行列式的Laplace展开定理
laplace展开定理
Laplace展开定理Laplace展开定理（Laplace’s expansion theorem）是数学中一个重要的理论，它利用线性代数的方法，将一个n阶行列式展开为n个n-1阶子行列式的和。
Laplace展开定理在代数、概率论、微积分以及工程等领域有广泛的应用。
1. Laplace展开定理的表述给定一个n阶行列式A，可以用Laplace展开定理将其展开为：|A|=∑(−1)i+jni=1a ij M ij其中，a ij是A的第i行第j列元素，M ij是A的第i行第j列元素的代数余子式。
代数余子式是将第i行第j列的元素划去后剩余元素的行列式的值。
2. Laplace展开定理的证明Laplace展开定理的证明可以通过递归的方法进行。
我们可以选择行展开或列展开两种方式，这里以行展开为例进行说明。
假设给定一个3阶行列式：A=[a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33]首先选择第一行进行展开。
根据Laplace展开定理，行列式A可以表示为：|A|=(−1)1+1a11M11+(−1)1+2a12M12+(−1)1+3a13M13其中，M11、M12、M13分别是将第一行的元素划去后剩余元素的2阶子行列式。
对于子行列式M11，可以再次应用Laplace展开定理，将其展开为：M11=(−1)1+1a22a33−(−1)1+2a23a32同理，对于M12和M13也可以进行展开。
将子行列式的展开式代入到行列式A的展开式中，可以得到完整的展开式。
证明过程中，我们可以通过递归的方式将n阶行列式展开为n个n-1阶子行列式，直到最后将2阶子行列式展开为元素的乘积。
3. Laplace展开定理的应用Laplace展开定理在数学中具有广泛的应用，下面列举几个常见的应用领域。
3.1 代数方程组求解Laplace展开定理可以应用于求解代数方程组。
给定一个线性方程组：a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2…a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n其中，x1,x2,…,x n是未知数，a ij和b i是已知系数。
Laplace展开定理.
由此可知，D1 和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一
项都相差符号为 1 i1 ik j1 jk
…，第n列加到第n+1列，用 b12,b22, bn2 乘第1列，第2列，
第二章
行列式
…，第n列加到第n+2列，…，用 b1n ,b2n ,
…，第n列加到第2n列，则 D2n 化为
a11 a12
a1n a11b11 a12b21 a1nbn1
a21 a22
a2n a21b11 a22b21 a2nbn1
§2.8 Laplace展开定理
利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1 阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。 但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k 阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明 这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。
k 1 k n 1 行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们
的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
证明：设D中取定k行后所得的子式为M1, M 2 , , Mt , 它的
代数余子式分别为 A1, A2, , At , 下证 D M1A1 M 2 A2 M t At
—（1）
2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互为余子式。
abcd
例2.8.1 写出行列式 D g h p q 中取定第一行和
stuv
wx y z
第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。 二阶子式共有 C42 6 个。
高等数学第二章课件-Laplace定理
§2.8 Laplace 定理一、k 级子式与余子式、代数余子式定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列( )，位于这些行和列的交叉点上的个元素k n ≤2k 式 D 的一个 k 级子式；的余子式；M ′次序组成的 级行列式 ，称为 k 级子式M n k −在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是，则在 M 的余子式 前1212,,,;,,,k k i i i j j j ⋯⋯M ′后称之为 M 的代1212(1)k ki i i j j j +++++++−⋯⋯加上符号数余子式，记为1212(1).k ki i i j j j A M +++++++′=−⋯⋯23 12注：① k 级子式不是唯一的.（任一 n 级行列式有个 k 级子式）． k k n nC C 时，D 本身为一个n 级子式．k n =② 时，D 中每个元素都是一个1级子式；1k =二、Laplace 定理由这 k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的设在行列式 D 中任意取 k ( ( ))行，11k n ≤≤−代数余子式的乘积和等于 D ．即若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子1122.t t D M A M A M A =+++⋯，它们对应的代数余子式12,,,t M M M ⋯式为定理 （Laplace 定理）则12,,,,t A A A ⋯分别为时，1122t t D M A M A M A =+++⋯1k =即为行列式 D 按某行展开. 注：它们的代数余子式为1k kka a =⋯⋯⋯⋯2⋯(a b ==−,1,2,,i j n=⋯1n11ij i j c a b a =+。
拉普拉斯Laplace定理PPT课件
b11 L br1
L L L
b1r L brr
br1 L brr
为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果．
§2.8 Laplace定理
.
7
1 2 14
例1：计算行列式
D
0 1
1 2 1 0 13
0 1 31
解：
M1
1 1
2 0
2,
M2
1 1
1 1
0,
M3
1 1
4 3
1,
M4
2 0
§2.8 Laplace定理
.
13
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx2 cx3 dx4 0
bcdxxx111
ax2 dx2 cx2
dx3 ax3 bx3
cx4 bx4 ax4
0 0 0
只有零解．其中 a,b,c,d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
.
14
证：系数行列式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
(k n)，位于这些行和列的交叉点上的 k 2个元素 按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 nk 级 行列 式 M ，称为 k 级子式 M 的余子式；
an1 an2 Lann
bn1 bn2 Lbnn
c11 c12 L c1n
则
D1D2
c21 M
c22 M
L c2n MM
cn1 cn2 L cnn
n
其中 c i j a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j L a i n b n j a ik b k j ,
行列式展开公式证明
行列式展开公式证明行列式展开公式，也称为拉普拉斯定理或余子式展开定理。
它是用于计算n阶方阵行列式的一种方法。
下面给出行列式展开公式的证明。
设A为一个n阶方阵，其元素为a_ij，其中1≤i,j≤n。
我们要证明行列式展开公式：det(A) = a_11 * A_11 + a_12 * A_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * A_1n其中，A_ij表示元素a_ij的代数余子式。
证明过程如下：1. 首先，我们将A的n阶行列式拆分成n个部分，每个部分都以第一行的一个元素a_1j为基础。
det(A) = a_11 * B_11 + a_12 * B_12 + ... + a_1n * B_1n 其中，B_ij表示将矩阵A的第一行和第j列删除后得到的(n-1)阶方阵。
2. 接下来，我们对每个B_ij应用归纳法。
当n=2时，显然有：B_11 = a_22, B_12 = a_21B_21 = a_12, B_22 = a_11那么det(A) = a_11 * (a_22) + a_12 * (a_21) = a_11 * a_22 - a_12 * a_21，这是二阶方阵的行列式计算公式。
3. 假设对于所有小于n的正整数k，行列式展开公式成立。
我们来看B_11，即删除A的第一行和第一列后得到的(n-1)阶方阵。
根据归纳假设，我们可以将其展开为：B_11 = b_11 * C_11 + b_12 * C_12 + ... + b_1(n-1) * C_1(n-1) 其中，C_ij表示将矩阵A的第一行和第一列删除后得到的(n-2)阶方阵。
4. 然后，我们可以将det(A)展开为：det(A) = a_11 * (b_11 * C_11 + b_12 * C_12 + ... + b_1(n-1) * C_1(n-1))+ a_12 * (b_21 * C_21 + b_22 * C_22 + ... + b_2(n-1) * C_2(n-1))+ ...+ a_1n * (b_n1 * C_n1 + b_n2 * C_n2 + ... + b_n(n-1) * C_n(n-1))5. 接下来，我们观察每一项的乘积。
Laplace展开定理.
利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1 阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。 但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k 阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明 这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。
这两项的乘积是：a1i1 a2i2 a a a kik k 1,ik1 k 2ik2 anin ,
i , 所带的符号是： 1 i1i2 ik ik1ik2 in 由于 k j j 1, 2, n k
都比k大，所以上述符号等于 1 i1i2 ikik1ik2 in 。因此这个乘积
D 1 i1 ik 12 k j1 jk 12 k 1 1 D i1 ik j1 jk
由此可知，D1 和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一
项都相差符号为 1 i1 ik j1 jk
M 中每一项可写为 N
a a k 1,ik1 k 2,ik2
an,in , 其中 ik1, ik2 , , in
是k+1,k+2,…,n的一个排列。这一项在M中所带的符号是：
第二章
行列式
1 （或 1 ）。 ik1ik2 in
ik1k ik2 k in k
第二章
行列式
现在N位于D1的左上角，它的余子式 M N 位于D1 的右下角， 由第一步知 N M N 中的每一项都是 D1 中的一项且符号相同，
N AN 1 i1 ik j1 jk N M N
故 N AN 中每一项都与D中的一项相等且符号一致。 定理2.8.1（Laplace定理）：设在行列式D中任意取定
Laplace定理
k)!
k !(n
k)!
n!
7
项，故D=M1 A1 M2 A2 Mt At .
例
21 3 0
3 2 3 D
3 1 2
0 5
, 前两行共有
C2 6
43 2!
6个子式,
1 1 1 1
21
23
20
M1 3
2 1, M2 3
3 15, M3 3
0, 0
A2
( 1)( 1 2 ) ( 1 3 )
1 1
5 4,
1
A4
( 1)1 2 2 3
3 1
5 8.
1
D 1 (3) (15) 4 (9) (8) 9.
9
例
a11
a1k
0
ak1
akk
a11
a1k b11
b1l ,
c11
c1k b11
拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国 分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。 1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂 诺日，1827年3月5日卒于巴黎。1816年被选为法兰西 学院院士，1817年任该院院长。1812年发表了重要的 《概率分析理论》一书，在该书中总结了当时整个概 率论的研究，论述了概率在选举审判调查、气象等方 面的应用，导入「拉普拉斯变换」等。他是决定论的 支持者，提出了拉普拉斯妖。他致力于挽救世袭制的 没落：他当了六个星期的拿破仑的内政部长，后来成 为元老院的掌玺大臣，并在拿破仑皇帝时期和路易十 八时期两度获颁爵位，后被选为法兰西学院院长。拉 普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之 缘。
行列式计算的拉普拉斯定理
行列式计算的拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem）是线性代数中一个重要的定理，它是通过行列式的性质来计算矩阵的逆和行列式的值。
在本文中，我们将详细介绍拉普拉斯定理的含义、应用和推导过程。
拉普拉斯定理的核心思想是利用代数余子式（cofactor）来计算行列式的值。
代数余子式是行列式中每个元素所对应的子矩阵的行列式乘以适当的符号，具体计算方法如下：对于n阶方阵A的第i行第j列的元素aij，其代数余子式Aij=(-1)^(i+j)Mij，其中Mij是A中删除第i行和第j列后的(n-1)阶矩阵的行列式。
根据拉普拉斯定理，行列式的值可以通过n个元素的代数余子式之和来计算：det(A) = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj其中A1j、A2j、...、Anj分别是代数余子式Aij的行列式值。
拉普拉斯定理的应用非常广泛，特别是在求解线性方程组、计算矩阵的逆以及计算行列式的值方面具有重要意义。
下面我们将分别介绍这些应用。
1. 求解线性方程组：对于线性方程组Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n 维列向量，拉普拉斯定理可以用来求解x的值。
具体方法是，我们可以将方程组转化为行列式的形式，即：det(Ax) = det(b)根据拉普拉斯定理，这个行列式可以展开为：det(A) * det(x) = det(b)因为det(A)不为0，所以可以得到：det(x) = det(A)^(-1) * det(b)从而得到x的值。
2. 计算矩阵的逆：利用拉普拉斯定理，可以通过行列式的性质来计算矩阵的逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)不为0，则A的逆矩阵A^(-1)可以表示为：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)其中adj(A)是A的伴随矩阵，它的每个元素是A的代数余子式。
3. 计算行列式的值：拉普拉斯定理可以直接用来计算行列式的值。
通过将行列式展开为代数余子式的形式，然后计算每个代数余子式的值，再将它们相加，即可得到行列式的值。
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解
按
1，2
行展开。这两行共组成
C
2 5
= 10
个二阶子式，但其中不为零的只
有 3 个，即
1 M1 = 2
2 1
=
−3 ， M 2
=
1 2
0 2
=
2，M3
=
2 1
0 =4 2
对应的代数余子式为
120
220
020
A1 = (−1)1+2+1+2 2 1 2 = −7 ，A2 = (−1)1+2+1+3 0 1 2 = −6，A3 = (−1)1+2+2+3 0 1 2 = 0。
a11
a21 M M ij = ai−1,1 a i +1,1 M an1
L a1, j−1 L a2, j−1
M L ai−1, j−1 L ai+1, j−1
M L an, j−1
a1, j+1 a2, j+1
M ai−1, j+1 ai+1 , j+1
M an, j+1
L a1n L a2n
M L ai−1,n ； L ai+1,n
行列式的 Laplace 展开定理
一、行列式按一行或一列的展开 我们知道， 若D为n阶行列式，Aij为行列式元素aij的代数余子式，那么对任
意的 i ≠ j ，如下四个等式都成立。
ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + L + ain Ain = D ；
ai1 A j1 + ai2 A j2 + L + ain A jn = 0 ；
定理的证明从略。 显然行列式按一行（列）展开的定理是 Laplace 展开定理的特例。
2
三、举例
Laplace 展开定理表明：一个 n 阶行列式可用若干个 k 阶与 n − k 阶子式计算 求得。如果行列式的某 k 行（列）中含有较多的 0，用此定理可是计算大为简化。
例1 用 Laplace 展开定理计算 12000 21200
1 a1
0 0L 0
0
−1 1 − a1 a2 0 L 0
0
D = 0 −1 1− a2 a3 L
0
0
MM
MM
00
0
0 L 1 − an−1 an
00
0 0 L −1 1− an 。
4
k 列交点处的 k 2 个元素按原来的相对位置组成的 k 阶行列式 M 称为 D 的一个 k 阶子式。 D 中划去 M 所在的行与列后，剩下的元素按原来的顺序构成 n − k 阶行 列式 N 称为 M 的余子式。若子式 M 由行列式 D 的第 i 1 , i 2 , L , i k 行和
1
j 1 , j 2 , L , j k 列相交处的元素构成，则称
a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj = D ；
a1i A1 j + a2i A2 j + L + ani Anj = 0 。
上式称为 n 阶行列式按一行（列）展开的定理。我们问：n 阶行列式是否可以按 二行（列）展开？更一般的，n 阶行列式是否可以按 k 行或 k 列展开？如果可以， 行列式的展开式是怎样的？
021
021
021
故 D = M1 A1 + M 2 A2 + M 3 A3 = 9
例 2 证明
a11 L a1k
M
M
D = ak1 L akk c11 L c1kMBiblioteka Mcr1 L crk
0L0
M 0
b11 M
L L
M 0
a11
b1r M
=M ak1
L L
a1k b11 ⋅M
akk br1
L L
b1r M brr
M L an,n
Aij = (−1)i+ j M ij
二、行列式的 Laplace 展开定理 为了将 n 阶行列式按一行（列）展开的定理推广到按 k 行或 k 列展开，先把
元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义 1 在 n 阶行列式 D 中，任取 k 行，k 列（1 ≤ k ≤ n − 1) ），位于这 k 行、
a11 L a1k b11 L b1r
故
D = M1 A1 = M
⋅M
M
ak1 L akk br1 L brr
练习
用 Laplace 展开定理计算下列各题
1002
1． 0
3
4
0
。
0560
7008
2．计算 2n 阶行列式
a
b
0
a
b
O
N
D2n = 0
ab cd
0。
N
O
c
d
0
c
d
3．计算 n+1 阶行列式
A = (−1) N i1 +i2 +L+ik + j1 + j2 +L+ jk
为 M 的代数余子式。 例如，在 5 阶行列式 11365 22743 34056 46695 55356
中选取第 1、4 行，第 2、3 列得到一个 2 阶子式
M = 1 3 = −12 ， 66
那么， M 的余子式为 243
N = 3 5 6 = 18 ； 556
M 的代数余子式为
A = (−1)1+4+2+3 N = 18
n
阶行列式有
C
k n
⋅
C
k n
个k
阶子式，对每一个 k
阶子式 M
，它的余子式
N
和代
数余子式 A 都是由 M 唯一确定的。
定理（Laplace 展开定理） 在 n 阶行列式 D 中，任意取定某 k 个行（列）
我们先回顾 n 阶行列式中元素 aij 的余子式和代数余子式的概念。
定义 1 在 n 阶行列式 D 中，把元素 aij 所在的第 i 和第 j 列划去后，剩下的
n −1阶行列式，称为元素 aij 的余子式，记为 M ij 。称 Aij = (−1)i+ j M ij 为元素 aij 的 代数余子式，即
br1 L brr
证
按前
k
行展开。前
k
行共组成
Ck r+k
个
k
阶子式，但其中不为零的只有
1
个，即
对应的代数余子式为
a11 L a1k
M1 = M
，
ak1 L akk
3
b11 L b1r b11 L b1r
A1 = (−1) (1+2+L+k )+(1+2+L+k ) M
M =M
M
br1 L brr br1 L brr
(1 ≤ k ≤ n − 1) ，则行列式 D 等于由这 k 个行（列）元素构成的一切 k 阶子式 M i
(i
=
1,2,L,
C
k n
)
与其代数余子式
Ai
的乘积之和，即
m
∑ D = M i Ai =M 1 A1 + M 2 A2 + L + M m Am i =1
其中
m
=
C
k n
=
n! 。 k!(n − k)!