天津中考数学培优专题复习平行四边形练习题
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∵ ∠ FAD+∠ DEF＝90°， ∴ AFED 四点共圆， ∴ ∠ EDF＝∠ DAE＝45°，∠ ADC＝90°， ∴ ∠ ADF+∠ EDC＝45°， ∵ ∠ ADF＝∠ CDM， ∴ ∠ CDM+∠ CDE＝45°＝∠ EDG， 在△ DEM 和△ DEG 中，
DE＝DE EDG＝EDM ， DG＝DM
5．已知 AD 是△ ABC 的中线 P 是线段 AD 上的一点（不与点 A、D 重合），连接 PB、PC， E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，AD 与 EF 交于点 M；
（1）如图 1，当 AB＝AC 时，求证：四边形 EGHF 是矩形；
（2）如图 2，当点 P 与点 M 重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△ BPE 面 积相等的三角形（不包括△ BPE 本身）． 【答案】（1）见解析；（2）△ APE、△ APF、△ CPF、△ PGH． 【解析】
【解析】 分析：（1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定△ BOE≌ △ DOF（ASA），得出四边形 BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在 Rt△ ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BE，由勾股定理求出 BD，得出 OB，再由勾股定理求出 EO，即可得出 EF 的长. 详解：（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， ∴ ∠ A=90°，AD=BC=4，AB∥ DC，OB=OD， ∴ ∠ OBE=∠ ODF， 在△ BOE 和△ DOF 中，
∴ ∠ MOD=∠ MDO=22.5°， ∴ ∠ DMH=∠ MDH=45°， ∴ DH=HM= 1 ， ∴ DM=OM= 2 ，
2
2
∵ FH= DF 2 DH 2 3 ， ∴ OF=OM+MH+FH= 2 1 3 = 3 2 1 ．
2
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百度文库
2
∴ OF 的最大值为 3 2 1 ． 2
考点：四边形综合题．
S△ PGH= 1 S△ AEF=S△ APF，即可得出结果． 2
【详解】
（1）证明：∵ E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，
∴ EG∥ AP，EF∥ BC，EF＝ 1 BC，GH∥ BC，GH＝ 1 BC，
2
2
∴ EF∥ GH，EF＝GH，
4．(1)如图①，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF⊥BD，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 BE、DF，且 BE 平分∠ ABD． ①求证：四边形 BFDE 是菱形； ②直接写出∠ EBF 的度数； (2)把(1)中菱形 BFDE 进行分离研究，如图②，点 G、I 分别在 BF、BE 边上，且 BG=BI，连 接 GD，H 为 GD 的中点，连接 FH 并延长，交 ED 于点 J，连接 IJ、IH、IF、IG.试探究线段 IH 与 FH 之间满足的关系，并说明理由； (3)把(1)中矩形 ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形 ABCD 满足 AB=AD 时，点 E 是对角 线 AC 上一点，连接 DE、EF、DF，使△ DEF 是等腰直角三角形，DF 交 AC 于点 G.请直接写 出线段 AG、GE、EC 三者之间满足的数量关系.
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E，F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） 4 13 ． 3
1
3 2
2
1 2
2
=
6 2
2．
(3)、如图 3 中，当 OF⊥DE 时，OF 的值最大，设 OF 交 DE 于 H，在 OH 上取一点 M，使得
OM=DM，连接 DM．
∵ FD=FE=DE=1，OF⊥DE， ∴ DH=HE，OD=OE，∠ DOH= 1 ∠ DOE=22.5°， ∵ OM=DM， 2
∴ OD= OC2 CD2 22 12 5
(2)、如图 2 中，作 CE⊥OB 于 E，CF⊥AB 于 F，连接 OC．
∵ ∠ FBE=∠ E=∠ CFB=90°， ∴ 四边形 BECF 是矩形， ∴ BF=CF= 1 ，CF=BE= 3 ，
2
2
在 Rt△ OCE 中，OC=
OE2 CE2
【分析】
（1）由三角形中位线定理得出 EG∥ AP，EF∥ BC，EF= 1 BC，GH∥ BC，GH= 1 BC，推出
2
2
EF∥ GH，EF=GH，证得四边形 EGHF 是平行四边形，证得 EF⊥AP，推出 EF⊥EG，即可得出
结论；
（2）由△ APE 与△ BPE 的底 AE=BE，又等高，得出 S△ APE=S△ BPE，由△ APE 与△ APF 的底 EP=FP，又等高，得出 S△ APE=S△ APF，由△ APF 与△ CPF 的底 AF=CF，又等高，得出 S△ APF=S△ CPF，证得△ PGH 底边 GH 上的高等于△ AEF 底边 EF 上高的一半，推出
理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
3．已知 Rt△ ABD 中，边 AB=OB=1，∠ ABO=90° 问题探究： （1）以 AB 为边，在 Rt△ ABO 的右边作正方形 ABC，如图（1），则点 O 与点 D 的距离 为． （2）以 AB 为边，在 Rt△ ABO 的右边作等边三角形 ABC，如图（2），求点 O 与点 C 的距 离． 问题解决： （3）若线段 DE=1，线段 DE 的两个端点 D，E 分别在射线 OA、OB 上滑动，以 DE 为边向 外作等边三角形 DEF，如图（3），则点 O 与点 F 的距离有没有最大值，如果有，求出最大 值，如果没有，说明理由．
②∵ BE 平分∠ ABD，
∴ ∠ ABE＝∠ EBD，
∵ EB＝ED，
∴ ∠ EBD＝∠ EDB，
∴ ∠ ABD＝2∠ ADB，
∵ ∠ ABD+∠ ADB＝90°， ∴ ∠ ADB＝30°，∠ ABD＝60°， ∴ ∠ ABE＝∠ EBO＝∠ OBF＝30°， ∴ ∠ EBF＝60°．
（2）结论：IH＝ 3 FH．
解得：x= 13 ， 3
∵ BD= AD2 AB2 =2 13 ， ∴ OB= 1 BD= 13 ，
2
∵ BD⊥EF，
∴ EO= BE2 OB2 = 2 13 ， 3
∴ EF=2EO= 4 13 ． 3
点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质， 熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
∴ EJ＝BG＝EM＝BI，
∴ BE＝IM＝BF，
∵ ∠ MEJ＝∠ B＝60°，
∴ △ MEJ 是等边三角形，
∴ MJ＝EM＝NI，∠ M＝∠ B＝60°
在△ BIF 和△ MJI 中，
BI＝MJ B＝M ， BF＝IM
∴ △ BIF≌ △ MJI，
∴ IJ＝IF，∠ BFI＝∠ MIJ，∵ HJ＝HF，
∴ △ DEG≌ △ DEM， ∴ GE＝EM， ∵ ∠ DCM＝∠ DAG＝∠ ACD＝45°，AG＝CM， ∴ ∠ ECM＝90° ∴ EC2+CM2＝EM2， ∵ EG＝EM，AG＝CM， ∴ GE2＝AG2+CE2． 【点睛】 考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定 和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转 化的思想思考问题.
（2）IH＝ 3 FH．只要证明△ IJF 是等边三角形即可．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图 3 中，将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM，先证 明△ DEG≌ △ DEM，再证明△ ECM 是直角三角形即可解决问题． 【详解】 （1）①证明：如图 1 中，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ IH⊥JF，
∵ ∠ BFI+∠ BIF＝120°，
∴ ∠ MIJ+∠ BIF＝120°，
∴ ∠ JIF＝60°，
∴ △ JIF 是等边三角形，
在 Rt△ IHF 中，∵ ∠ IHF＝90°，∠ IFH＝60°，
∴ ∠ FIH＝30°，
∴ IH＝ 3 FH．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2． 理由：如图 3 中，将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM，
【答案】(1)、 5 ；(2)、 6 2 ；(3)、 3 2 1 .
2
2
【解析】
【分析】
试题分析：(1)、如图 1 中，连接 OD，在 Rt△ ODC 中，根据 OD= OC2 CD2 计算即
可．(2)、如图 2 中，作 CE⊥OB 于 E，CF⊥AB 于 F，连接 OC．在 Rt△ OCE 中，根据
2．如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AO=CO，BO=DO，且 ∠ ABC+∠ ADC=180°． （1）求证：四边形 ABCD 是矩形． （2）若∠ ADF：∠ FDC=3：2，DF⊥AC，求∠ BDF 的度数．
【答案】(1)见解析；（2）18°. 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形，求出∠ ABC=90°，根据矩形 的判定得出即可； （2）求出∠ FDC 的度数，根据三角形内角和定理求出∠ DCO，根据矩形的性质得出 OD=OC，求出∠ CDO，即可求出答案． 【详解】 （1）证明：∵ AO=CO，BO=DO ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ ABC=∠ ADC， ∵ ∠ ABC+∠ ADC=180°， ∴ ∠ ABC=∠ ADC=90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形； （2）解：∵ ∠ ADC=90°，∠ ADF：∠ FDC=3：2， ∴ ∠ FDC=36°， ∵ DF⊥AC， ∴ ∠ DCO=90°﹣36°=54°， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OC=OD， ∴ ∠ ODC=54° ∴ ∠ BDF=∠ ODC﹣∠ FDC=18°． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推
∴ AD∥ BC，OB＝OD，
∴ ∠ EDO＝∠ FBO，
在△ DOE 和△ BOF 中，
EDO＝FBO
OD＝OB
，
EOD＝BOF
∴ △ DOE≌ △ BOF，
∴ EO＝OF，∵ OB＝OD，
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形，
∵ EF⊥BD，OB＝OD，
∴ EB＝ED，
∴ 四边形 EBFD 是菱形．
【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝ 3 FH；（3）EG2＝AG2+CE2．
【解析】 【分析】 （1）①由△ DOE≌ △ BOF，推出 EO＝OF，∵ OB＝OD，推出四边形 EBFD 是平行四边形， 再证明 EB＝ED 即可． ②先证明∠ ABD＝2∠ ADB，推出∠ ADB＝30°，延长即可解决问题．
OBE ODF OB OD BOE DOF
∴ △ BOE≌ △ DOF（ASA）， ∴ EO=FO， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，BD⊥EF， 设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在 Rt△ ADE 中，DE2=AD2+AE2， ∴ x2=42+（6-x）2，
理由：如图 2 中，延长 BE 到 M，使得 EM＝EJ，连接 MJ．
∵ 四边形 EBFD 是菱形，∠ B＝60°，
∴ EB＝BF＝ED，DE∥ BF，
∴ ∠ JDH＝∠ FGH，
在△ DHJ 和△ GHF 中，
DHG＝GHF
DH＝GH
，
JDH＝FGH
∴ △ DHJ≌ △ GHF，
∴ DJ＝FG，JH＝HF，
OC= OE2 CE2 计算即可．(3)、如图 3 中，当 OF⊥DE 时，OF 的值最大，设 OF 交 DE 于
H，在 OH 上取一点 M，使得 OM=DM，连接 DM．分别求出 MH、OM、FH 即可解决问 题． 【详解】 试题解析：(1)、如图 1 中，连接 OD，
∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB=BC=CD=AD=1，∠ C=90°在 Rt△ ODC 中，∵ ∠ C=90°， OC=2，CD=1，
DE＝DE EDG＝EDM ， DG＝DM
5．已知 AD 是△ ABC 的中线 P 是线段 AD 上的一点（不与点 A、D 重合），连接 PB、PC， E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，AD 与 EF 交于点 M；
（1）如图 1，当 AB＝AC 时，求证：四边形 EGHF 是矩形；
（2）如图 2，当点 P 与点 M 重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与△ BPE 面 积相等的三角形（不包括△ BPE 本身）． 【答案】（1）见解析；（2）△ APE、△ APF、△ CPF、△ PGH． 【解析】
【解析】 分析：（1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定△ BOE≌ △ DOF（ASA），得出四边形 BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在 Rt△ ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BE，由勾股定理求出 BD，得出 OB，再由勾股定理求出 EO，即可得出 EF 的长. 详解：（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， ∴ ∠ A=90°，AD=BC=4，AB∥ DC，OB=OD， ∴ ∠ OBE=∠ ODF， 在△ BOE 和△ DOF 中，
∴ ∠ MOD=∠ MDO=22.5°， ∴ ∠ DMH=∠ MDH=45°， ∴ DH=HM= 1 ， ∴ DM=OM= 2 ，
2
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∵ FH= DF 2 DH 2 3 ， ∴ OF=OM+MH+FH= 2 1 3 = 3 2 1 ．
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∴ OF 的最大值为 3 2 1 ． 2
考点：四边形综合题．
S△ PGH= 1 S△ AEF=S△ APF，即可得出结果． 2
【详解】
（1）证明：∵ E、F、G、H 分别是 AB、AC、PB、PC 的中点，
∴ EG∥ AP，EF∥ BC，EF＝ 1 BC，GH∥ BC，GH＝ 1 BC，
2
2
∴ EF∥ GH，EF＝GH，
4．(1)如图①，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF⊥BD，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 BE、DF，且 BE 平分∠ ABD． ①求证：四边形 BFDE 是菱形； ②直接写出∠ EBF 的度数； (2)把(1)中菱形 BFDE 进行分离研究，如图②，点 G、I 分别在 BF、BE 边上，且 BG=BI，连 接 GD，H 为 GD 的中点，连接 FH 并延长，交 ED 于点 J，连接 IJ、IH、IF、IG.试探究线段 IH 与 FH 之间满足的关系，并说明理由； (3)把(1)中矩形 ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形 ABCD 满足 AB=AD 时，点 E 是对角 线 AC 上一点，连接 DE、EF、DF，使△ DEF 是等腰直角三角形，DF 交 AC 于点 G.请直接写 出线段 AG、GE、EC 三者之间满足的数量关系.
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点 E，F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） 4 13 ． 3
1
3 2
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1 2
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=
6 2
2．
(3)、如图 3 中，当 OF⊥DE 时，OF 的值最大，设 OF 交 DE 于 H，在 OH 上取一点 M，使得
OM=DM，连接 DM．
∵ FD=FE=DE=1，OF⊥DE， ∴ DH=HE，OD=OE，∠ DOH= 1 ∠ DOE=22.5°， ∵ OM=DM， 2
∴ OD= OC2 CD2 22 12 5
(2)、如图 2 中，作 CE⊥OB 于 E，CF⊥AB 于 F，连接 OC．
∵ ∠ FBE=∠ E=∠ CFB=90°， ∴ 四边形 BECF 是矩形， ∴ BF=CF= 1 ，CF=BE= 3 ，
2
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在 Rt△ OCE 中，OC=
OE2 CE2
【分析】
（1）由三角形中位线定理得出 EG∥ AP，EF∥ BC，EF= 1 BC，GH∥ BC，GH= 1 BC，推出
2
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EF∥ GH，EF=GH，证得四边形 EGHF 是平行四边形，证得 EF⊥AP，推出 EF⊥EG，即可得出
结论；
（2）由△ APE 与△ BPE 的底 AE=BE，又等高，得出 S△ APE=S△ BPE，由△ APE 与△ APF 的底 EP=FP，又等高，得出 S△ APE=S△ APF，由△ APF 与△ CPF 的底 AF=CF，又等高，得出 S△ APF=S△ CPF，证得△ PGH 底边 GH 上的高等于△ AEF 底边 EF 上高的一半，推出
理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
3．已知 Rt△ ABD 中，边 AB=OB=1，∠ ABO=90° 问题探究： （1）以 AB 为边，在 Rt△ ABO 的右边作正方形 ABC，如图（1），则点 O 与点 D 的距离 为． （2）以 AB 为边，在 Rt△ ABO 的右边作等边三角形 ABC，如图（2），求点 O 与点 C 的距 离． 问题解决： （3）若线段 DE=1，线段 DE 的两个端点 D，E 分别在射线 OA、OB 上滑动，以 DE 为边向 外作等边三角形 DEF，如图（3），则点 O 与点 F 的距离有没有最大值，如果有，求出最大 值，如果没有，说明理由．
②∵ BE 平分∠ ABD，
∴ ∠ ABE＝∠ EBD，
∵ EB＝ED，
∴ ∠ EBD＝∠ EDB，
∴ ∠ ABD＝2∠ ADB，
∵ ∠ ABD+∠ ADB＝90°， ∴ ∠ ADB＝30°，∠ ABD＝60°， ∴ ∠ ABE＝∠ EBO＝∠ OBF＝30°， ∴ ∠ EBF＝60°．
（2）结论：IH＝ 3 FH．
解得：x= 13 ， 3
∵ BD= AD2 AB2 =2 13 ， ∴ OB= 1 BD= 13 ，
2
∵ BD⊥EF，
∴ EO= BE2 OB2 = 2 13 ， 3
∴ EF=2EO= 4 13 ． 3
点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质， 熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键
∴ EJ＝BG＝EM＝BI，
∴ BE＝IM＝BF，
∵ ∠ MEJ＝∠ B＝60°，
∴ △ MEJ 是等边三角形，
∴ MJ＝EM＝NI，∠ M＝∠ B＝60°
在△ BIF 和△ MJI 中，
BI＝MJ B＝M ， BF＝IM
∴ △ BIF≌ △ MJI，
∴ IJ＝IF，∠ BFI＝∠ MIJ，∵ HJ＝HF，
∴ △ DEG≌ △ DEM， ∴ GE＝EM， ∵ ∠ DCM＝∠ DAG＝∠ ACD＝45°，AG＝CM， ∴ ∠ ECM＝90° ∴ EC2+CM2＝EM2， ∵ EG＝EM，AG＝CM， ∴ GE2＝AG2+CE2． 【点睛】 考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定 和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转 化的思想思考问题.
（2）IH＝ 3 FH．只要证明△ IJF 是等边三角形即可．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图 3 中，将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM，先证 明△ DEG≌ △ DEM，再证明△ ECM 是直角三角形即可解决问题． 【详解】 （1）①证明：如图 1 中，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ IH⊥JF，
∵ ∠ BFI+∠ BIF＝120°，
∴ ∠ MIJ+∠ BIF＝120°，
∴ ∠ JIF＝60°，
∴ △ JIF 是等边三角形，
在 Rt△ IHF 中，∵ ∠ IHF＝90°，∠ IFH＝60°，
∴ ∠ FIH＝30°，
∴ IH＝ 3 FH．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2． 理由：如图 3 中，将△ ADG 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCM，
【答案】(1)、 5 ；(2)、 6 2 ；(3)、 3 2 1 .
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【解析】
【分析】
试题分析：(1)、如图 1 中，连接 OD，在 Rt△ ODC 中，根据 OD= OC2 CD2 计算即
可．(2)、如图 2 中，作 CE⊥OB 于 E，CF⊥AB 于 F，连接 OC．在 Rt△ OCE 中，根据
2．如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AO=CO，BO=DO，且 ∠ ABC+∠ ADC=180°． （1）求证：四边形 ABCD 是矩形． （2）若∠ ADF：∠ FDC=3：2，DF⊥AC，求∠ BDF 的度数．
【答案】(1)见解析；（2）18°. 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形，求出∠ ABC=90°，根据矩形 的判定得出即可； （2）求出∠ FDC 的度数，根据三角形内角和定理求出∠ DCO，根据矩形的性质得出 OD=OC，求出∠ CDO，即可求出答案． 【详解】 （1）证明：∵ AO=CO，BO=DO ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ ABC=∠ ADC， ∵ ∠ ABC+∠ ADC=180°， ∴ ∠ ABC=∠ ADC=90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形； （2）解：∵ ∠ ADC=90°，∠ ADF：∠ FDC=3：2， ∴ ∠ FDC=36°， ∵ DF⊥AC， ∴ ∠ DCO=90°﹣36°=54°， ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OC=OD， ∴ ∠ ODC=54° ∴ ∠ BDF=∠ ODC﹣∠ FDC=18°． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推
∴ AD∥ BC，OB＝OD，
∴ ∠ EDO＝∠ FBO，
在△ DOE 和△ BOF 中，
EDO＝FBO
OD＝OB
，
EOD＝BOF
∴ △ DOE≌ △ BOF，
∴ EO＝OF，∵ OB＝OD，
∴ 四边形 EBFD 是平行四边形，
∵ EF⊥BD，OB＝OD，
∴ EB＝ED，
∴ 四边形 EBFD 是菱形．
【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝ 3 FH；（3）EG2＝AG2+CE2．
【解析】 【分析】 （1）①由△ DOE≌ △ BOF，推出 EO＝OF，∵ OB＝OD，推出四边形 EBFD 是平行四边形， 再证明 EB＝ED 即可． ②先证明∠ ABD＝2∠ ADB，推出∠ ADB＝30°，延长即可解决问题．
OBE ODF OB OD BOE DOF
∴ △ BOE≌ △ DOF（ASA）， ∴ EO=FO， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，BD⊥EF， 设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在 Rt△ ADE 中，DE2=AD2+AE2， ∴ x2=42+（6-x）2，
理由：如图 2 中，延长 BE 到 M，使得 EM＝EJ，连接 MJ．
∵ 四边形 EBFD 是菱形，∠ B＝60°，
∴ EB＝BF＝ED，DE∥ BF，
∴ ∠ JDH＝∠ FGH，
在△ DHJ 和△ GHF 中，
DHG＝GHF
DH＝GH
，
JDH＝FGH
∴ △ DHJ≌ △ GHF，
∴ DJ＝FG，JH＝HF，
OC= OE2 CE2 计算即可．(3)、如图 3 中，当 OF⊥DE 时，OF 的值最大，设 OF 交 DE 于
H，在 OH 上取一点 M，使得 OM=DM，连接 DM．分别求出 MH、OM、FH 即可解决问 题． 【详解】 试题解析：(1)、如图 1 中，连接 OD，
∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB=BC=CD=AD=1，∠ C=90°在 Rt△ ODC 中，∵ ∠ C=90°， OC=2，CD=1，