七年级数学下册25.乘法公式(提高)知识讲解

乘法公式（提高）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几
何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
【高清课堂乘法公式知识要点】
要点一、平方差公式
平方差公式：22
+-=-
a b a b a b
()()
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，b a,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如()()
+-+利用加法交换律可以转化为公
a b b a
式的标准型
（2）系数变化：如(35)(35)
+-
x y x y
（3）指数变化：如3232
m n m n
+-
()()
（4）符号变化：如()()
---
a b a b
（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+
（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++
要点二、完全平方公式
完全平方公式：()2222a b a ab b +=++
2222)(b ab a b a +-=-
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
()2222a b a b ab +=+-()2
2a b ab =-+ ()()22
4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
要点四、补充公式
2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；
33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．
【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.
【答案与解析】
解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1
＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．
【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．
举一反三：
【高清课堂 乘法公式 例1（7）（8）】
【变式】计算：
(1)2(3)(9)(3)x x x -++
(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +)
【答案】
解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -．
(2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +)
＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)
＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．
2、解方程：(21)(21)3(2)(2)(71)(1)x x x x x x +-++-=+-．
【答案与解析】
解：222(2)13(4)771x x x x x -+-=-+-，
22241312761x x x x -+-=--，
227761112x x x -+=-++，
612x =，
∴ 2x =．
【总结升华】先利用平方差公式，再按多项式乘法法则展开，此题把平方差公式与解方程综合起来考查．
举一反三：
【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).
x x x x x x x x +--->⎧⎨
---<-⎩ 【答案】
解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①② 由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．
由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-，
425x -<-， 6.25x >．
∴ 不等式组的解集为 6.25x >．
类型二、完全平方公式的应用
3、运用乘法公式计算：
（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．
【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方
公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．
【答案与解析】
解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-
22464129a ab a b b =+-+-+
22446129a b ab a b =++--+．
（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-．
【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：
【变式】运用乘法公式计算：
(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+；
(3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---．
【答案】
解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]
＝()()222222a b c a b bc c --=--+
＝2222a b bc c -+-．
(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]
＝()()()222221421x y x y y --=--+
＝22421x y y -+-．
(3)()()()()222
22x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦ ＝222222x xy y xz yz z -++-+．
(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-
＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋
＝
－
()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦ ＝224129461a ab b a b －－－＋＋－
4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，
试判断△ABC 的形状．
【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．
【答案与解析】
解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，
∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，
即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=．
即222()()()0a b b c a c -+-+-=．
∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，
即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．
【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论．
举一反三：
【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________.
【答案】4；
提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。