状态空间描述
线性系统的状态空间描述
第一章 线性系统的状态空间描述 1. 内容系统的状态空间描述化输入－输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵2. 基本概念系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组。
状态变量：构成系统状态的变量。
状态向量设系统状态变量为)(,),(),(21t x t x t x n 写成向量形式称为状态向量，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t x n状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n 维空间。
状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。
3. 状态空间表达式设系统r 个输入变量：)(,),(),(21t u t u t u r m 个输出：)(,),(),(21t y t y t y m n 个状态变量：)(,),(),(21t x t x t x n例：图示RLC 电路，建立状态空间描述。
电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量，如图中所注，方程为)()()()()()(t i dtt du C t u t u t Ri dtt di LL c c L L ==++ )()(),()(21t u t x t i t x c L ==状态方程)(01)()(0/1/1/)()()()()()()()(212112211t u t x t x C L L R t xt x t x t xC t u t x t Rx t x L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇔⎩⎨⎧==++⇔输出方程[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)()(01)()(21t x t x t u t y c 一般定义状态方程：状态变量与输入变量之间的关系[][][]t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx r n n n n r n r n );(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()(212121212222121111======用向量表示，得到一阶的向量微分方程[]t t u t x f t x),(),()(= 其中n n r r n n f f f f t u t u t u t u t x t x t x t x R R R ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙=∙∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(:)(,)()()(:)(,)()()(:)(212121输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即[][][]t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y r n m m r n r n );(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()(2121212122212111=== 用向量表示为[]t t u t x g t y ),(),()(=4系统分类：1) 非线性时变系统[][]⎩⎨⎧==t t u t x g t y t t u t x f t x ),(),()(),(),()(2) 非线性定常系统[][]⎩⎨⎧==)(),()()(),()(t u t x g t y t u t x f t x3) 线性时变系统⎪⎩⎪⎨⎧+++++=+++++=rnr n n nn n n r r n n u t b u t b x t a x t a xu t b u t b x t a x t a x)()()()()()()()(1111111111111写成向量形式即为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()()()()()(t u t D t x t C t y t u t B t x t A t x其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t b t b t b t b t b t b t b t b t b t B t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A nr n n r r nn n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t d t d t d t d t d t d t d t d t d t D t c t c t c t c t c t c t c t c t c t C mr m m r r mn m m n n4) 线性定常系统⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x5 状态空间表达式的系统结构图状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关系。
状态空间的名词解释
状态空间的名词解释状态空间是指描述系统或物体各种可能状态的一个抽象概念。
它在各个领域中都有着重要的应用，包括数学、物理学、计算机科学等。
在这篇文章中，我们将探讨状态空间的概念、性质和应用，并尝试借助一些具体的例子来说明。
首先，让我们来解释一下状态空间的基本定义。
状态空间通常可以被看作是一个多维空间，其中每个维度代表一个状态变量，而每个点则表示一个具体的状态。
例如，对于一个简单的二维状态空间，其中的一个维度可以表示对象的位置，而另一个维度则可以表示对象的速度。
在这个状态空间中，每个点都可以唯一地确定对象的位置和速度。
状态空间的一个重要性质是维数，即它包含的状态变量的个数。
维数的多少直接决定了状态空间的复杂程度。
一个低维的状态空间可能只包含很少的状态变量，而高维的状态空间则可能包含众多的状态变量。
这决定了系统在状态空间中的行为和演化方式。
例如，在物理学中，一个简谐振子的状态空间只有一维，因为只需要考虑物体的位置；而一个复杂的天气预测系统的状态空间可能包含数十个甚至数百个维度，因为需要考虑众多的气象参数。
状态空间的另一个重要概念是状态转移。
状态转移指的是系统在不同状态之间的切换过程。
在状态空间中，状态转移通常由一些规则或方程来描述。
这些规则可以是离散的，例如一个棋盘游戏中的走子规则，也可以是连续的，例如牛顿力学中的运动方程。
通过这些规则，我们可以预测系统在状态空间中的演化和变化。
状态转移的过程也可以被称为系统的动力学，它描述了系统状态的发展轨迹。
除了描述系统的状态和演化，状态空间还可以用于解决一些实际问题。
一个典型的例子是路径规划问题。
在这种问题中，我们需要找到一条从起点到终点的最短路径。
可以将路径规划问题转化为在状态空间中寻找一个状态转移序列的问题。
通过定义合适的状态转移规则和评估函数，我们可以通过在状态空间中搜索来解决这个问题。
类似地，状态空间可以用于机器学习中的强化学习问题、物理系统的建模和仿真等。
状态空间描述
状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。
状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。
1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。
2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。
因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。
3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。
因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。
4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。
5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。
6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
第1章 状态空间描述
x1(t)
n维欧氏空间
x(t) ∈ Rn
x2(t)
x3(t)
x (t0)
状态空间中的每一点都表示了状态变量特定的一组值。 初始状态x(t0)是初始点。
2. 状态轨迹 t≥t0 ，随时间推移， x(t)在不断变化，从而在状态空间中
⎢ ⎣
xn
(t
)
⎥ ⎦
给定t= 时刻的初始状态矢量x(t0) ，及t≥t0的输入u (t0)，
⎡ x1(t0 ) ⎤
x(t0
)
=
⎢ ⎢ ⎢
x2
(t0
)⎥⎥ ⎥
⎢ ⎣
xn
(t0
)⎥⎦
则t≥t0时系统的状态向量x(t)被唯一确定。
1.1.4 状态空间与状态空间描述
1. 状态空间（连接代数结构与几何概念）
y(t) = x2 (t)
x2 (t)
=
1 C
x1 (t )
x1 (t )
=
−
R L
x1 (t )
−
1 L
x2 (t)
+
1 L
u(t)
x2 (t)
=
1 C
x1 (t )
y(t) = x2 (t)
x1 (t )
=
−
R L
x1 (t )
−
1 L
x2
(t)
+
1 L
u(t)
x2 (t)
=
1 C
x1 (t )
若函数 x = f ( x, u, t) 和 y = g( x, u,t) 显含时间，即与输 入的时间有关，系统为时变系统；若函数 x = f ( x, u,t) 和 y = g( x, u,t) 均不显含时间，即与输入的时间无关，系统为 定常系统；若函数 x = f ( x, u, t) 和 y = g( x, u,t) 的全部或 至少一个组成元为变量x1，x2，…，xn和u1，u2，…，ur的 非线性函数，则称系统为非线性系统；若函数和均是变量 x1，x2，…，xn和u1，u2，…，ur的线性函数，则称系统为 线性系统。
现代控制理论3-1线性系统的状态空间描述
x1 , x 2 , ⋯⋯, x n
x1 = y ɺ x2 = y x3 = ɺɺ y ⋮ xn = y ( n −1)
第二步：求各个状态一阶导数，并代入原微分方程，有
ɺ x1 = x2 x = x ɺ 3 2 ⋮ x = x ɺ n−1 n xn = −a0 x1 − a1 x2 − ⋯⋯ − an−1 xn + β 0u ɺ
di 1 + Ri(t ) + ∫ i (t )dt = u (t ) dt C 1 u c (t ) = ∫ i (t )dt C L
(1)取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压uc(t) 作为系统的两个状态变量，分别记作 x1=i1和x2=uc,则有
dx1 L dt + Rx1 + x 2 = u (t ) dx 2 = 1 x 1 dt C y = x2
电路如图1.1所示 系统的控制输入量为u(t)，系统输出为u 例1.2 RLC电路如图 所示 系统的控制输入量为 电路如图 所示,系统的控制输入量为 ，系统输出为 c(t) ，建立 系统的状态空间表达式。 系统的状态空间表达式。
解：该RLC电路有两个独立的储能元件L和C， 设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和R、 L、C元件的电压电流关系，可得下列方程
n
x1 = y − β 0 u ɺ xi = xi −1 − β i −1u， i = 2,3, ⋯ , n
其中 β 0 , β 1 , ⋯ , β n −1 是n个待定系数。
根据上述定义有
x1 = y − β 0 u ɺ x 2 = x1 − β1u ɺ xi = xi −1 − β i −1u ɺ x n −1 = x n − 2 − β n − 2 u ɺ x n = x n −1 − β n −1u
第2章 线性系统的状态空间描述
定义2.5 [特征多项式] 特征多项式] 定义
2.4 线性时不变系统的特征结构
特征多项式α(s)的计算方法 的 特征多项式
莱弗勒(Leverrier)递推算法 递推算法 莱弗勒
2.4 线性时不变系统的特征结构
α ( s ) = s n + α n −1s n −1 + L + α1s + α 0
0 1 0 A = 0 0 1 0 −1 −1
5，化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型 化下列各状态方程为对角线规范型或约当规范型
8 −8 −2 2 3 & x = 4 −3 −2 x + 1 5 u 3 −4 1 7 1
0 1 4 & x= x + 2 u −9 −6
作 业
6，计算下列状态空间描述的传递函数 计算下列状态空间描述的传递函数 −5 −1 2 & x= x + 5 u 3 −1 y = [1 2] x + 4u 7，给定反馈系统如下图所示 给定反馈系统如下图所示
& 为 x1 = y , x2 = y ，列出系统的状态方程和输
出方程
u
+ −
&& y
+
∫
by 2
& y
二次部件
∫
y
+ + +
a (t )
k
作 业
2，试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述 试求出下列各个输入输出描述的一个状态空间描述
&&& + 2&& + 6 y + 3y = 5u y y & &&& + 2&& + 6 y + 3 y = 7u + 5u & y y & & & 3&&& + 6 && + 12 y + 9 y = 6u + 3u y y
状态空间描述法
状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系 表达式称为状态方程(见上例);
系统输出量y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达 式称为输出方程。
5
三. 状态变量的选取
1. 状态变量的选取是非唯一的。 2. 选取方法 （1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作 为系统的状态变量。 （2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或 与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电
kyt
fyt
1 m
ut
K m
x1t
f m
x2 t
1 m
ut
yt x1t
k m
f
u(t) y(t)
7
例9.3 已知系统微分方程组为
1
ur R1i1 c1 (i1 i2 )dt
1
1
c1 (i1 i2 )dt R2i2 c2 i2dt
1
uc c2 i2dt ur
1. 单输入单输出线性定常连续系统
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u
x2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
u
xn an1 x1 an2 x2 ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2 cn xn du
x Ax Bu y Cx Du
2．经典控制理论的特点：
(1) 优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。
(2) 缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。
3. 现代控制理论
(1) 适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。
(2) 可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。
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④由系统方框图，根据各环节之间的连接建立。
一 、按系统的物理机理建立状态空间表达式
1 步骤： (1)确定系统的状态变量、输入变量、输出变量; (2)根据变量应遵循的物理、化学定理,列出描述系统动态特性或
运动规律的微分方程; (3)消去中间变量,得出状态变量的导数与各状态变量、输入变
量的关系及输出变量与各状态变量、输入变量的关系; (4)将方程整理成状态方程、输出方程的表准形式。
xn1 an1xn a1x2 a0x1 0
n
bn
n n
1 2
bn1 bn2
an1n an1n
1
an2
n
0 b0 an11 an22 a1n1 a0n
为便于记忆， 将上式写成：
(7)
n
n11
0
按能控规范型的状态和输出方程：
按能观测规范型： 状态方程和输出方程如下：
x1 x2 x2 x3 ... xn1 xn xn a0 x1 a1 x2 ... an2 xn1 an1 xn b0u
y=x1
化为向量矩阵形式：
x1 0 1
状态方程为:
x2
0
xn
a0
a1
0 x1 0
x2
u
1 0
an1
xn
b0
输出方程为: y 1 0
a1x2
an1xn 0u
(3)
联立(2)式和(3)式，即可求得状态空间表达式为：
状态方程:
0
x
0
1 0
0 0 1
n 1
x
u
a0
a1
an1
0
输出方程: y 1 0 0x nu
从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了
2.）求 0 , 1, 2,..., n
Y (s) U (s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
注意：
方程中存在输入信号的导数项，有可能…导致系统在状态空间 中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性被破坏。 因此，X的选择要使状态方程的右边不出现u 的导数项。通常将 输入的导数项并入所选的状态变量中，把状态变量取为输出y 和输入u 的各阶导数的适当组合。
三. 约当标准型(根据传递函数实数
极点建立状态空间描述)
不失一般性，讨论
W(s)
(s
bnsn bn1sn1 b1s b0
1)q (s k1)(s k2 )(s
n )
此系统：
(s
c1q
1
)
q
c1( q 1)
(s 1)q1
(
s
c11
1
)
分析：
s
cq1
q
1
cq2
s q2
ci
lim
si
G(s)(s
i )
当j 1,2,..., q时，
1 d j1
C1(q j1)
Lim
s 1
(
j
1)!
ds j1
W(s) (s 1)q
（1）对于互异极点部分：
令
Xi (s)
s
1
i
U (s)
(i q 1, q 2,, n)
(2)
拉氏反变换可得：
xi i xi u (i q 1, q 2,, n) (3)
经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标 量差分方程或脉冲传递函数来描述的，这里先从单输入-单 输出系统入手研究。SISO线性定常离散系统差分方程的一 般形式为：
y k n an1y k n 1 a1y k 1 a0 y k
(1)
bnu k n bn1u k n 1 b1u k 1 b0u k
L
•
x 2 1
1 LC 0
x1
1
L u ( t)
x2 0
y0 1 x1
C x2
二、根据系统微分方程和传递函数建立状态空间表达式
基本思想：根据描述输入-输出关系的微分方程或传递函数 建立其状态空间描述并化成几种标准形式。
1 输入函数中不含导数项，传递 函数中没有零点
微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：
xn
u(n1) n
u(n2) n 1
2u 1u
增加一个中间变量：xn1 令 xn1 xn 0u (5)
由式(5)和式(4)可求得：
y(n)
xn
nu(n)
u(n1) n 1
2u 1u
(6)
xn1
nu(n)
u(n1) n 1
2u
1u
0u
将式(4)和式(6)代入原始微分方程式中，根据左右等式 中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：0, 1,, n
2 说明： ①上述是对结构和参数均已知的系统建立状态空间表达式的方法。
②系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适 合于用计算机来计算。
③状态变量的选择不是唯一的。
按系统的物理机理建立状态空间
R
+
表达式的例子 1、R-L-C电网络系统
u(t) i(t)
输入
_
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L +
+ uc(t) _
y
输出
局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出 量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这 时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分 离散化；
为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采样是等 间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值。
由差分方程或脉冲传递函 数建立动态方程
_
解：以 i(t)作为中间变量，列写该回路的微分方程
L
di dt
Ri
1 C
idt
u
选
y
uc
(t )
1 C
idt
x1i
x2 idt
为系统两状态变量，则原方程可化成
•
x 1
di
dt
LRx1
1 x2 1 u ( t )
LC
L
•
x 2 x1
y u c(t)C1 x2
写成矩阵方程：
•
R
x 1
思路:由式(1)可以看出，将y表示成u的各阶导数和x的形式， 并代入原始微分方程式中 ，根据u及其各阶导数的系 数相等的原则求解：
由式(1)(2)可以得到下式：
y y y
x1 x1 x2
nu nu x2 n1u n1u nu x3
nu n2u
n 1u
nu
(4)
y(n1)
约当标准型状态结构图
x1q
∫
x1q
…
+
x12 ∫ x12
+
x 11 +
∫ x11
c11
-λ1
-λ1
-λ1
u(t)
xq1 ∫ xq+1
+
cq+1
c12 c1q
y(t)
-λq+1
x
n
∫
xn
+
cn
-λn
[例]已知系统的G(s)=1/(s3+6s2+11s+6),试求状态式。 解:
G(s) 1/ 2 1 1/ 2 s 1 s 2 s 3
x1 1 0 0 x1 1
x
2
0
2
0
x2
1u
x3 0 0 3x3 1 u
y 1/ 2
x1
1
1
/
2
x2
x3
∫ x1 1/2
－1
∫ x2
－1
y
－2 ∫ x3 1/2
－3
四 离散时间系统的状态空间描述
完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出量等都 是离散信息；
0
x1 0
x2
1
0
x2
0
1
xk xk 1 xk 2
0
1 q1 q2
xq xq1
11u
0 xq2 1
0
xn
0
n xn 1
对角线阵
x1
y [c1q
c1(q1)
c12
c11
cq1
cn
]x2
bnu
xn
x1 z，x2 z， ，x0 zn1
(1-18)
可得状态方程：
x1 x2 x2 x3
xn a0 z a1z
an1z n1
u
a0 x1 a1x2 an1xn u
输出方程为 y 0 x1 1x2 n1xn bnu
其向量-矩阵形式为 x Ax bu，y cx bnu
0 x
系数矩阵和输出矩阵具有上述形式为可观测规范Ⅱ型
形式2：
若按下式选取如下状态变量x1=y/b0,x2=y(1)/b0…xn=y(n-1)/b0, 则 微分方程可表示为
2 微分方程中包含输入函数导数项
y (n) an1 y (n1) ... a1 y a0 y bm u (m) bm1u (m1) ... b1u (1) b0u
（2）能观测规范型 1.）选择状态变量
x1 y nu
x2 x3
x1 x2
n1u n2u
(1)
xn xn1 1u
式中系数 0, 1,, n 是待定系数.
x1 x2 n1u
整理(1)式得:
x2
x3
n2u
(2)
xn1 xn 1u
令:
xn a0 x1
y x1 nu
y (n) an1 y (n1) ... a1 y a0 y b0u