mx λd lR∫=1λπR x λ1+d y d x ⎛⎝⎜⎞⎠⎟2⎛⎝⎜⎞⎠⎟d x 0R ∫=1πR x 1+d y d x ⎛⎝⎜⎞⎠⎟2⎛⎝⎜⎞⎠⎟d x 0R ∫x 2+y 2=R 2⇒d y d x =−x y =−xR 2−x2y >0()x C =1πR x 1+d y d x ⎛⎝⎜⎞⎠⎟2⎛⎝⎜⎞⎠⎟d x 0R ∫=1πR xR 2R 2−x 2d x 0R ∫=2R π2R π,0⎛⎝⎜⎞⎠⎟③负质量叠加法⼀个部分中空的物体，通常可以看成该物体由⼀个正质量的实⼼物体和⼀个负质量的实⼼物体叠加⽽成的。
曲面质心公式
曲面质心公式好的，以下是为您生成的关于“曲面质心公式”的文章：在咱们学习数学和物理的过程中，有个概念叫曲面质心公式，这玩意儿可有意思啦！咱们先来说说啥是质心。
想象一下，你面前有一块形状不规则的板子，就像一块被啃得奇奇怪怪的饼干。
如果把这块板子当成一个整体，那么就有一个特别的点，这个点就好像是这块板子所有质量的“平衡点”，这个点就是质心。
那曲面质心又是什么呢？比如说一个弯弯扭扭的曲面，像个被揉得不成样子的纸张，它也有自己的质心。
而找到这个质心的方法，就得靠咱们的曲面质心公式啦。
曲面质心公式看起来挺复杂的，一堆符号和算式。
但其实，只要咱们静下心来，一点点去拆解，也没那么可怕。
我记得有一次，我给学生们讲这个知识点。
我在黑板上画了一个奇形怪状的曲面，然后开始推导公式。
学生们一开始都一脸懵，那表情就好像在说：“老师，这是啥呀，完全搞不懂！” 我就耐心地一步一步解释，从最基本的概念说起。
我告诉他们，就把这个曲面想象成一个超级大的披萨，然后咱们要找到这个披萨最“平衡”的那个点。
慢慢地，有些聪明的孩子开始有点明白了，眼睛里开始有了亮光。
但还有一些同学依然皱着眉头。
我就继续举例，比如一个弯弯的滑梯表面，要是在上面放个小球，小球会往哪儿滚？为什么会往那儿滚？这其实就和曲面质心有关系。
经过一番努力，大部分同学终于搞懂了。
那一刻，我心里特别有成就感。
回到曲面质心公式本身，它一般会涉及到面积、坐标、积分这些东西。
比如说，对于一个简单的曲面，可能需要先求出它的面积元素，然后通过积分来计算质心的坐标。
这过程就像是拼图，一块一块地拼，最后才能呈现出完整的画面。
在实际应用中，曲面质心公式可有用啦！比如在工程设计中，要设计一个形状独特的零件，知道它的质心位置就能更好地保证其稳定性和平衡性。
在物理学的研究中，对于一些复杂的物体表面，通过这个公式也能准确地找到质心，从而更好地分析物体的运动和受力情况。
总之，曲面质心公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多联系实际，就会发现它其实是我们解决很多问题的有力工具。
物理质心坐标计算公式表
物理质心坐标计算公式表质心是指物体的平衡点或重心。
在物理学中，计算质心的坐标可以根据物体的质量分布情况和形状进行推导。
下面是一些常见物体质心坐标计算的公式：1.杆的质心坐标：对于一根质量均匀的杆，质心位于杆的中点。
杆的质心坐标可以用以下公式计算：Xc=(X1+X2)/2其中，Xc是质心的x坐标，X1是杆的一个端点的x坐标，X2是杆的另一个端点的x坐标。
2.平面物体的质心坐标：对于平面物体，质心坐标的计算需要考虑物体在x和y方向上的质量分布情况。
一般使用积分来计算。
平面物体的质心坐标可以用以下公式计算：Xc = ∫(x * dm) / MYc = ∫(y * dm) / M其中，Xc和Yc分别是质心的x和y坐标，x和y是位置矢量函数，dm是微元质量，M是总质量。
3.环形物体的质心坐标：对于均匀质量分布的环形物体，质心位于环心，可以使用以下公式计算：Xc = R * cos(θ)Yc = R * sin(θ)其中，Xc和Yc分别是质心的x和y坐标，R是环的半径，θ是质心相对于x轴的角度。
4.刚体的质心坐标：对于刚体，质心的计算需要将整个刚体分割成无穷小的质量元，然后对每个质量元的质心进行积分求和。
刚体的质心坐标可以用以下公式计算：Xc = ∫(x * dm) / MYc = ∫(y * dm) / MZc = ∫(z * dm) / M其中，Xc、Yc和Zc分别是质心的x、y和z坐标，x、y和z是位置矢量函数，dm是微元质量，M是总质量。
以上是一些常见物体质心坐标计算的公式。
需要注意的是，每个公式需要根据具体问题中物体的形状和质量分布情况进行适当的调整和应用。
质心的计算是物理学中的一项基本内容，对于理解物体的平衡和运动具有重要意义。
不规则物体的质心计算和展示解剖
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1 质心
运动员跳水
投掷手榴弹
若令系统总动量 p mivi mvc
水平上抛三角板
其中 m mi m1 m2
为质点系的总质量
质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动。
vc
drc dt
如何确定这个 点的位置？
vc
mivi m
mi
dri dt
m
mi dri mdt
vi
dri dt
rc
mi ri m
n
rc
mi ri
i 1 n
mi
点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。
质心(质量中心)：质点系 质量分布的平均位置。
i 1
直角坐标系中，各分量的表达式
0
x1
3
x2
o
x2 x
yc
my1 0 0 3m
y1 3
n
对质量连续分布的物体，
将其分为n个小质元
rc
直角坐标系中的分量表达式
ri mi
i 1
m
1 m
rdm
1
1
1
xc m xdm, yc m ydm, zc m zdm
线分布：dm m dl l
面分布：dm m dS S
体分布：dm m dV V
b
2 b x(a a x)dx
xc 0
b ab
1 ab 2
同理
x(a
a b
x)dx
b
aa x b
2 ydxdy
yc
0
计算质心的主要思路和方法
计算质心的主要思路和方法说实话计算质心这事，我一开始也是瞎摸索。
我就想着质心嘛，肯定和物体的质量分布有关系。
我最早尝试的方法特别傻。
我就觉得，那把物体分成好几块，然后每一块的质量乘以它到某个参考点的距离，再把这些乘积加起来除以总质量不就得了嘛。
就像把一堆苹果，每个苹果的重量乘以它到篮子边的距离，然后全加起来再除以苹果总重量那样。
结果发现错得一塌糊涂。
后来我才明白，我这种方法只适用于形状特别规则而且质量均匀分布的东西，比如说正方体那样质量分布非常均匀的物体。
后来我学到了一个比较通用的方法。
对于二维平面上的物体，你得把这个物体划分成好多很小很小的单元，就像把一幅画分成好多小点一样。
每个小单元都有自己微小的质量，然后建立一个坐标系。
再把每个小单元的质量乘以它在这个坐标系里的横纵坐标值，分别加起来再除以总质量，这样就得到质心在这个坐标系里的横坐标和纵坐标了。
这里我老犯错的地方就是坐标的选取，有时候选错了坐标原点或者方向就全都乱套了。
如果是三维空间里的物体呢，那就更复杂一点。
思路和平面类似，不过得把每个小单元的质量乘以它的三维坐标值，然后除以总质量得到质心在这个三维空间里的坐标。
就好比你在一个大房间里找一个东西的重心，这个东西不同部分在不同的高度，不同的前后左右位置，你得全都考虑进去。
我还试过一种特殊的方法，求一些对称物体的质心。
你想啊，如果一个物体关于某条线对称，它的质心肯定就在这条对称轴上。
像圆形，无论它的质量怎么分布，质心就在圆心，因为圆关于它的直径对称。
这对于计算一些组合物体的质心挺有用的。
比如有个物体由两个对称的部分组成，你先算出单个部分的质心，然后根据它们的组合方式再算出整个物体的质心。
不过这个方法的局限就是物体得有对称性。
我觉得计算质心，最重要的就是要有耐心，分清物体的情况，该划分小单元就划分，能利用对称性就利用，还要特别小心坐标那些东西，搞错了就得从头来。
这就是我这么久折腾计算质心总结出来的门道。
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· · m2d2 m1
C× m2
o
d1
d2
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y （x1, y1）
xcm x1 3m m x20x1 3x2
o
x2 x
yc
my100y1 3m 3
n
对质量连续分布的物体，
将其分为n个小质元
rvc
直角坐标系中的分量表达式
rimi
i1
m
1 m
rvdm
1
1
1
x c m x d m , y c m y d m , z c m z d m
中球：m 2 8 m 0,x 2 R /2 ,y 2 0 三个球体可视为质量
系小统球的：总m 质3 量m 为0 ,m x 3 m R 1 /2 m ,2 y 3 m 3R 5 /4 m 7 0 各心自）集处中的在三质个心质（点球。
x c m 1 x 1 m m 2 x 2 m 3 x 3 0 4 m 0 5 R 7 m 0 m 0 R /2 1 1 7 4 R
例：计算如图所示的面密度σ为恒量的直角三角形的质心的位置。
解：取如图所示的坐标系
取微元ds=dxdy，质量为dm=σds=σdxdy
∴ 质心的x 坐标为
xcxddm mxddxxddyyxddxxddyy
( xdy)dx
从图中看出三角形斜边的方程为
yaa x
b
2 b x(a a x)dx
xc 0
★质心的运动代表着质点系整体的运动，与单个质点的运动相同。 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质。
质点系的任何运动一般都可分解为 质心的运动和相对于质心的运动
§2 质心参考系
质心参考系是固结在质心上的平动参考系。
质心在其中静止，一般选取质心作为坐标系的原点。
r'rr
i
i
c
N
r
rrc N
卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统，
它们的共同质心在冥王星表面以外。
§3 质心运动定理
1、p 系 统 的m 总i动v i量 m v c
系统内各质点的动量的矢量和等于
z ··
·
·
·C×vC rC ·ri
·vi · mi
系统质心的速度与系统质量的乘积
y c m 1 y 1 m 2 m y 2 m 3 y 3 0 0 5 7 m m 0 0 R /4 2 1 2 8 R
实例
★重心(Center of Gravity)和质心( Center-of-Mass)是两个不同的 概念： ① 重心是重力的作用点，质心是系统质量分布的中心。 ② 当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1 质心
运动员跳水
若令系统总动量
p 投掷m 手iv 榴i 弹m v c 水平上抛三角板
其中 m m i m 1 m 2 L L 为质点系的总质量
质vrvrcc 点 系ddrv的tcmm整ivr体i 运如动点何mm可的i确d位以d定rvti置等这？效个为mmd一itdr个vi 假vrr想rci 质 d点drvtiCmm的i rri运动。
b ab
1 ab 2
同理
x(a
a b
x)dx
b
aa x b
2 ydxdy
yc
0
0
ab
a 3
2(1 2
ab2
a 3b
b3)
(ab2
2 3
ab2
)
b
abห้องสมุดไป่ตู้
ab
3
∴ 质心的坐标为
b 3
,
a 3
例：半径为R的大球内有一个半径为R/2的球形空腔，空腔的下部
放置了一个半径为R/4的小球。已知大球和小球的质量密度相同。
n
rc
m iri
i1 n
mi
点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。
质心(质量中心)：质点系 质量分布的平均位置。
i1
直角坐标系中，各分量的表达式
n
mixi
n
miyi
n
mizi
xc
i1 n
,
yc
i1 n
,
zc
i1 n
mi
mi
mi
i1
i1
i1
对两质点系统，质心位
置总满足关系式：m1d1 =
求：系统的质心。
y
解：该系统可看成由质量分布均匀(无空腔)的
大、中、小三个球体组成，它们各自的质心分
别处于球心处。中球的质量为负。
x
V 1 : V 2 : V 3 R 1 3 :R 2 3 :R 3 3 6 4 :8 : 1
设小球质量为m0，则质量和质心坐标分别为：
o
大球： m 1 6 4 m 0,x 1 0 ,y 1 0
线分布：d m m d l l
面分布：dm m dS S
体分布：dm m dV V
•坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； •密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； •质心不一定在物体上，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。
例：已知半圆环质量为Ｍ，半径为Ｒ 求：它的质心位置？
解：建立坐标系如图,
由对称性 xc 0
线密度 l M
取dl → dm=ldl
R
dm M Rd yRsin
dl=Rd
R
yc
ydm
M
RsinM M RRdR0sind
R(cos)0R(11)2R
质心不在物体上，但 相对半圆环位置固定
例：求半径为R的半球形球壳的质心
解：根据对称性，细环的质心位于y轴。
如图将球壳细分成无数多细环，细环
半径记为r，设球壳质量面密度为，
则其中任一细环的质量为
o
r R sin
r y R cos
R
d m (2 r d l) (2 r R d)2R2sind
半球壳的总质量为
m d m 2 R 2 0 2 s in d 2 R 2
半球壳质心的位置
xc0 , ycy m d m 0 22 R 32 s in R 2co sd 1 2R
m i ri mi
mi(ri rc) miri' 0
z z'
ri'
rc x' ri
i1
求导
N mivi '
i1
0
i1
x
mi
y'
y
从质心系中来看，系统总动量=0，零动量参考系 动量守恒
质 质心心系系中不的一速定度是惯v 性' 系，v 只 有v 合外力为零时质心系才是惯性系。
i
i
c
在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系。
但质心却依然存在。 ③ 除非重力场均匀，否则系统的质心与重心通常不重合。
•作用在物体上各部分的重力方向平行；重力加速度可以视为常数。
•小线度物体（其上 g各处相等），质心和重心是重合的。
对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的。 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了， 如高山的重心比质心要低一些。