高中数学(必修4)第一章 基本初等函数

第一章 基本初等函数(Ⅱ)测试一 任意角的概念与弧度制Ⅰ 学习目标1．了解弧度制，并能进行弧度与度的换算． 2．会用集合表示终边相同的角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．下列命题中正确的是( ) (A )第一象限角必是锐角 (B )终边相同的角必相等 (C )相等的角终边位置必定相同 (D )不相等的角终边位置必定不相同 2．α 是任意角，则α 与－α 的终边( ) (A )关于坐标原点对称 (B )关于x 轴对称 (C )关于y 轴对称 (D )关于直线y ＝x 对称 3．若α 是第一象限角，则下列各角中是第四象限角的是( ) (A )90°－α (B )90°＋α (C )360°－α (D )180°＋α 4．将分针拨快20分钟，则分针转过的弧度数为( )(A )32π-(B )32π (C )3π- (D )3π 5．设集合},2π)1(π|{Z ∈-+==⋅k k x x A k ,},2ππ2|{(Z ∈+==k k x x B ，则集合A 与B 之间的关系为( ) (A )AB(B )A B(C )A ＝B(D )A ∩B ＝∅二、填空题6．若0°≤α ＜360°，且α 与－1050°的终边相同，则α ＝______．7．一个半径为R 的扇形中，弦长为R 的扇形的圆心角的弧度数是______． 8．将下列各角写成α ＋2k π),π20(Z ∈<≤k α的形式： (1)649π-＝______；(2)537π______． 9．若α 为锐角，k ·180°＋α)(Z ∈k 所在的象限是____________．10．若角α ＝30°，钝角β 与α 的终边关于y 轴对称，则α ＋β ＝______；若任意角α ，β 的终边关于y 轴对称，则α ，β 的关系是____________． 三、解答题11．圆的半径是2cm ，则30°的圆心角与其所对的圆弧围成的扇形面积是多少?12．自行车大轮有48个齿，小轮有20个齿，当大轮转一周时，小轮转过的角度是多少?等于多少弧度．Ⅲ拓展性训练13．一个不大于180°的正角α ，它的7倍角的终边与角α 的终边相同，求角α 的大小．14．如果一个扇形的周长为20cm，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大．测试二 三角函数的定义Ⅰ 学习目标1．借助单位圆理解三角函数的定义，会用三角函数线比较三角函数值的大小． 2．掌握各函数在各象限的符号．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．角α 的终边过点P (a ，a )(a ＜0)，则sin α 的值为( )(A )22(B )22-(C )22±(D )12．已知sin α cos α ＜0，则角α 在( ) (A )一、二象限 (B )二、三象限 (C )三、四象限(D )二、四象限3．设2π4π<<α，角α 的正弦、余弦的值分别为a ，b ，则( ) (A )a ＜b (B )b ＜a (C )a ＝b (D )a ，b 大小关系不定4．设α ＝10，下列函数值中为负值的是( ) (A )cos (－2α )(B )cos α(C )2cosα(D ))2sin(α-5．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]内α 的取值范围是( )(A ))4π3,2π(∪)45π,π( (B ))2π,4π(∪)4π5,π((C ))4π3,2π(∪)2π3,4π5((D ))2π,4π(∪)π,4π3(二、填空题6．已知角α 的终边经过点Q (3-，1)，则cos α ＝______，sin α ＝______，tan α ＝______． 7．若角480°终边上有一点(－4，α )，则α 的值为______． 8．若cos α=23-，且α 的终边过点P (x ，2)，则α 是第______象限角，x ＝______． 9．α 为第二象限角，给出下列命题： ①α 的正弦值与正切值同号； ②sin α cos α tan α ＞0； ③αtan 1+总有意义； ④1－cos α ＞1．其中正确命题的序号为______． 10．若tan α ＞sin α ＞cos α(2π2π<<-α )，则角α 的范围是______． 三、解答题11．已知角α 终边上一点P (3-，y ) (y ≠0)，且sin α=42y ． 求cos α 和tan α 的值．12．角α 的顶点为坐标原点，终边在直线y ＝3x 上，且sin α ＜0；P (m ，n )是α 终边上的一点，且OP ＝10，求m －n 的值．Ⅲ 拓展性训练13．在单位圆中利用三角函数线求出满足21sin <α的角α 的范围．14．若0＜α ＜π，试利用三角函数线讨论sin α ＋cos α 值的变化规律．测试三 同角三角函数的基本关系与诱导公式Ⅰ 学习目标初步掌握同角三角函数的基本关系和诱导公式；利用公式进行化简求值．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．sin210°的值是( ) (A )21 (B )21-(C )23 (D )23-2．若31)πsin(-=+A ，则sin (6π－A )的值为( ) (A )31 (B )31-(C )322-(D )322 3．已知)2π3,π(,31)2πsin(∈-=+αα，则sin (3π－α )的值为( ) (A )31 (B )31-(C )322-(D )322 4．设tan α ＝2，且sin α ＜0，则cos α 的值等于( ) (A )55 (B )51-(C )55-(D )515．化简)2πcos()2πsin(21--+的结果是( ) (A )sin2－cos2 (B )cos2－sin2 (C )±(sin2－cos2)(D )sin2二、填空题6．)22πcos()2πsin(++-的值为__________. 7．)210cos()210tan(︒--︒-＝__________. 8．设2cos sin =+αα，则sin α cos α 的值为______．9．π23π,31tan <<=αα，则sin α ·cos α 的值为______． 10．)1050sin(315sin 120cos )570cos(︒--的值是______．三、解答题 11．计算：π655tan π637cos )π346sin()π635tan(⋅⋅---．12．设)cos()180(cos 221)90sin(2)360(sin cos 2)(223x x x x x x f -++︒++++--= ，求)3π(f 的值．Ⅲ 拓展性训练13．已知sin θ ＋sin 2θ ＝1，求3cos 2θ ＋cos 4θ －2sin θ ＋1的值．14．化简：)π414cos()π414sin(αα-++--n n ,Z ∈n ．测试四 正弦函数的图象与性质Ⅰ 学习目标掌握正弦函数的图象与性质；会解决正弦型函数中关于周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值或值域、图象变换等相关问题．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．函数，sin x y =]3π2,6π[∈x ，则y 的取值范围是( ) (A )[－1，1](B )]1，21[(C )]23，21[ (D )]1，23[2．下列直线中，是函数)2π53sin(+=x y 的对称轴的是( ) (A )6π=x (B )6π-=x (C )3π=x (D )2π=x3．在下列各区间中，是函数)4πsin(+=x y 的单调递增区间的是( )(A )]π,2π[ (B )]4π,0[ (C )[－π，0] (D )]2π,4π[4．函数y ＝sin x －|sin x ｜的值域是( ) (A )[－2，0] (B )[－2，2] (C )[－1，1](D )[－1，0]5．函数)3π2sin(-=x y 在区间]π,2π[-的简图是( )二、填空题6．函数)3πsin(3-=x y ω的最小正周期为4π，则ω ＝______．7．函数xy sin 213+=的定义域是____________．8．已知函数)3π4sin(--=x b a y (b ＞0)的最大值是5，最小值是1，则a ＝______，b ＝______．9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x －1，且f (2)＝6，则f (－2)＝______． 10．函数y ＝2sin 2x －2sin x ＋1的值域是______． 三、解答题11．函数)3π2sin(-=x y 的图象是由y ＝sin x 的图象如何得到的?12．已知)sin()(ϕω+=x A x f (其中A ＞0，ω ＞0，0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如下图所示．(1)试确定A ，ω ，ϕ的值． (2)求3=y 与函数f (x )的交点坐标．13．用五点法作出函数)3π2sin(2+=x y 在一个周期内的图象，并指出函数的单调区间．Ⅲ 拓展性训练14．已知函数0，0(，)sin()(>>+=ωϕωA x A x f ，)2π||<ϕ的图象与y 轴的交点为(0，1)，且在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)，(x 0＋3π，－2)． (1)求函数f (x )的解析式及x 0的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)叙述由y ＝sin x 的图象如何变换为f (x )的图象．测试五 余弦函数、正切函数的图象与性质Ⅰ 学习目标掌握余弦函数、正切函数的图象与性质．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．函数y ＝cos x 和y ＝sin x 都是增函数的区间是( ) (A )]π,2π[(B )]2π,0[(C )]0,2π[-(D )]2π,π[--2．下列不等式成立的是( )(A )6πsin 5πsin<(B )6πcos 5πcos> (C ))6πsin()5πsin(->-(D ))6πcos()5πcos(-<-3．若tan x ≤0，则( ) (A )Z ∈<<-k k x k π,22ππ2 (B )Z ∈+<<+k k x k ,π)12(2ππ2 (C )Z ∈≤<-k k x k ,π2ππ (D )Z ∈≤≤-k k x k ,π2ππ4．函数|)6πcos(|+=x y 的最小正周期为( )(A )2π(B )π(C )2π (D )6π5 5．若函数)5π2πcos()(+=x x f 对于任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则 ｜x 1－x 2｜的最小值为( ) (A )1 (B )2 (C )π(D )4二、填空题6．函数y ＝tan πx 的最小正周期是______． 7．已知tan α=33(0＜α ＜2π)，那么α 所有可能的值是______． 8．函数)(cos log 21x y =的定义域是______．9．给出下列命题：①存在实数x ，使sin x cos x ＝1； ②存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝3； ③)22π5sin(x y -=是偶函数； ④(0,2π)是y ＝tan x 的对称中心 其中正确的是______．10．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y ＝f (x )的图象恰好经过k 个格点，则称该函数f (x )为k 阶格点函数．下列函数中是一阶格点函数的是____________． ①y ＝sin x ；②)6πcos(+=x y ； ③y ＝cos x －1； ④y ＝x 2三、解答题11．已知)3π2cos(+=x y ，写出这个函数的周期、最大值、对称轴，并说明其图象是由函数y ＝cos x 怎样变换得到的．12．已知f (x )是奇函数，又是周期为6的周期函数，且f (－1)＝1，求f (－5)的值．Ⅲ 拓展性训练13．已知4πcos)(n n f =，求f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值．14．已知a ，b 为常数，f (x )＝(a －3)sin x ＋b ，g (x )＝a ＋b cos x ，且f (x )为偶函数．(1)求a 的值；(2)若g (x )的最小值为－1，且sin b ＞0，求b ．测试六 三角函数全章综合练习一、选择题1．函数)6π52cos(3-=x y 的最小正周期是( ) (A )π52 (B )π25 (C )2π (D )5π2．若sin α cos α ＞0，则角α 的终边在( )象限 (A )第一 (B )第四 (C )第二或第三 (D )第一或第三3．函数xy sin 213-=的定义域为( )(A )},6ππ2|{Z ∈+=/k k x x(B )｝,6ππ2|｛Z ∈-=/k k x x (C )R(D )},6π5π2,6ππ2|{Z ∈+=/+=/k k x k x x 且 4．已知函数)2ππsin()(-=x x f ，那么下列命题正确的是( )(A )f (x )是周期为1的奇函数 (B )f (x )是周期为2的偶函数 (C )f (x )是周期为1的非奇非偶函数 (D )f (x )是周期为2的非奇非偶函数 5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )(A )y ＝)6πsin(+x (B )y ＝)6π2sin(-x(C )y ＝)3π4cos(-x(D )y ＝)6π2cos(-x二、填空题 6．计算)3π17sin(-＝______． 7．已知552sin =α，π2π≤≤α，an α ＝______． 8．函数)6πsin(+=x y 图象的一个对称中心为____________． 9．函数f (x )＝A sin (ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的部分图象如图所示， 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (11)＝______．10．如图所示，一个半径为3米的圆形水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟绕圆心O逆时针旋转3圈．若点P从如图位置开始旋转(OP平行于水面)，那么5秒钟后点P到水面的距离为______米，试进一步写出点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足的函数关系式________．三、解答题11．已知，02π<<-α，求)cos()πcos(cos)2πcos(αααα--+的值．12．已知21tan=α，求ααααcossincos3sin+-的值．13．已知函数)3πsin(2)(+=xxfω)0(>ω的最小正周期为π．(1)求ω 的值；(2)求f(x)在]4π,4π[-上的取值范围．14．已知函数)(1(0)，)π0，()sin()(xff＞xxf，=≤≤+=ϕωϕω的图象关于点)0,4π3(M对称，且在区间]2π,0[上是单调函数，求ω ，ϕ的值．参考答案第一章 基本初等函数(Ⅱ)测试一 任意角的概念与弧度制一、选择题1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 提示：5．对于集合A ，当k ＝2n 时，Z ∈+=-+=n n n x n,2ππ22π)1(π22； 此时x 表示终边在y 轴正半轴上的任意角． 当k ＝2n ＋1时，Z ∈+=-+=-++=+n n n n x n ,2ππ22πππ22π)1(π)12(12， 此时x 仍表示终边在y 轴正半轴上的任意角．综上，A ＝B ． 二、填空题 6．30° 7．3π 8．(1)611π10π+-， (2)57π6π+ 9．第一、三象限 10．180°，α ＋β ＝(2k ＋1)·180°，k ∈Z ．提示：10．由已知，做出30°角终边，依终边对称性可得β ＝150°，所以α ＋β ＝180°；由上述分析，换一个角度看，可以得出一般性结论：β 与π－α 终边相同，所以β ＝(180°－α )＋k ·360°，即α ＋β ＝(2k ＋1)·180°，k ∈Z ． 三、解答题 11．2cm 3π． 12．解：依题意，大轮转过一周48齿，小轮也转过48齿．则小轮转过4.22048=周，所以，小轮转过的角度为360°×2.4＝864°； 864°=π524180π864=⨯弧度．13．解：由已知，7α ＝k ·360°＋α ，k ∈Z ，所以α ＝k ·60°，又0°＜α ≤180°，所以，α ＝60°，120°或180°． 14．解：设扇形中心角为θ ，半径为r ．则2r ＋θ r ＝20，即0220>-=rrθ． 因为r ＞0，所以0＜r ＜10．22102121r r r lr S -===θ． 所以，当r ＝5cm ，θ ＝2时扇形面积最大，最大面积为25cm 2．测试二 三角函数的定义一、选择题1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 提示：4．α ≈570°，与210°终边相同；︒≈2852α；－2α ≈－1140°与60°终边相同．5．由题意sin α －cos α ＞0且tan α ＞0，所以作出三角函数线，得到角的范围． 二、填空题 6．33,21,23--7．34 8．二，32-=x 9．②④ 10．)2π,4π(. 提示：8．由定义，232cos 22-=+=x x α，解得.32-=x 三、解答题 11．略解．由已知y y y4232=+，解得5±=y ，则46cos -=α，315tan ±=α.12．略解．由已知n ＝3m ，并且m ＜0，n ＜0．又m 2＋n 2＝10，∴m ＝－1，n ＝－3，m －n＝2．13．答：)613ππ2,65ππ2(++k k 14．答：当2π0<<α时，2π;1cos sin =+ααα＞时，sin α ＋cos α ＝1；当4π32π<<α时，4π3;1cos sin 0=+ααα＜＜时，sin α ＋cos α ＝0； 当π4π3<<α时，－1＜sin α ＋cos α ＜0．测试三 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 提示：1．21120sin 30sin )30180sin(210sin -=︒-=︒-=︒+︒=︒． 5．=--+)2πcos()2πsin(212cos 2cos 2sin 22sin 2cos 2sin 2122+-=-2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2-=-=-=，(因为sin2＞cos2)． 二、填空题 6．0 7．638．21 9．103 10．46-提示：7．因为－210°＝－360°＋150°，所以原式632333150cos 150tan =+-=︒-︒= 8．(sin α ＋cos α )2＝sin 2α ＋cos 2α ＋2sin α ·cos α ＝1＋2sin α ·cos α ＝2．所以sin α ·cos α=⋅21 当需要找sin α ±cos α 与sin α ·cos α 的关系时，一般通过(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α 来沟通． 三、解答题 11．0 12．21．化简得f (x )＝cos x ，所以，21)3π(=f . 13．2提示：由已知，sin θ ＝1－sin 2θ ＝cos 2θ ，故原式＝3sin θ ＋sin 2θ －2sin θ ＋1＝sin 2θ ＋sin θ ＋1＝2． 14．0提示：当n ＝2k 时，原式)4πcos()4πsin()4ππ2cos()4ππ2sin(αααα-+--=-++--=k k 0)4πsin()4πsin(=+++-=αα；当n ＝2k ＋1时， 原式)45πcos()43πsin()45ππ2cos()43ππ2sin(ααα-+-=-++-+=k a k 0)4πsin()4πsin()4πcos()4πsin(=+-+=--+=a a a a ．测试四 正弦函数的图象与性质一、选择题1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 提示：4．⎩⎨⎧<≥=-=,0sin ,sin 2,0sin ,0|sin |sin x x x x x y 据此画出函数的示意图，结合图形，可得函数的值域． 二、填空题 6．21±7．Z ∈+=/+=/k k x k x ,6π11π26π7π2且 8．3，2 9．－8 10．]5,21[ 提示：9．f (x )＝ax ＋b sin x －1，f (2)＝6，得f (2)＝2a ＋b sin2－1＝6，………① 而所求f (－2)＝－2a ＋b sin (－2)－1＝－2a －b sin2－1， 由①知，2a ＋b sin2＝7，所以，－2a －b sin2＝－7， 所以，f (－2)＝－8． 三、解答题11．答：先把y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得)3π2sin(-=x y 的图象．12．答：(1)A ＝2，4π,21==ϕω． (2)令,3)4π21sin(2=+x得3ππ24π21+=+k x 或Z ∈+=+k k x ,3π2π24π21 即6ππ4+=k x 或,,6π5π4Z ∈+=k k x所以，交点坐标为)3,6ππ4(+k 或)3,6π5π4(+k ，Z ∈k ．13．答：函数周期为π，结合图象知函数的递减区间为]12π7π,12ππ[++k k (k ∈Z )，递增区间为]12ππ,125ππ[+-k k ．14．解：(1))6π31sin(2)(+=x x f ，π0=x ；(2)单调递增区间为[6k π－2π，6k π＋π](k ∈Z ) (3)首先左移6π，然后将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍；最后将图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍。