高二数学选修2-3第一章测试题(含答案)
高中数学选修2-3第一章测试题一．选择题（每题5分，满分60分）1．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是( ) A ．4 B ．24 C ．43D ．34[答案] C[解析] 依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C.2．210所有正约数的个数共有( ) A ．12个 B ．14个 C ．16个 D ．20个[答案] C[解析] 由210＝2·3·5·7知正约数的个数为2·2·2·2＝16.∴选C. 3．设m ∈N *，且m ＜15，则(15－m )(16－m )…(20－m )等于( ) A ．A 615－m B ．A 15－m20－mC ．A 620－mD ．A 520－m[答案] C[解析] 解法1：(15－m )(16－m )…(20－m )＝(20－m )(19－m )……[(20－m )－6＋1]＝A 620－m .解法2：特值法．令m ＝14得1×2×3×4×5×6＝A 66.∴选C.4．A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果A 必须站在B 的左边(A 、B 可以不相邻)，则不同排法有( )A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种[答案] B[解析] 5个人全排列有5！＝120种、A 在B 左边和A 在B 右边的情形一样多，∴不同排法有12×120＝60种．5．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410[答案] D[解析] ∵T r ＋1＝C r 10x 10－r(－3)r .令10－r ＝6， 解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 410.6．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A ．36B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4.故奇数有35A 35＝36个．7．6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为( ) A ．A 66B ．3A 33C ．A 33·A 33D ．4！·3! [答案] D[解析] 甲、乙、丙三人站在一起有A 33种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A 44种，∴共有A 33·A 44种．故选D. 8．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为( ) A ．720 B ．144 C ．576D ．684[答案] C[解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A 66－A 33A 44＝576.[点评] 不能都站在一起，与都不相邻应区分．9．C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( )A ．C 9799B ．C 97100C ．C 9899D ．C 98100[答案] B[解析] 原式＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100，故选B.10．已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,2}，若集合M 满足B M A ，则不同集合M的个数为( )A ．12B ．13C ．14D ．15[答案] C[解析] ∵B M ，∴M 中必含有1、2且至少含有3、4、5、6中的一个元素，又M A ，∴M ≠A ，∴M 的个数为C 14＋C 24＋C 34＝14个．11．某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，则不同的任课方法种数为( )A ．C 26·C 24·C 22 B ．A 26·A 24·A 22 C ．C 26·C 24·C 22·C 33 D.A 26·C 24·C 22A 33[答案] A12．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1 D ．2n [答案] C[解析] 解法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.解法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D ，选C.二．填空题（每小题5分，满分20分）13．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．[答案] 24[解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．∴有A 34＝24种不同坐法．14．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．[答案] {5}[解析] 因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.15．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，y 2＋z 2＝4，z 2＋x 2＝5.有________组解．[答案] 8[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，y 2＋z 2＝4，z 2＋x 2＝5.可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝1，z 2＝3.因此在{2，－2}，{1，－1}，{3，－3}中各取一个即可构成方程组的一组解，由分步乘法计数原理共有2×2×2＝8组解．16．(2010·湖北文，11)在(1－x 2)10的展开式中，x 4的系数为________． [答案] 45[解析] 本题主要考查二项式定理．(1－x 2)10的展开式中，只有两个括号含x 2的项，则x 4的系数为C 210(－1)2＝45三、解答题17．（满分12分）求和：12！＋23！＋34！＋…＋n(n ＋1)！.[解析] ∵k (k ＋1)！＝k ＋1－1(k ＋1)！＝k ＋1(k ＋1)！－1(k ＋1)！＝1k ！－1(k ＋1)！，∴原式＝⎝⎛⎭⎫11－12！＋⎝⎛⎭⎫12！－13！＋⎝⎛⎭⎫13！－14！＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ！－1(n ＋1)！＝1－1(n ＋1)！.18．（满分10分）用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数． (1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？ (2)这些四位数中大于6500的有多少个？[解析] (1)偶数的个位数只能是2、4、6有A 13种排法，其它位上有A 36种排法，由分步乘法计数原理知共有四位偶数A 13·A 36＝360个；能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120个．(2)最高位上是7时大于6500，有A 36种，最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×A 25种．∴由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6500的共有A 36＋2A 25＝160个．19．（满分12分）一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？(以上两个题只列出算式)[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有A25A66种排法．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88－A45A44)种．20．（满分12分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．[解析](1)解法一：因甲不站左右两端，故第一步先从甲以外的5个人中任选二人站在左右两端，有A25种不同的站法；第二步再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A44种不同的站法，由分步乘法计数原理共有A25·A44＝480种不同的站法．解法二：因甲不站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A14种不同的站法；第二步再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A55种不同的站法，故共有A14·A55＝480种不同的站法．解法三：我们对6个人，不考虑甲站位的要求，做全排列，有A66种不同的站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数2A55，于是共有A66－2A55＝480种不同的站法．(2)解法一：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A22种不同的站法；再让其他4个人在中间4个位置做全排列，有A44种不同的站法，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种不同的站法．解法二：“位置分析法”，首先考虑两端2个位置，由甲、乙去站，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种不同的站法．(3)解法一：“间接法”，甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有A44种，故共有A66－2A55＋A44＝504种不同的站法．解法二：“直接法”，以元素甲的位置进行考虑，可分两类：a.甲站右端有A55种不同的站法；b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A14·A14·A44种不同的站法，故共有A55＋A14·A14·A44＝504种不同的站法．21．（满分12分）有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本； (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本； (3)甲、乙、丙各得3本．[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学； ②题目中的3个问题的条件不同．解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答． [解析] (1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C 49种方法； 第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C 35种方法； 第三步：把剩下的书给丙有C 22种方法，∴共有不同的分法有C 49·C 35·C 22＝1260(种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有C 49·C 35·C 22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A 33种方法，∴共有C 49·C 35·C 22·A 33＝7560(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得C 39·C 36·C 33＝1680(种)．22．（满分12分）已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·(－123x )r ＝C r n ·(x 13)n －r ·(－12·x －13)r ＝(－12)r ·C r n ·x n －2r 3. ∵第6项为常数项，∴r ＝5时有n －2r3＝0，∴n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴所求的系数为C 210(－12)2＝454. (3)根据通项公式，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z0≤r ≤10r ∈Z令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝10－3k 2＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k 可取2,0，－2， ∴r ＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项． 它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12)5， C 810·(－12)8·x －2.。
无锡外国语学校高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50B ．40C ．35D ．302．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（ ）A ．9-B ．5-C ．7D ．83．从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（ ） A ．252B ．216C ．162D ．2284．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A ．40B ．36C ．32D ．205．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-106．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排5名党员干部到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A ．264种B ．480种C ．240种D ．720种7．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( ) A ．36CB ．1225C CC ．12212424C C C C +D ．36A8．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．709．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（ ） A ．8种B ．16种C ．32种D ．64种10．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80 B ．120 C ．150 D ．360 11．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（ ） A ．720B ．360C ．240D ．12012．式子22223459C C C C ++++=（ ）A ．83B ．84C ．119D ．120二、填空题13．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为________.14．已知()723801238()(21)x m x a a x a x a R x a x m +-=+++++∈，若127a =，则()81ii i a =⋅∑的值为_______.15．已知数列{}n a 共有21项，且11a =， 2115a =，11(1,2,3,,20)k k a a k +-==，则满足条件的不同数列{}n a 有______个. 16．已知集合{}123456,,,,,AB C a a a a a a =，且集合{}123,,A B C a a a =，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有__________种.17．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为________（结果用数值表示）. 18．计算2222223456C C C C C ++++=______.19．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种．20．某中学安排,,,A B C D 四支小队去3所不同的高校参观，上午每支小队各参观一所高校，下午A 小队有事返回学校，其余三支小队继续参观.要求每支小队上下午参观的高校不能相同，且每所高校上午和下午均有小队参观，则不同的安排有_____种.三、解答题21．从6名运动员中选出4人参加4100⨯接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数： （1）甲、乙两人都不跑中间两棒； （2）甲、乙二人不都跑中间两棒.22．袋中有相同的5个白球和4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率. （1）摸出的全是白球或全是黑球、 （2）摸出的白球个数多于黑球个数.23．我校学生会进行换届选举，共选举出7名学生会委员，其中甲、乙、丙是上一届的委员，现对7名成员进行如下分工.（1）若学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两人担任，则有多少种不同的分工方法；（2）若甲不担任学生会主席，乙不能担任组织委员，则有多少种不同的分工方法？ 24．设(,)(1)n f x n x =+，*n N ∈. （1）设260126(,6)f x a a x a x a x =++++，求0246a a a a +++的值；（2）求12320192019201920192019232019C C C C +++⋯+的值； （3）*n N ∈，化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----++++.25．已知.（1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.26．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序.（结果．．用数字作答．．．．．） （1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ （3）如果3位女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得． 【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112kkmm m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m mi iC C C C A---．2．A解析：A 【分析】将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)rr r r T C x -+=⋅-,即可求得答案.【详解】()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C xx --⋅⋅=--42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=-- ∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.3．D解析：D 【分析】根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案. 【详解】解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个； ②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个， 这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理和排列组合知识，如何分类是关键，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解. 【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空， 三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法， 又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种. 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.5．D解析：D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 6．C解析：C 【分析】先从5个党员干部里选2个，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，剩下的3名党员分配给3个贫困村，即得解. 【详解】先从5个党员干部里选2个，有25C 种方法，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，有14C 种方法，剩下的3名党员分配给3个贫困村，有33A 种方法.所以共有213543240C C A =种方法.故选：C. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有12C 种，再选2名男生，有24C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有1224C C 种当有二名女生入选时，选选2名女生，有22C 种，再选1名男生，有14C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有2124C C 种所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为12212424C C C C +故选：C 【点睛】本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有124540C C =种不同的取法； ②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有214530C C =种不同的取法， 由分类计数原理，可得不同的取法共有403070+=种. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9．A解析：A 【分析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在4个位置中任选一个即可，有14C 4=种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列只有一个位置，安排乙，即1种选法；3、将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，有222A =种安排方法； 则这4名同学的站队方法有4128⨯⨯=种； 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受到限制的元素，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.11．C解析：C 【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果. 【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列， 而甲和乙之间还有一个排列， 共有5252240A A =. 故选：C. 【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.12．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.二、填空题13．240【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式令所以的展开式的常数项为故答案为【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单解析：240 【分析】先求出二项式6x⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项. 【详解】6x⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．43【分析】因为的展开通项为：根据求的将所给等式两边求导即可求得的值【详解】的展开通项为：又等式两边求导可得：令得：故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识考查了分析能力和解析：43 【分析】因为7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2rrr rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=，根据127a =，求的m ，将所给等式两边求导，即可求得()81i i i a =⋅∑的值.【详解】7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2r r r rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅= 又777()(21)(21)(21)x m x x x m x +--+-=∴7661777011(1)2(1)211427a C m C m =⨯-⋅+⨯--+==⋅∴2m =80187(2)(21)x x a a x a x +-=++⋯+等式两边求导可得：762712381(21)(2)7(21)2238x x x a a x a x a x ⋅-++⋅⋅-⋅=+++⋯+6(21)(211428)x x x =--++67128(1627)(21)28x x a a x a x =+-=++⋯+令1x =，得：1282843a a a ++⋯=+∴()8143i i i a =⋅=∑故答案为：43 【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．【分析】转化条件得或求出满足的个数再利用组合的知识即可得解【详解】或设满足的个数为解得结合组合的应用满足要求的数列有个故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式的应用考查了组合的应用与转化化归思想属于解析：1140【分析】转化条件得11k k a a +-=或11k k a a +-=-，求出满足11k k a a +-=的个数，再利用组合的知识即可得解. 【详解】11k k a a +-=， ∴11k k a a +-=或11k k a a +-=-，设满足11k k a a +-=的个数为x ，()()()211212*********a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-=， ∴()()20114x x +-⋅-=，解得17x =，结合组合的应用，满足要求的数列有20217301140C C ==个. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.16．【分析】由可知集合均含有元素作出韦恩图可知元素可以放在除之外的个区域中每个元素有个选择利用分步乘法计数原理可得结果【详解】如下图所示集合被分为了个区域由可知集合均含有元素则元素可以放在除之外的个区域 解析：216【分析】 由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，作出韦恩图，可知元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示，集合A 、B 、C 被分为了7个区域，由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，则元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，由分步乘法计数原理可知，所有可能的情况种数为36216=. 故答案为：216. 【点睛】本题考查排列组合问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.17．【分析】根据题意先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任选一项的所有情况有种每个项目都有该校教师参加的情况有种即可求得相应的概率【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任解析：49【分析】根据题意，先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的所有情况有43种，每个项目都有该校教师参加的情况有2343C A ⋅种，即可求得相应的概率. 【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的情况有：433333⨯⨯⨯=（种），而每个项目都有该校教师参加的情况有：234336C A ⋅=（种）， 则每个项目都有该校教师参加的概率为：436439=. 故答案为：49. 【点睛】本题考查概率的计算和分步乘法的计数原理，以及排列组合的应用，考查分析计算能力.18．35【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质属于中档题解析：35 【分析】根据组合数的性质11mm mn n n C C C -++=计算可得；【详解】解：2222223456C C C C C ++++3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++ 322556C C C =++3266C C =+ 3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为：35 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.19．114【分析】本题是一个分类计数问题每个国家馆至少分配一名志愿者则有两种不同的情况当按照221安排时共有当按照113安排时有其中包括甲和乙在一个馆里的情况减去不合题意的结果即可【详解】由题意知本题是解析：114 【分析】本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，减去不合题意的结果即可． 【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况， 每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3 当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =， 其中包括甲和乙在一个馆里的情况， 当甲和乙在同一个馆里时，共有234336C A =， ∴满足条件的排列法共有906036114+-=，故答案为：114. 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题的关键是先分组再做分配，考查加法原理和乘法原理的实际应用，属于中等题.20．【分析】本题属于分组分配问题可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论分上下午两步安排参观即可得出答案【详解】若与中的某一支小队分在一组上午有种参观方法下午参观时三支小队不去各自上午参观的高校有解析：【分析】本题属于分组分配问题，可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论，分上下午两步安排参观，即可得出答案. 【详解】若A 与B 、C 、D 中的某一支小队分在一组，上午有1333C A ⋅种参观方法， 下午参观时B 、C 、D 三支小队不去各自上午参观的高校，有2种方法， 故有1333236C A ⋅⋅=种；若B 、C 、D 中某两支队分在一组，上午有2333C A ⋅种参观方法， 下午再安排时，也有2种方法， 故有2333236C A ⋅⋅=种. 所以一共有363672+=种. 故答案为：72. 【点睛】本题考查考查分组分配问题，注意其中的分类分步，属于中档题.三、解答题21．（1）144（2）336 【分析】（1）第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，利用乘法原理可得结论． （2）利用间接法，任意排法，再去掉甲、乙跑中间的安排方法即可得解； 【详解】解：（1）先选跑中间的两人有24A 种，再从余下的4人中选跑1、4棒的有24A ，则共有2244144A A =种.（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法46A ，再去掉甲、乙跑中间的安排方法2224A A 种，故满足条件的安排方法有246224336A A A =-种. 【点睛】本题考查计数原理的运用问题，解题的关键是正确分步．注意甲乙都不跑中间，包括了甲乙可能都不上场的情形．22．（1）16（2）2542【分析】（1）从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况，摸出的全是白球有35C 种不同情况，摸出的全是黑球有34C 种不同情况，计算概率得到答案.（2）摸出的3个球都是白球的事件，记为M ；摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .计算概率得到答案. 【详解】（1）设从袋中摸出的3个球全是白球或全是黑球的事件为A ， 从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况， 摸出的全是白球有35C 种不同情况， 摸出的全是黑球有34C 种不同情况，因为从袋中任意摸出3个球的所有情况都是等可能的，所以()3354391041846C C P A C ++===. （2）设从袋中摸出的白球个数多于黑球个数的事件为B . 事件B 包含两个基本事件：第一个，摸出的3个球都是白球的事件，记为M ； 第二个，摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .()3539542C P M C ==，()21543940108421C C P N C ===. 所以，()()()51025422142P B P M P N =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 23．（1）720；（2）3720. 【分析】（1）由学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，利用排列、组合计算即可；（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，可用间接法计算，即可求解． 【详解】（1）由题意，学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任， 则有225325720C A A =种不同的分工．（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，则有76576523720A A A -+=种不同的分工． 【点睛】本题主要考查了排列、组合及其简单的计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列数、组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．24．(1)32.（2）201820192⨯.（3）54n.【分析】（1）利用赋值法求解，令1x =和1x =-，两式相加可得；（2）利用11k k n n kC nC --=可求；（3）结合式子特点构造(41)n +可求. 【详解】（1）令1x =，得60126264a a a a +++⋯+== ① 令1x =-，得01260a a a a -+-⋯+= ② ①+②得024632a a a a +++=；（2）因为11k k n n kC nC --=所以12320192019201920192019232019C C C C ++++=()12201820182018201820182019C C C C ++++201820192=⨯；（3）01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++⋯++011221144444n n n n nn n nnnC C C CC ---⎡⎤=+++++⎣⎦15(41)44nn=+=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合组合数的性质，侧重考查数学解题模型的构建能力. 25．（1）（2）（3）【解析】 【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可. 【详解】 （1）若，，令,则， 令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，∴.所以.（3）若,【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。
高中数学选修2-3第一章练习卷及答案
22. (1)若
的展开式中， 的系数是 的系数的 倍，求 ；
(2)已知 中项，求 ；
的展开式中， 的系数是 的系数与 的系数的等差
(3)已知
的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 ，求 .
第一章 计算原理 答案
1.1 分类加法计算原理与分步乘法计算原理
考法突破 【考点训练题】
两个计数原理训练题
一、选择题
丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙丁甲乙,丙丁乙甲;
丁甲乙丙,丁甲丙乙,丁乙甲丙,丁乙丙甲,丁丙甲乙,丁丙乙甲.
(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长,共有 是:
种选法,形成的排列
,,,,,, , ,,,,,, ,, ,,,, .
1.3 二项式定理
考法突破 【考点训练题】
二项式定理训练题
B 从 人中选 人组成篮球队
C 从 人中选 人抽样调查
D 从 , , , , 中选 个数组成集合
2. 体操男队共六人参加男团决赛,但在鞍马项目上,根据规定,只需五人出场, 那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有()
A种
B种
C
种
D种
3.
件产品中有 件次品,任意抽取 件,其中至少有 件次品的抽法有()
A
B
掌握
能用计数原理证明二项式定理
掌握
3
二项式定理
会用二项式定理解决与二项展开式有 掌握
关的简单问题
1.1 分类加法计算原理与分步乘法计算原理
考法突破
1.分类加法计数原理 完成一件事有 类不同的方案,在第一类方案中有 种不同的方法,在第二类方案中有 种 不同的方法,……,在第 类方案中有 种不同的方法,则完成这件事情,共有
，则 的值为 ( )
常德市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(含答案解析)
一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ）A ．1215B ．135C ．18D ．93．把4个不同的小球全部放人3个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法总数为（ ） A ．1333C A B ．3242C AC ．132442C C CD ．2343C A4．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，则022n a a a 的值是（ ）A ．()1312n- B ．1312nC ．3nD ．31n +5．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A ．48种B ．72种C ．96种D ．144种6．二项式3nx x 的展开式中第13项是常数项，则n =（ ）A ．18B ．21C ．20D ．307．袋中有大小相同的四个白球和三个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）A ．47B ．37C ．27D ．8218．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．2409．在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为( ) A ．10B ．25C ．35D ．6610．已知8290129(3)(23)(1)(1)(1)x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，则6a =（ ）A ．1792-B ．1792C ．5376-D ．537611．式子22223459C C C C ++++=（ ）A ．83B ．84C ．119D ．12012．若用1,2,3,4,5,6，这六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有多少个( ) A ．720B ．36C ．144D ．72二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色.现有5种不同的颜色可供选择，则有________种涂色方案.15．已知正整数n ，二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有7x 的项，则n 的最小值是________.16．某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种.17．设二项式11323nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数和为t ，其二项式系数之和为h ，若272h t +=，则二项展开式中2x 项的系数为__________.18．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.19．从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取3个组成一个无重复数字的三位数，其中奇数的个数是__________.20．若多项式()()()10112110110112111x x a a x a x a x +=+++++++，则10a =______.三、解答题21．男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）队长中至少有1人参加； （3）既要有队长，又要有女运动员.22．已知n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3（1）求n 的值；（2）求展开式中3x 项的系数（3）计算式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．23．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.24．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++ （1）求2a 的值；（2）求2202413()()a a a a a ++-+25．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少? （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少? （3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?26．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．B解析：B 【解析】分析：由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可求得常数项． 详解：由题意264n=，6n =，∴通项为36662166(3)3r r rr r rr T C x C x ---+==， 令3602r -=，4r =，∴常数项为2463135C =， 故选B.．点睛：在()n a bx +展开式中二项式系数为2n ，所有项的系数和为()n a b +．要注意这两个和是不一样的，二项式系数和是固定的，只与指数n 有关，而所有项系数和还与二项式中的系数,a b 有关．3．D解析：D 【分析】利用捆绑法选择两个球看成整体，再全排列得到答案. 【详解】选择两个球看成整体，共有24C 种取法，再把三个球放入三个盒子中，有33A 种放法，故共有2343C A 种放法. 故选：D. 【点睛】本题考查了排列和组合的应用，意在考查学生的应用能力，利用捆绑法是解题的关键.4．B解析：B 【分析】本题可以通过利用二项展开式的系数关系，采用赋值法将x 分别赋值为1、1-，然后通过运算即可得出结果． 【详解】()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，令1x =，01223n na a a a ①，令1x =-，01221n a a a a ②，（①+②）02212312nna a a ， 故选：B ． 【点睛】本题考查二项展开式的相关运算，可通过赋值法进行计算，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.5．B解析：B 【分析】A 区域与其他区域都相邻，从A 开始分步进行其它区域填涂可解【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法， ③，对于C 区域，与A B 、 相邻，有2种涂法，④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B ．【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．6．D解析：D 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】二项式3nx x 的展开式中第13项12101212123313()n n n n T C x C x x --⎛== ⎝， 令1003n-=，得30n =. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．B解析：B 【分析】根据题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，利用组合计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，所选的两个球均为白球或黑球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为22432737C C P C +==. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】分析12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的本质就是考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，利用组合知识即可得解.【详解】12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式考虑12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 每个括号内各取202011,,x x 之一进行乘积即可得到展开式的每一项，要得到2x 项，就是在12个202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中，两个括号取x ，10个括号取1， 所以其系数为21266C =. 故选：D 【点睛】此题考查求多项式的展开式指定项的系数，关键在于弄清二项式定理展开式的本质问题，将问题转化为计数原理组合问题.10．D解析：D 【分析】将原式改写成88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----，利用二项式定理解决系数问题即可得解.【详解】88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----290129(1)(1)(1)a a x a x a x =+-+-+⋅-+⋅⋅，所以26356882C 2C 2358417925376.a =⨯⨯+⨯=+= 故选：D 【点睛】此题考查二项式定理的理解辨析和应用，关键在于熟练掌握定理公式，根据公式处理系数关系.11．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.12．D解析：D 【分析】第一步先将1，3、5排列，共有336A =种排法；第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空，先用两个元素排列中间两个空，在把两端的空位选一个放第三个元素，得到结果． 【详解】解：由题意知，本题是一个分步计数问题， 第一步先将1，3、5排列，共有336A =种排法，第二步再将2，4、6插空排列，不能空着两个偶数之间的空， 先用两个元素排列中间两个空，在把两端的空位选一个放第三个元素，共有23212A =种排法， 由分步乘法计数原理得这样的六位数共有：61272⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查分步计数原理，以及排列数的计算和插空法的应用，解题的关键是看出做完一件事需要分成几步，每一步包括几种方法．二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．4100【分析】分类讨论：三个区域用同一种颜色用2种颜色用3种颜色由分步计数原理可得结论【详解】考虑三个区域用同一种颜色共有方法数有考虑三个区域用2种颜色共有方法数有考虑三个区域用3种颜色共有方法数解析：4100 【分析】分类讨论：A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，用2种颜色，用3种颜色，由分步计数原理可得结论． 【详解】考虑A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，共有方法数有354320⨯=，考虑A 、C 、E 三个区域用2种颜色，共有方法数有(543)4332160⨯⨯⨯⨯⨯=， 考虑A 、C 、E 三个区域用3种颜色，共有方法数有33531620A ⨯=， 故总计有方法数320216016204100++=． 故答案为：4100． 【点睛】本题考查分类计数原理和分步计数原理，解题关键是确定完成事件的方法，是分类还是分步？本题完成涂色这个事件，采取的是先分类：按A 、C 、E 三个区域所用颜色数分三类，然后每类再分步，每类里先涂色A 、C 、E 三个区域，然后再涂色其它三个区域．15．【分析】确定展开式的通项令的指数为即可求得结论【详解】二项式的展开式通项为令可得当时取最小值故答案为：【点睛】本题考查二项展开式通项的应用考查学生的计算能力属于中等题 解析：4【分析】确定展开式的通项，令x 的指数为7，即可求得结论． 【详解】二项式322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()3351222kn k k k kn k k n n T C x C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭. 令357n k -=，可得573k n +=，当1k =时，n 取最小值4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查二项展开式通项的应用，考查学生的计算能力，属于中等题.16．42【分析】根据题意不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数再加上甲值16号且乙值14号的排法进而计算可得答案【详解】解：根据题意不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值1解析：42 【分析】根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，即221211645443242C C C C C C -⨯+=， 故答案为：42． 【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同以及各种排法间的关系，避免重复、遗漏．17．1【分析】给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数和利用二项式系数之和公式求出再代入解方程求出的值从而得出二形式的表达式再求出二项式中项的系数即可【详解】令二项式中的为1得到各项系数之和为又二项式系数解析：1 【分析】给二项式中的x 赋值1，求出展开式的各项系数和t ，利用二项式系数之和公式求出h ，再代入272h t +=，解方程求出n 的值，从而得出二形式的表达式，再求出二项式中2x 项的系数即可. 【详解】令二项式中的x 为1得到各项系数之和为4=n t ，又二项式系数之和为2=n h ， 因为272h t +=，，所以42272n n +=，解得4n =，所以41111332233nx x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以它展开式的通项为443243-+-k kkkC x，要得到2x 项的系数，则需令4232-+=k k， 解得4k =，所以二项展开式中2x 项的系数为444431-=C .故答案为：1. 【点睛】本题主要考查二项式展开式的各项系数之和，二项式系数之和，二项展开式通项的应用，正确运用公式是解题关键.18．144【分析】根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个元素与人进行全排列易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个安排由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个解析：144 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列，易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列， 有232312A A =种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，有2412A =种情况， 则有1212144⨯=种不同的排法. 故答案为：144. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意常见的相邻和不相邻问题的处理方法有捆绑法和插空法．19．48【分析】根据题意分3步进行分析：①从135三个数中取一个排个位；②0不能在百位则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个安排在十位由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分3步进行解析：48【分析】根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位；②0不能在百位，则百位的安排方法有4种；③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法， ②0不能在百位，则百位的安排方法有4种，③在剩下的4个数中任选1个，安排在十位，有4种情况， 则符合题意的奇数的个数是为34448⨯⨯=个. 故答案为：48. 【点睛】本题考查排列组合及简单的计算原理，采用特殊元素特殊位置优先考虑的方法.20．【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为令解得则得解【详解】由展开式的通项为令解得则故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：22-【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)r r r r T C x -+=+-，令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-，得解．【详解】由111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)rr r r T C x -+=+-， 令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-， 故答案为：22-． 【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．三、解答题21．（1）120(种)；（2）196(种)；（3）191(种). 【分析】(1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有36C 种选法．再选2名女运动员，有24C 种选法．利用乘法原理得到结果;(2）只有男队长的选法为48C 种，只有女队长的选法为48C 种，男、女队长都入选的选法为38C 种，把所有的结果数相加;(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法．不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法．其中不含女运动员的选法有45C 种，得到结果.【详解】 （1）分两步完成：第一步，选3名男运动员，有36C 种选法；第二步，选2名女运动员，有24C 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有3264120C C ⋅=(种)选法.（2）方法一(直接法)可分类求解： “只有男队长”的选法种数为48C ； “只有女队长”的选法种数为48C ； “男､女队长都入选”的选法种数为38C ， 所以共有43882196C C +=(种)选法.方法二(间接法)从10人中任选5人有510C 种选法，其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少有1名队长”的选法有55108196C C -=(种).（3）当有女队长时，其他人任意选，共有49C 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时的选法共有4485C C -（）种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有444985191C C C +-=(种).【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理，考查分类加法计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目，属于中档题. 22．（1）10n =；（2）180；（3）1. 【解析】试题分析： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．第一问，直接利用条件可得3283n n C C =，求得n 的值；第二问，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中x 3项的系数．第三问，在10二项展开式中，令x=1，可得式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值．试题（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，可得3283n n C C =，化简可得2833n -=，求得10n =． （2）由于n 二项展开式的通项公式为5110(2)r r rr T C x -+=-，令53r -=，求得2r，可得展开式中3x 项的系数为2210(2)180C -=． （3）由二项式定理可得105100(2)n r r rr C x -==-∑， 所以令x=1得01231010101010102481024C C C C C -+-++10(12)1=-=.考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．23．（1）1（2）证明见解析； 【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk n n n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x()112211111(1)------=-+-++n n n n n n nnC x x n x x nC x C()112111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．(1) 72 ；(2) 1 【分析】（1）求2a 时，可通过二项展开式的通项去求解；（2）先观察式子特征，注意到可进行平方差变形；然后根据1x =±时的值来计算最终结果. 【详解】（1）因为222224C (2)a x x =，所以22224C (2)72a ==； （2）22024130123401234()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+当1x =时，401234(2a a a a a ++++=；当1x =-时，401234(2a a a a a --+-+=；所以2244402413()()2)2)(34)1a a a a a ++-+==-=. 【点睛】对于230123()...nn f x a a x a x a x a x =+++++形式的展开式，奇次项系数和：(1)(1)2f f +-，偶次项系数和：(1)(1)2f f --，所有项系数和：(1)f .25．（1）36个（2）36个（2）49个 【解析】 【分析】（1）先排个位数，方法数有12C 种，然后排万位数，方法数有13C 种，剩下百位、十位和千位任意排，方法数有33A 种，再按分步乘法计数原理即可求得种类数.（2）把数字1和3捆绑在一起，则相当于有4个位置，最高位不为0，其余位置任意排； （3）计算出比30124小的五位数的情况，即可知道30124排第几个. 【详解】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有113233=236=36C C A ⨯⨯个； （2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有21323323636A C A =⨯⨯=个；（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即142422448C A=⨯=，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的万位不能为零，故第二考虑的是万位，本小题属于基础题. 26．（1）1560；（2）156；（3）92.【解析】【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果.【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C CAA⋅=种分法分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C CAA A⋅=种分法由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法（2）若个位是0，共有：3560A=个若个位不是0，共有：11224496C C A=个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C=种选法若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C=种选法若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C=种选法由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(含答案解析)(5)
一、选择题1．已知()~,X B n p ，且()2E X =，()43D X =，则n =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1C ．0.15D ．0.23．甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（ ） A ．0.2484B ．0.25C ．0.90D ．0.39244．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知ξ的分布列如图所示，设2-5ηξ=，则()=E η（ ）A ．12B ．13C ．23D ．326．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ）A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村7．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21E X +=（ ） A ．13B ．12C ．5D ．48．下列命题中真命题是（ ）（1）在183x x 的二项式展开式中，共有4项有理项；（2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件；（3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）9．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．2510．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上， 设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（ ） A ．12B ．13C ．14D ．3811．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值为（ ） A ．20B ．25C ．30D ．4012．某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A ．261B ．341C ．477D ．683二、填空题13．甲、乙两人被随机分配到,,A B C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）．记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望()E X =_____． 14．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.15．《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试，若有优势的马一定获胜，且每场比赛相互独立，则采取三局两胜制齐王获胜的概率为________. 16．在高三的一个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数1(5,)4B ξ～，则()P k ξ=取最大值时k =_______．17．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______.18．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =______．19．随机变量X 服从正态分布()2~10,X N σ，()12P X m >=，1(8)0P X n ≤≤=，则21m n+的最小值为_____． 20．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果()100.3P X <=,() 10300.4P X ≤≤=，那么()30P X >等于_________. 三、解答题21．已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个.现从中随机取球，每次只取一球．()1若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；()2若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望．22．某校准备从报名的6位教师（其中男教师3人，女教师3人）中选3人去边区支教. （1）设所选3人中女教师的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率.23．复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力．而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强．复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记X 表示成绩“优良”的人数，求X 的分布列和期望．24．已知从A 地到B 地有两条道路可以到达，走道路①准点到达的概率为34，不准点到达的概率为14；走道路②准点到达的概率为p ，不准点到达的概率为(1)p -.若甲乙两车走道路①，丙车由于其他原因走道路②，且三辆车是否准点到达相互之间没有影响. （1）若三辆车中恰有一辆车没有准点到达的概率为716，求走道路②准点到达的概率p ； （2）在（1）的条件下，求三辆车中准点到达车辆的辆数的分布列和数学期望.25．某投资公司准备在2020年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物流，商旅文化两个项目中的一个之中．项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到2022年底每个物流仓盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利为投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到2022年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的物流仓的个数，求()1E X （用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 千万元，求()2E X （用p 表示）； （3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．26．某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A 的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A 的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A 的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A 的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A 的需求量x 的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【解析】∵~(,)X B n p ，∴()2E X =，4()3D X =，∴2np =，且4(1)3np p -=，解得613n p =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴6n =，故选B ．2．B解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.3．D解析：D 【分析】根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案． 【详解】由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙两人各投2次： 两人两次都未投中的概率：()()22010.610.70.0144P =-⨯-=；两人各投中一次的概率：()()111220.610.60.710.70.2016P C C =⨯⨯-⨯⨯⨯-=；两人两次都投中的概率：2220.60.70.1764P =⨯=.所以，两人投中次数相等的概率为：0120.3924P P P P =++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.4．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==.故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.5．C解析：C 【分析】根据分布列的性质，求得13m =，由期望的公式，可得17()6E ξ=，再根据()()5E E ηξ=-，即可求解.【详解】由题意，根据分布列的性质，可得1111663m +++=，解得13m =，所以随机变量ξ的期望为111117()123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 又由2-5ηξ=，可得172()2563E η=⨯-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了随机变量的期望的计算，其中解答中熟记分布列的性质和期望的计算公式是解答的关键，着重考查了计算能力.6．B解析：B 【分析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，则X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，分别求得概率，再验证选项. 【详解】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B 【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题.7．C解析：C 【分析】根据1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭得到()2E X =，再根据()()2121E X E X +=+，计算得到答案. 【详解】1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故()()21215E X E X +=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力.8．D解析：D 【分析】对三个命题分别判断真假，即可得出结论. 【详解】对于（1），18的二项展开式的通项为1815163621818rrrr rC x x C x ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0r =、6、12、18时，为有理项，共有4个有理项，故（1）正确； 对于（2），事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =， 所以()()()0.150.600.09P AB P A P B =⨯==，满足A 、B 为相互独立事件，故（2）正确；对于（3），当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近于3， 所以，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故（3）正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查分析法与基本运算能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．10．C解析：C 【分析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果， 其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果， 所以()()1(|)4P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.11．B解析：B 【分析】先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果.【详解】由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为：2555216C =因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以X 服从二项分布5(80,)16X B 则5()802516E X =⨯= 故选B 【点睛】本题咔嚓了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题.12．B解析：B 【解析】分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为110000.682?63412⨯⨯≈人. 故选B .点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．二、填空题13．【分析】由题意得出的可能取值以及相应的概率再计算数学期望即可【详解】由题意可得的可能取值有012则数学期望故答案为：【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望属于中档题解析：23【分析】由题意得出X 的可能取值以及相应的概率，再计算数学期望即可. 【详解】由题意可得X 的可能取值有0，1，2224(0)339P X ⨯===⨯，122411(1),(2)339339C P X P X ⨯======⨯⨯则数学期望4()09E X =⨯41212993+⨯+⨯=．故答案为：23【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的数学期望，属于中档题.14．【分析】首先对事件进行分类分成女生0分男生6分或女生2分男生4分或女生4分男生2分女生的概率可以按照超几何概率求解男生按照独立重复求解概率【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A 则可分为 解析：43120【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率. 【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A ，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件1A ；女生得2分男生得4分，设为事件2A ；女生得4分男生得2分，设为事件3A ，则：()32321326112120C P A C C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， ()211224232611241221205C C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22143326111832212020C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()12343120P A P A P A P A =++=. 故答案为：43120【点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型.本题的关键是对事件分类.15．【分析】列出所有情况统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率再根据独立事件计算得到答案【详解】设齐王的上中下等马为田忌的上中下等马为则共有9种情况其中齐王获胜的有6种情况故故答案为：【点睛】本题考查 解析：2027【分析】列出所有情况，统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率123p =，再根据独立事件计【详解】设齐王的上中下等马为ABC ，田忌的上中下等马为abc ， 则共有,,,,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 9种情况， 其中齐王获胜的有,,,,,Aa Ab Ac Bb Bc Cc 6种情况，故16293p ==， 32232212033327p C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2027. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．1【分析】可得则且计算可得【详解】解：依题意可得则且解得又所以故答案为：1【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式组合数的计算公式考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：1 【分析】1~(5,)4B ξ，可得5511()()(1)44k k k P k C ξ-==⨯-．则()(1)P k P k ξξ=≥=-且()(1)P k P k ξξ=≥=+计算可得．【详解】解：依题意，可得5511()()(1)44kk k P k C ξ-==⨯-则5C k3()45k-1()4k15C k -≥3()45(1)k --1()41k -，且5C k3()45k-1()4k ≥15C k +5(1)3()4k -+11()4k +， 解得12k ≤≤32，又*k N ∈，所以1k =． 故答案为：1 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】分别分析最大号码为345的情况再根据所对应的概率求解数学期望即可【详解】所有可能的情况一共有种其中最大号码为3的情况一共有种；其中最大号码为4的情况一共有种；其中最大号码为5的情况一共有种；解析：92分别分析最大号码为3,4,5的情况再根据所对应的概率求解数学期望即可.【详解】所有可能的情况一共有3510C=种,其中最大号码为3的情况一共有221C=种；其中最大号码为4的情况一共有233C=种；其中最大号码为5的情况一共有246C=种；故ξ的数学期望是136312309 345101010102++⨯+⨯+⨯==.故答案为：9 2【点睛】本题主要考查了排列组合解决数学期望的问题,根据题意分析所有可能的情况再利用数学期望公式求解即可.属于中等题型.18．4【解析】【分析】由题意求得随机变量的取值利用相互独立事件的概率公式求得相应的概率再由期望的计算公式即可求解数学期望【详解】由题意该同学解出题目的个数为随机变量的取值为则所以【点睛】本题主要考查了随解析：4【解析】【分析】由题意求得随机变量X的取值，利用相互独立事件的概率公式，求得相应的概率，再由期望的计算公式，即可求解数学期望．【详解】由题意，该同学解出题目的个数为随机变量X的取值为0,1,2X=，则P(X0)0.20.40.08==⨯=，P(X1)0.80.40.20.60.44==⨯+⨯=，P(X2)0.80.60.48==⨯=.所以E(X)00.0810.4420.48 1.4=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．【分析】根据正态分布的对称性得到再利用均值不等式计算的最小值【详解】随机变量服从正态分布∴由得又∴且则当且仅当即时等号成立∴的最小值为故答案为【点睛】本题考查了正态分布的计算均值不等式的运用综合性较解析：6+根据正态分布的对称性，得到12m n +=，再利用均值不等式计算21m n+的最小值. 【详解】随机变量X 服从正态分布210(),X N σ～，∴1(10)2P X ≥=， 由1(8)0P X n ≤≤=，得1(10)2P X n ≤≤=， 又()12P X m >=， ∴12m n +=，且0m >，0n >， 则2121(22)m n m n m n ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭42662642n m m n+⋅=+=+． 当且仅当42n m m n =，即222m -=，212n -=时等号成立． ∴21m n+的最小值为642+． 故答案为642+． 【点睛】本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.20．3【分析】根据随机变量的概率之和为1即可求出【详解】根据随机变量的概率分布的性质可知故【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质属于中档题解析：3 【分析】根据随机变量的概率之和为1，即可求出()30P X >. 【详解】根据随机变量的概率分布的性质,可知()()()101030301P X P X P X <+≤≤+>=, 故(30)10.30.40.3P X >=--=. 【点睛】本题主要考查了随机变量的概率分布的性质，属于中档题.三、解答题21．（1）；（2）随机变量X 的分布列见解析，期望为133. 【分析】（1）可从正面计算取得两次、三次、四次白球的概率和，也可以用1减去取得一次、两次白球的概率，而四次取球中每次是否取得白球相互独立，只需用组合数即可得到相应概率；（2）注意取出的球不放回，因此最多取5次白球就会被取完，故X ＝2，3，4，5，分别计算对应的概率，写出分布列，进而可求出期望. 【详解】（1）记随机变量ξ表示连续取球四次，取得白球的次数，则ξ～B （4，13） 则P （ξ＞1）＝1－P （ξ＝0）－P （ξ＝1）＝1－00411344121211()()()()333327C C -=（2）随机变量X 的取值分别为2，3，4，5∴P （X ＝2）＝2226115C C =，P （X ＝3）＝11242612415C C C ⨯= P （X ＝4）＝1224361135C C C ⨯=，P （X ＝5）＝134244446635C C C C C += ∴随机变量X 的分布列为∴随机变量X 的期望为：1313()23451515553E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：古典概型，相互独立事件，随机变量的分布列与期望 22．（1）分布列见解析，期望为32；（2）35． 【分析】（1）X 的值依次为0,1,2,3，分别计算出概率得概率分布列，再由期望公式计算出期望； （2）设事件A 为“甲地是男教师”,事件B 为“乙地是女教师”,利用条件概率公式,即可求出概率. 【详解】（1）X 的所有可能取值为0,1,2,3,33361(0)20C P X C ===，1233369(1)20C C P X C ===，2133369(2)20C C P X C ===，33361(3)20C P X C ===，所以X 的分布列为:故()1232020202E X =⨯+⨯+⨯=； （2）设事件A 为“甲地是男教师”,事件B 为“乙地是女教师”,则1236361()2C A P A A ==，111334363()10C C C P AB A ==， 所以3()310(|)1()52P AB P B A P A ===． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列和数学期望，考查条件概率，解题时确定出随机变量的所有可能取值，然后计算出概率后可得概率分布列，由期望公式可计算出期望．掌握条件概率公式即可计算条件概率． 23．（1）2627（2）见解析，2 【分析】（1）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为23，由此能求出在该社区老人中任选三人，至少有1人成绩是‘优良’的概率．（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望． 【详解】解：（1）抽取的12人中成绩是优良的频率为23， 故从该校全体高二学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是23， 设“在该校全体高二学生中任选3人，至少有1人成绩优良”为事件A ，则()33212611132727P A C ⎛⎫=-⨯-=-= ⎪⎝⎭． （2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，()3431241022055C P X C ====，()12843124812122055C C P X C ====，()218431211228222055C C P X C ====，()383125614122055C P X C ====，所以X 的分布列为0123255555555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，属于中档题． 24．（1）716（2）见解析，136【分析】（1）三辆车中恰有一辆车没有准点到达包含两种情况：甲乙中有一辆没有准点到达或丙没有准点到达，由相互独立事件同时发生的概率公式列出关于p 的方程，解方程即可得结果；（2）设三辆车中准点到达车辆的辆数为ξ，则ξ可能的取值为0，1，2，3，由题写出变量的分布列，算出数学期望. 【详解】解：（1）由已知条件得2123137(1)44416C p p ⎛⎫⨯⨯+-= ⎪⎝⎭，解得23p =； （2）ξ可能的取值为0，1，2，3，()1111044348P ξ==⨯⨯=，123111121(1)4434436P C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，123123317(2)44344316P C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，3323(3)4438P ξ==⨯⨯=，ξ的分布列为所以01234861686E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了学生的运算求解能力.25．（1）()110E X p =；（2）()2 1.60.6E X p =-；（3）分类讨论，见解析. 【分析】（1）由题意结合二项分布的期望公式即可得解；（2）由题意列出分布列，利用离散型随机变量期望公式即可得解；（3）由题意分别计算出项目一、项目二的利润的期望与方差，分类比较即可得解. 【详解】（1）由题意1~(10,)X B p ，则盈利的物流仓数的期望()110E X p =；（2）若投资项目二，盈利的金额为20.51⨯=（千万元），亏损的金额为20.30.6⨯=（千万元）， 则2X 的分布列为所以盈利的期望)20.6(1) 1.60.6E X p p p =--=-； （3）若盈利，则每个物流仓盈利0.240%0.08⨯=（千万元），若选择项目一，盈利的期望为()()110.080.080.08100.8E X E X p p ==⨯=（千万元），方差为()()22110.080.080.0810(1)0.064(1)D X D X p p p p ==⨯-=-，若选择项目二，盈利的方差为：()222(1 1.60.6)(0.6 1.60.6)(1) 2.56(1)D X p p p p p p =-++--+-=-，①当()()120.08E X E X =时，0.8 1.60.6p p =-，解得34p =， 而()()120.08D X D X <，故选择项目一；②当()()120.08E X E X >时，0.8 1.60.6p p >-，解得304p <<，此时选择项目一；③当()()120.08E X E X <时，0.8 1.60.6p p <-，解得34p >，此时选择项目二． 【点睛】本题考查了离散型随机变量期望与方差的求解和应用，考查了二项分布的应用与分类讨论思想，属于中档题. 26．（1）1116（2）4个 【分析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解. 【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率223142344441111111112222216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（i ）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y 的分布列为：则（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=； 需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置， 此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则4870=（万元）综上所述，要使该工厂商品A的月利润为最大，应建设4个生产线车间．【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.。
数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）
第 1 页 共15 页 选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息 由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项 解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。
人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案
⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。
(典型题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(答案解析)
一、选择题1．甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是（ ） A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2332．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.23．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知离散型随机变量X 的分布列如图：则均值E (X )与方差D (X )分别为( )A ．1.4,0.2B ．0.44,1.4C ．1.4,0.44D ．0.44,0.26．设离散型随机变量X 可能的取值为1，2，3，4，()P X k ak b ==+，又X 的数学期望为()3E X =，则a b += A ．110B ．0C ．110-D ．157．设一随机试验的结果只有A 和A ,且A 发生的概率为m ，令随机变量11A X A 发生发生⎧=⎨-⎩，则()D X =（ ）A ．1B ．(1)m m -C ．4(1)m m -D ．4(1)(21)m m m --8．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为123,,234，且是相互独立的．如图，将23,T T 两个元件并联后再与1T 元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ）A ．1124B ．2324C ．14D ．17329．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ） A ．32元B ．34元C ．35元D ．36元10．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ）A ．18B ．38C ．58D ．7811．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是A ．4,4E D ξξ=-=B ．3,3E D ξξ=-=C ．4,4ED ξξ=-=-D ．3,4E D ξξ=-=12．设随机变量ξ的概率分布列为1()()3kP k a ξ==，其中0,1,2k =，那么a 的值为（ ） A ．35B ．2713C ．919D ．913二、填空题13．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝________.14．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在[20，80]内的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[60，80]内的人为“老年人”，将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在[20，80]的人口分布的概率.从该城市年龄段在[20，80]内的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X 则随机变量X 的数学期望为______.15．《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现规定每场比赛从双方的马匹中随机各选取一匹进行比试，若有优势的马一定获胜，且每场比赛相互独立，则采取三局两胜制齐王获胜的概率为________. 16．2017年5月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ~ N ()2100,σ.（试卷满分为150分）统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________.17．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望7()3E ξ=，则a b +=_____. 18．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为______． 19．若随机变量2~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3D X =_______． 20．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）．三、解答题21．某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得15-分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列. （2）玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.22．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是12和25，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）求甲射击5次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击3次，甲恰好比乙多击中目标2次的概率23．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ． ①利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数．已知X 服从二项分布(),B n p ，利用①的结果，求()E X ．15012.2≈若()2,Z N μσ~则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．24．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮一次命中的概率为23，乙投篮一次命中的概率为12，若甲、乙各投篮三次，设X 为甲、乙投篮命中的次数的差的绝对值，其中甲、乙两人投篮是否命中相互没有影响.（1）若甲、乙第一次投篮都命中，求甲获胜（甲投篮命中数比乙多）的概率； （2）求X 的分布列及数学期望.25．湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法．．．．．．分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：而等比例转换法．．．．．．是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y 、2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y 、2Y 时，等级分分别为1T 、2T ，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表： 设小明转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971TT --=--，所以76.677T =≈（四舍五入取整），小明最终生物等级成绩为77分.已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表： （1）从政治成绩获得A 等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；（2）从政治成绩获得A 等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为ξ，求ξ的分布列和期望.26．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】直接利用对立事件和独立事件的概率求解. 【详解】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0．1，0．2，0．4， 所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是：()()()()0.110.210.40.210.110.4p =⨯-⨯-+⨯-⨯- ，()()0.410.210.10.444+⨯-⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于中档题.2．B解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.3．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==.故选：C ． 【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.4．C解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，求得，再利用随机变量的均值和方差的公式，即可求解，得到答案． 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质可得，解得，所以随机变量的均值为，方差为， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及均值与方程的计算，其中解答中根据离散型随机变量的分布列的性质，求得的值，再利用均值和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．A解析：A 【分析】将1,2,3,4X =代入()P X k =的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得+a b 的值. 【详解】依题意可的X 的分布列为X1 2 3 4P+a b 2a b + 3a b + 4a b +()()()()23412233443a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++=⎧⎨+++++++=⎩，解得1,010a b ==，故110a b +=.所以选A. 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为1，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题.7．C解析：C 【分析】根据随机试验的结果只有A 和A ，P （A ）=m ，使得随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩发生发生，得到随机变量符合两点分布，根据两点分布的方差公式得到结果． 【详解】∵由题意知一随机试验的结果只有A 和A ， 且P （A ）=m ，随机变量11A X A ⎧=⎨-⎩发生发生∴X 服从两点分布，∴EX=1(1)(1)21m m m ⨯+-⨯-=-, ∴DX=4m （1-m ）． 故选C ． 【点睛】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．8．A解析：A 【分析】若电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 【详解】记1T 正常工作为事件A 记2T 正常工作为事件B 记3T 正常工作为事件C 则()12P A =，()23P B =，()34P C = 电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 则23T T ，至少有一个正常工作，概率为()1231111113412P P BC ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则电路不发生故障的概率1111121224P =⨯= 故选A 【点睛】本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件．9．C解析：C【解析】 【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望2030403510105EX =⨯+⨯+⨯=， 即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.10．C解析：C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率. 详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ==== 所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+== 选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)k k n k n C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.11．D解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=， 则：()214,14E D ξξ-=-=， 据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【解析】分析：根据离散型随机变量分布列的性质，变量取各个量对应的概率和等于1，建立关于a 的等量关系式，最后求得结果.详解：根据分布列的性质可得，()()()0121110121333P P P a a a ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得913a =，故选D. 点睛：解决该题的关键是明确离散型随机变量的分布列的性质，从而找到关于参数a 所满足的等量关系式，最后求得结果.二、填空题13．【解析】所以【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望方差公式求解注意： 解析：1712【解析】()11103412P X ==⨯=，()211351343412P X ==⨯+⨯=，()23623412P X ==⨯=，所以()1526171212E X ⨯+⨯==. 【点睛】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路:(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意：解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．14．6【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在的频率即概率通过二项分布求出数学期望即可【详解】通过频率分布直方图得年龄段在的频率为即概率为抽到老年人的人数为服从二项分布即所以期望为故答案为：06【点睛】本解析：6 【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在[]60,80的频率即概率，通过二项分布求出数学期望即可. 【详解】通过频率分布直方图得年龄段在[]60,80的频率为20.01100.2⨯⨯=，即概率为0.2， 抽到“老年人”的人数为X 服从二项分布，即()3,0.2X B ,所以期望为()30.20.6E X np ==⨯=， 故答案为：0.6. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，二项分布期望的求法，属于中档题.15．【分析】列出所有情况统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率再根据独立事件计算得到答案【详解】设齐王的上中下等马为田忌的上中下等马为则共有9种情况其中齐王获胜的有6种情况故故答案为：【点睛】本题考查 解析：2027【分析】列出所有情况，统计满足条件的情况得到齐王每次胜利的概率123p =，再根据独立事件计算得到答案. 【详解】设齐王的上中下等马为ABC ，田忌的上中下等马为abc ， 则共有,,,,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 9种情况， 其中齐王获胜的有,,,,,Aa Ab Ac Bb Bc Cc 6种情况，故16293p ==， 32232212033327p C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2027. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．【分析】根据正态分布对称性知计算得到答案【详解】根据正态分布对称性知：故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为故答案为：【点睛】本题考查了正态分布意在考查学生对于正态分布性质的应用 解析：200根据正态分布对称性知()11208p X >=，计算得到答案. 【详解】根据正态分布对称性知：()()131120801248p X p X ⎛⎫>=<=⋅-= ⎪⎝⎭. 故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为116002008⨯=. 故答案为：200. 【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布性质的应用.17．【分析】要求的值就是要将与求出两个未知数建立出两个方程即可由概率之和为1得到一个方程由得到第二个方程建立方程组从而得到结果【详解】解：离散随机变量可能取的值为123（）故的数学期望①而且②①②联立方解析：16【分析】要求+a b 的值，就是要将a 与b 求出。
南宁市高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(有答案解析)
一、选择题1．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A 、B 、C 、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A 班，丁不能分配到B 班，则共有分配方案的种数为（ ） A ．10B ．12C ．14D ．242．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50003．新冠疫情期间，为支援社区抗疫工作，现将6名医护人员安排到4个社区，每个社区至少安排1名医护人员，则不同的安排方案共有（ ） A ．2640种B ．4800种C ．1560种D ．7200种4．排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻，则这种事件发生的概率是（ ） A ．14B ．1144C ．18D ．1145．1180被9除的余数为（ ） A ．1- B ．1 C ．8 D ．8-6．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 7．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ） A ．720B ．360C ．72D ．以上都不对8．某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A9．现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A ．234 B ．152C ．126D ．10810．有4个不同的小球放入3个盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 11．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（ ） A ．720 B ．360C ．240D ．12012．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60B ．66C ．72D ．126二、填空题13．某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有______种.14．北京《财富》全球论坛期间，某高校有8名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数为______.15．若将五本不同的书全部分给三个同学，每人至少一本，则有________种不同的分法. 16．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有_____种.17．如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．18．设{}1234,,,1,0,2x x x x ∈-，那么满足123423x x x x ≤+++≤的所有有序数组()1234,,,x x x x 的组数为_________.19．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.20．若212626xx C C -=，则x ＝__________.三、解答题21．从1到7的七个数字中取二个偶数三个奇数，排成一个无重复数字的五位数试问：（先列式，再计算，用数字作答） （1）共有多少个五位数？（2）其中偶数排在一起的有几多少个？（3）其中偶数排在一起、奇数也排在一起的有多少个？ （4）其中两个偶数不相邻有几多少个？22．现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.(用数字作答) （1）若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同的排法？ （2）若男女相间，则共有多少种不同的排法？（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则共有多少种不同的排法？23．袋中有相同的5个白球和4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率. （1）摸出的全是白球或全是黑球、 （2）摸出的白球个数多于黑球个数.24．已知n 为给定的正整数，设201223nn n x a a x a x a x ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）若4n =，求01,a a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.25．（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有多少种方法？ （2）由0,1,2,3,4,5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？26．已知n 为给定的正整数，t 为给定的实数，设(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n . （1）当n =8时.①若t =1，求a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8的值； ②若t =23，求数列{a n }中的最大值； （2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】分为甲分配到B 班和甲不分配到B 班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加法计数原理计算可得结果. 【详解】将分配方案分为甲分配到B 班和甲不分配到B 班两种情况： ①甲分配到B 班：有336A =种分配方案； ②甲不分配到B 班：有1122228A A A =种分配方案； 由分类加法计数原理可得：共有6814+=种分配方案. 故选：C . 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列数的应用.常见求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.2．B解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【分析】本题首先可以将6名医护人员分为4组，共有65种分组方法，然后将分好的四组全排列，有24种情况，最后两者相乘，即可得出结果. 【详解】先将6名医护人员分为4组，有两种分组方法： 若分为3、1、1、1的四组，则有3620C =种分组方法；若分为2、2、1、1的四组，则有2226422245C C C A 种分组方法，则一共有204565种分组方法，再将分好的四组全排列，对应四个社区，有4424A =种情况， 则有65241560种不同的安排方式， 故选：C. 【点睛】本题考查通过排列组合求出所有的安排方案的数目，可分两步进行，先求出有多少种分组，再求出有多少种排列，考查计算能力，是中档题.4．D解析：D 【分析】首先计算所有可能的排法有88A ，再由于合唱节目不能相邻，先排列独唱节目，共有55A 种结果，合唱节目不能排在两头，在五个独唱节目形成的除去两头之外的四个空中选三个位置排列，共有34A 种结果，最后根据古典概率的概率计算公式计算出结果． 【详解】解：排一张5个独唱和3个合唱的节目单一共有8840320A =种，记合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻的为事件M ，则由于合唱节目不能相邻，先排列独唱节目，共有55A 种结果，合唱节目不能排在两头，在五个独唱节目形成的除去两头之外的四个空中选三个位置排列，共有34A 种结果，根据分布乘法计数原理可得一共有53542880A A ⋅=种根据古典概型的概率公式得()288014032014P M == 故选：D 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，分步计数原理，考查元素的不相邻问题，一般解决不相邻问题时，采用插空法，属于基础题．5．C解析：C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()210111210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅-1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯-121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+ 121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.6．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=， 由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=， 令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=， 所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．C解析：C 【分析】因为A 不参加物理、化学竞赛，它是一个特殊元素，故对A 参加不参加竞赛进行讨论，利用分类的思想方法解决，最后结果结合加法原理相加即可． 【详解】 解：根据题意，若选出4人中不含A ，则有44A 种；若选出4人中含有A ，则有313423C C A 种． 4313442372A C C A ∴+=．故选：C ． 【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，解排列、组合及简单计数问题时遇到特殊元素时，对特殊元素要优先考虑，属于中档题．8．B解析：B 【分析】先将4名学生均分成两组，注意重合的部分要去掉，再从6个班级中选出2个班进行排列，最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数． 【详解】解：先将4名学生均分成两组方法数为2412C ， 再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ，∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为224612C A ．故选：B ． 【点睛】本题先考查的是平均分组问题，是一个易出错的问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．9．C解析：C 【分析】分情况进行讨论，先计算“甲乙一起参加除了开车的三项工作之一”有多少种情况，再计算“甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作”和“甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作”的情况，相加即得. 【详解】由题，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：133318C A =种； 甲乙不同时参加一项工作，又分为两种情况：①甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有：222 323323236C A A=⨯⨯⨯=种；②甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：2112332272A C C A=种.由分类计数原理，可得共有183672126++=种.故选：C【点睛】本题考查计数原理，考查学生的逻辑推理能力.10．D解析：D【分析】先把小球分3组共有24C种分法，再将3组小球全排列，放入对应3个盒子即可.【详解】根据题意，分2步安排，第一步，把4个小球分成3组，其中1组2只，剩余2组各1只，分组方法有246C=种，第二步，把这3组小球全排列，对应3个盒子，有336A=种,根据分步计数原理可得所有的不同方法共有6636⨯=种.故选：D【点睛】本题主要考查了计数原理，排列与组合的应用，属于中档题.11．C解析：C【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果.【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列，而甲和乙之间还有一个排列，共有5252240A A=.故选：C.【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题. 12．A解析：A【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解.【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C+=种取法.故选：A【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.二、填空题13．150【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组分2种情况分类讨论再将分好的三组全排列对应三个学校由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组由两种分组方法若分成3解析：150【分析】分2步分析：先将5名高三教师分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个学校，由分步计数原理计算可得答案；【详解】解：分2步分析：先将5名高三教师分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有3510C=种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C CA=种分组方法，则一共有101525+=种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个学校，有336A=种情况，则有256150⨯=种不同的安排方式；故答案为：150．【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．14．2940【分析】根据题意有两类分配方案第一类：224三组第二类：233三组分别求得排班种数再利用分类计数原理求解【详解】由8名志愿者根据早中晚三班且每班至少2人分为3组第一类：224三组共有种第二类解析：2940【分析】根据题意，有两类分配方案，第一类：2，2，4三组，第二类：2，3，3三组，分别求得排班种数，再利用分类计数原理求解.【详解】由8名志愿者，根据早、中、晚三班，且每班至少2人，分为3组.第一类：2，2，4三组，共有22438643221680C C CAA⋅=种，第二类：2，3，3三组，共有23338633221260C C CAA⋅=种，所以每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数168012602940+=.故答案为：2940【点睛】本题主要考查排列组合中的分组分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 15．150【分析】先将五本书分成三堆有和种不同的分法再把三堆分给三个同学即得解【详解】由题意先将五本书分成三堆有和种不同的分法故有种分堆方式再分给三个同学有种不同方法故答案为：150【点睛】本题考查了排解析：150【分析】先将五本书分成三堆，有1,1,3和2,2,1种不同的分法，再把三堆分给三个同学即得解【详解】由题意，先将五本书分成三堆，有1,1,3和2,2,1种不同的分法故有1132215435312222C C C C C CA A+种分堆方式再分给三个同学，有113221354353132222()150C C C C C CAA A+=种不同方法故答案为：150【点睛】本题考查了排列组合综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题16．【分析】由题意重点任务必须排在前三位分别讨论排在第一位第二位第三位的情况再将捆绑在一起与另外三个任务安排顺序即可得解【详解】由题意重点任务必须排在前三位必须排在一起分别讨论的位置：当排在第一位时排在解析：120【分析】由题意重点任务A必须排在前三位，分别讨论A排在第一位、第二位、第三位的情况，再将E、F捆绑在一起，与另外三个任务安排顺序即可得解.【详解】由题意重点任务A必须排在前三位，E、F必须排在一起，分别讨论A的位置：当A 排在第一位时，E 、F 排在一起则有22A 种方法，将E 、F 捆绑作为一个整体与另外三个任务全排列则有44A ，所以此时有2424=24321=48A A ⨯⨯⨯⨯种方案；当A 排在第二位时，先从另外三个任务中选一个排在第一位，则有13C ，E 、F 排在一起有22A 种方法，将E 、F 捆绑作为一个整体与另外两个任务全排列则有33A ，所以此时有123323=32321=36C A A ⨯⨯⨯⨯种方案；当A 排在第三位时，分E 、F 在A 左侧与右侧两种情况：当E 、F 在A 左侧时，E 、F二个任务全排列，另外三个任务在A 的右侧全排列，所以有2323232112A A =⨯⨯⨯=种；当E 、F 在A 右侧时，先将另外三个任务中的两个任务在左侧排列，再将E 、F 捆绑作为一个整体排列在右侧，最后与另外一个任务全排列有222322322224A A A =⨯⨯⨯=种；所以此种情况共有12+24=36种方案；综上可知，不同安排方案共有48+36+36=120种. 故答案为：120. 【点睛】本题考查了排列组合问题的实际应用，对由位置要求的元素进行优先安排，通过分离讨论的方法分析各种情况，属于中档题.17．84【分析】按照选取的颜色个数分类：（1）用四种颜色涂色颜色都不同；（2）用三种颜色或同色；（3）用两种颜色涂色同色同色根据分类甲法原理即可求出结论【详解】分三种情况：（1）用四种颜色涂色有种涂法；解析：84 【分析】按照选取的颜色个数分类：（1）用四种颜色涂色，,,,A B C D 颜色都不同；（2）用三种颜色，,A C 或,B D 同色；（3）用两种颜色涂色，,A C 同色，,B D 同色，根据分类甲法原理，即可求出结论. 【详解】 分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有4424A =种涂法； （2）用三种颜色涂色，有34248A =种涂法； （3）用两种颜色涂色，有2412A =种涂法； 所以共有涂色方法24481284++=. 故答案为：84 【点睛】本题考查排列和分类加法原理的应用，合理分类是解题的关键，属于中档题.18．26【分析】满足的所有有序数组分为三个-1一个0两个-1两个0一个-1两个0一个2三个0一个2共四类情况分类求解【详解】所有有序数组中满足的所有有序数组分为三个-1一个0两个-1两个0一个-1两个0解析：26 【分析】满足123423x x x x ≤+++≤的所有有序数组()1234,,,x x x x ，分为三个-1一个0，两个-1两个0，一个-1两个0一个2，三个0一个2共四类情况，分类求解. 【详解】{}1234,,,1,0,2x x x x ∈-，所有有序数组()1234,,,x x x x 中，满足123423x x x x ≤+++≤的所有有序数组()1234,,,x x x x ，分为三个-1一个0，两个-1两个0，一个-1两个0一个2，三个0一个2共四类情况， 不同的种数为321234443426C C C C C +++= 故答案为：26 【点睛】此题考查计数原理的应用，涉及组合相关知识，关键在于准确进行分类处理.19．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.20．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626xx C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．三、解答题21．（1）1440；（2）576；（3）288；（4）864. 【分析】先从七个数字中选二个偶数三个奇数共有12种情况；（1）直接5个数进行全排列；（2）把选出的偶数捆绑在一起，和奇数进行全排列；（3）把选出的偶数捆绑在一起，再把选出的奇数也捆绑在一起全排列；（4）先排三个奇数，二个偶数插空. 【详解】依题意的，从1到7的七个数字中取二个偶数三个奇数，共有233412C C =种情况； （1）共有五位数55121440A =个；（2）把选出的偶数捆绑在一起，和奇数进行全排列，所以偶数排在一起共有242412576A A =个；（3）把选出的偶数捆绑在一起，再把选出的奇数也捆绑在一起全排列，共有23223212288A A A =个；（4）先排三个奇数，二个偶数插空，故两个偶数不相邻共有323412864A A =个. 【点睛】本题主要考查排列组合的应用.属于中档题. 22．（1）24（2）12（3）60 【分析】（1）相邻问题利用捆绑法； （2）若男女相间，则用插空法；（3）若男生甲不站两端，女生乙不站最中间，则利用间接法． 【详解】解：（1）利用捆绑法，可得共有22322324A A A =种不同的排法； （2）利用插空法，可得共有232312A A =种不同的排法； （3）利用间接法，可得共有54135423360A A C A -+=种不同的排法. 【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，涉及间接法和捆绑，插空等方法的应用，属于中档题． 23．（1）16（2）2542【分析】（1）从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况，摸出的全是白球有35C 种不同情况，摸出的全是黑球有34C 种不同情况，计算概率得到答案.（2）摸出的3个球都是白球的事件，记为M ；摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .计算概率得到答案. 【详解】（1）设从袋中摸出的3个球全是白球或全是黑球的事件为A ， 从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况， 摸出的全是白球有35C 种不同情况， 摸出的全是黑球有34C 种不同情况，因为从袋中任意摸出3个球的所有情况都是等可能的，所以()3354391041846C C P A C ++===. （2）设从袋中摸出的白球个数多于黑球个数的事件为B . 事件B 包含两个基本事件：第一个，摸出的3个球都是白球的事件，记为M ； 第二个，摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .()3539542C P M C ==，()21543940108421C C P N C ===. 所以，()()()51025422142P B P M P N =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.24．（1）01681a =，13227a =.（2）23n 【分析】（1）利用二项式定理可求出0a 和1a 的值；（2）利用组合数公式得出11k k n n kC nC --=，可得出()00121213333n kk n kkn nnkk k k nn k k k n k a x nC nC --===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，然后利用二项式定理即可求得答案. 【详解】（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==；（2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=，又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!kk n n n n k kn n k n k k n k ---===---， 当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑；当2n ≥时，0021()()C ()()33nnkk n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333nn k n k k k n k knnk k n k --===-∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑11212()3333n n n n -=-+=，当1n =时，也符合.所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n .【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）1560；（2）156；（3）92. 【解析】 【分析】（1）分为3,1,1,1和2,2,1,1两类分别计算，加和得到结果；（2）分为个位是0和个位不是0两类分别计算，加和得到结果；（3）分为只会英语的人中选了3人作英语导游、选了2人作英语导游和选了1人作英语导游三类分别计算，加和得到结果. 【详解】（1）把6本不同的书分给4位学生，每人至少一本，有3,1,1,1和2,2,1,1两类分配方式为3,1,1,1时，共有：3114632433480C C C A A ⋅=种分法 分配方式为2,2,1,1时，共有：2214642422221080C C C A A A ⋅=种分法 由分类加法计数原理可得，共有：48010801560+=种分法 （2）若个位是0，共有：3560A =个 若个位不是0，共有：11224496C C A =个由分类加法计数原理可得，共有：6096156+=个（3）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有：3620C =种选法 若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有：12323560C C C =种选法 若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有：133412C C =种选法 由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种选法 【点睛】本题考查排列组合的综合应用问题，涉及到分组分配问题、元素位置有限制的排列组合问题等知识，关键是能够根据题目的要求进行合理的分类，最终通过分类加法计数原理得到结果.26．（1）①128，②44827；（2）23n【分析】（1）①设f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8，a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）] ÷2即可得解；②8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，通过不等式组891888718822332233r rr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩即可得解； （2）处理()()002133n kkn nkkk nk k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑0021213333n kkn kknnk k n n k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑1110021*******n kk n kk nn k k n n k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，利用二项式定理逆用即可得解.【详解】（1）设f （x ）=(t ＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 当n =8时.①若t =1，f （x ）=(1＋x )8=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， f （1）=28=a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8，f （-1）=0=a 0-a 1＋a 2-…＋a 8， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8= [f （1）+ f （-1）]÷2=128 ②若t =23，(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，所以8823rr n a C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设第r 项最大，则891888718822332233rrr r r rr r C C C C -----+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， ()()123921381r r r r ⎧≥⎪-⎪⎨⎪≥⎪-+⎩解得222755r ≤≤，所以=5r 数列{a n }中的最大值35582448327a C ⎛⎫==⎪⎝⎭（2）若t=23，当13x =时，求()0nkk k n k a x =-∑的值.(23＋x )n =a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 当2n ≥时，()()002133n kknnk k k n k k n k a x n k C -==⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑021213333n kk n kknnk k nn k k nC kC --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 1110021*******n kkn kk nn k k n n k k n nC C -----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑121333n n n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭23n =， 当n =1时也满足，所以()0nkkk n k a x=-∑23n =. 【点睛】此题考查二项式定理的应用，根据展开式求解系数关系，涉及组合数计算公式，二项式定理的逆用，综合性强.。
数学选修2-3第一章练习题含答案
选修2-3第一章练习试卷一、选择题（共14小题；共70分）1. 甲、乙两人计划从，，三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有A. 种B. 种C. 种D. 种2. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，两位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A. 1440种B. 960种C. 720种D. 480种3. 二项式展开式中的常数项为( )A. -240B. 160C. -160D. 2404. 若，则的值是( )A. -2B. -3C. 125D. -1315. 的二项展开式中，项的系数是( )A. 45B. 90C. 135D. 2706. 现有名同学去听同时进行的个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A. B.C. D.7. 设的展开式中的系数为，二项式系数为，则 = ( )A. 75B. 60C. 55D. 458. 个人分件同样的服装，每人至多分件，而且服装必须分完，那么不同的分法种数是A. B. C. D.9. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )A. 种B. 种C. 种D. 种10. 某国际会议结束后，中、美、俄等国领导人合影留念，他们站成两排，前排人，后排人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种11. 的展开式中，含的正整数次幂的项共有A. 项B. 项C. 项D. 项12. 从个男生，个女生中挑选人参加智力竞赛，要求至少有个女生参加的选法共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种13. 要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学6堂课的课程表，要求语文课排在上午（前4节），生物课排在下午（后2节），不同排法种数为 ( )． A. 144B. 192C. 360D. 72014. 某小区有排成一排的 个车位，现有 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为A.B.C.D.二、填空题（共3小题；共15分）15. 一个袋子里装有 张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有 张不同的中国联通手机卡，某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，一共有 种不同的取法．16. 从 ，，， 这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法（用数字作答）．17. 平面上有 个点，除某 点在一条直线上外，再无其他三点共线，若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线 条．三、解答题（共5小题；共65分） 18. 设集合，是坐标平面上的点，.Ⅰ 可以表示多少个平面上的不同的点? Ⅱ 可以表示多少个第二象限内的点?Ⅲ 可以表示多少个不在直线 上的点?19. 要从 名女生， 名男生中选出 名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法?Ⅰ 至少有 名女生入选； Ⅱ 至多有 名女生入选； Ⅲ 男生甲和女生乙入选； Ⅳ 男生甲和女生乙不能同时入选； Ⅴ 男生甲、女生乙至少有一个人入选．20. 已知 件不同的产品中有 件次品，现对它们一一测试，直至找到所有 件次品为止．Ⅰ 若恰在第 次测试时，才测试到第一件次品，第 次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法?21. 已知，求：Ⅰ ；Ⅱ ；Ⅲ ．22. 位同学站队：Ⅰ 站成一排，共有多少种不同的排法?Ⅱ 站成两排（前后），共有多少种不同的排法?Ⅲ 站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?Ⅳ 站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?参考答案第一部分1. B2. 答案：B解析：可分3步．第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有种排法，第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有种排法．第三步，2名老人之间的排列，有种排法．最后，三步方法数相乘，共有种排法．3. 答案：D解析：由于展开式的通项公式为，解得，∴展开式中的常数项为，故选D．4. 答案：C解析：由题意可知，令得，令得，所以．故选C．5. 答案：C解析：由于的二项展开式的通项公式为，令，得，∴ 项的系数是，故选C．6. A7. 答案：A解析：，令8. 答案：C解析：因为是同样的服装，所以是组合的问题．9. 答案：D解析：从个年级中选出个年级参观甲博物馆，则方法有种，其余的个年级，每一个年级都有种选择方法，所以一共有种方法．10. 答案：D解析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有种站法；其他国领导人可以任意站，因此有种站法．根据分步计数原理，共有种站法．11. 答案：B解析：因为．当，，时，为正整数次幂．12. 答案：B解析：．13. 答案：B解析：根据题意，语文课排在上午（前4节），生物课排在下午（后2节），则有种排法；将剩下的4门课全排列，有种排法，所以由分步乘法计数原理，共有种排法，故选B．14. C第二部分15. 答案：解析：从移动、联通卡中各取一张，则要分两步进行，从移动卡中取一张有种方法，从联通卡中取一张有种方法，则应用乘法计数原理，共有取法种．16. 答案：解析：要使四个数的和为奇数，则需偶奇或奇偶，故共有（种）．17. 答案：解析：．第三部分18. （1）分两步，第一步确定横坐标有种，第二步确定纵坐标有种，经检验个点均不相同，由分步乘法计数原理得（个）．（2）分两步，第一步确定横坐标有种，第二步确定纵坐标有种，根据分步乘法计数原理得个．（3）分两步，第一步确定横坐标有种，第二步确定纵坐标有种，根据分步乘法计数原理得个．19. （1）至少有名女生入选的选法为；（2）至多有名女生入选的选法为；（3）男生甲和女生乙入选的选法为；（4）男生甲和女生乙不能同时入选的选法为；（5）男生甲、女生乙至少有一个人入选的选法为 .20. （1）若恰在第次测试时，才测到第一件次品，第次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第次测到第一件次品有种抽法；第次测到最后一件次品有种抽法；第至第次抽取测到最后两件次品共有种抽法；剩余次抽到的是正品，共有种抽法．21. （1）令，得．令，得，所以．（2）．（3）因为．22. （1）问题可以看作：个元素的全排列．（2）根据分步计数原理：．（3）问题可以看作：余下的个元素的全排列．（4）解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的位同学中选位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有种排列方法．解法2：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法．共有种．。
(完整版)高二数学选修2-3第一章测试题(含答案)
高二数学选修 2-3 第一章测试题
一．选择题（每题 5 分，满分 60 分）
1．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是( )
A．4
B．24
C．43
D．34
2．210 所有正约数的个数共有( )
A．12 个
B．14 个
C．16 个
1
22．（满分
12
3
分）已知在(
x－23
x)n
的展开式中，第
6
项为常数项．
(1)求 n；
(2)求含 x2 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
三、解答题
123
n
17．（满分 1.
18．（满分 10 分）用 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字组成没有重复数字的四位 数．
(1)这些四位数中偶数有多少个？能被 5 整除的有多少个？ (2)这些四位数中大于 6500 的有多少个？
The shortest way to do many thin
C．90 种
D．120 种
5．在(x－ 3)10 的展开式中，x6 的系数是( )
A．－27C 160
B．27C140
C．－9C 160
D．9C140
6．用 1、2、3、4、5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数
为( )
A．36 B．30
C．40 D．60
The shortest way to do many thin
21．（满分 12 分）有 9 本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件 下，各有多少种分法？
(1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本； (2)一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本； (3)甲、乙、丙各得 3 本．