计量逻辑学中的近似推理

文章编号:1001-7402(2010)05-0001-07计量逻辑学中的近似推理韩邦合1,2,李永明1,3(1.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安　710062;2.西安电子科技大学理学院数科系,陕西西安　710162;3.陕西师范大学计算机科学学院,陕西西安　710062)摘　要:在多值逻辑系统中给出了计量逻辑学中单个公式到 结论集的距离公式,在此基础上,给出发散度的简化形式,讨论了计量逻辑学中三种近似推理模式之间的关系。

关键词:真度;相似度;伪度量;发散度;计量逻辑学;近似推理中图分类号:O 141 文献标识码:A1　引言众所周知,数理逻辑是以符号化为特点的形式化理论,它注重形式推理而不重视数值计算。

与此相反,数值计算的目的则在于借助各种计算手段,采用插值、迭代、差分或概率估算方法研究各类计算问题,它关注问题的求解以及误差估算而很少使用形式推理方法。

王国俊教授将数值逻辑与概率计算相结合,提出了一个新的研究分支计量逻辑学[1-3]。

其主要内容为:在多值逻辑系统中提出了公式的真度概念。

基于此,提出了公式间的相似度与伪度量,研究了所得逻辑度量空间的基本性质,提出并研究了逻辑理论的发散度与相容度概念,给出了三种近似推理模式。

[1],[2],[3]中提出了以下几个问题:(1)如何刻画单个公式到 结论集的距离?(2)当 无限时,如何计算理论 的发散度?(3)计量逻辑学中三种近似推理模式之间的关系是什么?文献[12]在二值情形下指出了问题(3)的解。

本文在更一般的多值逻辑系统中解决以上这些问题。

下面首先给出本文需要的预备知识。

2　预备知识设F (S )是全体命题(公式)之集,即F (S )是由原子公式之集S 生成的( ,∨,→)型自由代数,A=A (p 1,p 2,…,p m )是含有m 个原子公式p 1,…,p m 的公式。

赋值域W =W n ={0,1n -1,2n -1,…,n -2n -1,1}。

分别用x 1,…,x m 取代p 1,…,p m ,并把A 中的逻辑连接词 ,∨,→换为W 中的运算 ,∨,→,则得一m 元函数A -(x 1,…,x m ):W m →W ,称A -为A 所诱导的函数。

W 中的 ,∨运算为线性补和取大运算,→取决于我们所考虑的n 值逻辑系统。

在Lukasiew icz n 值逻辑系统L n 和R 0型n 值逻辑系统第24卷第5期2010年10月 模　糊　系　统　与　数　学Fuzzy Sy stems and M athematicsV ol.24,N o.5Oct.,2010收稿日期:2009-04-30;修订日期:2009-06-15基金项目:国家自然科学基金资助项目(60873119);博士学科点专项基金资助项目(20080718000)作者简介:韩邦合(1981-),男,博士研究生,研究方向:计算智能,软约束与赋值代数,不确定性推理;李永明(1966-),男,教授,博士生导师,研究方向:非经典计算理论,计算智能,模糊系统分析,量子逻辑与量子计算,格上拓扑学。

L*n中,→分别为Lukasiewicz蕴涵算子→L和R0蕴涵算子→0.这里 a,b∈[0,1],a→L b=(1-a+ b)∧1;a≤b时,a→0b=1,否则a→0b=(1-a)∨b.定义2.1[1]　设A=A(p1,p2,…,p m)是含有m个原子公式p1,…,p m的公式,A-(x1,…,x m)为A 所诱导的函数,令n(A)=1n m ∑n-1i=1in-1A--1(in-1)这里, E 表示集合E中元素的个数,称 n(A)为公式A在n值逻辑系统中的真度。

定义2.2[1]　设A,B∈F(S),令(A,B)= n((A→B)∧(B→A))称 (A,B)为A与B之间的相似度。

设 :F(S)×F(S)→[0,1]是相似度函数,令(A,B)=1- (A,B),　A,B∈F(S)由[1]可知 是F(S)上的伪度量,称(F(S), )为逻辑度量空间。

定义2.3[1]　设 是F(S)中的理论,即 F(S),令div( )=sup{ (A,B) A,B∈D( )}称div( )为 的发散度。

定理2.1[1]　设A,B,C∈F(S),则以下性质成立:(i) n(A∨B)= n(A)+ n(B)- n(A∧B);(ii)若 A→B,则 n(A)≤ n(B);(iii)在Lukasiewicz n值逻辑系统中, (A,B)= n(A∨B)- n(A∧B)。

证明　(iii)不妨设A和B中都含有m个原子公式p1,p2,…,p m,以下记A∨B,A∧B, (A→B)∧(B→A)分别为A∨B、A∧B、(A→B)∧(B→A)在[0,1]m上诱导的阶梯函数[1-2]。

分别把[0,1]m、dy1…dy m简记为 和dw,则由文献[1]、文献[2]可知 n((A→B)∧(B→A))=∫ (A→B)∧(B→A)dw, n(A∨B)=∫ A∨Bd w, n(A∧B)=∫ A∧B dw.容易验证1-(a→b)∧(b→a)=a∨b-a∧b, a,b∈[0,1]所以∫ 1dw-∫ (A→B)∧(B→A)dw=∫ A∨Bdw-∫ A∧Bdw,即1- n((A→B)∧(B→A))= n(A∨B)- n(A∧B),证毕。

定义2.4[2]　设 是F(S)中的理论,即 F(S),B∈F(S), >0,若(B,D( ))<则称B为 的I-型误差小于 的结论,简记为B∈D1 ( )。

定义2.5[2]　设 F(S),B∈F(S), >0,若1-sup{ n(A→B) A∈D( )}<则称B为 的II-型误差小于 的结论,简记为B∈D2 ( )。

定义2.6[2]　设 F(S),B∈F(S), >0,若inf{H(D( ),D( )) F(S), B}<则称B为 的III-型误差小于 的结论,简记为B∈D3 ( )。

这里H(D( ),D( ))为D( )与D( )之间的Hausdorff距离[8]。

定理2.2[2]　设 F(S),A,B∈F(S),则(i)在Lukasiewicz n值逻辑系统中,若 ∪{A} B,则 m∈Z+,使得 A m→B;2模　糊　系　统　与　数　学 2010年(ii)在R 0型n 值逻辑系统中, ∪{A } B 当且仅当 A 2→B .这里A 2=A A ,A m +1=A A m ,A B = (A → B ),m =1,2,…注记2.1　像[2]一样,在本文当中,Lukasiew icz n 值逻辑系统中的公理体系和连续值情形下一样,需要指出的是此时Lukasiew icz n 值逻辑系统不完备。

3　主要结果引理3.1　设a ∈W n ={0,1n -1,2n -1,…,n -2n -1,1},W 中的运算→为→L , 为与→L 相伴随的三角模, a ,b ∈[0,1],a b =(a +b -1)∨0,记a 2=a a ,a k +1=a a k ,k =1,2…,若k ≥n ,则a k =0当且仅当a ≠1。

证明　显然有a k =1当且仅当a =1。

根据三角模的单调递增性可知,只须证明(n -2n -1)n =0。

事实上(n -2n -1)n =n -3n -1 (n -2n -1)n -2=n -4n -1 (n -2n -1)n -3=n -(n -1)n -1 (n -2n -1)n -(n -2)=1n -1 (n -2n -1)2=1n -1 (n -3n -1)=(1n -1+n -3n -1-1)∨0=0。

引理3.2　设A ∈F (S )且A 中含有m 个原子公式,在Lukasiewicz n 值逻辑系统中,若k ≥n ,则n (A k )= n (A n )=1n mA --1(1) (1) 证明　由引理3.1可知 i ∈{1,2,…,n -2}, A k -1(i n -1) =0,且A k -1(1)=A --1(1),所以 n (A k )=1n m ∑n -1i =1i n -1 A k -1(i n -1) =1n m A --1(1) 引理3.3　设A ,B ∈F (S ),在Lukasiew icz n 值逻辑系统中,则 k ≥n ,(i)n (B ∧A k )= n (B ∧A n);(ii)n (B ∨A k )= n (B ∨A n );(iii ) n (A k →B )= n (A n →B )。

证明　(i)不妨设A 和B 中含有相同的原子公式,由引理3.1易证n (B ∧A k)=1n m ∑n -1i =1i n -1 B --1(i n -1)∩A --1(1) 所以当k ≥n 时, n (B ∧A k )为定值与k 无关,即n (B ∧A k )= n (B ∧A n )。

(ii)由定理2.4(i)可知n (B ∨A k )= n (B )+ n (A k )- n (B ∧A k ),由引理3.2和(i)易得 n (B ∨A k )= n (B )+ n (A n )- n (B ∧A n )= n (B ∨A n );(iii )在Lukasiewicz n 值逻辑系统中,一方面 (B ,B ∨A k )= n (B ∨A k )- n (B );另一方面 (B ,B ∨A k )=1- (B ,B ∨A k )=1- n ((B ∨A k →B )∧(B →B ∨A k ))=1- n (B ∨A k →B )=1- n (A k →B ),所以 n (A k →B )=1- n (B ∨A k )+ n (B ),由(ii )可得 n (A k →B )=1- n (B ∨A n )+ n (B )= n (A n →B )。

定理3.1　设B ∈F (S ), ={A 1,A 2,…} F (S ),则(i )在Lukasiewicz n 值逻辑系统中,(B ,D ( ))=inf{ (B ,B ∨( m )n ) m ∈Z +}(2) (ii)在R 0型n 值逻辑系统中,(B ,D ( ))=inf{ (B ,B ∨( m )2) m ∈Z +}(3)这里 m =A 1 … A m .证明　(i )即要证明inf{ (B ,A ) A ∈D ( )}=inf{ (B ,B ∨( m )n ) m ∈Z +}。

A ∈D ( ),3第5期 韩邦合,李永明:计量逻辑学中的近似推理A i1,…,A it∈ ,使得{A i1,…,A it} A,记m=max{i1,…,i t},那么{A1,…,A m} A.根据定理2.8(i), k i,i=1,…,m,使得 A k11→(A k22→(…(A k m m→A)…),即 A k11 A k22 … A k m m→A[4-5].记k=max{k1,…,k m,n},那么 A k1 A k2 … A k m→A.即 ( m)k→A.所以 B∨( m)k→B∨A.根据定理2.4(ii)可知 n(B∨( m)k)≤ n(B∨A)。