动量守恒定律和能量守恒定律解析
物理学中的动量和能量守恒定律
物理学中的动量和能量守恒定律物理学中有两个重要的守恒定律，分别是动量守恒定律和能量守恒定律。
它们是描述自然界物体在各种相互作用下的运动和转化过程的基本原理。
本文将对这两个守恒定律进行详细探讨，并展示它们在物理学中的重要作用。
一、动量守恒定律动量守恒定律是指在一个孤立系统中，总动量保持不变。
即在没有外力作用的情况下，物体或物体系统的总动量守恒。
动量的定义是一个物体的质量乘以其速度。
对于一个物体的动量改变，需要有外力的作用。
根据牛顿第二定律F=ma，可以得到物体动量的变化率等于作用力。
动量守恒定律可以应用于多种情况，例如碰撞、爆炸等。
在碰撞过程中，当两个物体以一定速度相向运动时，它们会发生碰撞，根据动量守恒定律，碰撞前后两个物体的总动量保持不变。
这个特点使得动量守恒定律成为解决碰撞问题的有力工具。
二、能量守恒定律能量守恒定律是指在一个孤立系统中，总能量保持不变。
无论是机械能、热能、电能还是化学能等各种形式的能量，在一个封闭的系统中，总能量守恒。
能量的转化是物理学中研究的重要内容。
在能量守恒定律的作用下，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量始终保持不变。
以机械能守恒为例，机械能包括动能和势能。
当只考虑重力场时，一个物体的机械能等于它的动能与势能之和。
在没有外力做功和能量损耗的情况下，一个物体的机械能保持不变。
能量守恒定律在很多领域中都有应用。
例如在机械系统中，能量守恒定律常常用于解决机械能转化和利用的问题。
在能量转化的过程中，能量的损耗是无法避免的，而能量守恒定律提供了一种理论工具来分析能量转化的效率和损失。
三、动量和能量守恒定律的关系动量守恒定律和能量守恒定律在物理学中密切相关，但并不完全等同。
动量是一个矢量量，与物体的质量和速度有关；而能量是一个标量量，与物体的质量和速度的平方有关。
在一些情况下，动量和能量守恒定律可以同时适用。
例如在完全弹性碰撞中，动能守恒和动量守恒同时成立。
在碰撞前后，物体的动能保持不变，同时总动量也保持不变。
经典力学三大守恒定律和条件
经典力学三大守恒定律和条件经典力学是物理学的一个重要分支，研究物体运动的规律和力的作用。
在经典力学中，有三大守恒定律，它们是动量守恒定律、角动量守恒定律和能量守恒定律。
下面将分别介绍这三大守恒定律及其条件。
一、动量守恒定律动量守恒定律是经典力学中最基本的守恒定律之一，它描述了物体在没有外力作用下的动量不变性。
动量是物体的质量乘以其速度，用p表示。
动量守恒定律可以用以下公式表示：Δp = 0其中，Δp表示物体动量的变化量，当Δp等于0时，即物体动量保持不变，满足动量守恒定律。
动量守恒定律的条件：1. 在一个封闭系统内，没有外力作用于系统；2. 系统内的物体之间没有相互作用力。
二、角动量守恒定律角动量守恒定律描述了物体在没有外力矩作用下的角动量不变性。
角动量是物体的质量乘以其速度和与其速度垂直的距离的乘积，用L表示。
角动量守恒定律可以用以下公式表示：ΔL = 0其中，ΔL表示物体角动量的变化量，当ΔL等于0时，即物体角动量保持不变，满足角动量守恒定律。
角动量守恒定律的条件：1. 在一个封闭系统内，没有外力矩作用于系统；2. 系统内的物体之间没有相互作用力矩。
三、能量守恒定律能量守恒定律是经典力学中最重要的守恒定律之一，它描述了物体在运动过程中能量的转化和守恒。
能量可以分为动能和势能两种形式，动能是物体由于运动而具有的能量，势能是物体处于一定位置而具有的能量。
能量守恒定律可以用以下公式表示：ΔE = 0其中，ΔE表示物体能量的变化量，当ΔE等于0时，即物体能量保持不变，满足能量守恒定律。
能量守恒定律的条件：1. 在一个封闭系统内，没有外力做功；2. 系统内的物体之间没有能量的传递。
除了上述三大守恒定律外，还有一些相关的守恒定律，如动能守恒定律、角动量守恒定律和机械能守恒定律等。
它们都是基于经典力学的基本原理推导出来的。
动能守恒定律是能量守恒定律的一个特例，它描述了物体在运动过程中动能的转化和守恒。
动能守恒定律可以用以下公式表示：ΔK = 0其中，ΔK表示物体动能的变化量，当ΔK等于0时，即物体动能保持不变，满足动能守恒定律。
动量守恒定律与能量守恒定律
在环境保护和污染治理中，利用动量守恒定律和能量守恒定律来 分析和解决环境问题。
05 深入理解动量守恒定律与 能量守恒定律的意义
对物理学发展的影响
奠定物理学基础
动量守恒定律和能量守恒定律是物理学中最基本、最重要 的原理之一，为整个物理学的发展提供了坚实的理论基础。
推动物理学进步
这两个定律的发现和证明推动了物理学的发展，引发了多 次科学革命，不断推动着物理学理论的完善和创新。
物体运动
01
动量守恒定律可以解释和理解物体运动的现象，如碰撞、火箭
发射等。
声学原理
02
声音传播过程中，声波的动量守恒，能量守恒定律则解释了声
音的传播速度和强度变化。
电磁波传播
03
电磁波的传播过程中，能量守恒定律解释了电磁波的能量分布
和传播速度。
工程领域的运用
01
02
03
机械工程
在机械设计中，动量守恒 定律和能量守恒定律被广 泛应用于分析机械系统的 运动和能量传递。
动量守恒定律与能量守恒定律
contents
目录
• 动量守恒定律 • 能量守恒定律 • 动量守恒与能量守恒的关系 • 动量守恒定律与能量守恒定律在现实生
活中的应用 • 深入理解动量守恒定律与能量守恒定律
的意义
01 动量守恒定律
定义与公式
定义
动量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它指出在没有外 力作用的情况下，一个封闭系统的总动量保持不变。
动量守恒定律要求系统是封闭的，即 系统中的物质不能离开或进入系统。
系统内力的矢量和为零
系统内力的矢量和为零意味着系统内 部相互作用力的总和为零，不会改变 系统的总动量。
动量守恒定律的应用实例
动量守恒和能量守恒公式
动量守恒和能量守恒公式动量守恒（momentum conservation）和能量守恒（energy conservation）是物理学中两个非常重要的定律。
首先，我们来了解一下动量守恒。
动量是描述物体运动状态的物理量，它是质量（m）乘以速度（v），即p=mv。
根据牛顿第二定律，物体的动量变化率等于作用在物体上的力产生的冲量，即F=dp/dt，其中F是力，dp/dt是动量的变化率。
根据动量守恒定律，当物体间的外力为零时，物体的总动量保持不变。
当有两个物体发生碰撞时，这个系统的总动量在碰撞前后是守恒的。
换句话说，如果一个物体的动量增加，那么另一个物体的动量必然减小，这就是动量守恒的基本原理。
这个原理被广泛应用在各个领域，例如交通事故、运动中的球类运动和飞行器的设计等。
接下来，我们来讨论能量守恒。
能量是物体进行工作或引起变化的能力，是物理系统的基本属性。
根据能量守恒定律，一个系统的总能量在任意时刻都是保持不变的。
能量可以分为各种形式，包括动能、势能、热能等。
动能是物体运动的能量，由于速度和质量的平方成正比。
势能是物体由于位置而具有的能量，如重力势能和弹性势能。
热能是物体内部粒子运动产生的能量。
在一个封闭系统中，能量守恒定律表明，系统的总能量是一个恒定值，一旦系统能量从一种形式转化为另一种形式，总能量保持不变，只是能量在不同形式之间的转化。
例如，考虑一个物体自由下落的情况。
当物体下落时，势能转化为动能。
当物体触地时，物体的动能转化为热能和声能，但总能量不变。
总结一下，动量守恒和能量守恒是物理学中的两个重要定律。
动量守恒表明在一个封闭系统中，系统的总动量在任意时刻都保持不变。
能量守恒表明系统的总能量在各种能量形式之间转化时保持不变。
这些定律在解释和预测物理现象和事件方面起着关键的作用，并在许多领域的科学研究和技术应用中发挥着重要作用。
运动物体的能量守恒与动量守恒定律分析
运动物体的能量守恒与动量守恒定律分析运动物体的能量守恒与动量守恒定律是物理学中重要的基本原理，它们揭示了物体在运动过程中能量和动量的守恒规律。
本文将从理论和实践两个方面分析这两个定律的原理和应用。
一、能量守恒定律能量守恒定律是指在一个封闭系统中，能量的总量在任何时刻都保持不变。
对于运动物体而言，其能量守恒定律可以分为动能守恒和势能守恒两个方面。
动能守恒是指物体在运动过程中，其动能的总量保持不变。
动能的大小与物体的质量和速度有关，可以用公式E=1/2mv²表示，其中E为动能，m为物体的质量，v为物体的速度。
当物体在运动过程中没有受到外力的作用时，动能守恒定律成立。
例如，一个自由落体的物体在下落过程中，只受到重力的作用，没有其他外力的干扰，其动能将保持不变。
势能守恒是指物体在运动过程中，其势能的总量保持不变。
势能是由物体所处位置决定的，常见的有重力势能、弹性势能等。
在没有外力做功的情况下，势能守恒定律成立。
例如，一个弹簧被压缩后释放，弹簧的势能会转化为物体的动能，当物体再次回到原来位置时，其势能又会恢复到原来的大小。
能量守恒定律在日常生活中有着广泛的应用。
例如，我们乘坐电梯上楼时，电梯的势能会转化为我们的动能，使我们能够上升到目标楼层。
再例如，我们玩弹球游戏时，弹球在碰撞过程中动能的转化使得游戏更加有趣。
二、动量守恒定律动量守恒定律是指在一个封闭系统中，物体的总动量在任何时刻都保持不变。
动量的大小与物体的质量和速度有关，可以用公式p=mv表示，其中p为动量，m为物体的质量，v为物体的速度。
当物体在运动过程中没有受到外力的作用时，动量守恒定律成立。
动量守恒定律在碰撞过程中有着重要的应用。
碰撞可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞两种情况。
弹性碰撞是指碰撞物体在碰撞过程中动能守恒，并且碰撞前后物体的动量大小和方向都保持不变。
例如，两个弹球碰撞后，它们的动量之和仍然保持不变。
非弹性碰撞是指碰撞物体在碰撞过程中动能不守恒，但总动量仍然保持不变。
动量和能量守恒定律
动量和能量守恒定律动量和能量守恒定律是物理学中两个重要的基本原理。
这两个定律在理论物理和实验物理中起着至关重要的作用。
本文将从理论和实验两方面介绍动量和能量守恒定律，并探讨它们在日常生活和工程实践中的应用。
一、动量守恒定律的基本原理动量守恒定律是描述物体运动的基本规律之一。
根据动量守恒定律，孤立系统中的总动量保持不变。
即在没有外力作用的情况下，物体的总动量守恒。
这一定律可以通过数学公式表示为：Σ(m₁v₁) = Σ(m₂v₂)其中，m₁、m₂分别为物体的质量，v₁、v₂为物体的速度。
该公式表示，两个物体在碰撞前后的动量之和保持不变。
动量守恒定律可以用来解释许多物理现象，如弹性碰撞、爆炸等。
例如，在弹性碰撞过程中，两个物体发生碰撞后，它们之间的动量交换，但总动量保持不变。
这一定律也被应用于交通事故分析和设计安全气囊等工程实践中。
二、能量守恒定律的基本原理能量守恒定律是描述能量转化和能量流动的基本规律。
根据能量守恒定律，孤立系统中的总能量保持不变。
即在没有能量的输入或输出的情况下，系统的总能量守恒。
根据物理学原理，能量可以存在于不同的形式，如动能、势能、热能等。
能量守恒定律可以用数学公式表示为：ΣKE₁ + ΣPE₁ + ΣTE₁ = ΣKE₂ + ΣPE₂ + ΣTE₂其中，KE表示动能，PE表示势能，TE表示热能。
该公式表示，系统中各种形式的能量在转化和交换过程中维持总能量不变。
能量守恒定律可以解释许多自然现象，如机械运动、热力学等。
例如，在机械能守恒定律中，当物体从高处自由下落时，重力势能转化为动能，保持总能量不变。
这一定律也被应用于能源管理和可持续发展等领域。
三、动量和能量守恒定律的联系和应用动量和能量守恒定律都描述了物体或系统中某种物理量的守恒。
二者在某些情况下可以相互转化和关联。
例如，当物体发生完全弹性碰撞时，动量守恒定律和能量守恒定律同时适用。
在碰撞前后，物体的总动能和总动量保持不变。
动力学三大守恒定律
动力学三大守恒定律动力学是研究物体运动的学科，其中有三大重要的守恒定律，即能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律。
这些定律是物理学中最基本和最重要的定律之一，它们对于我们理解和解释物体运动以及相互作用的规律有着深远的影响。
能量守恒定律是指在任何一个封闭系统中，能量的总量是不变的。
换句话说，能量可以从一种形式转变为另一种形式，但总能量的大小保持不变。
这意味着在物体的运动过程中，能量是不会消失或者凭空产生的。
例如，当一个物体从高处掉落时，它的势能会逐渐转变为动能，而不会丢失或者增加。
能量守恒定律给我们提供了一种方式来计算物体的能量转化过程，并且帮助我们理解能量在自然界中的传递和转化。
动量守恒定律是指在一个封闭系统中，物体的总动量保持不变。
动量是描述物体运动状态的物理量，它等于物体的质量乘以其速度。
当一个物体的动量改变时，必然存在其他物体的动量改变以保持整个系统的总动量不变。
这个定律在碰撞和相互作用等多种情况中都得到了验证。
例如，当两个物体发生碰撞时，它们的总动量在碰撞之前和之后保持不变。
动量守恒定律对于我们理解物体之间的相互作用以及碰撞过程中的能量转化非常关键。
角动量守恒定律是指在一个封闭系统中，物体的总角动量保持不变。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它等于物体的惯量乘以其角速度。
与动量守恒定律类似，在一个封闭系统中，当物体的角动量发生改变时，必然存在其他物体的角动量改变以保持整个系统的总角动量不变。
这个定律在旋转和转动等多种情况中都得到了验证。
例如，当一个旋转的物体突然改变其旋转方向或速度时，系统中其他物体的角动量也会相应改变，以保持总角动量守恒。
角动量守恒定律对于我们理解刚体运动和天体运动等现象有着重要的指导作用。
总结来说，能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律是动力学中三大重要的守恒定律。
它们的应用范围非常广泛，对于我们理解和解释物体的运动以及相互作用的规律起着至关重要的作用。
通过研究和运用这些定律，我们可以深入探索自然界的奥秘，并且在工程和科学研究中取得更加准确和可靠的结果。
物理中的守恒定律解析
物理中的守恒定律解析物理学作为自然科学的一个重要分支，研究的是物质、能量、运动和相互作用等基本规律。
在物理学中，守恒定律是一组基本的规律，它们描述了自然界中一些重要的守恒现象。
在物理学的研究中，守恒定律是非常重要的，它们帮助我们理解和解释许多自然现象，也为科学研究提供了重要的指导。
本文将对物理中的守恒定律进行解析，探讨其在自然界中的应用和意义。
一、能量守恒定律能量守恒定律是物理学中最基本的守恒定律之一。
它表明在一个封闭系统中，能量的总量是不变的。
换句话说，能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量保持不变。
这个定律适用于各种物理现象，包括机械能、热能、电能等形式的能量转化。
以机械能守恒为例，当一个物体在重力场中做自由下落运动时，其机械能守恒。
在这个过程中，物体的势能逐渐转化为动能，但总机械能保持不变。
这个定律帮助我们理解了许多物体的运动规律，例如抛体运动、圆周运动等。
另外，能量守恒定律也适用于热力学系统。
在热力学系统中，热能可以转化为机械能，也可以转化为其他形式的能量，但总能量守恒。
这个定律对于热力学过程的分析和研究具有重要意义，例如热机效率、热力学循环等问题都可以通过能量守恒定律来解释。
二、动量守恒定律动量守恒定律是描述物体在相互作用过程中动量守恒的规律。
动量是物体运动的量度，是物体质量和速度的乘积。
根据动量守恒定律，一个封闭系统中的总动量在相互作用过程中保持不变。
这个定律适用于各种物体之间的相互作用，包括弹性碰撞、非弹性碰撞等情况。
在弹性碰撞中，两个物体相互碰撞后会发生速度的变化，但它们的总动量保持不变。
这个定律可以帮助我们计算碰撞后物体的速度、方向等参数，也可以解释许多实际现象，如台球碰撞、行星运动等。
动量守恒定律也适用于非弹性碰撞。
在非弹性碰撞中，物体之间会发生能量损失，但总动量仍然守恒。
这个定律在交通事故、火箭发射等领域都有重要应用，可以帮助我们预测和控制物体的运动状态。
三、角动量守恒定律角动量守恒定律描述了物体在外力作用下角动量守恒的规律。
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第三章 动量守恒定律和能量守恒定律概述：1、牛顿第二定律描述了力对物体作用的瞬间关系，物体瞬间获得响应的加速度，物体的运动状态已经开始发生变化，要使物体的运动状态继续变化，需要力的作用有一个过程。
本章从力的空间累积效应和时间累积效应出发，用动量和能量对机械运动进行分析。
2、由对一个质点的研究过渡到质点系的研究。
3、守恒定律是完美、和谐的自然界的体现。
动量守恒和能量守恒源于牛顿力学，但在牛顿定律不适用的领域，例如微观粒子及高能物理领域仍然适用，故它是自然界的一条基本定律。
3-1质点和质点系的动量定理一、 冲量 质点的动量定理牛顿第二定律的微分形式d d t =pF d d t =F p 22112121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ1.冲量：力对时间的积分，常以I 表示，并称⎰=21d t t t F I为在1t ～2t 时间内、力F 对质点的冲量，或简单说成F 的冲量。
说明：（1）.冲量,是一个矢量，大小为21d t t t =⎰I F ，方向是速度或动量的变化方向。
（2）.由于冲量是作用力的时间积分，必须知道力在这段时间中的全部情况，才能求出冲量。
实际上要知道力的大小和方向随时间变化是很困难的，必须采取近似处理。
F 为恒力（方向也不变）时，t =∆I F ；（高中的冲量定义） F 作用时间很短时，可用力的平均值F 来代替。
211d t t t t =∆⎰F F ，21t t t ∆=-2.动量（p ）是描述物体运动状态的物理量，有大小和方向，是一个矢量。
方向和运动速度的方向相同。
单位：㎏·ｍ/ｓ量纲：MLT －１。
3.质点的动量定理：在给定的时间间隔内，质点所受合力的冲量，等于该质点动量的增量。
22112121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ在直角坐标系中，质点的动量定理的分量形式：212121212121---t x x x xt t y y y y t t z zz zt I F dt m υm υI F dt m υm υI F dt m υm υ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩⎰⎰⎰动量定理在打击和碰撞等情形中特别有用。
一般而言，冲力大小随时间而变化的情况比较复杂，所以很难把每一时刻的冲力测量出来．但若我们能够知道两物体在碰撞前、后的动量，那么根据动量定理，就可得出物体所受的冲量；若我们还能测出碰撞时间，那么也可以从冲量算出在碰撞时间内的平均冲力为21m m t ∆υ-υF =。
二、质点系的动量定理质点系内质点之间相互作用力是内力。
考虑由n 个不同质点组成的质点系，设第i 个质点受外力ex i F 和内力in i F 作用时，由动量定理有：()00d texin ii i i t t +=-⎰FF p p对质点系内所有质点求和：()0001110011d d d nn nt t t ex in ex in i i i i t t t i i i n ni i i i t t t =====⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭-=-=∆∑∑∑⎰⎰⎰∑∑F F F F =p p p p p因为对质点系的内力有10nin i i ==∑F ，则001d n tex i t i t =⎛⎫=-=∆ ⎪⎝⎭∑⎰F p p p质点系的动量定理：系统所受的合外力的冲量等于系统动量的增量。
说明：1. 内力只能在系统内各个物体之间传递动量，对整个质点系的总动量的改变不起作用的。
2. 对于无限小的时间间隔内，质点系的动量定理可写成d d ex t =F p 或d d ex t=pF 。
表明作用系的合外力等于质点系的动能随时间的变化率。
3-2 动量守恒定律若系统所受的合外力为零，即01=∑=ni i F ，有i i 1ni m ===∑p υ常矢量。
这就是动量守恒定律，它的表述为：一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。
注意：1、动量是矢量，系统的动量是指系统内所有质点的动量之矢量和，而一般不指代数和。
系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略外力。
3、动量守恒可在某一方向上成立，即分动量守恒。
4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
6、动量守恒定律只适用于惯性系。
3-4 动能定理一、功1、恒力的功如图所示，一个质点M 在恒力F 的作用下，沿直线从a 点运动到b 点，位移为s ，力F 与位移ｓ之间的夹角为θ。
则在这个过程中，力F 在位移s 上的功W 等于力的大小F 、质点位移s 的大小以及力与位移之间夹角余弦cos θ的乘积。
根据矢量标积的定义，功的定义可以改写为：cos W Fs θ=⋅F s =注意：功是过程量，上面对功定义仅适合于（1）沿直线运动的质点,（2）作用力为恒力。
2、变力作用下的曲线运动的功元功： d d W =⋅F r总功： d d cos d BBAAW W F r θ==⋅=⎰⎰⎰F r在直角坐标系中，F 和d r 可以分别写成x y z F F F ++F =i j k ，d d d d x y z ++r =i j kd d d d x y z W F x F y F z ++=d d d Bx y z AW F x F y F z ++⎰=若质点同时受几个力1F ，2F ，…，n F 作用，质点在这些力作用下由a 点沿任意曲线运动到b 点，则()()()()()()121212d d d d d nbbbn a L a L a L bn a L bhe a L W W W W +++=⋅+⋅++⋅=+++⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰=F r F r F rF F F rF r结论：当几个力同时作用在一个质点上，这些力在这个过程中对质点所作的功的总和，等于这些力的合力在同一过程中对质点所作的功。
3、功率（P ）：功随时间的变化率叫做功率，用P 表示，则有d d WP t=说明：（1） 功率的单位是瓦特，简称瓦，符号为W ，且1kW =103W 。
（2） d d d d W P t t==⋅=⋅rF F υ。
例题1：物体在水平面上运动，摩擦力做的功。
解：这是一个物体沿曲线运动但力的大小不变的例子，摩擦力的大小为smg ds mg w sμμ-=-=⎰0μmg f =，方向与位移相反，故：整个过程所作的功为：即摩擦力作功与路程有关。
力对物体作功，是力的空间累积效应，物体的运动状态发生变化，二者之间有何关系？二、质点的动能定理d d d cos W F r θ=⋅F r =cos t F F θ=d d t t υF ma mt== d d d d d υW mr m υυt== 222111d d 22BAW W m υυm υm υ===-⎰⎰定义： 212k E m υ=叫做质点的动能。
则 21k k W E E =-质点的动能定理：物体动能的增量数值上等于合外力对物体所做的功。
注意：（1）功与动能的区别和联系。
功是力的空间累积效应是一个过程量，而动能是一个状态量，但功是动能变化的量度。
（2）动能定理仅适用惯性系。
例1：质量为1.0 kg 的小球用1.0m 的细绳悬挂在O 点，起始时与垂直线呈030角释放，求010角时小球的速率。
解：由题知合外力的功为：由动能定理有：得sd P s d F s d F dW T⋅+⋅=⋅=0=⋅s d F T ds P ds P s d P θϕsin cos ==⋅θθθd mgl dW ld ds sin -=-=()0cos cos sin 0θθθθθθ-=-=⎰mgl d mgl W ()202121cos cos mv mv mgl W -=-=θθ()15312-⋅=-=s m gl v .cos cos θθdsmg r d F dw μ-=⋅=P小结：1、注意当力不是一维时，应用动量定理要用其分量式。
即先求分量，再合成求总量（这是将矢量运算化为标量运算的常用方法）。
若直接用矢量式，一定注意是矢量合成。
2、对一个系统用动量守恒时，要判断守恒条件是否满足。
3、计算变力作功时，d W 应是过程中任意位置附近的元功。
3-5保守力与非保守力 势能一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1、重力的功重力的功只与始、末位置有关，而与质点所经的路径无关。
2、万有引力的功以m '为参考系，m 的位置矢量为r ，m '对m 的万有引力为m 由A 点移到B 点时F所作的功为：万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，而与所经过的路径无关。
3、弹性力作功zmg r P W BAz z BAd d ⎰⎰-=⋅= )(A B mgz mgz --=rr m m G F3'-=rr r r r r d cos d d ==⋅ϕ ⎰-=BAr r r rmm GW d '2⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=)'()'(A B r m m G r m m G W⎰⎰⋅-=⋅=B Arr r m m G r F Wd 'd 3弹性力作功只由起始和终了位置决定，与过程无关。
二、保守力和非保守力 保守力作功的数学表达式保守力:力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置. 保守力作功特点的数学表述：物体沿闭合路径运动一周时,保守力对它所作的功等于零 .非保守力:力所作的功与路径有关.（例如摩擦力）1.势能势能：与物体间相互作用及相对位置有关的能量。
保守力作功与势能改变量的关系：保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。
三种常用的势能： 重力势能引力势能弹性势能注意：（1）势能是状态的函数。
（2）势能的相对性。
以上三种势能函数各有确定的势能零点。
用时要注意。
（3）势能属于系统。
3-6 功能原理 机械能守恒定律一、质点系的动能定理如图为一个质点系，对第i 个质点运用动能定理，有：d =⋅⎰lr Fmgz E =p rm m GE 'p -=1m 2m im exi Fini F 0k k in ex i i i i E E W W -=+P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2p 21kx E =其中exi W 表示外力功，ini W 表示内力功。
对质点系有：质点系动能定理：作用于质点系的力所作的功，等于质点系的动能增量。
二、质点系的功能原理作用与质点系的内力可分为保守内力和非保守内力，即：根据保守内力作功与势能增量的关系有：代入质点系的动能定理，整理有：动能与势能统称为机械能，用E 表示： 上式可写为：质点系的功能原理：质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和 .三 、机械能守恒定律如果满足：0ex W =，0inncW = 则： 机械能守恒定律：只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变。