拉普拉斯(Laplace)定理的简化证明
laplace拉普拉斯变换,拉普拉斯定理
二、拉氏变换的几个基本性质 （1）线性性质
设L[ f1 (t )] F1 ( s )，L[ f 2 (t )] F2 ( s )，a、b为常数，则有 L[ af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s ) L1[aF1 ( s ) bF2 ( s )] aL1[ F1 (t )] bL1[ F2 (t )] af1 (t ) bf2 (t )
利用本公式可得： L[ u (t )] 1 / s L[t 2 ] 2 / s 3 L[t ] 1 / s 2
5、指数函数
e f (t ) 0
at
t0 t0
f(t)
a0
F (s) e e
at 0
st
dt
0
a0
t
e
0
( s a )t
1
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [(s s1 ) m F ( s )] ( m 1)! s s ds
1
f (t ) L1 [ F ( s )]
n Cm C m 1 m 2 st m 1 [ t t C 2 t C1 ]e Ci e s t ( m 1)! ( m 2)! i m 1
（2）微分性质
设L[ f (t )] F ( s )，则有 df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0) dt 2 L[ d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f ' (0) f dt n
laplace变换公式表
laplace变换公式表Laplace变换公式表引言Laplace变换是数学中一种常见的变换方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。
本文将介绍Laplace变换及其公式表，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
一、Laplace变换简介Laplace变换是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于18世纪末提出的一种数学变换方法。
它将一个函数f(t)在复平面上的运算转换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。
Laplace变换在时域和频域之间建立了一种联系，使得复杂的微分方程可以转化为简单的代数方程，从而简化了问题的求解过程。
二、Laplace变换公式表下面是一些常用的Laplace变换公式，它们在不同的应用中起到重要的作用：1. 常数函数：L{1} = 1/s这个公式表明，Laplace变换会将一个常数函数1转换为1/s，其中s是复变量。
2. 单位阶跃函数：L{u(t)} = 1/s单位阶跃函数u(t)是一个在t=0时突变为1的函数。
该公式表明，Laplace变换会将单位阶跃函数转换为1/s。
3. 指数函数：L{e^at} = 1/(s-a)指数函数e^at是一个在复平面上以指数形式增长或衰减的函数。
该公式表明，Laplace变换会将指数函数转换为1/(s-a)，其中a是一个常数。
4. 正弦函数：L{sin(at)} = a/(s^2+a^2)正弦函数sin(at)是一个周期性的函数。
该公式表明，Laplace变换会将正弦函数转换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数：L{cos(at)} = s/(s^2+a^2)余弦函数cos(at)也是一个周期性的函数。
该公式表明，Laplace变换会将余弦函数转换为s/(s^2+a^2)。
6. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)指数衰减函数e^(-at)是一个在t>0时以指数形式衰减的函数。
该公式表明，Laplace变换会将指数衰减函数转换为1/(s+a)。
§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.
拉普拉斯积分变换
f
(t)
L1
s
2
s
1
s est 2s
s
j
s 2s
e
st
s j
1 (e jt ejt ) cost, t 0 2
37
例2： 求 F(s) 1
的逆变换。
s(s 1)2
解: s=0 为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积
分公式得
f (t)
3s 2
1
e st
4s 1
s0
lim s1
33
等式两边乘以 e t，并考虑到它与积分变量
无关，则
f (t) 1
F ( j)e( j)t d, t 0
2
令 j s ，有
f (t) 1
j
F (s)est ds, t 0
2 j j
这就是从象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式， 右端的积分称为拉氏反演积分。
L (t)
(t) est dt
0
(t) est dt 0
(t) est dt est
t0 1
10
例7 求函数 f (t) e t (t) e tu(t)( 0)
的拉氏变换。
解 L f (t) f (t) estdt 0 e t (t) e tu(t) estdt 0
34
此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来 比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用 留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s) 为有理函数时更为简单。
35
定理
若 s1, s2 , sn 是函数 F(s) 的所有奇点（适当选
取 使这些奇点全在 Re(s) 的范围内）， 且当 s 时，F(s) 0 ，则有
拉普拉斯定理
拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。
它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。
下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。
首先，我们需要了解拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。
拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。
这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。
2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。
这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。
3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。
这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。
4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。
这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。
拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。
它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。
此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。
拉普拉斯Laplace定理的简化证明
拉普拉斯(Laplace)定理的简化证明拉普拉斯定理（Laplace's Theorem）是一个关于在一定条件下线性微分方程的解的存在性和唯一性的定理。
这个定理的现代形式如下：如果一个线性微分方程的系数是连续的，并且在整个实数域上满足某种条件，那么这个方程在某个区间内有且只有一个解。
首先，我们考虑一个一阶线性微分方程：y' + p(x)y = q(x)其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数，y(x) 是未知函数。
我们可以将上述方程改写为：y' = q(x) - p(x)y然后对方程两边同时积分，得到：∫y'dx = ∫(q(x) - p(x)y)dx即：y = ∫q(x)dx - ∫p(x)ydx对于右侧的积分，我们可以使用分部积分法，得到：∫p(x)ydx = p(x)y - ∫p'(x)ydx因此原方程可以改写为：y + ∫p'(x)ydx = ∫q(x)dx - p(x)y或者，如果我们定义一个新的函数F(y) = ∫p'(x)ydx，那么原方程可以简化为：y + F(y) = ∫q(x)dx - p(x)y根据初始条件 y(a)，我们可以将上述方程转化为以下等式：y + F(y) = ∫q(x)dx - p(x)y + y(a)这是一个关于 y 的线性方程，其中 F(y) 是 y 的函数。
如果 F(y) 是连续的并且满足某些条件，那么根据线性方程的理论，存在且只有一个解。
现在我们只需要证明 F(y) 满足这些条件。
为此，我们需要计算 F(y) 的导数。
根据分部积分法，我们可以得到：F'(y) = p'(x) 在整个实数域上是一致的。
这意味着 F(y) 是连续的并且具有连续的导数。
因此，根据定理的条件，F(y) 满足存在且唯一性的条件。
因此，原方程的解也存在且唯一。
这就是拉普拉斯定理的简化证明。
这个证明的关键在于将原始方程转化为一个关于 y 的线性方程。
谈拉普拉斯定理及其应用
一、谈拉普拉斯定理及其应用拉普拉斯定理拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。
他用数学方法证明了行星轨道大小只有周期性变化，此即著名的拉普拉斯定理. 他的著名杰作《天体力学》是经典力学的代表著作，在《宇宙系统论》这部书中，他提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说. 他在数学和物理方面有重要贡献，他是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者。
在了解Laplace 定理之前，首先要了解如下概念在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (k\leq n) ，位于这些行和列的交叉点上的 k^2 个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后，余下的元素按照原来的次序组成 n-k 级行列式 M' ，称为 k 级子式 M 的余子式；若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i_1,i_2,\cdots,i_k;j_1,j_2,\cdots ,j_k ，则在 M 的余子式 M' 前加上符号 (-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' 后称之为 M 的代数余子式，记为 A=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' .Laplace 定理：设在行列式 D 中任取 k (1\leq k\leq n-1) 行，由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积和等于 D . 即，若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式为 M_1,M_2,\cdots,M_t ，它们对应的代数余子式分别为 A_1,A_2,\cdots,A_t ，则 D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_tA_t为了更好的理解Laplace 定理，下面看个例子：先有行列式 D=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| ，取定其第一、三行，求其子式和代数余子式，并计算其值解：去定其第一、三行，其子式为：M_1=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right|=-2,\quad M_2=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=0,\quad M_3=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\M_4=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right|=2,\quad M_5=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 4 \\ 0 & 3 \\\end{array} \right|=6,\quad M_6=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\它们的代数余子式为：A_1=(-1)^{1+3+1+2}\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right|=1,\quad A_2=(-1)^{1+3+1+3}\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=-2,\quad A_3=(-1)^{1+3+1+4}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=5 \\A_4=(-1)^{1+3+2+3}\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right|=0,\quad A_5=(-1)^{1+3+2+4}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right|=0,\quad A_6=(-1)^{1+3+3+4}\left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=0 \\所以其行列式为D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_6A_6=-7 \\经Matalb验证如下：M=[1,2,1,4;0,-1,2,1;1,0,1,3;0,1,3,1];det(M)___________-7二、证明如何证明行列式的拉普拉斯定理？首先回顾一下行列式的计算方法一个 n 阶矩阵的行列式等于其按第 i 行展开，对应元素与其代数余子式乘积的代数和，用符号表示为D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}{ a_{ij}A_{ij}}\quad (i=1,2,\cdots ,n) \\上式在很多教科书上被用作行列式的定义，现通常被称为“（行列式的）拉普拉斯展开式（Laplace expansion）/（行列式的）余因子展开式（cofactor expansion）”；然而，此式首先由范德蒙（Vandermonde）给出。
拉普拉斯(Laplace)变换.
p1 )(s
p2 )] s p1
用拉氏变换解线性微分方程的步骤
1. 对线性微分方程中的每一项进行拉氏变 换，使微分方程变为S的代数方程；
2. 解该代数方程，得到有关变量的拉氏变 换表达式；
3. 用拉氏反变换得到微分方程复数
复变量 s j 其中σ为实部，ω为虚部
复变函数 G(s) Gx jGy 其中Gx、Gy均为实数 Gx jGy 与 Gx jGy 互为共轭复数
复变函数的一般形式
G(s) K (s z1)(s z2) (s p1)(s p2)
其中 z1、z2、…为零点，p1、p2 …为极点
F s Lut 1
s
f
t
L1
1 s
1t
典型时间函数的拉氏变换
3. 单位斜坡函数 r(t)
r t
0 t
t 0 t 0
F s
Lrt
1 s2
f
t
L1
1 s2
t
典型时间函数的拉氏变换
4. 幂函数 f(t)=tn (n>-1)
F s L t n
n 1
s n1
当n是正整数时，n 1 n!，因此
6. 正弦函数 f(t)=sinωt (ω为实数)
Fs Lsin t
s2 2
f
t
L1
s2
2
sin
t
典型时间函数的拉氏变换
7. 余弦函数 f(t)=cosωt (ω为实数)
F s
Lcost
s2
s
2
f
t
L1
s2
s
2
c ost
拉氏变换的基本定理
1. 线性定理
设a和b为常数，则有