小学五年级奥数复习：第二讲 数表-从杨辉三角谈起
杨辉三角的数学规律
杨辉三角的数学规律《杨辉三角的数学规律》杨辉三角有着独特而有趣的数学规律：杨辉三角中的每个数等于它上方两数之和，且每行数字左右对称，由1开始逐渐变大再变小到1。
那我们来幽默风趣地解释一下这个规律吧。
把杨辉三角想象成一个金字塔，每个数字就像是金字塔里的小砖块。
这些小砖块可都是有“组织纪律”的呢。
每一个砖块的价值（数值）都是由它头顶上的两个小伙伴相加得来的，就好像它是这两个小伙伴的“结合体”。
而从整体看这个金字塔，每行的数字就像照镜子一样左右对称，1就像是守护在每行两端的忠诚卫士，保卫着中间的数字伙伴们。
再来看实例吧。
我们可以从一个简单的展开式来看杨辉三角的规律体现。
例如，(a + b)²=a²+2ab + b²。
这里的系数1、2、1正好就是杨辉三角第三行的数字。
再看(a + b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，系数1、3、3、1就是杨辉三角的第四行。
这可不是巧合哦，在二项式展开(a + b)ⁿ中，各项的系数正好就是杨辉三角第n + 1行的数字。
这就像是杨辉三角提前就把这些二项式展开的密码给藏在自己的身体里了。
还有一个有趣的现象。
如果我们看杨辉三角中每行数字之和，会发现也是有规律的。
第一行数字之和是1，第二行1+1 = 2，第三行1+2+1 = 4，第四行1+3+3+1 = 8……你会发现第n行数字之和就是2ⁿ⁻¹。
这就像杨辉三角在默默地按照2的幂次来安排每行数字的总和。
比如说，如果把杨辉三角想象成一个兵力分配图，每一行的数字总和就像是这一行的总兵力，那么这个兵力是按照2的幂次增长的，从1个开始，然后2个、4个、8个……在数学研究中，杨辉三角的规律也有着广泛的应用。
在组合数学中，杨辉三角中的数字可以表示组合数。
比如第n行第k个数字就等于从n - 1个元素中选取k - 1个元素的组合数。
这在计算概率等问题时非常有用。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质ppt课件
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
r n1Cnn
表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的
两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系
即0 Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
典例解析
小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特 定的值1，-1 等来整体得到所求。
赋值法
新知探究
赋值法的应用 —解决二项式系数问题.
赋值法再思考
已知(1 2x)7 a0 a1 x a2 x2
课堂练习
课堂练习
a+b 1）已知 C155
a, C195
b，那么
C10 16
=
；
2）(a b)9 的展开式中，二项式系数的最大值是 126 ；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一项的二项式
系数最大，则n= 19 ；
典型例题
典例解析
例1 证明在 (a b)n 的展开式中，奇数项的 二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数
项的二项式系数的和.
： 即证
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
课件2：1.3.2 杨辉三角
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
课件8：1.3.2 杨辉三角
解：由图知，数列的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23， 第 4 项是 C13，…，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211， ∴S19＝C22＋C21＋C32＋C31＋…＋C120＋C110＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋C24＋…＋C211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C33＋C23＋…＋C211) ＝2＋120×9＋C132＝54＋121××121××310＝274.
于是得到： (1)二项式系数和为 2n，即 Cn0＋Cn1＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)二项式的奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式 系数和相等，都等于 2n－1.即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n ＋Cn4＋…＝2n－1.
在理解二项展开式的二项式系数和的有关性质 时，要掌握这种给字母赋值的思想(实际上是函数思 想)；具体到计算特定项的二项式系数时可以直接给字 母赋值，也可以联系二项式的展开式；对整体式子的 求值，用给字母赋值的方法非常方便．
1.3.2 杨辉三角
情景导入 幻方，在我国也称纵横图，
它的神奇特点吸引了无数人为之痴 迷．一天，时任台州地方官的杨辉外 出巡游，遇到一学童，学童正在为老 先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9 的数字分行排列， 不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”．
情景导入
杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究 起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回 到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句 话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”
方法总结 (1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c ∈R，n，m∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R， x∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 x ＝y＝1 即可．
杨辉三角PPT
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
3 n 1 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C ,C ,C ,
0 n
1 n
2 n
,C ， , C .
r n
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提 高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
杨辉三角知识讲解
杨辉三角知识讲解
杨辉三角，又被称为杨辉梯形或帕斯卡三角形，是一种数学图形，以数学家杨辉命名。
它的形式如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
..........
杨辉三角的特点是，每个数等于它上方两个数之和。
首行只有一个数为1，其余行每行的第一个数和最后一个数也为1。
杨辉三角中的数字具有很多有趣的性质。
以下是一些常见的性质：
1. 对称性：杨辉三角是关于中心垂直线对称的。
也就是说，从中心列开始，每个数都等于它对称位置的数。
2. 任意行数之和等于2的n次方：杨辉三角的任意一行数字之和等于2的n次方，这里n表示杨辉三角的行数。
3. 组合数性质：杨辉三角的每个数都可以表示为一个组合数。
例如，第n行的第k个数可以表示为C(n-1, k-1)，其中C是组合数。
4. 形成二项式展开式：杨辉三角的每一行的数字依次对应二项式展开式的系数。
例如，第n行的数字依次表示(x+y)^n展开式中的各项系数。
杨辉三角在数学和计算机科学中有着广泛的应用。
它可以用于求解组合数、排列组合问题，以及在动态规划算法中的应用等。
通过杨辉三角，我们可以深入理解数学中的组合数性质和二项式展开式，进一步拓展数学思维。
同时，杨辉三角也为我们提供了一种简便的计算和记忆组合数的方法。
总之，杨辉三角是数学中一个有趣而重要的概念，它的形状和数字特性使得它成为了数学教学和应用的重要工具。
数学：第二讲 数表-从杨辉三角谈起 讲义
1 55 55
2
1540
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
5
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
把自然数按如下规律排成三角形数表： 如 4 是第 3 行的第 3 个数， 那么(1)自然数 60 是第____行的第____个数． (2)94 是第___行的第____个数.
如图，从 1 开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)第 10 行左起第 5 个数是多少? (2)100 在第几行?100 是这一行左起第几个数? (3)前 10 行的数的和是多少?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L L
[三角形数表]★ ★ 1 9 9 45 ，所 【解析】 （1）第 9 行的最后一个数为： 2 以第 10 行左起第 5 个数为 45+5=50. （2） 根据题意：1 2 3 L 13 91 ，第 13 行的最后 一个数是 91 ，所以 100 在第 14 行，是这一行中的第 100 91 9 个数． （ 3 ） 前 10 行 一 共 1 2 3 L 10 55 个 数 ，
210- 1 = 512 .
(4)考查学生对杨辉三角形特性的认识．
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
1
第三行左起第三个数是 1 1 ； 第四行左起第三个数是 3 1 2 ； 第五行左起第三个数是 6 1 2 3 ； 第六行左起第三个数是 10 1 2 3 4 ； …… 归纳可知，第 101 行左起第三个数是 99 100 1 2 3 L 99 4950 . 2 2 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足 Cn1 ，所以第 101
数学数表从杨辉三角谈起讲义
+ 数表—从杨辉三角谈起 2下面是按规律排列的杨辉三角：图(1) 图(2)(1)杨辉三角第8行第2个数是_________;(2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第8行的第3个数是_____．(3)杨辉三角第1行的所有数之和为1，第2行的所有数之和为2，第3行为4，第4行为8，…，那么，第n 行的所有数之和是________.(4)杨辉三角中，第101行中左起第三个数是 ．(5) 5050可能是杨辉三角中第几行的第几个数?[杨辉三角]★★【分析】 ⑴根据题意：每一行第2个数是1n -；所以第8行第2个数是7.(2) 1+2+3+L +6=21．老师可拓展到第n 行的第3个数．(3)第n 行的和是12n -，所以第10行所有数的和是1012512-=.(4)考查学生对杨辉三角形特性的认识． ………………………... (110511051)61441313112111------------------------------------------------------------------------------------------- 例1第三行左起第三个数是11=；第四行左起第三个数是312=+；第五行左起第三个数是6123=++；第六行左起第三个数是101234=+++；……归纳可知，第101行左起第三个数是991001239949502⨯++++==L . 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足21n C -，所以第101行的第三个数是2210111001009949502CC -⨯===. (5)杨辉三角第m 行第n 个数实际就是11n m C --． 11(1)!5050()!(1)!n m m C m n n ---==--，而，101是质数，因此m -1≥101，0<n -1<m -1.当n =2，m =5051;当n ＝3时，m =102；当12m -≥n >3时，存在122111015050n m m C C C --->>=.不会再出现5050.因此5050在左侧只能出现在第5051行第2个数和第102行第3个数．由对称可知，第5051行第5051个数和第102行第100个数也是5050.杨辉三角中，55可能是杨辉三角中第几行的第几个数?[杨辉三角]★★------------------------------------------------------------------------------------------- 练一练【分析】 第56行第2个和第55个；第13行第3个和第11个．(1)如图所示的三角形数表中，满足：①第一行的数为1；②第n 行首尾两数均为n ，其余的数都是等于它肩上的两个数相加；则第50行第2个数是_________.1223434774511141156162525166L L L (2) 下图是按规律排列的三角形数表：1111123211367631①在方格中填上第五行的各个数．②求第10行各数的和．[杨辉三角]★★☆ 【解析】(1)每一行的第二个数是22223(1)2n n n -+++++-=L ，代入50n =后，得第50行第2个数是1226.------------------------------------------------------------------------------------------- 例2(2)由数表可以得到如下的规律，(a )两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包1，其他的数等于上一行对应的数和相邻数的和；(b )每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第n 行数的和是3n -1，由此解决．①1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后面的数就是16、10、4、1；故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1；②93=19683；如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”，有111=+122、111=+236、111=+3412、……、则第11行第2个数（从左往右数）为________。
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五年级寒假课程复习每日一练
（数表——从杨辉三角谈起）
1.下面是按规律排列的杨辉三角：
1 1
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1
1 3 3 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 ·························
图（1）图（2）
（1）杨辉三角第8行第2个数是多少？
（2）观察图（2）中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数。
如：1+2+3=6，照此规律，第8行的第3个数是多少？
（3）杨辉三角第1行的所有数之和为1，第2行的所有数之和为2，第3行为4，第4行为8，···，那么，第10行的所有数之和是多少？
2.如下图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来。
请问：
（1）100排在第几行，第几列？
（2）第19行第9列的数是多少？
1 2 4 7 11 16 ···
3 5 8 12 17 ···
6 9 13 18 ···
10 14 19 ···
15 20 ···
21 ···
3. 如下图的数表恰好有20行(5行之后未画出)，那么：
（1）共有多少个数？
（2）第17行中间的数是多少？
（3）第10行所有数的和为多少？
``````````````````````````。