四年级奥数教师版第八讲相遇问题

第八讲相遇问题知识导航相遇问题：速度和=总路程÷相遇时间总路程=速度和×相遇时间相遇时间=总路程÷速度和例1：一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米.3.5小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是多少千米？解析：本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．【巩固】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米.甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？解析:根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）.例2：小新的家距离学校3000米，小新爸爸从家去学校接小新放学，小新从学校回家，他们同时出发，爸爸每分钟比儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么小新的速度是每分钟走多少米？解析：小新和爸爸的速度和：603000=÷(米/分钟)，50爸爸的速度：42÷(=+(米/分钟)，602)24小新的速度：18-(米/分钟)．4260=【巩固】甲、乙二人从相距36千米的两地相向而行.若甲先出发2小时,则在乙动身2.5小时后两人相遇;若乙先出发2小时,则甲动身3小时后两人相遇.甲每小时走______千米.乙每小时走_______千米.解析：36×2÷(2+3+2.5)=9.6(千米/小时)甲速:(36-9.6×2.5)÷2=6(千米/小时)乙速:(36-9.6×3)÷2=3.6(千米/小时)例3：A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米？解析：包子的速度：390=÷(米／秒)，15÷(米／秒)，菠萝的速度：690=30相遇的时间：10+÷(秒)，3()690=包子距B地的距离：60⨯-(米)．390=10【巩固】甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？解析：要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是:90÷千米／时），360=4乙车的速度是:30÷(千米／时）；12360=则相遇时间是：3+÷（小时）．360=30)90(例4：甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．解析：这题不同的是两车不“同时”．【法1】求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以先分别求出两车行驶的路程，甲车行驶6小时，乙车行驶5小时，再把两部分合起来．甲车行程：288⨯（千米）+48=1()5乙车行程：2505⨯（千米)50=两地路程：538+（千米）288=250【法2】还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程：490(=⨯+（千米）538505)48+（千米）490=48【巩固1】甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？解析：甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：82⨯(千米)，241=甲、乙两车同时相对而行路程：688-(千米)，770=82甲车行的时间：8+688=÷（小时)．45)41(【巩固2】甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千 米，乙车每小时行22千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后 与乙车相遇？解析：甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行 驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程， 所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、 乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：44222=⨯(千米)，甲、乙两车同时相对而行路：10044144=-(千米)，甲、乙两车速度和：502228=+(千米)，与乙车相遇时甲车行的时间为：250100=÷(小时)．【巩固3】妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米．妈妈走了3分钟 后，小红从学校出发，小红每分钟走60米．再经过20分钟妈妈和小红相遇． 从小红家到学校有多少米？解析：妈妈先走了3分钟，就是先走了225375=⨯（米）．20分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了20分钟，这一段的路程为：270020)6075(=⨯+（米），这样妈妈先走的那一段路 程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离．解：292520)6075(375=⨯++⨯（米）．例5：甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B 地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．求A 、B 两地间相距多少千米？解析：题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况.画线段图如下： 由图中可以看出，甲行驶了853=+(小时)，行驶距离为：384848=⨯(千米)； 乙行驶了5小时，行驶距离为：250550=⨯(千米)，此时两车还相距15千米，所以A 、B 两地间相距：69415250384=++(千米)也可以这样做：两车5小时一共行驶：4905)5048(=⨯+(千米)，A 、B 两地间相距：69415348490=+⨯+(千米)，所以，A 、B 两地间相距649千米．【巩固】(全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从A 、B 两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米；出发后5小时，两车相遇．A 、B 两地相距多少千米？ 解析：公式“相遇时间=路程和÷速度和”中，对于速度不变的两车，“相遇时间”与“路程和”是一一对应的．如图所示5小时的相遇时间与A 、B 两地的距离相对应，)25(-小时的相遇时间与141千米相对应.两车的速度之和是：47)25(141=-÷(千米/时).A 、B 两地相距：235547=⨯(千米)例6：两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车4次，每次停车15分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？解析：每列车停车时间：60415=⨯（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：617=-小时，速度和：854540=+（千米），两城距离：510685=⨯（千米）．【巩固】两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走60千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车5次，每次停车12分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？解析：每列车停车时间：60512=⨯（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：617=-小时，速度和：1054560=+（千米），两城距离：6306105=⨯（千米）．例7：甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？解析：①4小时后相差多少千米：1604)300340(=⨯-（千米）．②甲机提高速度后每小时飞行多少千米：4203402160=+÷（千米）．【巩固】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时， 60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?解析：两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，5505)6050(=⨯+（千米）．课后练习1、南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发3小时他们相距多少千米？解析：两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，3303)6050(=⨯+（千米）．2、两列火车从相距80千米的两城背向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车相距多少千米？解析：因为是背向而行，所以每过1小时，两车就多相距：824240=+(千米),则5小时后两车相距是：490805)4042(=+⨯+（千米）．3、两列火车从相距40千米的两城背向而行，甲列车每小时行35千米，乙列车每小时行40千米，5小时后，甲、乙两车相距多少千米？解析：因为是背向而行，所以两车5小时后的距离是：415405)4035(=+⨯+（千米）.4、两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？解析：甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时乙到达目标时所用时间：9100900=÷(分钟)，甲9分钟走的路程：720980=⨯(米)，甲距目标还有：180720900=-(米)，相遇时间：1)80100(180=+÷(分钟)，共用时间：1019=+(分钟)．5、八戒和悟空两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行45千米，八戒每小时行40千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？ 解析：要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间：3)4045(255=+÷（小时）．悟空：135345=⨯（千米），八戒：120340=⨯（千米）．6、两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？解析：根据题意列综合算式得到：515)8382(3300=-+÷（分钟），所以两个人还需要5分钟相遇.7、两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？为什么？解析：45540=+(千米)；3404)4045(=⨯+(千米)，340千米<400千米，因为两车4小时共行340千米，所以4小时后两车没有相遇．8、两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？解析：所求问题＝全程－4小时行驶的路程和．路程和：3124)4038(=⨯+（千米） 138312450=-（千米）．9、(2008年第六届希望杯一试)甲乙两人分别以每小时6千米，每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是l 0千米时，他们走了___________小时．解析：有两种情况，一种是甲乙两人一共走了201030=-(千米)，一种是甲乙两人一共走了401030=+(千米)，所以有两种答案：2)46()1030(=+÷-(小时)或4)46()1030(=+÷+(小时)10、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？解析：两车在相距450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米，这时两车共行的路程应为)90450(-千米．即4)5040()90450(=+÷-(小时)．需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90千米．这时两车共行的路程为)90450(+千米， 即6)5040()90450(=+÷+（小时)．11、甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发2小时后，两人相距54千米；出发5小时后，两人还相距27千米．问出发多少小时后两人相遇？解析：根据2小时后相距54千米，5小时后相距27千米，可以求出甲、乙二人3小时行的路程和为)(-千米，即可求出两人的速度和：95427-÷-（千米），(=))2545(27根据相遇问题的解题规律；相隔距离÷速度和=相遇时间，可以求出行27千米需要：÷5=+（小时）．927812、甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行50千米，客车每小时行70千米．客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇时客车、货车各行驶多少千米？解析：因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时．如果从总路程中把货车单独行驶1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．解：相遇时间：4(=+-（小时）÷53050)5070()相遇时客车行驶的路程:280⨯(千米)70=4相遇时货车行驶的路程：250+⨯（千米）．4()150=13、甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？解析：4+(=⨯-(小时)．366÷)2)3637(37。