2019年天津市河东区高考数学一模试卷(理科)
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学模拟试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A、B全集U＝{1、2、3、4}，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A ∩∁U B＝（）A．{3}B．{4}C．{3，4}D．∅2．（3分）设变量x，y满足约束条件{x+y≤52x−y≤4−x+y≤1y≥0，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．453．（3分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3B．10C．﹣6D．﹣154．（3分）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）设函数f（x）＝sin（2x+π4）+cos（2x+π4），则函数y＝f（x）是（）A．奇函数，其图象关于点（π，0）对称B．奇函数，其图象关于直线x=π2对称C．偶函数，其图象关于点（π，0）对称D ．偶函数，其图象关于直线x =π2对称 6．（3分）已知函数f （x ）=x 3cosx 的定义域是（−π2，π2），当x i ∈(−π2，π2)，i ＝1，2，3时，若x 1+x 2＞0，x 2+x 3＞0，x 1+x 3＞0，则有f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）的值（ ） A ．恒等于零 B ．恒小于零 C ．恒大于零D ．可能小于零，也可能大于零 7．（3分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2＝2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ） A ．2√3B ．2√5C ．4√3D ．4√58．（3分）设f （x ）={x 2+1(x ≥0)4xcosπx −1(x ＜0)，g （x ）＝kx ﹣1（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣g（x ）在x ∈[﹣2，3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（2√2，113） B ．（2√2，113] C ．（2√3，4） D ．（2√3，4]二、填空题（将答案填在答题纸上） 9．（3分）设复数z 满足1+z 1−z=i 其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是 ．10．（3分）若（x +a√x3）8的展开式中x 4的系数为56，则实数a ＝ ．11．（3分）在极坐标系中，直线θ=π3(ρ∈R)被圆ρ＝2a sin θ（a ＞0）所截弦长为2√3，则a ＝ ．12．（3分）已知三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥面BCD ，∠BDC ＝90°，AB ＝BD ＝2，CD ＝1，则三棱锥的外接球的体积为 ． 13．（3分）已知a ＞0，b ＞0，c ＞1，且a +b ＝1，则（2a+b ab−3）•c +√2c−1的最小值为 ．14．（3分）在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝4，若AO →=14AC →，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →+OB →+OD →|的最小值是 ． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，角A ＝60°，且sin B +sin C =13√314． （1）求bc 的值；（2）若b ＜c ，求cos （2B +A ）的值．16．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． （1）求X 的分布列； （2）求此员工月工资的期望．17．在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，DE ＝EF ＝1，DC ＝2，∠EAD ＝30°． （1）求证：CD ⊥平面ADE ；（2）在线段BD 上是否存在点G ，使得平面EAD 与平面F AG 所成的锐二面角的大小为30°，若存在，求出DG DB的值；若不存在，说明理由．18．数列{a n }是公比为12的等比数列，且1﹣a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ，数列{b n }是等差数列，b 1＝8，前n 项和T n 满足T n ＝n λ•b n +1（λ为常数，且λ≠1）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及λ的值； （Ⅱ）令∁n =1T 1+1T 2+⋯+1T n ，求证：∁n ≤14S n ． 19．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，椭圆的左焦点为F ，椭圆上任意点到F 的最远距离是√6+2，过直线x =−a 2c 与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．（1）求椭圆的方程；（2）求证：C、F、B三点共线；（3）求△MBC面积S的最大值．20．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣（x﹣a）2（a∈R）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（2）若f（x）在x＝1处取得极值，判断当x∈（0，2]时，存在几条切线与直线y＝﹣2x 平行，请说明理由；（3）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＞5 4．2019年天津市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：因为全集U ＝{1.2.3.4．}，且∁U （A ∪B ）＝{4}，所以A ∪B ＝{1，2，3}， B ＝{1，2}，所以∁U B ＝{3，4}，所以A ＝{3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}． 所以A ∩∁U B ＝{3}． 故选：A ．2．【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4−x +y ≤1y ≥0，得如图所示的可行域，由{x +y =5−x +y =1解得A （2，3）．当目标函数z ＝3x +5y 经过A 时，直线的截距最大， z 取得最大值．将其代入得z 的值为21， 故选：C ．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是计算并输出S ＝﹣12+22﹣32+42的值， 可得：S ＝﹣12+22﹣32+42＝10． 故选：B ．4．【解答】解：由题意可得α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，若再满足a ⊥b ，则不能推得α⊥β； 但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a ⊥b 故“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件．5．【解答】解：f （x ）＝sin （2x +π4）+cos （2x +π4）=√2sin （2x +π4+π4）=√2sin （2x +π2）=√2cos2x ，则函数f （x ）是偶函数，当x =π2时，f （π2）=√2cos （2×π2）=√2cos π=−√2，则图象关于直线x =π2对称，故选：D ．6．【解答】解：因为当x ∈（−π2，π2）时，f （﹣x ）=−x 3cosx=−f （x ），所以函数y ＝f （x ）为奇函数， 当0＜x ＜π2时，f ′（x ）=x 2(3cosx+xsinx)cos 2x ＞0，所以函数y ＝f （x ）在（0，π2）为增函数， 又f （0）＝0，所以函数y ＝f （x ）在（−π2，π2）为增函数，又x 1+x 2＞0， 所以x 1＞﹣x 2，所以f （x 1）＞f （﹣x 2），即f （x 1）+f （x 2）＞0， 同理：f （x 2）+f （x 3）＞0，f （x 1）+f （x 3）＞0， 所以2（f （x 1）+f （x 2）+f （x 3））＞0， 即f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＞0， 故选：C ．7．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）， 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为x =−p2，则p ＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a ＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y ＝±12x ，由双曲线的性质，可得b ＝1； 则c =√5，则焦距为2c ＝2√5；8．【解答】解：∵f （x ）={x 2+1(x ≥0)4xcosπx −1(x ＜0)，g （x ）＝kx ﹣1（x ∈R ），令函数y ＝f （x ）﹣g （x ）＝0，则x ≠0， 则k ={x +2x ，x ＞04cosπx ，x ＜0，令h （x ）={x +2x ，x ＞04cosπx ，x ＜0，则函数h （x ）的图象与y ＝k 在x ∈[﹣2，3]内有4个交点， 函数h （x ）的图象如下图所示：由图可得：k ∈（2√2，113]，故选：B ．二、填空题（将答案填在答题纸上） 9．【解答】解：由1+z 1−z=i ，得1+z ＝i ﹣iz ，∴z =−1+i 1+i =(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2i2=i ， ∴复数z 的虚部是1． 故答案为：1．10．【解答】解：由（x +a√x3）8的展开式的通项T r +1=C 8r x 8﹣r （√x3）r ＝a r C 8rx24−4r 3，令24−4r 3=4，解得r ＝3，即a 3C 83=56，则a ＝1，故答案为：1． 11．【解答】解：联立{ρ=π3ρ=2asinθ得ρ＝2a sinπ3=√3a ，√3a =2√3，解得a ＝2．故答案为：2 12．【解答】解：如图，∵AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥DC ，又∠BDC ＝90°，∴BD ⊥DC ，而AB ∩BD ＝B ， ∴DC ⊥平面ABD ，则DC ⊥AD ．∴AC 为三棱锥A ﹣BCD 的外接球的直径，∵AB ＝BD ＝2，CD ＝1，∴AC =√22+22+12=3． ∴三棱锥的外接球的半径为32．∴三棱锥的外接球的体积为V =43π×(32)3=92π． 故答案为：92π．13．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，a +b ＝1， ∴2a+b ab=2b+1a=2a+2b b+a+b a=2ab+2+1+b a =2a b +b a +3≥2√2a b ⋅ba +3＝2√2+3，∵c ＞1， ∴（2a+b ab−3）•c +√2c−1≥2√2•c +√2c−1=√2[2（c ﹣1）+1c−1+2] ≥√2[2√2(c −1)⋅1c−1+2] ＝4+2√2，其中等号成立的条件为：当且仅当{a +b =12a b =ba2(c −1)=1c−1，解得：a =√2−1，b ＝2−√2，c ＝1+√22，∴（2a+b ab−3）•c +√2c−1的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．14．【解答】解：建立以点B 为直角坐标系的原点，BA ，BC 所在直线为x ．y 轴的直角坐标系，由已知有B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），O （32，√32），D （cos θ，2√3+sin θ）， 则OA →+OB →+OD →=（cos θ−52，sin θ+√32），则|OA →+OB →+OD →|的几何意义为点E （cos θ，sin θ）与点F （52，−√32）的距离，又点E 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由圆的性质可得：|EF |的最小值为(52)2+(−32)2−1=√7−1， 即|OA →+OB →+OD →|的最小值是√7−1， 故答案为：√7−1．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．【解答】解：（1）由正弦定理结合合分比的性质有：asinA=b+c sinB+sinC，则b +c =a(sinB+sinC)sinA =7×13√31422=13，由余弦定理有：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，即a 2＝（b +c ）2﹣2bc ﹣2bc cos A ， 则：72＝132﹣bc ﹣2bc ×12，据此可得：bc ＝40． （2）∵b +c ＝13，bc ＝40，b ＜c ，∴b ＝5，c ＝8，∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =1114，sin B =5√1314， 可得：cos2B ＝2cos 2B ﹣1=46196，sin2B ＝2sin B cos B =110√3196， ∴cos （2B +A ）＝cos2B cos π3−sin2B sinπ3=−7198．16．【解答】解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4， P （X ＝0）=1C 84=170 P （X ＝1）=C 41C 43C 84=1670 P （X ＝2）=C 42C 42C 84=3670 P （X ＝3）=C 41C 43C 84=1670P （X ＝4）=1C 84=170 （2）此员工月工资Y 的所有可能取值有3500、2800、2100， P （Y ＝3500）＝P （X ＝4）=1C 84=170 P （Y ＝2800）＝P （X ＝3）=C 41C 43C 84=1670P （Y ＝2100）＝P （X ＝0）+P （X ＝1）+P （X ＝2）=5370EY =3500×170+2800×1670+2100×5370=228017．【解答】证明：（1）∵平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ， 正方形ABCD 中，CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面ADE ．解：（2）由（1）知平面ABCD ⊥平面AED ．在平面DAE 内，过D 作AD 的垂线DH ，则DH ⊥平面ABCD ，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），A （2，0，0），F （12，1，√32）， DB →=（2，2，0），AF →=（−32，1，√32），设DG →=λDB →=(2λ，2λ，0)，λ∈[0，1]，则AG →=（2λ﹣2，2λ，0），设平面F AG 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AF →=−32x +y +√32z =0n →⋅AG →=(2λ−2)x +2λy =0， 令x =−√3λ，得n →=（−√3λ，√3(λ−1)，2−5λ），平面EAD 的一个法向量m →=（0，1，0），由已如得cos30°=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=|√3(λ−1)|√3λ2+3(1−λ)2+(2−5λ)2=√32， 化简可得：9λ2﹣6λ+1＝0，解得λ=13，∴DGDB =13．18．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n }是公比为12的等比数列， 且1﹣a 2是a 1与1+a 3的等比中项，∴（1﹣a 2）2＝a 1（1+a 3），解得a 1=12，∴a n =(12)n ，（2分）由已知得{T 1=λb 2T 2=2λb 3，从而{8=λ(8+d)16+d =2λ(8+2d)， 解得λ=12，d ＝8，解得b n ＝8n ．（4分） （Ⅱ）c n =1T 1+1T 2+⋯+1T n =14（1−12+12−13+⋯+1n+1） =14(1−1n+1)，14S n =14[1−(12)n ]，（8分）c n ≤14S n ，即14(1−1n+1)≤14[1−(12)n ]， ∴n +1≤2n ，（9分）当n ＝1时，2n ＝n +1，（10分）当n ≥2时，2n ＝（1+1）n =C n 0+C n 1+⋯+C n n =1+n +…+1＞n +1．∴n +1≤2n 成立．∴∁n ≤14S n ．（12分）19．【解答】解：（1）由题意可得：{c a =√63a +c =√6+2a 2=b 2+c 2，解得：{a 2=6b 2=2c 2=4， 故椭圆的离心率为：x 26+y 22=1．（2）结合（1）中的椭圆方程可得：−a 2c =−62=−3，故M （﹣3，0）， 设直线l 的方程为x ＝ty ﹣3，联立直线方程与椭圆方程：{x =ty −3x 26+y 22=1可得： （t 2+3）y 2﹣6ty +3＝0．直线与椭圆相交，则：△＝36t 2﹣12（t 2+3），解得：t ＞√62或t ＜−√62．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （x 1，﹣y 1），F （﹣c ，0），则：y 1y 2=3t 2+3，y 1+y 2=6t t 2+3， 故：k BF −k CF =y 2x 2+c −y 1x 1+c =y 2ty 2−3+c +y 1ty 1−3+c =2ty 1y 2+(c−3)(y 1+y 2)t 2y 1y 2+(c−3)t(y 1+y 2)+(3−c)2 =2t⋅3t 2+3+(c−3)⋅6t t 2+3t 2⋅3t 2+3+(c−3)⋅6t t 2+3+(3−c)2 将c ＝2代入上式可得：k BF ﹣k CF ＝0，故C 、F 、B 三点共线；（3）结合（2）中的结论可得：△BMC 的面积S ＝S △MAC ﹣S △BAC =12(x 1+3)⋅AC −12(x 1−x 2)•AC ＝（x 2+3）|y 1|＝ty 1y 2|=3|t|t 2+3≤2√3t =√32． 当且仅当t =±√3时等号成立，故△MBC 的面积的最大值为√32． 20．【解答】解：（1）f （x ）＝（x ﹣1）lnx ﹣（x ﹣a ）2（a ∈R ）．由f （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴f ′（x ）＝lnx +x−1x −2（x ﹣a ）＝lnx −1x −2x +1+2a ≤0恒成立．令g （x ）＝lnx −1x −2x +1+2a ，则g ′（x ）=1x +1x 2−2=−(2x+1)(x−1)x 2（x ＞0）， 可得：x ＝1时，函数g （x ）取得极大值即最大值．∴g （x ）max ＝g （1）＝2a ﹣2≤0，解得a ≤1．a 的取值范围是（﹣∞，1]．（2）f （x ）在x ＝1处取得极值，则f ′（1）＝0，可得a ＝1．令f ′（x ）＝lnx −1x −2x +3＝﹣2，即lnx −1x −2x +5＝0．设h （x ）＝lnx −1x −2x +5，则h ′（x ）=1x +1x 2−2=−(2x+1)(x−1)x 2（x ＞0）． 故h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，注意到h （e ﹣5）＝﹣e 5﹣2e ﹣5＜0，h （1）＝2，h （2）＝ln 2+12＞0， 则方程lnx −1x −2x +5＝0在（0，2]内只有一个实数根，即当x ∈（0，2]时，只有一条斜率为﹣2且与函数f （x ）图象相切的直线． 但事实上，若a ＝1，则f ′（x ）＝lnx −1x −2x +3，f ″（x ）=−(2x+1)(x−1)x 2， 故函数f ′（x ）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，2）上单调递减， 且f ′（1）＝0﹣1﹣2+3＝0，故函数f ′（x ）≤0在区间（0，2]上恒成立， 函数f （x ）在区间（0，2]上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线．（3）证明：若函数有两个极值点x 1，x 2，不妨设0＜x 1＜x 2，由（Ⅰ）可知a ＞1，且：f ′（x 1）＝lnx 1−1x 1−2x 1+1+2a ①，f′（x2）＝lnx2−1x2−2x2+1+2a②，由①﹣②得：ln x1x2+x1−x2x1x2−2（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）（1x1x2−2）=−ln x1x2＞0，∴1x1x2＜2．，即∴x1x2＞12＞1e．由①+②得：ln（x1x2）+2−x1+x2x1x2−2（x1+x2）+4a＝0．∴x1+x2=ln(x1x2)+2+4a1x1x2+2＞−1+2+42+2=54．∴x1+x2＞5 4．。
2019年天津卷理数高考真题(含答案)-word版可编辑
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ． ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =I U A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为ABC ．2D 6．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．C D ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
(精校版)2019年天津卷理数高考试题文档版(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.6 3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.2 6.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭A.2-B. D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）含答案解析
第1页（共19页）页）2019年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x ||x |＜3，x ∈Z }，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A ∪（C I B ）=（ ） A ．{1} B ．{1，2} C ．{2} D ．{0，1，2}2．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x +2y 的最小值为（的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．4．在△ABC 中，b=5，∠B=，tanA=2，则a 的值是（的值是（ ）A ．10B ．2C ．D ．5．已知p ：函数f （x ）=﹣m 有零点，q ：|m |≤，则p 是q 的（的（ ）A ．充分不必要条件．充分不必要条件B ．必要不充分条件．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上，若，（c 为半焦距），则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．2D ．7．已知f （x ）=2x ﹣1，g （x ）=1﹣x 2，规定：当，规定：当||f （x ）|≥g （x ）时，h （x ）=|f （x ）|；当|f （x ）|＜g （x ）时，h （x ）=﹣g （x ），则h （x ）（ ） A ．有最小值﹣1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值﹣1，无最大值D ．有最大值﹣1，无最小值8．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，的值为（）若=15，则的值为（A．13 B．14 C．15 D．16二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则是虚数单位，则||a+bi|= ．10．的展开式中x3的系数是．的系数是11．如图是一个程序框图，则输出的S的值是的值是 ．12．如图，P A切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为的长为 ．13．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为截得的弦长为 ． 14．已知x，y∈R，满足2≤y≤4﹣x，x≥1，则的最大值为的最大值为 ．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．设函数f（x）=cosx•cos（x﹣θ）﹣cosθ，θ∈（0，π）．已知当x=时，f（x）取得最大值．（1）求θ的值；）在[[0，]上的最大值．（2）设g（x）=2f（x），求函数g（x）在16．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：（1）乙取胜的概率；（2）比赛打满七局的概率；（3）设比赛局数为X ，求X 的分布列和数学期望．的分布列和数学期望．17．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD=O ，△P AC 是边长为2的等边三角形，，AP=4AF ． （Ⅰ）求证：PO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．18．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存直线l ，满足？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．理由．19．已知函数f （x ）=，数列，数列{{a n }满足a 1=1，a n+1=f （），n ∈N *，（1）求数列）求数列{{a n }的通项公式；（2）令T n =a 1a 2﹣a 2a 3+a 3a 4﹣a 4a 5+…﹣a 2n a 2n+1，求T n ；（3）令b n =（n ≥2），b 1=3，S n =b 1+b 2+…+b n ，若S n ＜对一切n ∈N *成立，求最小正整数m ． 20．已知函数．（1）求f （x ）的极值；（2）求证：且n ∈N *．2019年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求.1．设集合I={x ||x |＜3，x ∈Z }，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A ∪（C I B ）=（ ） A ．{1} B ．{1，2} C ．{2} D ．{0，1，2} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】把集合A 用列举法表示，然后求出C I B ，最后进行并集运算． 【解答】解：因为I={x ||x |＜3，x ∈Z }={﹣2，﹣1，0，1，2}， B={﹣2，﹣1，2}，所以，C I B={0，1}，又因为A={1，2}，所以A ∪（C I B ）={1，2}∪{0，1}={0，1，2}． 故选D ．2．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x +2y 的最小值为（的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x +2y ，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B （1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B ．3．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（为（ ）A．9 B．10 C．11 D．棱柱、棱锥、棱台的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，==1，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥所以V=4×3﹣1=11．故选：C4．在△ABC中，b=5，∠B=，tanA=2，则a的值是（的值是（ ）A．10 B．2 C． D．【考点】正弦定理．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，再由正弦定理求得a的值．【解答】解：∵在△ABC中，b=5，∠B=，tanA==2，sin2A+cos2A=1，∴sinA=．再由余弦定理可得=，解得 a=2，故选B．5．已知p：函数f（x）=﹣m有零点，q：|m|≤，则p是q的（的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】令x=2cos θ，θ∈[0，π]，g （x ）=∈．由于函数f （x ）=﹣m 有零点，可得m ∈．即可得出．【解答】解：令x=2cos θ，θ∈[0，π]，则g （x ）===∈．∵函数f （x ）=﹣m 有零点，∴m ∈．∴p 是q 的充要条件． 故选：A ．6．设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上，若，（c 为半焦距），则双曲线的离心率为（，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．【考点】双曲线的简单性质．双曲线的简单性质．【分析】由，可得△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得（2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|=4a 2﹣4ac ，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意得，△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得（2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|=4a 2﹣4ac ， ∴c 2﹣ac ﹣a 2=0， ∴e 2﹣e ﹣1=0， ∵e ＞1，∴e=．故选：D ．7．已知f （x ）=2x ﹣1，g （x ）=1﹣x 2，规定：当，规定：当||f （x ）|≥g （x ）时，h （x ）=|f （x ）|；当|f （x ）|＜g （x ）时，h （x ）=﹣g （x ），则h （x ）（ ） A ．有最小值﹣1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值﹣1，无最大值，无最大值 D ．有最大值﹣1，无最小值，无最小值 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】可以画出f （x ）=2x ﹣1，g （x ）=1﹣x 2，的图象，根据规定分两种情况：在A 、B 两侧，两侧，||f （x ）|≥g （x ）；在A 、B 之间，从图象上可以看出最值； 【解答】解：画出y=|f （x ）|=|2x ﹣1|与y=g （x ）=1﹣x 2的图象， 它们交于A 、B 两点．由“规定”，在A、B两侧，两侧，||f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；在A、B之间，之间，||f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．故选C．8．在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=，CD=，若=15，则的值为（的值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，设AB∩DC=O，根据向量加法及数乘的几何意义便可得到，，从而得出，根据条件，，根据条件，两边平方即可两边平方即可求出．而，从而根据便可以得到，从而便可以求得==14．【解答】解：如图所示，设AB∩DC=O， =，；∴；∵，平方得，；∴；又；即=；∴=；∴=======15﹣1=14．故选B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则是虚数单位，则||a+bi|= ．【考点】复数求模．然后由复数模的公式即可求出||a+bi|的值． 【分析】由（1+2ai）i=1﹣bi化简求出a、b的值，然后由复数模的公式即可求出【解答】解：由（1+2ai）i=1﹣bi，得﹣1﹣2a+（1+b）i=0．∴．解得：．设z=a+bi（a、b∈R），则z=﹣﹣i，∴|a+bi|=．故答案为：．10．的展开式中x3的系数是24 ．的系数是【考点】二项式系数的性质．【分析】求出的通项公式为 T r+1=，令，求出r 的值，即可求得x3的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为 T r+1==，令，解得 r=2，故 T4=24 x3，故展开式中x3的系数是24，故答案为：24．11．如图是一个程序框图，则输出的S的值是的值是 63 ．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=63时满足条件S ≥33，退出循环，输出S的值为63．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1S=3，不满足条件S≥33，n=2，S=7不满足条件S≥33，n=3，S=15不满足条件S≥33，n=4，S=31不满足条件S≥33，n=5，S=63满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63．故答案为：63．12．如图，P A切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为的长为 ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】解法一：如图根据题设条件可求得角DOP的大小，由于OD=1，OP=2，由余弦定理求长度即可．解法二：由图形知，若能求得点D到线段OC的距离DE与线段OE的长度，在直角三角形PED中用勾股定理求PD即可．【解答】解：法一：∵P A切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，在△POD中由余弦定理，得：PD2=PO2+DO2﹣2PO•DOcos∠POD=．∴．法二：过点D作DE⊥PC垂足为E，∵∠POD=120°，∴∠DOC=60°，可得，，在Rt△PED中，有．13．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为截得的弦长为 4 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．简单曲线的极坐标方程．【分析】先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．【解答】解：∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：∴截得的弦长为： 2×=．故答案为：．14．已知x ，y ∈R ，满足2≤y ≤4﹣x ，x ≥1，则的最大值为的最大值为 ．【考点】基本不等式． 【分析】把原式化简可得，利用可行域和斜率计算公式可得的取值范围，再利用导数即可得出最大值．【解答】解：由x ，y 满足2≤y ≤4﹣x ，x ≥1， 画出可行域如图所示． 则A （2，2），B （1，3）．==，令k=，则k 表示可行域内的任意点Q （x ，y ）与点P （﹣1，1）的斜率． 而k P A =，，∴，令f （k ）=k +，则≤0．∴函数f （k ）单调递减，因此当k=时，f （k ）取得最大值，．故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．设函数f （x ）=cosx •cos （x ﹣θ）﹣cos θ，θ∈（0，π）．已知当x=时，f （x ）取得最大值．（1）求θ的值；（2）设g （x ）=2f （x ），求函数g （x ）在）在[[0，]上的最大值．上的最大值． 【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）=cos （2x ﹣θ），由三角函数的最值可得； （2）由（1）知f （x ）=cos （2x ﹣），可得g （x ）=2f （x ）=cos （3x ﹣），由0≤x ≤和三角函数的最值可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得： f （x ）=cosx （cosxcos θ+sinxsin θ）﹣cos θ =cos 2xcos θ+sinxcosxsin θ﹣cos θ =cos θ+sin2xsin θ﹣cos θ=cos2xcos θ+sin2xsin θ=cos （2x ﹣θ） 由[f （x ）]max =f （）=可得cos （﹣θ）=1又∵θ∈（0，π），∴θ=；（2）由（1）知f （x ）=cos （2x ﹣）， ∴g （x ）=2f （x ）=cos （3x ﹣） ∵0≤x ≤，所以﹣≤3x ﹣≤，∴当3x ﹣=0，即x=时，时，[[g （x ）]max =116．甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求： （1）乙取胜的概率；（2）比赛打满七局的概率；（3）设比赛局数为X ，求X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．由此能求出当甲先赢了前两局时，乙赢了三局，第七局乙赢．由此能求出当甲先赢了前两局时，乙赢了三局，第七局乙赢．由此能求出当甲先赢了前两局时，乙取胜的乙取胜的概率．（2）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A ，记“比赛打满七局乙胜”为事件B ，A ，B 互斥，由此能求出比赛打满七局的概率．（3）随机变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．分布列和数学期望． 【解答】解：（1）当甲先赢了前两局时，乙取胜的情况有两种：第一种是乙连胜四局；第二种是在第三局到第六局，乙赢了三局，第七局乙赢．在第一种情况下，乙取胜的概率为（）4=，在第二种情况下，乙取胜的概率为•=，所以当甲先赢了前两局时，乙取胜的概率为+=．（2）比赛打满七局有两种结果：甲胜或乙胜，记“比赛打满七局甲胜”为事件A ，记“比赛打满七局乙胜”为事件B ．则P （A ）==，P （B ）==，又A ，B 互斥，所以比赛打满七局的概率为P （A ）+P （B ）=． （3）随机变量X 的所有可能取值为4，5，6，7P （X=4）=（）2=，P （X=5）=C （）2（）=，P （X=6）=C （）3（）+（）4=，P （X=7）=C（）4（）+C（）4•（）=，所以X 的分布列为 X 4 5 6 7P故随机变量X 的数学期望EX=4×+5×+6×+7×=．17．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD=O ，△P AC 是边长为2的等边三角形，，AP=4AF ． （Ⅰ）求证：PO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明PO⊥底面ABCD，只需证明PO⊥AC，PO⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出直线CP的方向向量，平面BDF的法向量，利用向量的夹角公式可求直线CP与平面BDF所成角的大小；（Ⅲ）设=λ（0≤λ≤1），若使CM∥平面BDF，需且仅需=0且CM⊄平面BDF，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，所以O为AC，BD中点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为PA=PC，PB=PD，所以PO⊥AC，PO⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以PO⊥底面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．如图，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．由△P AC是边长为2的等边三角形，，可得．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，．由已知可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则令x=1，则，所以=（1，0，﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为cos =﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）解：设=λ（0≤λ≤1），则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若使CM ∥平面BDF ，需且仅需=0且CM ⊄平面BDF ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ．此时=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；的方程；（Ⅱ）是否存直线l ，满足？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M 代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a 2=b 2+c 2可得到a ，b ，c 的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k （x ﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y 得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k 的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再表示出、、，再代入关系式可确定k的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k（2k﹣1）]2﹣4•（3+4k2）•（16k2﹣16k﹣8）＞0．整理得32（6k+3）＞0．解得．又，，且，即，所以．即．所以，解得．所以．于是存在直线l满足条件，其的方程为．19．已知函数f（x）=，数列，数列{{a n}满足a1=1，a n+1=f（），n∈N*，的通项公式；）求数列{{a n}的通项公式；（1）求数列（2）令T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1，求T n；（3）令b n= （n≥2），b1=3，S n=b1+b2+…+b n，若S n＜对一切n∈N*成立，求最小正整数m．【考点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合．，进而计算可得结论；【分析】（1）通过代入函数解析式化简可知a n+1=a n+，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n ﹣a2n+1），进而计算可得结论；（a2n﹣1（3）当n≥2时裂项可知b n=（﹣），进而并项相加可知S n=，从而可知＜，进而问题转化为解不等式≥，计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，a n+1==a n+，∴数列{{a n}是以为公差的等差数列，∴数列又∵a1=1，∴a n=n+；（2）由（1）可知T n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣a2n+1）﹣1=﹣（a2+a4+…+a2n）=﹣•=﹣（2n2+3n）；（3）当n≥2时，b n===（﹣），又∵b1=3=×（1﹣）满足上式，∴S n=b1+b2+…+b n=×（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∵S n＜对一切n∈N*成立，即＜，又∵=（1﹣）递增，且＜，∴≥，即m≥2019，∴最小正整数m=2019．20．已知函数．（1）求f（x）的极值；）的极值；（2）求证：且n∈N*．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的定区间，从而求出函数的极值即可；（2）根据（1）取a=1，得到lnx≤x﹣1，令x=n，得到，从而证出结论． 【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）=0，解得：x=e1﹣a，当f'（x）＞0时，x＜e1﹣a，f（x）在（0，e1﹣a）是增函数，当f'（x）＜0时，x＞e1﹣a，f（x）在（e1﹣a，+∞）是减函数，=f（e1﹣a）=e a﹣1，无极小值．∴f（x）在x=e1﹣a处取得极大值，f（x）极大值（2）证明：由（1）≤e a﹣1，取a=1，∴lnx≤x﹣1，当x=1时取等号，令x=n，∵n≥2，故∴=故；；…；＜∴．2019年7月30日。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.理)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a bc ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n n a n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；AB DC（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；ACDPE（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：x由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，可得332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则7a PA AD AM a PD===··． 在AEM Rt △中，sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小是arcsin4． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，可得13326PA a AD a PD a CF a FD a =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴．于是，3a aFD PA FM PD ===··． 在CMF Rt △中，1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， ACD PEFM ABCDPEM又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ② 当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---， 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥，因为222(4)(4)(1)(1)2n n n a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+· 1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k =，使得1121n k n k a a a a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．。
2019年高考真题理科数学(天津卷含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U . ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R „，则()A C B =I UA.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.63.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 23256.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）集合M ＝{y |y ＝ln （x 2+1）}，N ＝{x |2x ＜4}，则M ∩N 等于（ ） A ．[0，2]B ．（0，2）C ．[0，2）D ．（0，2]2．（5分）设变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0，则目标函数z ＝x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．−6639B ．−135C ．﹣2D ．23．（5分）下列三个命题：①命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ＞0； ②命题p ：|2x ﹣1|≤1，命题q ：11−x＞0，则p 是q 成立的充分不必要条件；③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝±4； 其中真命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，得到函数y =cos(2x +π3)的图象，则φ等于（ ） A ．π3B ．π6C ．π2D ．π46．（5分）已知a =log 130.60.3，b =log 1214，c =log 130.50.4，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜a ＜bB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a7．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若△ABC 的面积为2a 2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y =±√22xB ．y =±√2xC ．y =±√33xD ．y =±√3x8．（5分）已知函数f(x)={|log 3(2−x)|，x ＜2−(x −3)2+2，x ≥2，g(x)=x +1x −1，则方程f （g （x ））＝a 的实根个数最多为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．（5分）若z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，则a •b ＝ ．10．（5分）已知a =∫ π0sinxdx ，则(ax x )5的二项展开式中，x 2的系数为 ．11．（5分）已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ． 12．（5分）直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数），圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，则实数a ＝ ．13．（5分）已知x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则1x+xy 的最小值 ．14．（5分）在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45°，高为m ，Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，AC →+AD →=2AE →设AE →⋅AQ →的最小值为f （m ），若关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积S △ABC =25√34，且a ＝5，求b +c ． 16．（13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．（Ⅰ）设事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）用X 表示抽取的4人中B 组女生的人数，求随机变量X 的分布列和期望． 17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∠DAB =π3，AD ＝2，AM ＝1，E 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：AN ∥平面MEC ；（Ⅱ）求ME 与平面MBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．18．（13分）设数列{a n }满足a 1＝2，且点P(a n ，a n+1)(n ∈N ∗)在直线y ＝x +2上，数列{b n }满足：b 1＝3，b n +1＝3b n ．（Ⅰ）数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n ⋅(b n −(−1)n )}的前n 项和为T n ，求T n ． 19．（14分）已知椭圆W ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，点P(√2a ，√3)，F 1，F 2分别是椭圆W 的左、右焦点，△PF 1F 2为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合．过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ． ①求B 点坐标； ②求证：|EF 1|＝|F 1G |．20．（14分）函数f(x)=(n −mlnx)x 1n ，其中n ∈N *，x ∈（0，+∞）．（Ⅰ）当n＝2时，f（x）在[1，e]上单调递减，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m＝1时，①n为定值，求f（x）的最大值；②若n＝2，lna≥1，求证：对任意k＞0，直线y＝﹣kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．2019年天津市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．【解答】解：M ＝{y |y ≥0}，N ＝{x |x ＜2}； ∴M ∩N ＝[0，2）． 故选：C ．2．【解答】解：变量满足约束条件{x −y +1≤02x +3y −6≥03x −2y +6≥0的可行域如下图所示：由图可知，由{2x +3y −6=03x −2y +6=0得A （−613，3013），由{2x +3y −6=0x −y +1=0解得B （35，85）目标函数z ＝x ﹣2y 化为y =12x −z2，平移直线经过的B 时，目标函数取得最大值：z ＝x ﹣2y 取最大值：−135． 故选：B ．3．【解答】解：①：∀x ∈R ，x 2+x ＜0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ≥0，故①错误， ②由|2x ﹣1|≤1，得﹣1≤2x ﹣1≤1得0≤x ≤1， 由11−x＞0，得1﹣x ＞0得x ＜1，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件，故②错误，③在等比数列{b n }中，若b 5＝2，b 9＝8，则b 7＝b 5q 2；即b 7与b 7同号，则b 7＝4，故③错误，故真命题的个数为0个， 故选：A ．4．【解答】解：模拟程序的运行，可得S ＝1，k ＝1 S ＝2，不满足条件S ＞10，k ＝2，S ＝6 不满足条件S ＞10，k ＝3，S ＝15满足条件S ＞10，退出循环，输出k 的值为3． 故选：B ．5．【解答】解：将函数y =cos(2x −π6)的图象向左平移φ（0＜φ＜π）的单位后，可得y ＝cos （2x +2φ−π6）的图象，根据已知得到函数y =cos(2x +π3)的图象， ∴2φ−π6=π3，∴φ=π4， 故选：D ．6．【解答】解：a =log 130．60.3=0.3log 130.6，b =log 1214=2，c =log 130．50.4=0.4log 130.5； ∵0＜log 130.6＜log 130.5＜1；∴0＜0.3log 130.6＜0.4log 130.5＜1；∴a ＜c ＜b ． 故选：C ．7．【解答】解：设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ， 由题意可得AC ⊥BC ， 可得四边形F ABC 为矩形， 即有|AF |＝|BC |， 设|AC |＝m ，|BC |＝n ，可得n ﹣m ＝2a ，n 2+m 2＝4c 2，12mn ＝2a 2，即有4c 2﹣8a 2＝4a 2，即有c =√3a ，b =√c 2−a 2=√2a ， 可得双曲线的渐近线方程为y ＝±√2x ． 故选：B ．8．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t ＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．【解答】解：由z ＝1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ， 得（a +bi ）（1﹣2i ）＝（a +2b ）+（b ﹣2a ）i ＝8﹣i ， ∴{a +2b =8b −2a =−1，解得a ＝2，b ＝3． ∴ab ＝6． 故答案为：6．10．【解答】解：已知a =∫ π0sinxdx =−cos x |0π=2，则(ax +x )5=(2x x)5 的二项展开式中，通项公式为 T r +1=C 5r •25﹣r•x 5−3r2， 令5−3r 2=2，求得r ＝2，可得展开式中x 2的系数为C 52•23＝80， 故答案为：80．11．【解答】解：圆柱的底面半径为2，则底面直径为4， 又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形， 如图：则圆柱的外接球的半径为r =12√42+22=√5． ∴该圆柱的外接球的表面积为4π×(√5)2=20π． 故答案为：20π．12．【解答】解：直线l ：{x =at y =1−2t （t 为参数）化为普通方程，得：2ax +y −1=0，圆C ：ρ=−4√2sin(θ+3π4)化为普通方程，得：（x +2）2+（y ﹣2）2＝8， 圆心C （﹣2，2），半径r ＝2√2，∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为√2，∴圆心C （﹣2，2）到直线2ax +y −1=0的距离：d =|−2×2a +2−1|√4a2+1=√2，解得实数a ＝﹣4±2√6． 故答案为：﹣4±2√6．13．【解答】解：x ＞0，y ＞0，√2是2x 与4y 的等比中项，则2x •4y ＝2， ∴x +2y ＝1， ∴1x +x y=x+2y x+x y=1+2y x +x y ≥1+2√2y x ⋅xy =1+2√2，当且仅当2y x =x y时，即x =√2−1，y =2−√22取等号， 故答案为：2√2+114．【解答】解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以AB 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系， 由已知可得：A （﹣2，0），B （2，0），D （m ﹣2，m ），C （2﹣m ，m ）， ∵AC →+AD →=2AE →， ∴E 为DC 的中点， ∴E （0，m ），由Q 为折线段B ﹣C ﹣D 上的动点，故当Q 落在D 点时，AE →⋅AQ →取最小值f （m ）， ∵AE →=（2，m ），AD →=（m ，m ）即f （m ）＝（2，m ）•（m ，m ）＝m 2+2m ，（0＜m ＜2）； 关于m 的方程f （m ）＝km ﹣3有两个不相等的实根，即m 2+（2﹣k ）m +3＝0在（0，2）上有两个不等式相等的实根，∴{△=(2−k)2−12＞00＜−2−k 2＜24+2(2−k)+3＞0解得：k ∈（2+2√3，112）∴实数k 的取值范围是（2+2√3，112）．故答案为：（2+2√3，112）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵2b （2b ﹣c ）cos A ＝a 2+b 2﹣c 2， ∴2b(2b−c)cosA2ab=a 2+b 2−c 22ab，………（1分）∴（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，………（2分）∴由正弦定理得：（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，………（3分） ∴即：2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ， ∴2sin B cos A ＝sin B ，………（4分） ∵0＜B ＜π，∴sin B ≠0，………（5分） ∴cosA =12，………（6分） ∵0＜A ＜π，∴A =π3．………（7分） （Ⅱ）∵S △ABC =12bcsinA =25√34，………（8分） ∴bc ＝25，………（9分）∵cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+c 2−252×25=12，………（10分） ∴b 2+c 2＝50，………（11分）∴（b +c ）2＝b 2+c 2+2bc ＝100，………（12分） 即：b +c ＝10．………（13分） 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛，基本事件总数n =C 94，事件A 为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，则事件A 包含的基本事件个数m =C 31C 21C 42，∴事件A 发生的概率P(A)=C 31⋅C 21⋅C 42C 94=36126=27⋯⋯⋯（3分）（列式（2分），结果1分） （Ⅱ）X 可能取值为0，1，2，3………（4分） P(X =0)=C 64⋅C 30C 94=15126=542⋯⋯⋯（5分）（列式（1分），结果1分） P(X =1)=C 63⋅C 31C 94=60126=1021⋯⋯⋯（7分）（列式（1分），结果1分） P(X =2)=C 62⋅C 32C 94=45126=514⋯⋯⋯（9分）（列式（1分），结果1分） P(X =3)=C 61⋅C 33C 94=6126=121⋯⋯⋯（11分）（列式（1分），结果1分）∴X 的分布列为X 0123P 5421021514121EX =0×542+1×1021+2×514+3×121=43⋯⋯⋯（13分）（列式（1分），结果1分） （本题得数不约分不扣分） 17．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）CM 与BN 交于F ，连接EF由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF ………（1分）又EF ⊂平面MEC ，………（2分）AN ⊄平面MEC ，………（3分） 所以AN ∥平面MEC ………（4分）解：（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =π3，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ． 又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，平面ADNM ∩平面ABCD ＝AD ， ∴DN ⊥平面ABCD ………（5分）如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则D （0，0，0），E(√3，0，0)，C （0，2，0），M(√3，−1，1)，B(√3，1，0)，N （0，0，1）设平面MBC 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)， MB →=(0，2，−1)，BC →=(−√3，1，0)，{MB →⋅n 1→=0BC →⋅n 1→=0，∴{2y −z =0−√3x +y =0，∴n 1→=(1，√3，2√3)⋯⋯⋯（6分）ME →=(0，1，−1)⋯⋯⋯（7分）cos ＜ME →，n 1→＞=ME →⋅n 1→|ME →||n 1→|=−√32⋅4=−√68⋯⋯⋯（8分） ∴ME 与平面MBC 所成角的正弦值√68⋯⋯⋯（9分） （Ⅲ）设P(√3，−1，ℎ)，CE →=(√3，−2，0)，EP →=(0，−1，ℎ) 设平面PEC 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)则，{CE →⋅n 1→=0EP →⋅n 1→=0∴{√3x −2y =0−y +ℎz =0令y =√3ℎ，∴n 1→=(2ℎ，√3ℎ，√3)⋯⋯⋯（10分）又平面ADE 的法向量n 2→=(0，0，1)，cos ＜n 1→，n 2→＞=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√3√7ℎ+3=12⋯⋯⋯（11分）解得，ℎ=3√77⋯⋯⋯（12分）， ∵3√77＞1， ∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P ﹣EC ﹣D 的大小为π3．………（13分）18．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可知：对于数列{a n}：∵点P(a n，a n+1)(n∈N∗)在直线y＝x+2上，∴a n+1＝a n+2∴a n+1﹣a n＝2（n∈N*）．∴{a n}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列．∴a n＝a1+（n﹣1）2＝2n．对于数列{b n}：∵b1＝3，b n+1＝3b n，∴{b n}是以b1＝3为首项，3为公比的等比数列．∴b n=3n．（Ⅱ）由题意及（1）知：对于一般项：a n⋅(b n−(−1)n)=2n⋅(3n−(−1)n)=2n⋅3n−(−1)n⋅2n．由题意，可设{2n•3n}的前n项和为T n′=2⋅31+4⋅32+6⋅33+⋯+2(n−1)⋅3n−1+ 2n⋅3n①3T n′=2⋅32+4⋅33+6⋅34+⋯+2(n−1)⋅3n+2n⋅3n+1②①﹣②得−2T n′=2⋅31+2⋅32+2⋅33+⋯+2⋅3n−2n⋅3n+1，∴−2T n′=6(1−3n)1−3−2n⋅3n+1=−3+(1−2n)⋅3n+1，∴T n′=32+(n−12)⋅3n+1．同理，可设{（﹣1）n•2n}的前n项和为T n''，∴当n为偶数时，T n″=−2+4−6+8−⋯−2(n−1)+2n=2⋅n2=n，当n 为奇数时，n +1为偶数，则：T n +1″＝2+4﹣6+8﹣…﹣2n +2（n +1）=2⋅n+12=n +1． ∴T n ''＝T n +1''﹣2（n +1）＝n +1﹣2n ﹣2＝﹣n ﹣1． ∵T n ＝T n ′﹣T n ″．∴T n ={32+(n −12)⋅3n+1−n(n 为偶数)52+(n −12)⋅3n+1+n(n 为奇数)．19．【解答】解：（Ⅰ）由已知e =c a =√22，a 2＝b 2+c 2，得b ＝c ，a =√2c ， ∵△PF 1F 2为等腰三角形， ∴|F 1F 2|＝|F 2P |，则(2c)2=(√2a −1)2+(√3)2解得c ＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆W 方程为x 22+y 2=1（Ⅱ）①由题意可得直线l 1的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立，由{y =x +1x 22+y 2=1可求B(−43，−13)．②当l 2与x 轴垂直时，C ，D 两点与E ，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 1|＝|F 1G |． 当l 2不与x 轴垂直时，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1）． 由{y =k(x +1)x 22+y 2=1消去y ，整理得（2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0． 则x 1+x 2=−4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1．由已知，x 2≠0，则直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ， 令x ＝﹣1，得点E 的纵坐标y E =x 2−y 2+1x 2． 把y 2＝k （x 2+1）代入得y E =(x 2+1)(1−k)x 2．由已知，x 1≠−43，则直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)，令x ＝﹣1，得点G 的纵坐标y G =y 1−x 1−13(x 1+43)．把y1＝k（x1+1）代入得y G=(x1+1)(k−1)3x1+4．y E+y G=(x2+1)(1−k)x2+(x1+1)(k−1)3x1+4=(1−k)[(x2+1)(3x1+4)−x2(x1+1)]x2⋅(3x1+4)=(1−k)[2x1x2+3(x1+x2)+4]x2⋅(3x1+4)把x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1代入到2x1x2+3（x1+x2）+4中，2x1x2+3（x1+x2）+4=2×2k2−22k2+1+3×(−4k22k2+1)+4=0．即y E+y G＝0，即|EF1|＝|F1G|．20．【解答】解：（Ⅰ）当n＝2时，f(x)=(2−mlnx)x 12，f′(x)=(2−2√x−m x√x=2−mlnx−2m2√x≤在[1，e]恒成立．即2﹣mlnx﹣2m≤0在[1，e]恒成立，∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，∴m≥22+lnx，令u（x）=22+lnx，u′（x）=−2x(2+lnx)2＜0．∴u（x）=22+lnx在[1，e]单调递减，∴φ（x）max＝φ（1）＝1，∴m≥1．（Ⅱ）①当m＝1时，f(x)=(n−lnx)⋅x 1 n，f′(x)=−1x⋅x 1n+(n−lnx)1nx1n−1=−x1n−1+(n−lnx)1nx1n−1=−1n⋅lnx⋅x1n−1．∵x＞0，∴令f′（x）＝0，x＝1．x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）↗极大值↘∴f（x）max＝f（1）＝n．②要证明当a≥e，k＞0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g（t）＝kt2+2t﹣2tlnt﹣a有唯一零点．我们先证三个引理【引理1】x（1﹣lnx）≤1…（由第1问取n＝1即可）【引理2】lnx≥1−1x⋯（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x﹣1…（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1．证毕！．下面我们先证明函数g（t）存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a．令t=√a−2k，可知g（t）≤0．再由【引理3】得到lnx＜x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)＞t√t(k√t−4)(2t−a)．令t＞16k2，且t＞a2，可知g（t）＞0．由连续性可知该函数一定存在零点．下面我们开始证明函数g（t）最多只能有一个零点．我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lntt)．令ℎ(t)=lntt，则ℎ′(t)=1−lntt2，则h（t）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，即ℎ(t)max=1e．当k≥1e时，有g'（t）≥0恒成立，g（t）在（0，+∞）上递增，所以最多一个零点．当0＜k＜1e时，令g'（t1）＝g'（t2）＝0，t1＜e＜t2，即lnt1＝kt1，于是g（t1）＝t1lnt1+2t1﹣2t1lnt1﹣a＝t1（2﹣lnt1）﹣a．再令t1＝eT（0＜T＜1），由【引理1】可以得到g（t1）＝eT（1﹣lnT）﹣a＜e×1﹣a≤0．因此函数g（t）在（0，t1）递增，（t1，t2）递减，（t2，+∞）递增，t＝t1时，g（t）有极大值但其极大值g（t1）＜0，所以最多只有一个零点．综上，当k＞0，a≥e时，函数y＝f（x）与y＝﹣kx+a的图象有唯一交点．。
2019年天津卷理数高考试题文档版含答案【优选真题】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U . ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R „，则()A C B =I UA.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.6 3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A.5B.8C.24D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 23256.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.22 D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
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18．在等差数列{an}中，已知公差 d＝2，a2 是 a1 与 a4 的等比中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：
，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）令
（n∈N*），求数列{cn}的前 n 项和 Tn．
19．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且
是
．（用数字作答）
第2页（共24页）
13．（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝5， ＝3 ，
则
的值是
．
＝2，
14．（3 分）若实数 x，y 满足 2cos2（x+y﹣1）＝
，则 xy 的最小值
为
．
三、解答题
15．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sin（B+C）
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为 0 且虚部不为 0 求得 x，代入 2x
﹣i，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵z＝（x+i）（2+i）＝（2x﹣1）+（x+2）i 为纯虚数，
∴
，即 x＝ ．
∴2x﹣i＝1﹣i，则 2x﹣i 的模等于 ． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法， 是基础题．
当 x∈[1，2）时，f（x）＝﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
第6页（共24页）
， 由 z＝x+3y 得：y＝﹣ x+ ，
显然直线过（3，0）时，z 最小， z 的最小值是 3， 故选：A． 【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题． 3．（3 分）若某程序框图如图所示，则输出的 n 的值是（ ）
2019 年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题
1．（3 分）已知 i 是虚数单位，x∈R，复数 z＝（x+i）（2+i）为纯虚数，则 2x﹣i 的模等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
2．（3 分）已知 x，y 满足不等式组
，则 z＝x+3y 的最小值等于（ ）
A．3
B．6
C．9
3．（3 分）若某程序框图如图所示，则输出的 n 的值是（ ）
第9页（共24页）
与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1， ）
B．（ ，+∞）
C．（ ，2）
D．（2，+∞）
【考点】KC：双曲线的性质． 菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【解答】解：把函数
图象上所有点向左平行移动 个单位长度，
可得函数 y＝3cos2x＝3sin（2x+ ）图象，
故选：D． 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一 这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
7．（3 分）已知 F1、F2 分别是双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F2
A、B、C 三级为合格等级，D 为不合格等级．
百分制
85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分
60 分以下
等级
A
B
C
D
为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行
统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直
与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．（1， ）
B．（ ，+∞）
C．（ ，2）
D．（2，+∞）
8．（3 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）＝2f（x），当 x∈[0，2）时，f（x）＝
B．a＞c＞b
C．b＞a＞c
6．（3 分）为了得到函数 y＝3cos2x 图象，只需把函数
A．向右平行移动 个单位长度
第1页（共24页）
D．c＞a＞b 图象上所有点（ ）
B．向右平行移动 个单位长度 C．向左平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
7．（3 分）已知 F1、F2 分别是双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F2
第5页（共24页）
2019 年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3 分）已知 i 是虚数单位，x∈R，复数 z＝（x+i）（2+i）为纯虚数，则 2x﹣i 的模等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】A5：复数的运算． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点 F2 的直线，与另一条渐近线联立即可得 到交点 M 的坐标，再利用点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外和离心率的计算公式即可得 出．
【解答】解：双曲线 ﹣ ＝1 的渐近线方程为 y＝± x，
不妨设过点 F2 与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为 y＝ （x﹣c），
与 y＝﹣ x 联立，可得交点 M（ ，﹣ ），
∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有
＞c2，
∴b2＞3a2， ∴c2﹣a2＞3a2，即 c＞2a． 则 e＝ ＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的 计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键． 8．（3 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x+2）＝2f（x），当 x∈[0，2）时，f（x）＝
6．（3 分）为了得到函数 y＝3cos2x 图象，只需把函数
图象上所有点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度
B．向右平行移动 个单位长度
C．向左平行移动 个单位长度
D．向左平行移动 个单位长度
【考点】HJ：函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换． 菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质． 【分析】由题意利用诱导公式，函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
该三角形的面积为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 F1，F2 是椭圆 C 的左右焦点，若椭圆 C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 F1 和 F2，求这个平行四边形的面积最大值．
第4页（共24页）
20．已知 f（x）＝mx﹣alnx﹣m，g（x）＝ ，其中 m，a 均为实数， （1）求 g（x）的极值； （2）设 m＝1，a＝0，求证对 |恒成立； （3）设 a＝2，若对∀给定的 x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在 t1，t2（t1≠t2）使得 f （t1）＝f（t2）＝g（x0）成立，求 m 的取值范围．
5．（3 分）已知偶函数 f（x）在[0，2]上递减，试比 a＝f（1），b＝f（
），c＝f（log2 ）
大小（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
【分析】由对数的定义，可得 b＝f（2），c＝f（﹣ ）＝f（ ）．再结合函数函数 f（x）
，若当 x∈[﹣4，﹣2）时，不等式 f（x）≥
恒成
立，则实数 t 的取值范围是（ ）
A．[2，3]
B．[1，3]
C．[1，4]
【考点】3R：函数恒成立问题． 菁优网版权所有 第10页（共24页）
D．[2，4]
【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据条件，只要求出函数 f（x）在 x∈[﹣4，﹣2）上的最小值即可得到结论． 【解答】解：当 x∈[0，1）时，f（x）＝x2﹣x∈[﹣ ，0]，
∵P＝1+3+…+（2n﹣1）＝
×n＝n2＞20，∴n≥5，
故输出的 n＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．
4．（3 分）设 x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
在[0，2]上递减，即可得到 a、b、c 的大小关系．
第8页（共24页）
【解答】解：∵
，
∴
∵f（x）在[0，2]上递减， ∴f（ ）＞f（1）＞f（2） 又∵f（x）是偶函数，f（ ）＝f（﹣ ）＝
∴
＞f（1）＞
，即 c＞a＞b
故选：D． 【点评】本题给出偶函数在[0，2]上递减，要求我们比较三个函数值的大小，考查了函数 奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识，属于基础题．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件． 菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：∵|x﹣2|＜1，
∴1＜x＜3，
∵“1＜x＜2”
∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．